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(共57张PPT)
3　洛伦兹力
[学习目标]　
1.知道什么是洛伦兹力。2.会利用左手定则判断洛伦兹力的方向。3.知道洛伦兹力大小的推理过程,会利用洛伦兹力公式进行相关计算。4.理解带电粒子沿着与磁场垂直的方向进入匀强磁场后做匀速圆周运动,会推导带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式和周期公式,并会用这些公式分析问题。
探究·必备知识
「探究新知」
知识点一　初识洛伦兹力
1.洛伦兹力: 在磁场中受到的磁场力,称为洛伦兹力。
2.洛伦兹力的应用
(1)电视显像管:利用特殊线圈产生的 控制电子偏转、扫描出画面。
(2)极光的产生:当宇宙射线射向地球时,地磁场对带电粒子的 力会使射线发生偏转,向地球两极聚集,并作用于大气层中的原子,从而发出奇异的光芒,这就是极光。
运动电荷
磁场
洛伦兹
1.左手定则:如图,伸出左手,四指并拢,使大拇指和其余四指 ,并且都跟手掌在同一平面内,让磁感线 穿过手心,四指指向 的运动方向(即电流方向),则大拇指所指方向就是 所受洛伦兹力的方向。
2.负电荷所受洛伦兹力方向的判断
若在磁场中运动的是带负电荷的粒子,应用左手定则时,四指应指向该粒子运动方向的 。
垂直
知识点二　洛伦兹力的方向
垂直
正电荷
正电荷
反方向
1.当电荷的运动方向与磁场方向垂直时,F洛= 。
2.当电荷运动的方向与磁场方向间的夹角为θ时,电荷受到的洛伦兹力大小为F洛= 。
3.当电荷的速度方向和磁场方向平行时,F洛= 。
知识点三　洛伦兹力的大小
qvB
qvBsin θ
0
知识点四　带电粒子在匀强磁场中的运动
1.运动性质:带电粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中以速度v垂直磁场方向
开始运动,在洛伦兹力的作用下,它将做 运动,有F洛=qvB= 。
匀速圆周
「新知检测」
1.思考判断
(1)运动电荷在某点不受洛伦兹力作用,该点的磁感应强度必为零。(　 　)
(2)电荷运动的方向、磁感应强度的方向和电荷所受洛伦兹力的方向一定两两垂直。(　 　)
(3)电子在磁场中仅受洛伦兹力作用而偏转,这是洛伦兹力对电子做功的结果。
(　 　)
(4)电荷与磁场没有相对运动,电荷就一定不受磁场的作用力。(　 　)
×
×
×
√
(5)安培力是导体中所有定向移动的自由电荷受到的洛伦兹力的宏观表现,而洛伦兹力是安培力的微观本质。(　 　)
(6)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速度的大小有关。(　 　)
(7)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径成正比。
(　 　)
×
√
√
2.思维探究
(1)洛伦兹力方向与哪些因素有关
【答案】 (1)电荷的电性、速度方向、磁感应强度的方向。当某一因素相反时,洛伦兹力方向必定相反;如果同时让两个因素相反,则洛伦兹力方向将不变。
(2)带电粒子在电场中运动受到的电场力和在磁场中运动时受到的洛伦兹
力,与运动状态有无关系
【答案】 (2)带电粒子在电场中运动受到的电场力是由带电粒子的电荷量和电场强度决定的,与运动状态无关;而带电粒子在磁场中运动时受到的洛伦兹力,方向总是与运动方向垂直,大小由带电粒子的电荷量、运动速度和磁感应强度大小共同决定,故洛伦兹力的方向和大小与运动状态均有关。
(3)同一个带电粒子在不同的磁场中做匀速圆周运动的半径与哪些因素有关
【答案】 (3)与带电粒子的速度v和磁场的磁感应强度B有关。
突破·关键能力
要点一　对洛伦兹力的理解
「情境探究」
如图为电视机显像管的俯视图,可以看出,没有磁场时电子束打在荧光屏正中的O点。为使电子束偏转,由安装在管颈的偏转线圈产生偏转磁场。
(1)若要使电子束在水平方向偏离中心,打在荧光屏上的A点,偏转磁场应该沿什么方向
【答案】 (1)要使电子束打在A点,根据左手定则判断,偏转磁场的方向应该垂直于纸面向外。
(2)若要使电子束打在B点,磁场应该沿什么方向
【答案】 (2)要使电子束打在B点,根据左手定则判断,偏转磁场的方向应该垂直于纸面向里。
(3)若要使电子束打在荧光屏上的位置由B点逐渐向A点移动,偏转磁场应该怎样变化
【答案】 (3)如果要使电子束打在荧光屏上的位置由B点逐渐向A点移动,偏转磁场磁感应强度方向应先垂直于纸面向里,且逐渐减小,然后垂直于纸面向外逐渐增大。
「要点归纳」
1.洛伦兹力的特点
(1)运动的电荷才有可能受到洛伦兹力,静止的电荷在磁场中不受洛伦兹力。
(2)洛伦兹力的大小和方向都与带电粒子的运动状态有关。
(3)洛伦兹力对运动电荷永不做功,只改变电荷运动的方向,不改变电荷速度的大小。
2.洛伦兹力与安培力
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现,洛伦兹力是安培力的微观解释。
(2)洛伦兹力对运动电荷永远不做功,而安培力对通电导线可做正功,可做负功,也可不做功。
(3)只有当导体静止时,安培力才等于导体内所有自由电荷所受洛伦兹力的总和。
3.洛伦兹力与电场力的区别
项目 洛伦兹力 电场力
产生条件 v≠0且v不与B平行 电荷处在电场中
大小 F洛=qvBsin θ F=qE
方向 F洛⊥B,F洛⊥v,遵循左手定则 与E同向或反向,与v方向无关
做功情况 永不做功 可做功,也可不做功
作用效果 只改变v的方向,不改变其大小 可改变v的大小和方向
[例1] (多选)关于安培力和洛伦兹力,下列说法正确的是(　 　)
