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4　洛伦兹力的应用
[学习目标]　1.理解利用磁场控制带电粒子运动的原理。2.知道质谱仪的构造,会应用带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的规律分析相关问题。3.知道回旋加速器的构造和加速原理,理解粒子的回旋周期与加速电场的变化周期的关系。
探究新知
知识点一　利用磁场控制带电粒子运动
1.原理:设在真空条件下,匀强磁场限定在一个圆形区域内,该圆的半径为r,磁感应强度大小为B,方向如图所示。一个质量为m、电荷为q、速度大小为v0的带正电粒子,沿磁场区域的直径方向从P点射入磁场,粒子在洛伦兹力作用下,在磁场中以半径R绕O′点做匀速圆周运动。粒子从Q点射出磁场时,速度大小仍是v0,但速度方向已发生了偏转。设粒子射出磁场时的速度方向与射入磁场时相比偏转了θ角,由图中所示的几何关系可以看出tan=,式中匀速圆周运动的半径R=,所以上式可写为tan=。
2.θ角的控制:对于一定的带电粒子(m、q一定),可以通过调节B和 v0的大小来控制粒子的偏转角度θ。
3.磁控制的特点:只改变带电粒子的运动方向,不改变带电粒子的速度大小。
知识点二　质谱仪
1.比荷:带电粒子的电荷量与质量之比,叫作比荷。
2.质谱仪
(1)质谱仪:测定带电粒子比荷的仪器叫作质谱仪,如图所示。
(2)原理。
①带电粒子通过狭缝S3垂直进入磁感应强度为B2的匀强磁场区域,在洛伦兹力的作用下带电粒子做半个圆周运动后打到照相底片上,形成一个细条纹。测出条纹到狭缝S3的距离L,就得出了粒子做圆周运动的半径R=,根据R=,只要知道带电粒子的速度v和磁感应强度B2,就可以得出粒子的比荷。
②速度选择器:粒子沿直线通过S2、S3,电场力与洛伦兹力平衡,有qE=qvB1,只有v=的粒子才能从狭缝S3射出。所以S2、S3之间的装置叫作速度选择器。
知识点三　回旋加速器
1.构造:回旋加速器的核心部分为D形盒,两D形盒之间留有窄缝,中心附近放置离子源。在两 D形盒之间接上交流电源,于是在缝隙里形成一个交变电场。D形盒装在真空容器里,整个装置置于强磁场中。如图所示。
2.原理:粒子源产生的粒子在D形盒之间的缝隙被加速,进入D形盒内做匀速圆周运动,经过半个圆周后再次回到缝隙。如果在此期间缝隙间的电场恰好反向,则粒子又被反向加速。如此,粒子一次次被加速使速度增加到很大。
3.条件:缝隙中的交变电场与粒子在D形盒中的运动周期相同,为T=。
4.最终速率:vm=BR,它受到磁感应强度B和D形盒半径R的限制。
新知检测
1.思考判断
(1)带电粒子在磁场中偏转时,速度的方向改变而速度的大小不变。(　√　)
(2)速度选择器既可以选择粒子的速度,也可以选择粒子的电性。(　×　)
(3)应用质谱仪可以测定带电粒子的比荷。(　√　)
(4)回旋加速器两狭缝间可以接直流电源。(　×　)
2.思维探究
(1)如图所示,带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,速度偏转角等于运动轨迹圆弧所对应的圆心角,为什么
(2)如图所示,若已知P1、P2之间磁场方向垂直于纸面向外,要保证带正电粒子能穿过S3,其间的电场强度应为什么方向
(3)回旋加速器上所加交变电流的周期是否需要随粒子速度的变化而变化呢
【答案】 (1)带电粒子沿圆周由A点转到C点,速度偏转角为α,圆弧所对圆心角为θ,速度方向与圆周相切,∠DAO=∠DCO=,所以θ+∠ADC=π,而α+∠ADC=π,故α=θ,即速度偏转角等于运动轨迹圆弧所对应的圆心角。
(2)要保证带正电粒子能穿过S3,带电粒子须做匀速直线运动,洛伦兹力与电场力二力平衡,由左手定则可知,粒子受到的洛伦兹力水平向左,则电场力方向应水平向右,电场强度方向应水平向右。
(3)不需要。因为粒子运动的周期只与磁感应强度和粒子的比荷有关,与速度无关。
要点一　速度选择器和质谱仪
情境探究
如图所示为速度选择器工作原理图,电场方向竖直向下,磁场方向垂直于纸面向里,当带正电的粒子具有某一速度v0时,才能沿虚线路径通过小孔。
(1)假如换成一个速度也为v0的带负电的粒子,能否在这个速度选择器中沿着虚线路径通过小孔
(2)假如把磁场方向改为垂直于纸面向外,要让速度为v0的粒子仍沿着虚线路径通过小孔,那么是否要改变电场方向 如果要改变,如何改变
【答案】 (1)能。
(2)需要改变,将电场方向变为竖直向上。
要点归纳
1.速度选择器
(1)构造:一个存在正交电场和磁场的空间都可看作速度选择器。
(2)特点:只选择速度而不选择粒子的电性,只要v0=,粒子就能沿直线匀速通过速度选择器,而与粒子的电性、电荷量、质量无关(不计重力)。
2.对质谱仪原理的理解
粒子通过加速电场、速度选择器,根据匀速运动的条件有qvB1=qE,得v=。粒子进入偏转磁场,打在照相底片上,测出粒子打在照相底片上的位置到狭缝距离L,则L=2R。在偏转磁场中有qvB2=,所以粒子的比荷=。
[例1] 用质谱仪测量带电粒子的比荷,其原理如图所示,A是粒子源,释放出的带电粒子(不计所受重力)经小孔S1飘入电压为U的加速电场(初速度可忽略不计),加速后经小孔S3进入磁感应强度大小为B的匀强磁场中,最后打在照相底片上的D点。测得D点到S3的距离为d,则该粒子的比荷等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 A
