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19.3 二次根式的加法与减法
课时1 二次根式的加减
学 习 目 标
1.通过类比整式的加减法，理解可以合并的二次根式的含义，会判断几个二次根式是不是可以合并的二次根式.
2.掌握二次根式加减的方法，会用其运算法则进行简单的运算，以及解决相关实际问题.
前面我们学习了二次根式的乘法与除法运算，接下来研究怎样进行二次根式的加法与减法运算.
思考：类比整式运算中的合并同类项，如何计算????????+????????？
?
被开方数不同
无法直接相加
如何计算二次根式的加减呢？
观察下图并思考.
a
+
a
a
a
a
=
a
a
a
a
a
由上图，易得等式_____________.
当a=2时，分别代入左右得等式_________________.
?
当a=3时，分别代入左右得等式_________________.
?
……
你发现了什么？
2a+3a=5a
22+32=52
?
23+33=53
?
由特殊到一般依次往下推导，易知二次根式的被开方数相同时可以合并. 继续观察下面的过程：
+
= 2a+3b
a
a
b
b
b
当a=2，b=8 时，分别代入得____________________.
?
因为 38 = 322×2 =62，由前面知两者可以合并.
?
2a+3b=22+38
?
这两个二次根式可以合并吗？
你又有什么发现？
问题 仔细观察下列过程，说明其做法和依据分别是什么？
27+12 =33+23 =(3+2)3 =53.
?
化简
合并
二次根式
的性质
分配律
的逆用
思考 你能否用简练的语言总结二次根式的加减的一般步骤?
二次根式加减运算的法则
一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式.
注意：二次根式的加减是被开方数相同的最简二次根式进行合并，不能合并的保留到结果.
m???? + n???? = (m+n)????
?
1.下列根式中，与3是同类二次根式的是（? ??）
?
A．24 B．12 C．32 D．18
?
24=26，6≠3
?
12=23，3=3
?
32=62，6≠3
?
18=32，2≠3
?
B
例1 计算
(1) 80?45；
?
(2) 9a+25a；
?
(3) 212?613+348.
?
解： (1) 原式=45?35=5；
?
(2) 原式=3a+5a=8a；
?
(3) 原式=43?23+123=143.
?
整式的加减
字母及指数相同的项
核心：“合并同类二次根式”
化简后被开方数相同的二次根式
核心：“合并同类项”
二次根式的加减
两者的本质都是合并“同类项”，只是“同类项”的定义不同
思考：比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？
(2) 125?2?342?27
?
例2 计算
(1) 12+20+23?5；
?
=125?542+943
?
分析：这类题为加减混合运算，步骤为：化简最简二次根式→去括号→合并同类二次根式
解： (1) 12+20+23?5
?
=23+25+23?25
?
=43
?
（化简+去括号）
（合并同类项）
(2) 125?2?342?27
?
=125?122?342+34×33
?
不是同类二次根式，不能合并
有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm?和18 dm?的正方形木板？
例3 实际应用问题
分析：
条件1：木板的宽度≥大正方形的边长.
条件2：木板的长度≥两个正方形的边长之和.
8 dm?
18 dm?
小正方形：边长a2=8 dm；
?
解：计算两个正方形的边长
大正方形：边长a1=18 dm；
?
因为18<5，所以木板够宽.
?
两个正方形木板的边长之和为(8+18)?dm；
?
8+18=22+32=2+32=52.?
?
由 2 <1.5可知 52 <7.5，故长度足够.
?
两个条件均满足，因此可以用该木板截出所需的两个正方形
8 dm?
18 dm?
二次根式的加减
几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式.
法则
一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
同类二次根式
1.下列运算正确的是（ ???）
C．4+16=416 D．32?22=1
?
A．a+4a=3a B．8?2=6
?
A
2.若最简二次根式 x2?2与 x2x?2是同类二次根式，则x=______.
?
2
?
3.计算
(2)23?312+527．
?
(1)32+312?218；
?
=113．
?
解：（1）32+312?218
?
=42+322?22
?
=52；
?
（2）23?312+527
?
=23?63+153
?
4.已知a＋b＝－3，ab＝2，求????????＋????????的值．
?
解：∵a＋b＝－3，ab＝2，
∴a<0，b<0，
∴???????? ＋????????＝?????????????＋?????????????＝?????+????????????????????＝－?322＝322.
?
5.现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为4dm2，8dm2和18dm2的正方形木板A，B，C．
?
(1)木板①中截出的正方形木板：
A的边长为___________dm，
B的边长为___________dm，
C的边长为___________dm；
?
2
?
22
?
32
?
(2)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为16dm2的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由.
?
(2)不能截出，理由如下：
16=4，2×4=8
?
∴两个正方形木板放在一起的宽为4dm，长为8dm
?
由(1)可得长方形木板的长为52dm，宽为2+22dm
?
∵2+22>4，但52<8

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