[A] 洛伦兹力和安培力是性质完全不同的两种力
[B] 洛伦兹力和安培力,其本质都是磁场对运动电荷的作用力
[C] 安培力就是洛伦兹力,二者是等价的
[D] 安培力对通电导线能做功,但洛伦兹力对运动电荷不能做功
BD
【解析】 磁场对电流的作用力称为安培力,安培力的实质是形成电流的定向移动的电荷所受洛伦兹力的合力,安培力是洛伦兹力的宏观表现,而洛伦兹力是安培力的微观体现,B正确,A、C错误;安培力能使通电导线在安培力方向发生位移,能做功,洛伦兹力始终与运动电荷速度方向垂直,故不做功,D正确。
电场力与洛伦兹力的区别
带电粒子的速度方向与磁场平行时,不受洛伦兹力;洛伦兹力的方向总与速度方向垂直,对粒子永不做功;带电粒子在电场中一定受到电场力,根据力和位移的方向关系判断做功的正负。
·误区警示·
[针对训练1] (多选)在如图所示的各图中,匀强磁场的磁感应强度大小均为B,带电粒子的速率均为v,带电荷量均为q。关于带电粒子所受洛伦兹力的大小,下列表述正确的是(　　 )
[A] 图甲中洛伦兹力大小为qvBsin 30°
[B] 图乙中洛伦兹力大小为qvBsin 60°
[C] 图丙中洛伦兹力大小为0
[D] 图丁中洛伦兹力大小为qvB
CD
【解析】 题图甲中v与B垂直,故粒子所受洛伦兹力F洛=qvB,A错误;题图乙中v与B夹角为30°,粒子所受洛伦兹力F洛=qvBsin 30°,B错误;题图丙中粒子速度方向与磁场方向平行,粒子不受洛伦兹力,C正确;题图丁中v与B垂
直,粒子所受洛伦兹力F洛=qvB,D正确。
要点二　带电粒子在匀强磁场中的运动
「情境探究」
(1)带电粒子以与匀强磁场方向平行的速度进入匀强磁场,带电粒子做什么运动
【答案】 (1)带电粒子做匀速直线运动。
(2)带电粒子以与匀强磁场方向垂直的速度进入匀强磁场,带电粒子做什么运动
【答案】 (2)带电粒子做匀速圆周运动。
(3)带电粒子只在洛伦兹力作用下在匀强磁场中做匀速圆周运动时,其半径和周期公式分别是什么
「要点归纳」
1.带电粒子在磁场中运动时,对其重力的处理
(1)微观粒子如质子、电子、离子、粒子等,一般不计重力。
(2)带电物体如带电小球、液滴、金属块等,一般考虑重力。
(3)根据题目要求或经过计算,判断是否考虑重力。
2.带电粒子做匀速圆周运动的常用公式
3.分析带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的方法
先定圆心,描轨迹;再找关系,求半径;最后定角度,求时间。具体展示如下表:
项目 基本思路 图例 说明
圆心的 确定 (1)与速度方向垂直的直线过圆心。 (2)弦的垂直平分线过圆心 P、M两点的速度垂线的交点
P点速度垂线与弦的垂直平分线交点
[例2] 一个质量为m、电荷量为q的带电粒子(不计重力)从x轴上的P(a,0)点以速度v,沿与x轴正方向成60°角的方向射入第一象限内的匀强磁场中,并恰好垂直于y轴射出第一象限。求:
(1)匀强磁场的磁感应强度的大小B;
(2)射出点的坐标。
“三步法”解决带电粒子在磁场中的圆周运动问题
·规律方法·
[针对训练2] 如图所示,虚线圆所围区域内有方向垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B。一束电子沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁场,电子束经过磁场区域后,其运动方向与原入射方向成θ=60°角,设电子的质量为m,电荷量为-e,不计电子之间的相互作用力及电子所受的重力。求:
(1)电子在磁场中运动的轨道半径R;
(2)电子在磁场中运动的时间t;
(3)圆形磁场区域的半径r。
提升·核心素养
「模型·方法·结论·拓展」
带电粒子在有界磁场中运动的模型
1.带电粒子在有界磁场中运动的几种模型
种类 图示 特点
直线 边界 进出磁场具有对称性
平行 边界 存在临界条件
圆形 边界 (1)如图甲,沿径向射入必沿径向射出。
(2)图乙为磁聚焦现象
2.带电粒子在有界磁场中运动的特点
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当速率v一定时,弧长(或弦长)越长,对应圆心角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
(3)当速率v变化时,圆心角越大的,运动的时间越长。
3.解题关键:找到粒子在磁场中运动的圆心位置、半径大小以及与偏转角等相关的几何关系是解题的关键。
[示例] 真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场,磁场方向如图所示,
MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为+q的粒子(不计所受重力)沿着与MN夹角θ为30°的方向射入磁场中。
(1)若带电粒子进入磁场的位置与离开磁场的位置等高,求射入磁场的速度大小及在磁场中运动的时间。
(2)若带电粒子刚好没能从PQ边界射出磁场,求粒子射入磁场的速度大小。
「科学·技术·社会·环境」
极光的产生
太阳发射出的带电粒子以300～1 000 km/s 的速度扫过太阳系,形成了“太阳风”。这种巨大的辐射经过地球时,地球的磁场使这些带电粒子发生偏转,避免了地球上的生命受到带电粒子的辐射。当“太阳风”和地球表面的范艾伦带(围绕地球的带电粒子区)的粒子发生碰撞时会发光,这就是极光(如图)。出现在北半球的称为北极光,出现在南半球的称为南极光。