【解析】 在加速电场中,根据动能定理可得qU=mv2,磁场中洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力,则qvB= ,联立解得=,故A正确。
分析质谱仪问题,实质上就是分析带电粒子在电场(或相互垂直的电场和磁场)中的直线运动和在匀强磁场中的匀速圆周运动的组合,分析时要根据带电粒子在不同场区的运动规律列出对应的方程,然后由题目要求得出正确的结论。
[针对训练1] 如图所示是质谱仪的工作原理示意图。带电粒子被加速电场加速后,进入速度选择器。速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为B和E。平板S上有可让粒子通过的狭缝P和记录粒子位置的胶片A1A2。平板S下方有磁感应强度为B0的匀强磁场。下列说法正确的是(　　)
[A] 质谱仪是分析同位素的重要工具
[B] 速度选择器中的磁场方向垂直于纸面向内
[C] 能通过狭缝P的带电粒子的速率等于
[D] 粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P,粒子的比荷越小
【答案】 A
【解析】 同位素的电荷数一样,质量数不同,所以质谱仪是分析同位素的重要工具,故A正确;加速粒子带正电,在速度选择器中受到的电场力向右,则洛伦兹力方向向左,由左手定则可判断磁场方向垂直于纸面向外,故B错误;由平衡条件得 qE=qvB,得v=,此时粒子受力平衡,可沿直线穿过速度选择器,故C错误;在磁场中,根据牛顿第二定律有qvB0=m,得=
,半径R越小,比荷越大,故D错误。
要点二　回旋加速器
情境探究
如图所示为回旋加速器原理示意图,现将两个相同的回旋加速器置于相同的匀强磁场中,接入高频电源,分别加速氘核和氦核,请思考:
(1)它们在磁场中运动的周期相同吗
(2)两次所接高频电源的频率相同吗
(3)仅增大高频电源的电压可增大粒子的最大动能吗
【答案】 (1)粒子在磁场中,洛伦兹力提供向心力,周期T=,氘核和氦核的比荷相等,则两粒子在磁场中运动的周期相同。
(2)根据回旋加速器的工作原理可知,高频电源的频率等于粒子在磁场中运动的频率,故两次频率相同。
(3)根据qvB=m,可得最大速度v=,最大动能Ek=mv2=,粒子最大动能与高频电源的电压无关。
要点归纳
1.磁场的作用:带电粒子以某一速度垂直于磁场方向进入匀强磁场后,在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动。
2.交变电压的作用:回旋加速器的两个D形盒之间的狭缝区域存在周期性变化的且垂直于两个D形盒正对截面的匀强电场,带电粒子经过该区域时被加速。根据动能定理有qU=ΔEk。
3.带电粒子的最终能量:由r=知,带电粒子运动的最大半径等于D形盒半径R,则带电粒子的最终动能Ekm=。要提高加速粒子的最终能量,应尽可能地增大磁感应强度B和D形盒的半径R。
4.粒子被加速次数的计算:粒子在回旋加速器中被加速的次数n=(U是加速电压的大小),一个周期加速两次。
5.粒子在回旋加速器中运动的时间:在电场中运动的时间为t1,在磁场中运动的时间为t2=T=(n是粒子被加速的次数),总时间为t=t1+t2。因为t1 t2,一般认为在盒内的时间近似等于t2。
[例2] 回旋加速器在核技术、核医学等领域得到了广泛应用,其原理如图所示。D1和D2是两个中空的、半径为R的半圆金属盒,接在电压恒为U的交流电源上,位于D1圆心处的质子源A能产生质子(初速度可忽略,重力不计,不考虑相对论效应),质子在两盒狭缝间的电场中运动时被加速。D1、D2置于与盒面垂直、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。已知质子的质量为m,电荷量为q。求:
(1)质子被回旋加速器加速能达到的最大速率vm;
(2)所加交流电源的频率;
(3)质子获得最大速度的过程中在回旋加速器中被加速的次数n。
【答案】 (1)　(2)　(3)
【解析】 (1)根据洛伦兹力提供向心力有
qvmB=m,
解得vm=。
(2)粒子运动的周期为T=,
由洛伦兹力提供向心力有qvB=m,
解得T=,
所加交流电源的频率与粒子匀速圆周运动的频率相等,f==。
(3)根据题意有nqU=m,
解得n=。
[针对训练2] 如图所示,图甲为直线加速器,它由多个横截面积相同的金属圆筒共轴依次排列,圆筒长度按照一定的规律依次增加。被加速的带电粒子在金属圆板0中心处由静止释放,之后每次通过圆筒间隙都被加速,且加速时间可以忽略不计。图乙为回旋加速器,D1、D2为两个中空的半圆形金属盒,处于竖直向下的匀强磁场B中。被加速的带电粒子在A点由静止释放,之后每次通过D形盒间隙都会被加速,且加速时间也可以忽略不计。在粒子运动的过程中,两个加速器所接交流电源的电压大小及频率均保持不变。下列说法正确的是(　　)
[A] 带电粒子在直线加速器的金属圆筒中做匀速直线运动
[B] 直线加速器中,1、2、3金属圆筒长度之比为 1∶2∶3
[C] 若用回旋加速器加速不同种类的粒子,则必须改变其所接交流电源的频率
