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20.2 勾股定理的逆定理及其应用
课时1 勾股定理的逆定理
学 习 目 标
1.掌握勾股定理逆定理的具体内容，能准确判断已知三边长的三角形是否为直角三角形.
2.识别常见勾股数，明确勾股定理与逆定理的区别与联系.
同学们知道古埃及人是用什么方法得到直角的吗
把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
从古埃及人得到直角三角形的方法中你发现了什么？
3
4
5
如果围成三角形的三边长分别为3，4，5，它们满足关系“32＋42=52”，那么围成的三角形是直角三角形.
3
4
5
所有边长符合a +b =c 的三角形都是直角三角形吗？
画一画
①如果三角形的三边长分别为2.5 cm，6 cm，6.5 cm，它们满足关系“”，画出的三角形是直角三角形吗？
②换成三边长分别为4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试
测量后发现，它们都有直角，都是直角三角形
观察 先用画图的方式尝试，三边满足以上关系的三角形是否都有直角.
由上面的尝试，我们猜想：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理的逆命题
试着证明这个猜想吧！
直接证难，转化为全等传递直角
需满足 全等条件
用勾股定理 关联A'B'与AB
等量 代换
A　
B　
C　
a
b
c
证∠C=90°
构造Rt△A′B′C′，使△ABC≌Rt△A′B′C′
需B'C'=BC=a，A'C'=AC=b，A'B'=AB
由勾股定理推出A'B'2=a2+b2，已知AB2=c2
a2+b2=c2
已知：如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
=
A′　
B′　
C′　
关联
=
综上，Rt△A′B′C′需满足：∠C′=90°，B'C'=a，A'C'=b
A
C
a
B
b
c
A′
B′
C′
a
b
已知：如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
证明：作一个 Rt△A'B'C' ，使 B'C' = a，A′C′ = b，∠C' = 90°．
根据勾股定理，A'B' 2 = B'C' 2 + A'C' 2 = a2 + b2 .
因为 a2 + b2 = c2，所以 A'B' = c.
所以△ABC ≌ △A'B'C'（SSS）.
因此∠C = ∠C' = 90°，即△ABC 是直角三角形.
在△ABC 和△A'B'C'中，
BC = a = B'C' ，
AC = b = A'C' ，
AB = c = A'B' ，
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c ，满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一个依据.
这样，我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理. 这个定理叫作勾股定理的逆定理.
例1 判断由线段 ，， 组成的三角形是不是直角三角形：
（1），，； （2），，
解：（1）因为 ，
所以
根据勾股定理的逆定理，由线段，b，组成的三角形是直角三角形.
分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要判断两条较短边长的平方和是否等于最长边长的平方.
像8，15，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
（2）因为 ，，
所以
根据勾股定理，由线段，b，组成的三角形不是直角三角形.
如果这个三角形是直角三角形，那么根据勾股定理应有 事实上，上式不成立，因此，这个三角形不是直角三角形.
（2），，
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数.
即：若正整数 ，， 满足 （ 为最长边），则a，b，c是一组勾股数.
基本勾股数 派生勾股数（×2） 派生勾股数（×3）
勾股数
1.以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．1，2，
C．，4，7 D．9，12，20
2.给出下列数组：
① 5, 13, 12；② 2, 3, 4；③ 2.5, 6, 6.5；④ 3 , 4 , 5 .其中勾股数的组数是 ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
解析： ① ∵ 5 + 12 = 13 ，且 5，12，13 均是正整数，
∴ 5，12，13 是一组勾股数.
② ∵ 2 + 3 ≠ 4 ，∴ 2，3，4 不是一组勾股数.
∵ 2.5，6，6.5 不都是正整数，∴ 2.5，6，6.5 不是一组勾股数.
∵ 3 = 9，4 = 16，5 = 25，9 + 16 ≠ 25 ，
∴ 3 ，4 ，5 不是一组勾股数.
D
题设 结论
勾股定理 三角形是直角三角形 三角形三边长满足
勾股定理的逆定理 三角形三边长满足 三角形是直角三角形
C
B
思考 勾股定理与其逆定理有什么联系？
勾股定理
勾股定理的逆定理
形
数
在 中，若 ，则 是直角三角形，且 .
如果一个三角形的三边长，， 满足 ，那么这个三角形是直角三角形，其中边长为 的边所对的角是直角
勾股定理的逆定理
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
1．下列长度的线段能构成直角三角形的是（ ）
D
2．如图，正方形小方格边长为1，则网格中的是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
A
3.清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数:①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…根据上述规律，写出第⑤组勾股数为____________.
11，60，61
4.若满足，则以为边的三角形面积是多少？
解：
是直角三角形
以为三边的三角形的面积=.
5. 已知等腰三角形ABC的底边 BC=20cm，D 是腰 AB 上一点，且CD=16cm，BD=12cm.
(1)求证:CD⊥AB；
解：因为BC=20cm，CD=16cm，BD=12cm，
满足BD2+CD2=122+162=202=BC2，
所以根据勾股定理的逆定理得△BCD为直角三角形，
所以∠BDC=90°，
则CD⊥AB；
5. 已知等腰三角形ABC的底边 BC=20cm，D 是腰 AB 上一点，且CD=16cm，BD=12cm.
(2)求△ABC 的腰长.
解：设腰AB=AC=xcm，则AD=(x－12)cm，
由(1)知∠ADC=90°，根据勾股定理得AD2+CD2=AC2，即(x－12)2+162=x2，
解得，
所以△ABC的腰长为cm.

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