[示例] 来自太阳和其他星体的宇宙射线中含有大量高能带电粒子,若这些粒子都直接到达地面,将会给地球上的生命带来危害。但由于地磁场(如图所示)的存在改变了宇宙射线中带电粒子的运动方向,使得很多高能带电粒子不能到达地面。若不考虑地磁偏角的影响,关于上述高能带电粒子在地磁场作用下的运动情况,下列说法正确的是(　　)
[A] 地磁场对宇宙射线的作用力与观测点的纬度及宇宙射线的方向无关
[B] 地磁场对垂直射向地球表面的宇宙射线的阻挡作用在南、北两极附近最强,赤道附近最弱
[C] 地磁场对垂直射向地球表面不同位置的宇宙射线的阻挡作用不同,
在赤道附近的阻挡作用要比两极强一些
[D] 地磁场会使沿地球赤道平面射来的宇宙射线中的带电粒子向两极偏转
C
【解析】 因不同纬度的磁场方向不同,故不同纬度的观测点上的宇宙射线受到的作用力不同,故A错误。在南、北两极,地磁场沿竖直方向,垂直射向地球表面的宇宙射线在南、北两极几乎不受磁场力作用,地磁场对粒子的阻挡作用最弱;在赤道上,地磁场沿水平方向,对垂直射向地球的宇宙射线阻挡作用最强,故B错误,C正确。由左手定则可知,地磁场对沿地球赤道平面垂直射向地球的宇宙射线中的带电粒子的作用力沿东西方向,使带电粒子偏向面与赤道平面平行,故D错误。
检测·学习效果
1.如图所示,各带电粒子均以速度v射入匀强磁场,其中图C中v的方向垂直于纸面向里,图D中v的方向垂直于纸面向外,下列带电粒子所受洛伦兹力的方向竖直向上的是(　　)
A
[A] [B] [C] [D]
【解析】 根据左手定则可知,A图中正电荷受到的洛伦兹力的方向竖直向上,B图中负电荷受到的洛伦兹力的方向垂直于纸面向里,C图中正电荷受到的洛伦兹力的方向水平向右,D图中负电荷受到的洛伦兹力的方向竖直向下,故A正确,B、C、D错误。
2.如图所示,在虚线所包围的圆形区域内,有方向垂直于圆面向外的匀强磁场,从磁场边缘的A点沿半径方向射入一束速率不等的质子,不计质子所受重力,这些质子在磁场里运动的过程中(　　)
[A] 运动时间均相等
[B] 速率越大的质子运动时间越长
[C] 轨迹半径越大的质子运动时间越短
[D] 轨迹半径越大的质子向心加速度越小
C
3.如图所示,矩形虚线框MNQP 内有一匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里。a、b、c是三个质量和电荷量都相等的带电粒子,它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场,图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。下列说法正确的是(粒子重力不计)(　　)
[A] 粒子a带负电
[B] 粒子c的速度最大
[C] 粒子b在磁场中运动的时间最长
[D] 粒子b在磁场中运动时受到的向心力最大
D
4.如图所示,在y<0的区域内存在匀强磁场,磁场方向垂直于直角坐标系平面并指向纸面外,磁感应强度为B,一带正电的粒子(不计重力)以速度v0从O点射入磁场,入射方向与x轴正方向的夹角为θ,再回到x轴的交点到O的距离为L。求:
(1)该粒子的比荷;
(2)粒子在运动过程中与x轴的最远距离d和粒子在磁场中运动的时间t。
感谢观看3　洛伦兹力
[学习目标]　1.知道什么是洛伦兹力。2.会利用左手定则判断洛伦兹力的方向。3.知道洛伦兹力大小的推理过程,会利用洛伦兹力公式进行相关计算。4.理解带电粒子沿着与磁场垂直的方向进入匀强磁场后做匀速圆周运动,会推导带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式和周期公式,并会用这些公式分析问题。
探究新知
知识点一　初识洛伦兹力
1.洛伦兹力:运动电荷在磁场中受到的磁场力,称为洛伦兹力。
2.洛伦兹力的应用
(1)电视显像管:利用特殊线圈产生的磁场控制电子偏转、扫描出画面。
(2)极光的产生:当宇宙射线射向地球时,地磁场对带电粒子的洛伦兹力会使射线发生偏转,向地球两极聚集,并作用于大气层中的原子,从而发出奇异的光芒,这就是极光。
知识点二　洛伦兹力的方向
1.左手定则:如图,伸出左手,四指并拢,使大拇指和其余四指垂直,并且都跟手掌在同一平面内,让磁感线垂直穿过手心,四指指向正电荷的运动方向(即电流方向),则大拇指所指方向就是正电荷所受洛伦兹力的方向。
2.负电荷所受洛伦兹力方向的判断
若在磁场中运动的是带负电荷的粒子,应用左手定则时,四指应指向该粒子运动方向的反方向。
知识点三　洛伦兹力的大小
1.当电荷的运动方向与磁场方向垂直时,F洛=qvB。
2.当电荷运动的方向与磁场方向间的夹角为θ时,电荷受到的洛伦兹力大小为F洛=
qvBsin θ。
3.当电荷的速度方向和磁场方向平行时,F洛=0。
知识点四　带电粒子在匀强磁场中的运动
1.运动性质:带电粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中以速度v垂直磁场方向开始运动,在洛伦兹力的作用下,它将做匀速圆周运动,有F洛=qvB=。
2.半径和周期公式:半径公式R=;周期公式T==。
新知检测
1.思考判断
(1)运动电荷在某点不受洛伦兹力作用,该点的磁感应强度必为零。(　×　)
(2)电荷运动的方向、磁感应强度的方向和电荷所受洛伦兹力的方向一定两两垂直。(　×　)
(3)电子在磁场中仅受洛伦兹力作用而偏转,这是洛伦兹力对电子做功的结果。(　×　)
(4)电荷与磁场没有相对运动,电荷就一定不受磁场的作用力。(　√　)
(5)安培力是导体中所有定向移动的自由电荷受到的洛伦兹力的宏观表现,而洛伦兹力是安培力的微观本质。(　√　)
(6)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速度的大小有关。(　√　)