[D] 带电粒子通过回旋加速器后获得的最大速度与加速电压有关
【答案】 A
【解析】 直线加速器中的金属圆筒起到了静电屏蔽的作用,其内部电场强度为零,因此带电粒子在圆筒中做匀速直线运动,故A正确;直线加速器中,带电粒子在金属圆板0中心处由静止释放,由于每两个金属筒之间的电压交替变化,粒子每次经过金属筒间隙时都要被加速,则可知粒子经过每个金属筒的时间一定相同(为交流电的半个周期,即),设金属筒间的电压为U,粒子的电荷量为q,质量为m,根据qU=mv2,得经过第一次加速和第二次加速、第三次加速的速度之比为v1∶v2∶v3=1∶∶,根据L=v·,得L1∶L2∶L3=1∶∶,故B错误;回旋加速器所接交流电源的频率为f==,可知若不同种类的粒子的比荷相同,则不需要改变其所接交流电源的频率,故C错误;在回旋加速器的磁场中,当粒子的运动半径等于D形盒的半径R时,粒子获得的速度最大,由洛伦兹力提供向心力,有qvmB=m,可得vm=,故带电粒子通过回旋加速器后获得的最大速度与加速电压无关,故D错误。
模型·方法·结论·拓展
带电粒子在复合场中的运动
1.叠加场与组合场
(1)叠加场:电场、磁场、重力场共存,或其中某两场共存。
(2)组合场:电场与磁场各位于一定的区域内,并不重叠,或在同一区域,电场、磁场分时间段或分区域交替出现。
2.带电粒子在叠加场中常见的运动
静止或匀速直线运动 当带电粒子在叠加场中所受合力为零时,将处于静止状态或匀速直线运动状态
匀速圆周运动 带电粒子受到除洛伦兹力以外的力的合力为零时,在洛伦兹力作用下,在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动
较复杂的曲线运动 当带电粒子所受合力的大小和方向均变化,且与初速度方向不在同一条直线上,粒子做非匀变速曲线运动,这时粒子运动轨迹既不是圆弧,也不是抛物线
[示例1] 如图所示,在竖直平面内建立直角坐标系,其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场,电场强度的方向水平向右,磁感应强度的方向垂直于纸面向里。一电荷量为+q、质量为m的微粒从原点O出发,以某一初速度沿与x轴正方向的夹角为45°的方向进入复合场中,正好做直线运动,当微粒运动到A(l,l)时,电场方向突然变为竖直向上,微粒继续运动一段时间后,正好垂直于y轴穿出复合场。不计一切阻力,重力加速度大小为g。求:(不计电场变化的时间)
(1)电场强度E的大小;
(2)磁感应强度B的大小;
(3)微粒在复合场中的运动时间。
【答案】 (1)　(2)
(3)(+1)
【解析】 (1)微粒到达A(l,l)之前做匀速直线运动,对微粒受力分析如图甲所示,可知qE=mg,解得E=。
(2)由平衡条件得qvB=mg,
电场方向变化后,微粒所受重力与电场力平衡,微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,轨迹如图乙所示。
根据洛伦兹力提供向心力得qvB=m,
由几何知识可得r=l,
联立解得v=,B=。
(3)微粒做匀速直线运动的时间
t1==,
微粒做匀速圆周运动的时间
t2==,
微粒在复合场中的运动时间
t=t1+t2=。
[示例2] 如图,在平面直角坐标系中,有一质量m=1.0×10-12 kg、电荷量q=2.0×10-10 C的带正电的粒子(不计重力),垂直于x轴从A点以v=200 m/s 的初速度进入x轴上方的匀强磁场中。磁场方向垂直于纸面向外,磁感应强度B=1 T。粒子经磁场偏转后又从P点垂直于x轴进入第四象限,第四象限中有平行于x轴负方向的匀强电场E,粒子随后经过y轴负半轴上的C点,此时速度方向与y轴负半轴成60°。已知OP=OA,求:
(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r和周期T;
(2)第四象限中电场强度E的大小。
【答案】 (1)1 m　3.14×10-2 s　(2)300 V/m
【解析】 (1)粒子运动轨迹如图所示。
粒子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律得
qvB=m,
代入数据解得r=1 m,
粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期
T== s=3.14×10-2 s。
(2)设粒子运动到C点时,沿x轴负方向的分速度大小为v1,则有=tan 60°,
由牛顿第二定律得qE=ma,
由匀变速直线运动的速度位移公式得
=2axOP,
因粒子是垂直于磁场边界进入的,所以从该边界射出时,仍垂直于边界,所以有xOP=r,
代入数据得E=300 V/m。
科学·技术·社会·环境
CT扫描
　　CT扫描将传统的成像技术提高到了一个新的水平。与仅仅显示骨骼和器官的轮廓不同,CT扫描可以构建完整的人体内部三维计算机模型。医生们甚至可以一小片一小片地检查患者的身体,以便精确定位特定的区域。
[示例] CT是计算机层析成像仪的英文缩写,CT可用于对多种病情的探测。图甲是某种CT机主要部分的剖面图,其中X射线产生部分的示意图如图乙所示。图乙中M、N之间有一电子束的加速电场,虚线框内有匀强偏转磁场;经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进,打到靶上,产生X射线(如图中带箭头的虚线所示);将电子束打到靶上的点记为P点。则(　　)
