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19.2 二次根式的乘法与除法
课时3 最简二次根式
学 习 目 标
1.理解最简二次根式的概念，能够判断一个二次根式是否为最简二次根式.
2.能运用二次根式乘除法法则和性质将二次根式化简.
情境 广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域就越广，那么，广播电视塔高h(单位：km)增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径r(单位：km)是否也会增加到相应的倍数呢？
实际上，广播电视塔高度与广播电视节目信号的传播半径之间存在近似关系r=，其中R是地球半径，R≈6 400 km. 如果两个广播电视塔的高分别是h1 km，h2 km，那么它们的传播半径之比是.
我们该如何化简这样的分式呢？化简到哪一步才算完成呢？
思考 观察下列二次根式，你能发现它们有什么特点？
、、、、
①被开方数不含分母；
②被开方数不含能开得尽平方的因数或因式.
以上五个数的被开方数分别是，有以下特点：
如：（被开方数是分数）
如：含开得尽的式子
化简得
化简得
最简二次根式
满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.
注: 计算或者化简的最终结果，要化简为最简二次根式
②被开方数不含能开得尽平方的因数或因式；
①被开方数不含分母；
⑦ .
⑥ ；
1.判断下列二次根式是否为最简二次根式，并说明理由．
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ；
×
×
√
×
√
×
×
①④⑦被开方数含有能开得尽平方的因数.
②⑥被开方数含有分母.
思考：如何把二次根式化为最简二次根式？
(1)将被开方数中能开得尽方的因数或者因式进行开方.
如
(2)若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再去分母，并将能开得尽方的因数或者因式进行开方.
如
(3)若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数后再进行化简.如
解：（1）解法1：
例 二次根式除法计算
(1) ；
(2) ；
(3)
依据：二次根式的除法法则
解法2：
分母有理化：为了使分母中不含二次根式，将分母的根号转化为有理数.
思考 你还能想出其他的方法吗？
方法一：将二次根式的除法转化为商的算术平方根的形式再进行计算.
方法二：分母有理化，分子、分母都乘一个适当的二次根式，利用()2=a (a≥0)，去掉分母中的根号.
化去分母中根号的两种方法
(2) 原式
(3) 原式
有理化因式：
在计算过程，先将能化简的部分化简，减少式子的复杂程度，可以提高计算的准确率.
有理化因式：
例 二次根式除法计算
(1) ；
(2) ；
(3)
2.小明是这样化简的：，他没有用到的数学知识是(　　)
A.(a≥0,b>0) B.分数的基本性质
C.()2=a(a≥0) D.=a(a≥0)
C
化简过程：
（二次根除法的逆向法则）
（分母有理化）
发现：该比值与地球半径无关，仅与两塔高度、有关，所以只要知道、，即可求出传播半径之比
解决情境
问题1：如果两个广播电视塔的高分别是h1 km，h2 km，那么它们的传播半径之比是 . 如何化简这个式子呢？
解决情境
问题2：广播电视塔高度与广播电视节目信号的传播半径之间存在近似关系r=，其中R是地球半径，那么，广播电视塔高h(单位：km)增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径r(单位：km)是否也会增加到相应的倍数呢？
假设广播电视塔高h增加到m倍，则此时的广播电视节目信号的传播半径
所以广播电视节目信号的传播半径r不会增加到相应的倍数.
①被开方数不含分母;
②被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式.
条件
①运用商的算术平方根的性质将其化成的形式;
②利用积的算术平方根的性质把能开得尽平方的因数或因式开出来;
③运用分式的基本性质化去分母中的根号．
方法
最简二次根式
1.若和都是最简二次根式，则m＝______，n＝______．
－2
－4
(1)； (2)；
(3)； (4) (a＞0).b
＝2 .
2. 判断下列式子是否为最简二次根式，若不是，请化简.
＝ ＝ ＝ .
＝3ab2 .
3.计算：(1)； (2) ； (3)； (4).
解：(1) = =
(2) = =
(3) = = = y
(4) .

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