(7)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径成正比。(　×　)
2.思维探究
(1)洛伦兹力方向与哪些因素有关
(2)带电粒子在电场中运动受到的电场力和在磁场中运动时受到的洛伦兹力,与运动状态有无关系
(3)同一个带电粒子在不同的磁场中做匀速圆周运动的半径与哪些因素有关
【答案】 (1)电荷的电性、速度方向、磁感应强度的方向。当某一因素相反时,洛伦兹力方向必定相反;如果同时让两个因素相反,则洛伦兹力方向将不变。
(2)带电粒子在电场中运动受到的电场力是由带电粒子的电荷量和电场强度决定的,与运动状态无关;而带电粒子在磁场中运动时受到的洛伦兹力,方向总是与运动方向垂直,大小由带电粒子的电荷量、运动速度和磁感应强度大小共同决定,故洛伦兹力的方向和大小与运动状态均有关。
(3)与带电粒子的速度v和磁场的磁感应强度B有关。
要点一　对洛伦兹力的理解
情境探究
如图为电视机显像管的俯视图,可以看出,没有磁场时电子束打在荧光屏正中的O点。为使电子束偏转,由安装在管颈的偏转线圈产生偏转磁场。
(1)若要使电子束在水平方向偏离中心,打在荧光屏上的A点,偏转磁场应该沿什么方向
(2)若要使电子束打在B点,磁场应该沿什么方向
(3)若要使电子束打在荧光屏上的位置由B点逐渐向A点移动,偏转磁场应该怎样变化
【答案】 (1)要使电子束打在A点,根据左手定则判断,偏转磁场的方向应该垂直于纸面
向外。
(2)要使电子束打在B点,根据左手定则判断,偏转磁场的方向应该垂直于纸面向里。
(3)如果要使电子束打在荧光屏上的位置由B点逐渐向A点移动,偏转磁场磁感应强度方向应先垂直于纸面向里,且逐渐减小,然后垂直于纸面向外逐渐增大。
要点归纳
1.洛伦兹力的特点
(1)运动的电荷才有可能受到洛伦兹力,静止的电荷在磁场中不受洛伦兹力。
(2)洛伦兹力的大小和方向都与带电粒子的运动状态有关。
(3)洛伦兹力对运动电荷永不做功,只改变电荷运动的方向,不改变电荷速度的大小。
2.洛伦兹力与安培力
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现,洛伦兹力是安培力的微观解释。
(2)洛伦兹力对运动电荷永远不做功,而安培力对通电导线可做正功,可做负功,也可不做功。
(3)只有当导体静止时,安培力才等于导体内所有自由电荷所受洛伦兹力的总和。
3.洛伦兹力与电场力的区别
项目 洛伦兹力 电场力
产生 条件 v≠0且v不与B平行 电荷处在电场中
大小 F洛=qvBsin θ F=qE
方向 F洛⊥B,F洛⊥v,遵循左手定则 与E同向或反向,与v方向无关
做功 情况 永不做功 可做功,也可不做功
作用 效果 只改变v的方向,不改变其大小 可改变v的大小和方向
[例1] (多选)关于安培力和洛伦兹力,下列说法正确的是(　　)
[A] 洛伦兹力和安培力是性质完全不同的两种力
[B] 洛伦兹力和安培力,其本质都是磁场对运动电荷的作用力
[C] 安培力就是洛伦兹力,二者是等价的
[D] 安培力对通电导线能做功,但洛伦兹力对运动电荷不能做功
【答案】 BD
【解析】 磁场对电流的作用力称为安培力,安培力的实质是形成电流的定向移动的电荷所受洛伦兹力的合力,安培力是洛伦兹力的宏观表现,而洛伦兹力是安培力的微观体现,B正确,A、C错误;安培力能使通电导线在安培力方向发生位移,能做功,洛伦兹力始终与运动电荷速度方向垂直,故不做功,D正确。
电场力与洛伦兹力的区别
带电粒子的速度方向与磁场平行时,不受洛伦兹力;洛伦兹力的方向总与速度方向垂直,对粒子永不做功;带电粒子在电场中一定受到电场力,根据力和位移的方向关系判断做功的正负。
[针对训练1] (多选)在如图所示的各图中,匀强磁场的磁感应强度大小均为B,带电粒子的速率均为v,带电荷量均为q。关于带电粒子所受洛伦兹力的大小,下列表述正确的是(　　)
[A] 图甲中洛伦兹力大小为qvBsin 30°
[B] 图乙中洛伦兹力大小为qvBsin 60°
[C] 图丙中洛伦兹力大小为0
[D] 图丁中洛伦兹力大小为qvB
【答案】 CD
【解析】 题图甲中v与B垂直,故粒子所受洛伦兹力F洛=qvB,A错误;题图乙中v与B夹角为30°,粒子所受洛伦兹力F洛=qvBsin 30°,B错误;题图丙中粒子速度方向与磁场方向平行,粒子不受洛伦兹力,C正确;题图丁中v与B垂直,粒子所受洛伦兹力F洛=qvB,D正确。
要点二　带电粒子在匀强磁场中的运动
情境探究
(1)带电粒子以与匀强磁场方向平行的速度进入匀强磁场,带电粒子做什么运动
(2)带电粒子以与匀强磁场方向垂直的速度进入匀强磁场,带电粒子做什么运动
(3)带电粒子只在洛伦兹力作用下在匀强磁场中做匀速圆周运动时,其半径和周期公式分别是什么
【答案】 (1)带电粒子做匀速直线运动。
(2)带电粒子做匀速圆周运动。
(3)半径R=,周期T=。
要点归纳
1.带电粒子在磁场中运动时,对其重力的处理
(1)微观粒子如质子、电子、离子、粒子等,一般不计重力。
(2)带电物体如带电小球、液滴、金属块等,一般考虑重力。
(3)根据题目要求或经过计算,判断是否考虑重力。
2.带电粒子做匀速圆周运动的常用公式
3.分析带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的方法
先定圆心,描轨迹;再找关系,求半径;最后定角度,求时间。具体展示如下表:
项目 基本思路 图例 说明
圆心的 确定 (1)与速度方向垂直的直线过圆心。 (2)弦的垂直平分线过圆心 P、M两点的速度垂线的交点
P点速度垂线与弦的垂直平分线交点
续　表
项目 基本思路 图例 说明