[A] M处的电势高于N处的电势
[B] 增大M、N之间的加速电压可使P点左移
[C] 偏转磁场的方向垂直于纸面向外
[D] 增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P点左移
【答案】 D
【解析】 由于电子带负电,要在M、N间加速,则M、N间电场方向由N指向M,根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知M的电势低于N的电势,故A错误。增大加速电压,根据eU=mv2可知会增大到达偏转磁场的速度;在偏转磁场中,洛伦兹力提供向心力,有evB=
m,可得R=,可知会增大在偏转磁场中的偏转半径,因磁场宽度不变,根据几何关系可知会减小偏转的角度,P点会右移,故B错误。电子在偏转磁场中做圆周运动,向下偏转,根据左手定则可知磁场方向垂直于纸面向里,故C错误。由以上分析可知,当其他条件不变时,增大偏转磁场的磁感应强度会减小半径,从而增大偏转角度,使P点左移,故D正确。
1.(多选)关于回旋加速器,下列说法正确的是(　　)
[A] 电场用来加速带电粒子,磁场则使带电粒子回旋
[B] 电场和磁场同时用来加速带电粒子
[C] 在磁场一定的条件下,回旋加速器的半径越大,则带电粒子获得的动能越大
[D] 同一带电粒子获得的最大动能只与交流电压的大小有关,而与交流电压的频率无关
【答案】 AC
【解析】 电场的作用是使粒子加速,磁场的作用是使粒子回旋,故A正确,B错误;根据qvB=,得粒子获得的动能Ek=,对同一粒子,回旋加速器的半径越大,粒子获得的动能越大,故C正确;粒子获得的最大动能与交流电压的大小无关,故D错误。
2.(多选)研究某种射线装置的示意图如图所示。射线源发出的射线以一定的初速度沿直线射到荧光屏上的中央O点,出现一个亮点。在板间加上垂直于纸面向里的磁感应强度大小为B的匀强磁场后,射线在板间做半径为r的圆周运动,然后打在荧光屏的P点。若在板间再加上一个竖直向下的电场强度大小为E的匀强电场,亮点又恰好回到O点,由此可知该射线粒子(　　)
[A] 带正电
[B] 初速度为v=
[C] 比荷为=
[D] 比荷为=
【答案】 AD
【解析】 由题意可知,粒子受到向上的洛伦兹力,根据左手定则可知,粒子带正电,故A正确;加上电场后粒子做匀速直线运动,有qvB=qE,解得v=,故B错误;粒子在磁场中做匀速圆周运动时有 qvB=m,联立解得=,故C错误,D正确。
3.如图所示,竖直平面内存在水平向右的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场,一质量为m、电荷量为q的油滴以速度v与磁场方向垂直射入复合场中,恰能沿与竖直方向成θ角的直线由N运动到M,重力加速度为g,则(　　)
[A] E=,B=
[B] E=,B=
[C] E=,B=
[D] E=,B=
【答案】 C
【解析】对油滴受力分析,如图所示,若速度v大小变化,则洛伦兹力变化,油滴将不会做直线运动,根据合成法可得=tan θ,=sin θ,所以E=,B=,故C正确。
4.某型号的回旋加速器的工作原理如图甲所示,图乙为俯视图。回旋加速器的核心部分为D形盒,D形盒装在真空容器中,整个装置放在电磁铁两极之间的磁场中,磁场可以认为是匀强磁场,且与D形盒盒面垂直。两盒间狭缝很小,带电粒子穿过的时间可以忽略不计。质子从粒子源A处进入加速电场的初速度不计,从静止开始加速到出口处所需的时间为t,已知磁场的磁感应强度为B,质子质量为m、电荷量为+q,加速器接一定频率的高频交流电源,其电压为U,不考虑相对论效应和重力作用,求:
(1)质子第1次经过狭缝被加速后进入D形盒运动轨道的半径r1;
(2)质子第1次和第3次经过狭缝进入D形盒位置间的距离;
(3)D形盒的半径R。
【答案】 (1)　(2)　 (3)
【解析】 (1)质子第1次经过狭缝被加速过程,根据动能定理有qU=m,
质子在磁场中做匀速圆周运动,则有
qv1B=m,
解得r1=。
(2)质子第2次经过狭缝被加速过程,根据动能定理有2qU=m,
质子在磁场中做匀速圆周运动,
则有qv2B=m,
解得r2=,
则质子第1次和第3次经过狭缝进入D形盒位置间的距离Δr=2r2-2r1,
解得Δr=。
(3)质子飞出D形盒时的轨道半径为R,则有
qvmaxB=m,T=,
设在电场中加速了n次,则有
Ekmax=m=nqU,
从静止开始加速到出口处所需的时间为t,
则有t=n·,
解得R=。
课时作业
(分值:50分)
单选题每题4分,多选题每题6分。
基础巩固
1.(多选)国产动画的制作技术不断提升,尤其是以科幻为主题的电影备受观众欢迎。如图甲所示为某角色被科学怪人篡改记忆时的画面,如图乙所示为篡改记忆所用的装置模式图,一粒子源不断发射“篡改记忆粒子”(比荷为5×10-4 C/kg),发射的粒子从S1出发经过电场(U=2.5×106 V)加速获得一定初速度进入速度选择器,进入匀强磁场(B=1×107 T)偏转180°后进入此角色大脑进行篡改。不计“篡改记忆粒子”所受的重力。下列说法正确的是(　　)
[A] 各个“篡改记忆粒子”进入匀强磁场的偏转时间相同
[B] 速度选择器允许通过的粒子速度为25 m/s
