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20.2 勾股定理的逆定理及其应用
课时2 勾股定理及其逆定理的综合应用
学 习 目 标
1.能将航行、距离测量等实际问题抽象为几何模型，运用勾股定理的逆定理解决此类实际应用问题.
2.熟练结合勾股定理解决几何图形中边长计算、垂直关系判定等问题.
经过前面的学习，我们已经掌握了勾股定理以及勾股定理的逆定理，你还记得这两条定理吗？
如果直角三角形的两直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么????2+????2=????2
?
应用场景
滑梯模型 大树折断问题
旗杆模型 最短路径问题
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边a、b、 c满足a2+b2=c2，那么该三角形是直角三角形
?
勾股定理的逆定理可以运用于哪些生活情境呢？
互为逆定理
勾股定理
如图，港口 P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行.
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“远航”号每小时航行 16?n?mile，
?
它们离开港口 1.5?h后分别位于点 Q，R 处，且相距 30?n?mile.
?
如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？
“海天”号每小时航行 12?n?mile.
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30?n?mile
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1
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2
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探究 实际问题中的建模与求解（航海问题）.
分析：想要用逆定理解决问题，就要先计算已知三角形的三边长
①计算航行路程
已知“远航”号速度?16?n?mile/h，航行时间?1.5??，则：?
?
PQ=16×1.5=24?n?mile;
?
“海天”号速度?12?n?mile/h，航行时间?1.5??，则：
?
?PR=12×1.5=18?n?mile;
?
两船距离：?QR=30?n?mile.
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30?n?mile
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1
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2
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②验证直角三角形
计算?????????2+????????2：
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?PQ2+PR2=242+182=576+324=900;
?
计算?????????2：?QR2=302=900;
?
PQ2+PR2=QR2
?
根据勾股定理的逆定理，△PQR?是直角三角形，且?∠QPR=90?
?
③结合方向角确定航向
已知∠1=45?，?∠QPR=90?
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∴∠2=180??90??45?=45?，因此“海天”号沿西北方向航行.
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30?n?mile
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1
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2
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②构建几何模型，抽象数学问题
——关键是抽象出问题中的三角形
③运用勾股定理逆定理，判定直角三角形
④结合实际背景，求解最终答案
①提取关键信息，转化已知条件
勾股定理逆定理的应用
1.放学后，彬彬先去同学晓华家写了一个小时的作业，然后才回到家里．已知学校A．晓华家B，彬彬家C的两两之间的距离如图所示，且晓华家B在学校A的正东方向，则彬彬家C在学校A的哪个方向？
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解：由图可得：AC=500,AB=1200,BC=1300
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∴AC2+AB2=BC2
?
∴△CAB是直角三角形
?
∴彬彬家C在学校A的正北方向
?
如图，在四边形 ABCD中，AB=5，BC=3，AD=53，DC=133. 如果 AC⊥BC，判断 AC与 AD是否也垂直，并说明理由.
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????
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????
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????
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????
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分析：若能求出 ????????的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断 △????????????是不是直角三角形，从而判断 AC是否垂直于 AD.
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探究 几何图形中的综合应用（四边形问题）.
①利用勾股定理求?AC?的长度
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因为?????????⊥????????，所以?△?????????????是直角三角形；
?
根据勾股定理：AC2+BC2=AB2
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则?AC2=AB2?BC2=52?32=25?9=16，所以?AC=4.
?
②利用逆定理判断?△ACD?的形状
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在?△?????????????中，
?
CD2=1332=1699,
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所以 AC2+AD2=CD2
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因此 △ACD是直角三角形，即 AC⊥AD
?
AC2+AD2?=42+532=1699，
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????
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????
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????
?
????
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2.如图，在一块四边形ABCD空地上种植草皮，测得∠ABC=90°，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m．若每平方米草皮需要200元，则需要投入多少钱？
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解：∵∠????=90°，????????=3????，BC=4m
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∴????????=????????2+????????2=32+42=5????
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∵CD=12m，AD=13m
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∴AC2+CD2=AD2
?
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°
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∴四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积=36m2
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∴学校要投入资金为：200×36=7200（元）
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关键：结合勾股定理或其他几何知识解决问题
实际应用
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关键：找出其中三角形，利用勾股定理逆定理判段是否为直角三角形
几何综
合运用
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勾股定理及其逆定理的综合应用
1.如图，要在门上方的墙上点A处装一个由传感器控制的灯，点A离地面4.5m，任何东西只要移至该灯5m及5m内范围，灯就自动发光．已知小军身高1.5m，若他走到CD处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是(　　)
A．5m B．4m
C．3m D．2m
B
2. 医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东 的方向.
东
医院
公园
超市
北
65°
3.体育公园边有一块如图所示的地，其中∠ADC=90°，AD=12m,CD=9m,
AB=39m,BC=36m，则这块地的面积是多少？
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解：如图所示，连接????????
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在????????△????????????中，由勾股定理得????????=????????2+????????2=15????
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∵????????=39????,????????=36????
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∴ ∠????????????=90°
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∴????????2+????????2=152+362=1521，????????2=392=1521
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∴????????2+????????2=????????2
?
∴这块地的面积=????△?????????????????△????????????=12×15×36?12×9×12
?
=270?54=216????2
?
4. A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西50°方向航行；同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口5小时后两船相距100海里，则B舰艇的航行往哪个方向？
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解： 由题意得，OA=12×5=60（海里），OB=16×5=80（海里）
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又∵AB=100海里
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∵602+802＝1002，即OA2+OB2=AB2
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∴∠????????????=90°
?
∵∠????????????=50°
?
∴∠????????????=40°
?
则另一艘舰艇的航行方向是北偏东40°

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