半径的 确定 利用平面几何知识求半径 (勾股定理、三角函数等) 常用解三角形法,例:R=或由R2=L2+(R-d)2求得R=
运动 时间的 确定 利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间: (1)t=T。 (2)t= (1)速度的偏转角φ等于 所对的圆心角θ。 (2)偏转角φ与弦切角α的关系: φ<180°时,φ=2α;φ>180°时,φ=360°-2α
[例2] 一个质量为m、电荷量为q的带电粒子(不计重力)从x轴上的P(a,0)点以速度v,沿与x轴正方向成60°角的方向射入第一象限内的匀强磁场中,并恰好垂直于y轴射出第一象限。求:
(1)匀强磁场的磁感应强度的大小B;
(2)射出点的坐标。
【答案】 (1)　(2)(0,a)
【解析】 (1)根据题意可作出粒子的轨迹、圆心O′如图所示,由几何关系得粒子做圆周运动的半径为
r==,
由洛伦兹力提供向心力有
qvB=m,
解得B=。
(2)射出点的纵坐标为
y=r+rcos 60°=a,
射出点的坐标为(0,a)。
“三步法”解决带电粒子在磁场中的圆周运动问题
[针对训练2] 如图所示,虚线圆所围区域内有方向垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B。一束电子沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁场,电子束经过磁场区域后,其运动方向与原入射方向成θ=60°角,设电子的质量为m,电荷量为-e,不计电子之间的相互作用力及电子所受的重力。求:
(1)电子在磁场中运动的轨道半径R;
(2)电子在磁场中运动的时间t;
(3)圆形磁场区域的半径r。
【答案】 (1)　(2)　(3)
【解析】 (1)根据洛伦兹力提供向心力,有
evB=,
解得R=。
(2)设电子做匀速圆周运动的周期为T,则
T==,
如图所示,由几何关系得圆心角α=θ,
所以t=T=。
(3)由几何关系可知
tan =,
解得r=Rtan 30°=。
模型·方法·结论·拓展
带电粒子在有界磁场中运动的模型
1.带电粒子在有界磁场中运动的几种模型
种类 图示 特点
直线 边界 进出磁场具有对称性
平行 边界 存在临界条件
圆形 边界 (1)如图甲,沿径向射入必沿径向射出。 (2)图乙为磁聚焦现象
2.带电粒子在有界磁场中运动的特点
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当速率v一定时,弧长(或弦长)越长,对应圆心角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
(3)当速率v变化时,圆心角越大的,运动的时间越长。
3.解题关键:找到粒子在磁场中运动的圆心位置、半径大小以及与偏转角等相关的几何关系是解题的关键。
[示例] 真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场,磁场方向如图所示,MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为+q的粒子(不计所受重力)沿着与MN夹角θ为30°的方向射入磁场中。
(1)若带电粒子进入磁场的位置与离开磁场的位置等高,求射入磁场的速度大小及在磁场中运动的时间。
(2)若带电粒子刚好没能从PQ边界射出磁场,求粒子射入磁场的速度大小。
【答案】 (1)　　
(2)
【解析】 (1)若带电粒子进入磁场的位置与离开磁场的位置等高,粒子运动轨迹如图甲
所示,
根据几何关系可知
r==l,
根据洛伦兹力提供向心力有
qvB=m,
解得v=,
根据几何关系可知轨迹对应的圆心角为120°,则有
t=×=。
(2)粒子恰好不从PQ边界射出的临界轨迹如图乙所示,
根据几何关系可知
l=r1+r1cos 30°,
由洛伦兹力提供向心力有
qv1B=m,
解得v1=。
科学·技术·社会·环境
极光的产生
　　太阳发射出的带电粒子以300～1 000 km/s 的速度扫过太阳系,形成了“太阳风”。这种巨大的辐射经过地球时,地球的磁场使这些带电粒子发生偏转,避免了地球上的生命受到带电粒子的辐射。当“太阳风”和地球表面的范艾伦带(围绕地球的带电粒子区)的粒子发生碰撞时会发光,这就是极光(如图)。出现在北半球的称为北极光,出现在南半球的称为南极光。
[示例] 来自太阳和其他星体的宇宙射线中含有大量高能带电粒子,若这些粒子都直接到达地面,将会给地球上的生命带来危害。但由于地磁场(如图所示)的存在改变了宇宙射线中带电粒子的运动方向,使得很多高能带电粒子不能到达地面。若不考虑地磁偏角的影响,关于上述高能带电粒子在地磁场作用下的运动情况,下列说法正确的是(　　)
[A] 地磁场对宇宙射线的作用力与观测点的纬度及宇宙射线的方向无关
[B] 地磁场对垂直射向地球表面的宇宙射线的阻挡作用在南、北两极附近最强,赤道附近最弱
[C] 地磁场对垂直射向地球表面不同位置的宇宙射线的阻挡作用不同,在赤道附近的阻挡作用要比两极强一些
[D] 地磁场会使沿地球赤道平面射来的宇宙射线中的带电粒子向两极偏转
【答案】 C
【解析】 因不同纬度的磁场方向不同,故不同纬度的观测点上的宇宙射线受到的作用力不同,故A错误。在南、北两极,地磁场沿竖直方向,垂直射向地球表面的宇宙射线在南、北两极几乎不受磁场力作用,地磁场对粒子的阻挡作用最弱;在赤道上,地磁场沿水平方向,对垂直射向地球的宇宙射线阻挡作用最强,故B错误,C正确。由左手定则可知,地磁场对沿地球赤道平面垂直射向地球的宇宙射线中的带电粒子的作用力沿东西方向,使带电粒子偏向面与赤道平面平行,故D错误。