[C] 各粒子在磁场中偏转有多个轨迹
[D] 各粒子在磁场中的偏转轨迹唯一,且偏转半径为r=0.01 m
【答案】 AD
【解析】 “篡改记忆粒子”进入匀强磁场做匀速圆周运动的周期T=,由于“篡改记忆粒子”的比荷相同,做匀速圆周运动的周期相同,各个“篡改记忆粒子”进入匀强磁场的偏转时间相同,故A正确;由qU=mv2,解得v==50 m/s,所以速度选择器允许通过的粒子速度为50 m/s,故B错误;由r==,可知各粒子在磁场中的偏转轨迹唯一,由qvB=m,解得偏转半径为r==0.01 m,C错误,D正确。
2.如图,为某种回旋加速器的示意图,其中两盒狭缝(实线A、C)间有加速电场,电场强度大小恒定,且被限制在A、C板间,虚线之间无电场。带电粒子从P处以速度v0沿电场线方向射入加速电场,经加速后再进入D形盒中的匀强磁场做匀速圆周运动,P1、P2、P3依次为粒子运动半周到达虚线的位置,下列说法正确的是(　　)
[A] 带电粒子每运动一周被加速一次
[B] 加速电场方向需要做周期性的变化
[C] 带电粒子被加速后的最大速度与D形盒半径无关
[D] 图中P1P2等于P2P3
【答案】 A
【解析】 根据题意可知,只有在A、C板间才有电场,所以带电粒子每运动一周被加速一次,故A正确;带电粒子每次都是由A向C运动时加速,故加速电场方向不需要做周期性的变化,故B错误;依题意,当粒子从D形盒中出来时,速度最大,根据qvmB=m,解得vm=,易知带电粒子被加速后的最大速度与D形盒半径有关,D形盒半径越大,出射速度越大,故C错误;依题意,根据几何关系可得P1P2=2(r2-r1)=,因为每转一圈被加速一次,根据-=2ad,易知每转一圈,速度的变化量不相等,且v3-v23.如图为半导体离子注入工艺原理示意图。离子P3+经电压为U的电场加速后,垂直进入宽度为d的匀强磁场区域,转过一定角度后从磁场射出,注入半导体内部达到掺杂的目的。已知磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向里,离子P3+的质量为m,元电荷为e,不计离子重力。离子P3+在磁场中转过的角度为(　　)
[A] 30° [B] 60° [C] 37° [D] 53°
【答案】 A
【解析】 设离子P3+经电压为U的电场加速后的速度为v,由动能定理得3eU=mv2,离子进入磁场做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力有 3evB=m,由几何关系得,离子P3+在磁场中转过角度的正弦值为sin θ=,联立解得sin θ=,则离子P3+在磁场中转过的角度θ=30°。
4.(12分)某空间存在一竖直向下的匀强电场和圆形区域的匀强磁场,磁感应强度为B,方向垂直于纸面向里(图中未画出),如图所示。一质量为m、电荷量为+q的粒子,从P点以水平速度v0射入电场中,然后从M点射入磁场,从N点射出磁场。已知,带电粒子从M点射入磁场时,速度与竖直方向成30°角,P、M两点的高度差为h,弧MN是圆弧区域周长的,粒子从N点水平射出,粒子所受重力不计。求:
(1)电场强度E的大小;
(2)圆形区域的半径R;
(3)带电粒子从P点到N点,所经历的时间t。
【答案】 (1)　(2)　(3)+
【解析】 (1)粒子运动轨迹如图所示。
根据动能定理得qEh=mv2-m,
又v=,
联立解得E=。
(2)根据牛顿第二定律有qvB=m,
由几何知识得R=rtan 30°,
联立解得R=。
(3)设在电场中所经历的时间为t1,
则h=t1,vy=v0tan 60°,
解得t1=;
设在磁场中所经历的时间为t2,则
t2=T,T=,
解得t2=;
总时间t=t1+t2,
解得t=+。
能力提升
5.如图,一质谱仪由加速电场、静电分析器、磁分析器构成。静电分析器通道的四分之一圆弧中心线半径为R,通道内有均匀辐向电场,方向指向圆心O,中心线处各点的电场强度大小相等。磁分析器中分布着方向垂直于纸面的有界匀强磁场,边界为矩形CNQD,NQ=
2d,PN=3d。质量为m、电荷量为q的粒子(不计所受重力),由静止开始从A板经电压为U的电场加速后,沿中心线通过静电分析器,再由P点垂直磁场边界进入磁分析器,最终打在胶片ON上,则(　　)
[A] 磁分析器中磁场方向垂直于纸面向外
[B] 静电分析器中心线处的电场强度E=
[C] 仅改变粒子的比荷,粒子仍能打在胶片上的同一点
[D] 要使粒子能打在胶片ON上,磁场磁感应强度B的最小值为
【答案】 D
【解析】 由静电分析器中电场力充当向心力可知,粒子带正电,根据左手定则可知,磁分析器中磁场方向垂直于纸面向里,A错误;在加速电场中,根据动能定理,有qU=mv2,在静电分析器中电场力充当向心力,有qE=,联立可得E=,B错误;在磁分析器中,洛伦兹力提供向心力,有qvB=,可得粒子进入磁分析器到打在胶片上的距离为2r=,与比荷有关,所以仅改变粒子的比荷,粒子不能打在胶片上的同一点,C错误;由上述公式可知,磁场磁感应强度B越小,半径越大,要使粒子能打在胶片ON上,当B取最小值时,粒子到达N点,则半径R=,此时有3d=,解得Bmin=,D正确。
6.回旋加速器是高能物理中的重要仪器。如图甲所示,两个D形金属盒置于磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向垂直于D形盒。两个D形金属盒分别与高频电源相连(电压随时间变化如图乙所示),D形盒半径为R,两D形盒间距离为d(d R)。若用回旋加速器加速氘核 H(设氘核质量为m、电荷量为q),则下列判断正确的是(　　)
[A] 加速电压U0越大,氘核获得的最大动能越大
[B] 氘核加速的最大动能为
[C] 氘核在电场中运动的总时间为
[D] 该回旋加速器不可以用来加速氦核He)
【答案】 C
【解析】 最后氘核离开磁场时的轨道半径等于D形盒的半径R,根据qvmB=可知,最后氘核的速度vm=,氘核的最大动能Ekm=m=,与加速电压大小无关,故A、B错误;设粒子在电场中加速的总时间为t,有vm=at=t,求得氘核在电场中运动的总时间为t=,故C正确;只要所加高频电源的周期等于粒子在磁场中运动的周期,就可以使粒子每次经过狭缝时都会加速,由于氦核的比荷与氘核的比荷相等,运动周期相等,因此该装置同样也可以加速氦核,故D错误。
7.如图所示,一根不光滑的长竖直绝缘杆,套有一个质量为m、带正电q的小环,匀强电场E与匀强磁场B互相垂直,E和B都与杆垂直,当小环由静止开始下落后(　　)
[A] 小环加速度不断减小,最后不为零
[B] 小环加速度先增大后减小,最后为零
[C] 小环速度先增大后减小,最后为零
[D] 小环动能不断增大,直到达到某一最大值
【答案】 D
【解析】 小环下滑过程中,受到重力、摩擦力(可能有)、弹力(可能有)、向右的洛伦兹力、向右的静电力。开始阶段,摩擦力小于重力,小环向下做加速运动,速度增大,洛伦兹力增大,小环所受杆的弹力向左,大小为N=qE+qvB,N随着v的增大而增大,滑动摩擦力f=μN,也增大,小环所受合力F合=mg-f,F合减小,加速度a减小;当摩擦力等于重力时,加速度最小为零;此时小环速度达到最大,以后小环将做匀速运动,因此下落过程中,小环的动能不断增大,直到达到某一最大值。D正确。
8.(12分)如图所示,在直角坐标系平面的第一象限内有一沿y轴负方向的匀强电场,在第四象限内有一垂直于平面向里的匀强磁场。现有一质量为m、电荷量为+q 的粒子(重力不计)从坐标原点O以速度大小v0射入磁场,其入射方向与x轴的正方向成 30°角。当粒子第一次进入电场后,运动到电场中P点处时,方向与x轴正方向相同,P点坐标为 [(2+1)L,L],取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:
(1)粒子运动到P点时速度v的大小;
(2)匀强电场的电场强度E和匀强磁场的磁感应强度B的大小。
【答案】 (1)v0　(2)　
【解析】 (1)粒子运动轨迹如图所示。
OQ段为圆弧,QP段为抛物线,粒子在Q点时的速度大小为v0,根据对称性可知,方向与x轴正方向成30°角,由几何关系得v=v0cos 30°,
解得v=v0。
(2)在粒子从Q点运动到P点的过程中,由动能定理得-qEL=mv2-m,
解得E=,
水平方向的位移为xQP=v0t,
竖直方向的位移为y=v0sin 30°·t=L,
解得xQP=2L,
则xOQ=xOP-xQP=L,
由xOQ=2Rsin 30°,
得粒子在OQ段做圆周运动的半径为R=L,
由牛顿第二定律得qv0B=m,
联立解得B=。(共58张PPT)
4　洛伦兹力的应用
[学习目标]　
1.理解利用磁场控制带电粒子运动的原理。2.知道质谱仪的构造,会应用带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的规律分析相关问题。3.知道回旋加速器的构造和加速原理,理解粒子的回旋周期与加速电场的变化周期的关系。
探究·必备知识
「探究新知」
知识点一　利用磁场控制带电粒子运动
匀速圆周
2.θ角的控制:对于一定的带电粒子(m、q一定),可以通过调节 和 的大小来控制粒子的偏转角度θ。
3.磁控制的特点:只改变带电粒子的运动 ,不改变带电粒子的速度 。
B
v0
方向
大小
1.比荷:带电粒子的 与 之比,叫作比荷。
2.质谱仪
(1)质谱仪:测定带电粒子 的仪器叫作质谱仪,如图所示。
电荷量
知识点二　质谱仪
质量
比荷
(2)原理。
①带电粒子通过狭缝S3垂直进入磁感应强度为B2的匀强磁场区域,在洛伦兹力的作用下带电粒子做半个圆周运动后打到照相底片上,形成一个细条纹。
测出条纹到狭缝S3的距离L,就得出了粒子做圆周运动的半径R= ,根据R=
,只要知道带电粒子的速度v和磁感应强度B2,就可以得出粒子的比荷。
②速度选择器:粒子沿直线通过S2、S3,电场力与洛伦兹力平衡,有 =qvB1,
只有v= 的粒子才能从狭缝S3射出。所以S2、S3之间的装置叫作速度选
择器。
qE
知识点三　回旋加速器
D形盒
1.构造:回旋加速器的核心部分为 ,两D形盒之间留有窄缝,中心附近放置 源。在两 D形盒之间接上 电源,于是在缝隙里形成一个 电场。D形盒装在真空容器里,整个装置置于强磁场中。如图所示。
离子
交流
交变
2.原理:粒子源产生的粒子在D形盒之间的缝隙被 ,进入D形盒内做
运动,经过 圆周后再次回到缝隙。如果在此期间缝隙间的电场恰好 ,则粒子又被反向加速。如此,粒子一次次被加速使速度增加到很大。
3.条件:缝隙中的交变电场与粒子在D形盒中的运动周期 ,为T= 。
加速
匀速圆周
半个
反向
相同