1.如图所示,各带电粒子均以速度v射入匀强磁场,其中图C中v的方向垂直于纸面向里,图D中v的方向垂直于纸面向外,下列带电粒子所受洛伦兹力的方向竖直向上的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 根据左手定则可知,A图中正电荷受到的洛伦兹力的方向竖直向上,B图中负电荷受到的洛伦兹力的方向垂直于纸面向里,C图中正电荷受到的洛伦兹力的方向水平向右,D图中负电荷受到的洛伦兹力的方向竖直向下,故A正确,B、C、D错误。
2.如图所示,在虚线所包围的圆形区域内,有方向垂直于圆面向外的匀强磁场,从磁场边缘的A点沿半径方向射入一束速率不等的质子,不计质子所受重力,这些质子在磁场里运动的过程中(　　)
[A] 运动时间均相等
[B] 速率越大的质子运动时间越长
[C] 轨迹半径越大的质子运动时间越短
[D] 轨迹半径越大的质子向心加速度越小
【答案】 C
【解析】设质子的轨迹半径为R,圆形磁场区域的半径为r,如图所示,由洛伦兹力提供向心力得qvB=m,可得R=,可知v越大,则R越大;质子的周期为T==,可知周期与运动速度大小无关,运动时间为t=T,其中tan=,所以v越大,则R越大,θ越小,t越小,故A、B错误,C正确。向心加速度为a=,由R=,得v=,联立可得a=,则R越大,向心加速度a越大,故D错误。
3.如图所示,矩形虚线框MNQP 内有一匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里。a、b、c是三个质量和电荷量都相等的带电粒子,它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场,图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。下列说法正确的是(粒子重力不计)(　　)
[A] 粒子a带负电
[B] 粒子c的速度最大
[C] 粒子b在磁场中运动的时间最长
[D] 粒子b在磁场中运动时受到的向心力最大
【答案】 D
【解析】 根据左手定则可知,粒子a带正电,粒子b、c带负电,选项A错误;粒子在磁场中做匀速圆周运动时,由洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律得qvB=m,解得v=,由于q、B、m都相同,因此r越大,粒子速度越大,由题图可知,b的轨道半径r最大,则粒子b速度最大,选项B错误;粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T=,粒子在磁场中的运动时间为t=T=,由于m、q、B都相同,粒子c转过的圆心角θ最大,则粒子c在磁场中运动的时间最长,选项C错误;粒子在磁场中做匀速圆周运动时,由洛伦兹力提供向心力,即F向=
qvB,由于q、B相同,粒子b速度最大,则粒子b在磁场中运动时受到的向心力最大,选项D正确。
4.如图所示,在y<0的区域内存在匀强磁场,磁场方向垂直于直角坐标系平面并指向纸面外,磁感应强度为B,一带正电的粒子(不计重力)以速度v0从O点射入磁场,入射方向与x轴正方向的夹角为θ,再回到x轴的交点到O的距离为L。求:
(1)该粒子的比荷;
(2)粒子在运动过程中与x轴的最远距离d和粒子在磁场中运动的时间t。
【答案】 (1)
(2)(1+cos θ)　
【解析】 (1)带正电的粒子射入磁场后,由于受到洛伦兹力的作用,粒子将沿如图所示的轨道运动,从A点射出磁场,O、A间的距离为L,设粒子运动的轨道半径为R,由洛伦兹力提供向心力可得
qv0B=,
由几何关系得Rsin θ=,
解得比荷=。
(2)根据几何关系可得d=R+Rcos θ,
解得d=(1+cos θ),
运动时间t=T,
周期T==,
解得t=。
课时作业
(分值:70分)
单选题每题4分,多选题每题6分。
基础巩固
1.如图,各图中匀强磁场的磁感应强度均为B,带电粒子的速率均为v,电荷量均为q。以F1、F2、F3、F4依次表示四个图中带电粒子在磁场中所受洛伦兹力的大小,则(　　)
[A] F1=F2 [B] F3=F4
[C] F2=F3 [D] F2=F4
【答案】 B
【解析】 由题图可知洛伦兹力的大小分别为F1=qvB,F2=qvBcos 30°=qvB,F3=qvB,F4=
qvB,故F1=F3=F4>F2,故选B。
2.如图所示,在示波管右边有一通电圆环,则示波管中的电子束将(　　)
[A] 向上偏转 [B] 向下偏转
[C] 向纸外偏转 [D] 匀速直线运动
【答案】 D
【解析】 由安培定则可知,通电圆环产生的磁场向右,并且中轴线处的磁感线可以看成是水平向右的,与电子束的初速度方向一致,所以电子在运动过程中不受洛伦兹力的作用,电子将以初速度大小做匀速直线运动。故D正确。
3.(多选)如图,一边界平行的有界匀强磁场垂直于纸面向外,一个带正电荷的粒子以初速度v0垂直磁场的边界射入匀强磁场中,离开磁场时速度方向偏转了30°角。已知匀强磁场的宽度为d,不计粒子所受的重力,则带电粒子在磁场中(　　)
[A] 做匀变速曲线运动
[B] 向心加速度大小为
[C] 运动的时间为
[D] 受到的磁场力的冲量为零
【答案】 BC
【解析】 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,加速度方向不断变化,不是匀变速曲线运动,A错误;如图,分别过入射点和出射点作入射方向和出射方向的垂线,两垂线交点即为圆心,根据几何关系可知粒子做圆周运动的半径r=2d,则粒子的向心加速度大小为an==
,B正确;粒子运动的时间t=×=,C正确;由于粒子的动量发生变化,因此粒子受到的磁场力的冲量不为零,D错误。
4.如图所示,正方形abcd内有一垂直于纸面向里的匀强磁场(图中未画出),两束电子分别以不同的速度沿ab方向垂直于磁场射入,形成从c点离开磁场区域和从d点离开磁场区域的甲、乙两种轨迹。设沿甲、乙轨迹运动的电子速度大小分别为v甲、v乙,在磁场中运动的时间分别为t甲、t乙,电子所受重力不计,则(　　)
[A] v甲=v乙,t甲=t乙
[B] v甲=v乙,t甲=t乙
[C] v甲=2v乙,t甲=t乙
[D] v甲=2v乙,t甲=t乙
【答案】 D
【解析】 电子在匀强磁场中做匀速圆周运动,根据半径公式r=,可知沿甲、乙轨迹运动的电子在磁场中运动的速度之比==,根据周期公式T=可知,沿甲、乙轨迹运动的电子在磁场中做圆周运动的周期相等,故沿甲、乙轨迹运动的电子在磁场中运动的时间之比==。故选D。
5.(多选)如图所示为一圆形区域的匀强磁场,在O点处有一放射源,沿半径方向射出速率为v的不同带电粒子,其中带电粒子1从A点飞出磁场,带电粒子2从B点飞出磁场,不考虑带电粒子所受的重力。下列说法正确的是(　　)
[A] 带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷之比为3∶1
[B] 带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷之比为∶1
[C] 带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间之比为2∶3
[D] 带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间之比为1∶3
【答案】 AC
【解析】 设圆形区域的匀强磁场的半径为R,根据几何关系可知,带电粒子1做圆周运动的半径为r1=Rtan 30°=,带电粒子2做圆周运动的半径为r2=Rtan 60°=R,由qvB=m,可得 =,则带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷之比为3∶1,故A正确,B错误;根据T==可知,带电粒子1的周期与带电粒子2的周期之比为1∶3,粒子1转过的角度为120°,则粒子1的运动时间t1=T1=T1,粒子2转过的角度为60°,则粒子2的运动时间t2=
T2=T2,则带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间之比为2∶3,故C正确,D错误。
6.(10分)如图,磁感应强度为B的匀强磁场,垂直穿过平面直角坐标系的第一象限。一质量为m、带电荷量为q的粒子(不计所受重力)以速度v从O点沿着与y轴夹角θ=30°方向进入磁场,运动到A点时的速度方向平行于x轴。
(1)判断粒子的电性;
(2)求带电粒子进入磁场做匀速圆周运动的半径R;
(3)求粒子从O点运动到A点的时间t和A点与x轴的距离d。
【答案】 (1)负电　(2)　(3)　
【解析】 (1)根据题意作出粒子运动的轨迹如图所示,由左手定则及曲线运动的条件判断出此电荷带负电。
(2)粒子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律得
qvB=m,
解得R=。
(3)粒子由O运动到A时速度方向改变了60°,
所以粒子做圆周运动的圆心角α=60°,
粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期
T==,
所以运动的时间t=T=,
A点与x轴的距离为d,由几何关系可得
d=R-Rcos 60°,
解得d=。
能力提升
7.我们知道,在匀强磁场中,带电粒子的速度方向与磁感应强度方向平行或垂直时,带电粒子将做匀速直线运动或匀速圆周运动;如果带电粒子的速度方向与磁感应强度方向既不平行又不垂直,带电粒子将做螺旋线运动,如图所示。粒子转过一周所需的时间称为回转周期;粒子每转一周前进的距离称为螺距。根据运动的合成与分解思想,可解决此问题。下列说法不正确的是(　　)
[A] 螺旋的直径与垂直磁感线的速度分量有关
[B] 螺距与垂直磁感线的速度分量无关
[C] 回转周期与垂直磁感线的速度分量有关
[D] 具有相同的平行磁感线速度分量的同种带电粒子,从同一点出发,经一个回转周期后,将重新会聚到一点
【答案】 C
【解析】 与磁感线平行的速度分量不受洛伦兹力的影响,螺旋的直径与垂直磁感线的速度分量有关,故A说法正确;带电粒子沿磁场方向做匀速直线运动,螺距与垂直磁感线的速度分量无关,与平行磁感线的速度分量有关,故B说法正确;根据qvB=m,周期T=,联立得T=,回转周期与垂直磁感线的速度分量无关,故C说法错误;具有相同的平行磁感线速度分量的同种带电粒子,回转周期、螺距均相同,从同一点出发,经一个回转周期后,将重新会聚到一点,故D说法正确。
8.(多选)如图所示,长方形abcd长ad=0.6 m,宽 ab=0.3 m,O、e分别是ad、bc的中点,以ad为直径的半圆内有垂直于纸面向里的匀强磁场(边界无磁场),磁感应强度B=0.25 T。一束不计重力、质量m=3×10-7 kg、电荷量q=+2×10-3 C的粒子以速度v=5×102 m/s沿垂直于ad方向且垂直于磁场射入磁场区域,则(　　)
[A] 从Od边射入的粒子,出射点全部分布在be边
[B] 从aO边射入的粒子,出射点全部分布在ab边
[C] 从Od边射入的粒子,出射点分布在Oa边和ab边
[D] 从aO边射入的粒子,出射点分布在ab边和be边
【答案】 AD