4.最终速率:vm= ,它受到磁感应强度B和D形盒半径R的限制。
「新知检测」
1.思考判断
(1)带电粒子在磁场中偏转时,速度的方向改变而速度的大小不变。(　 　)
(2)速度选择器既可以选择粒子的速度,也可以选择粒子的电性。(　 　)
(3)应用质谱仪可以测定带电粒子的比荷。(　 　)
(4)回旋加速器两狭缝间可以接直流电源。(　 　)
×
√
×
√
2.思维探究
(1)如图所示,带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,速度偏转角等于运动轨迹圆弧所对应的圆心角,为什么
(2)如图所示,若已知P1、P2之间磁场方向垂直于纸面向外,要保证带正电粒子能穿过S3,其间的电场强度应为什么方向
【答案】 (2)要保证带正电粒子能穿过S3,带电粒子须做匀速直线运动,洛伦兹力与电场力二力平衡,由左手定则可知,粒子受到的洛伦兹力水平向左,则电场力方向应水平向右,电场强度方向应水平向右。
(3)回旋加速器上所加交变电流的周期是否需要随粒子速度的变化而变
化呢
【答案】 (3)不需要。因为粒子运动的周期只与磁感应强度和粒子的比荷有关,与速度无关。
突破·关键能力
要点一　速度选择器和质谱仪
「情境探究」
如图所示为速度选择器工作原理图,电场方向竖直向下,磁场方向垂直于纸面向里,当带正电的粒子具有某一速度v0时,才能沿虚线路径通过小孔。
(1)假如换成一个速度也为v0的带负电的粒子,能否在这个速度选择器中沿着虚线路径通过小孔
(2)假如把磁场方向改为垂直于纸面向外,要让速度为v0的粒子仍沿着虚线路径通过小孔,那么是否要改变电场方向 如果要改变,如何改变
【答案】 (1)能。
【答案】 (2)需要改变,将电场方向变为竖直向上。
「要点归纳」
1.速度选择器
(1)构造:一个存在正交电场和磁场的空间都可看作速度选择器。
2.对质谱仪原理的理解
[例1] 用质谱仪测量带电粒子的比荷,其原理如图所示,A是粒子源,释放出的带电粒子(不计所受重力)经小孔S1飘入电压为U的加速电场(初速度可忽略不计),加速后经小孔S3进入磁感应强度大小为B的匀强磁场中,最后打在照相底片上的D点。测得D点到S3的距离为d,则该粒子的比荷等于(　　)
A
分析质谱仪问题,实质上就是分析带电粒子在电场(或相互垂直的电场和磁场)中的直线运动和在匀强磁场中的匀速圆周运动的组合,分析时要根据带电粒子在不同场区的运动规律列出对应的方程,然后由题目要求得出正确的结论。
·规律方法·
[针对训练1] 如图所示是质谱仪的工作原理示意图。带电粒子被加速电场加速后,进入速度选择器。速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为B和E。平板S上有可让粒子通过的狭缝P和记录粒子位置的胶片A1A2。平板S下方有磁感应强度为B0的匀强磁场。下列说法正确的是(　　)
A
要点二　回旋加速器
「情境探究」
如图所示为回旋加速器原理示意图,现将两个相同的回旋加速器置于相同的匀强磁场中,接入高频电源,分别加速氘核和氦核,请思考:
(1)它们在磁场中运动的周期相同吗
(2)两次所接高频电源的频率相同吗
(3)仅增大高频电源的电压可增大粒子的最大动能吗
【答案】 (2)根据回旋加速器的工作原理可知,高频电源的频率等于粒子在磁场中运动的频率,故两次频率相同。
「要点归纳」
1.磁场的作用:带电粒子以某一速度垂直于磁场方向进入匀强磁场后,在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动。
2.交变电压的作用:回旋加速器的两个D形盒之间的狭缝区域存在周期性变化的且垂直于两个D形盒正对截面的匀强电场,带电粒子经过该区域时被加速。根据动能定理有qU=ΔEk。
[例2] 回旋加速器在核技术、核医学等领域得到了广泛应用,其原理如图所示。D1和D2是两个中空的、半径为R的半圆金属盒,接在电压恒为U的交流电源上,位于D1圆心处的质子源A能产生质子(初速度可忽略,重力不计,不考虑相对论效应),质子在两盒狭缝间的电场中运动时被加速。D1、D2置于与盒面垂直、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。已知质子的质量为m,电荷量为q。求:
(1)质子被回旋加速器加速能达到的最大速率vm;
(2)所加交流电源的频率;
(3)质子获得最大速度的过程中在回旋加速器中被加速的次数n。
[针对训练2] 如图所示,图甲为直线加速器,它由多个横截面积相同的金属圆筒共轴依次排列,圆筒长度按照一定的规律依次增加。被加速的带电粒子在金属圆板0中心处由静止释放,之后每次通过圆筒间隙都被加速,且加速时间可以忽略不计。图乙为回旋加速器,D1、D2为两个中空的半圆形金属盒,处于竖直向下的匀强磁场B中。被加速的带电粒子在A点由静止释放,之后每次通过D形盒间隙都会被加速,且加速时间也可以忽略不计。在粒子运动的过程中,两个加速器所接交流电源的电压大小及频率均保持不变。下列说法正确的是(　　)
[A] 带电粒子在直线加速器的金属圆筒中做匀速直线运动
[B] 直线加速器中,1、2、3金属圆筒长度之比为 1∶2∶3
[C] 若用回旋加速器加速不同种类的粒子,则必须改变其所接交流
电源的频率
[D] 带电粒子通过回旋加速器后获得的最大速度与加速电压有关
A
提升·核心素养
「模型·方法·结论·拓展」
带电粒子在复合场中的运动
1.叠加场与组合场
(1)叠加场:电场、磁场、重力场共存,或其中某两场共存。
(2)组合场:电场与磁场各位于一定的区域内,并不重叠,或在同一区域,电场、磁场分时间段或分区域交替出现。
2.带电粒子在叠加场中常见的运动
静止或匀速直线运动 当带电粒子在叠加场中所受合力为零时,将处于静止状态或匀速直线运动状态
匀速圆周 运动 带电粒子受到除洛伦兹力以外的力的合力为零时,在洛伦兹力作用下,在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动
较复杂的曲线运动 当带电粒子所受合力的大小和方向均变化,且与初速度方向不在同一条直线上,粒子做非匀变速曲线运动,这时粒子运动轨迹既不是圆弧,也不是抛物线
[示例1] 如图所示,在竖直平面内建立直角坐标系,其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场,电场强度的方向水平向右,磁感应强度的方向垂直于纸面向里。一电荷量为+q、质量为m的微粒从原点O出发,以某一初速度沿与x轴正方向的夹角为45°的方向进入复合场中,正好做直线运动,当微粒运动到A(l,l)时,电场方向突然变为竖直向上,微粒继续运动一段时间后,正好垂直于y轴穿出复合场。不计一切阻力,重力加速度大小为g。求:(不计电场变化的
时间)
(1)电场强度E的大小;
(2)磁感应强度B的大小;
(3)微粒在复合场中的运动时间。
[示例2] 如图,在平面直角坐标系中,有一质量m=1.0×10-12 kg、电荷量q=2.0×
10-10 C的带正电的粒子(不计重力),垂直于x轴从A点以v=200 m/s 的初速度进入x轴上方的匀强磁场中。磁场方向垂直于纸面向外,磁感应强度B=1 T。粒子经磁场偏转后又从P点垂直于x轴进入第四象限,第四象限中有平行于x轴负方向的匀强电场E,粒子随后经过y轴负半轴上的C点,此时速度方向与y轴负半轴成60°。已知OP=OA,求:
(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r和周期T;
【答案】 (1)1 m　3.14×10-2 s
(2)第四象限中电场强度E的大小。
【答案】 (2)300 V/m
「科学·技术·社会·环境」
CT扫描
CT扫描将传统的成像技术提高到了一个新的水平。与仅仅显示骨骼和器官的轮廓不同,CT扫描可以构建完整的人体内部三维计算机模型。医生们甚至可以一小片一小片地检查患者的身体,以便精确定位特定的区域。
[示例] CT是计算机层析成像仪的英文缩写,CT可用于对多种病情的探测。图甲是某种CT机主要部分的剖面图,其中X射线产生部分的示意图如图乙所示。图乙中M、N之间有一电子束的加速电场,虚线框内有匀强偏转磁场;经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进,打到靶上,产生X射线(如图中带箭头的虚线所示);将电子束打到靶上的点记为P点。则(　　)
[A] M处的电势高于N处的电势
[B] 增大M、N之间的加速电压可使P点左移
[C] 偏转磁场的方向垂直于纸面向外
[D] 增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P点左移
D
检测·学习效果
1.(多选)关于回旋加速器,下列说法正确的是(　　 )
[A] 电场用来加速带电粒子,磁场则使带电粒子回旋
[B] 电场和磁场同时用来加速带电粒子
[C] 在磁场一定的条件下,回旋加速器的半径越大,则带电粒子获得的动能越大
[D] 同一带电粒子获得的最大动能只与交流电压的大小有关,而与交流电压的频率无关
AC
2.(多选)研究某种射线装置的示意图如图所示。射线源发出的射线以一定的初速度沿直线射到荧光屏上的中央O点,出现一个亮点。在板间加上垂直于纸面向里的磁感应强度大小为B的匀强磁场后,射线在板间做半径为r的圆周运动,然后打在荧光屏的P点。若在板间再加上一个竖直向下的电场强度大小为E的匀强电场,亮点又恰好回到O点,由此可知该射线粒子(　 　)
AD
3.如图所示,竖直平面内存在水平向右的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场,一质量为m、电荷量为q的油滴以速度v与磁场方向垂直射入复合场中,恰能沿与竖直方向成θ角的直线由N运动到M,重力加速度为g,则(　　)
C
4.某型号的回旋加速器的工作原理如图甲所示,图乙为俯视图。回旋加速器的核心部分为D形盒,D形盒装在真空容器中,整个装置放在电磁铁两极之间的磁场中,磁场可以认为是匀强磁场,且与D形盒盒面垂直。两盒间狭缝很小,带电粒子穿过的时间可以忽略不计。质子从粒子源A处进入加速电场的初速度不计,从静止开始加速到出口处所需的时间为t,已知磁场的磁感应强度为B,质子质量为m、电荷量为+q,加速器接一定频率的高频交流电源,其电压为U,不考虑相对论效应和重力作用,求:
(1)质子第1次经过狭缝被加速后进入D形盒运动轨道的半径r1;
(2)质子第1次和第3次经过狭缝进入D形盒位置间的距离;
(3)D形盒的半径R。
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