【解析】根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m,可得r=,解得带电粒子在匀强磁场中运动的半径r=0.3 m,从O点射入的粒子运动轨迹如图中的轨迹1所示;从aO边上某点射入的粒子运动轨迹如图中的轨迹2所示,出射点应分布在be边和ab边上;从Od边上某点射入的粒子运动轨迹如图中的轨迹3所示,出射点应分布在be边上。故选A、D。
9.(多选)如图所示,正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,O点是cd边的中点,若一个带正电的粒子(重力忽略不计)从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内,经过时间t0刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向(如图中虚线所示),以各种不同的速率射入正方形内,那么下列说法正确的是(　　)
[A] 该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场
[B] 若该带电粒子从ab边射出磁场,它在磁场中经历的时间可能是t0
[C] 若该带电粒子从bc边射出磁场,它在磁场中经历的时间可能是t0
[D] 若该带电粒子从bc边射出磁场,它在磁场中经历的时间可能是t0
【答案】 AD
【解析】 带电粒子以垂直于cd边的速度射入正方形内,经过时间t0刚好从c点射出磁场,则知带电粒子的运动周期为T=2t0。作出粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向射入恰好从各边射出的轨迹,如图所示。若粒子从O点以与Od成30°角的方向射入磁场,随着粒子速度逐渐增大,轨迹由①→②→③依次渐变,由图可知粒子在四个边射出时,射出范围分别为OG、FE、DC、BA之间,不可能从四个顶点射出,故A正确;由上述分析可知,粒子运动周期为2t0,由图分析可知,从ab边射出的粒子所用时间不可能为t0,从bc边射出的粒子所用时间不超过T=t0,所有从cd边射出的粒子转过的圆心角都是300°,所用时间为T=t0,故B、C错误,D正确。
10.(多选)(2025·四川卷)如图所示,Ⅰ区有垂直于纸面向里的匀强磁场,其边界为正方形;Ⅱ区有垂直于纸面向外的匀强磁场,其外边界为圆形,内边界与Ⅰ区边界重合;正方形与圆形中心同为O点。Ⅰ区和Ⅱ区的磁感应强度大小之比为4∶1。一带正电的粒子从Ⅱ区外边界上a点沿正方形某一条边的中垂线方向进入磁场,一段时间后从a点离开。取sin 37°=0.6,则带电粒子(　　)
[A] 在Ⅰ区的轨迹圆心不在O点
[B] 在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹半径之比为1∶2
[C] 在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹长度之比为127∶37
[D] 在Ⅰ区和Ⅱ区的运动时间之比为127∶148
【答案】 AD
【解析】 画出粒子运动轨迹,如图,可知粒子在Ⅰ区的轨迹圆心不在O点,A正确;由洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,可得r=,故粒子在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹半径之比为==,B错误;设粒子在磁场Ⅱ区偏转的圆心角为α,由几何关系cos α==,可得α=37°,故粒子在Ⅰ区运动的时间为t1=T=×,粒子在Ⅱ区运动的时间为t2=T=×
,联立可得粒子在Ⅰ区和Ⅱ区的运动时间之比为=,D正确;粒子在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹长度分别为l1=×2πr1=×2πr1,l2=×2πr2=×2πr2,故粒子在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹长度之比为=,C错误。
11.(14分)如图所示,仅在直角坐标系平面的第一象限内存在垂直于纸面的匀强磁场,一细束电子从x轴上的P点以大小不同的速率射入该磁场中,速度方向均与x轴正方向成锐角θ=30°。已知速率为v0的电子可从x轴上的Q点离开磁场,不计电子间的相互作用,电子所受的重力可以忽略,已知PQ=l,OP=3l,电子的电荷量为e,质量为m,求:
(1)磁感应强度的大小和方向;
(2)能从y轴垂直射出的电子的速率;
(3)从Q点离开磁场和从y轴垂直射出的两电子在磁场中运动的时间之比。
【答案】 (1),方向垂直于纸面向外
(2)6v0　(3)2∶1
【解析】 (1)电子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,电子的运动轨迹如图甲所示,
由牛顿运动定律得
ev0B=m,
又由几何知识可得,从Q点射出的电子,其轨迹半径 R===l,
联立解得B=,
电子在磁场中沿逆时针方向做圆周运动,由左手定则可知,磁感应强度的方向为垂直于纸面向外。
(2)设电子从y轴垂直射出的速率为v、半径为r,轨迹如图乙所示,
根据几何关系有rsin θ=3l,
又由牛顿运动定律得
evB=m,
解得电子的速率
v==6v0。
(3)电子在磁场中运动的周期T=,与速度无关,
电子在磁场中运动的时间t=T,
从Q点射出的电子在磁场中转过的角度为α1=300°,从y轴垂直射出的电子在磁场中转过的角度为α2=150°,联立可得从Q点离开磁场和从 y轴垂直射出的两电子在磁场中运动的时间之比 t1∶t2=α1∶α2=2∶1。

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