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章末总结
专题一　“电偏转”和“磁偏转”
　“磁偏转”和“电偏转”是分别利用磁场和电场对(运动)电荷施加的洛伦兹力和电场力的作用,从而控制其运动方向和轨迹。由于磁场和电场对电荷的作用具有不同的特征,这使得两种偏转存在着区别,现比较如下表:
项目 电偏转 磁偏转
受力 特征 F电=qE,为恒力 F洛=qvB,为变力
运动 性质 匀变速曲线运动 匀速圆周运动
运动 轨迹
运动 规律 类平抛运动 速度:vx=v0 vy=t 偏转角θ,tan θ= 偏移距离 y=·t2 匀速圆周运动 轨道半径r= 周期T= 偏转角θ=ωt=t 偏移距离y=ltan =r-
射出 速率 v=>v0 v=v0
运动 时间 t= t=T
[例1] (2025·湖南卷)如图,直流电源的电动势为E0,内阻为r0,滑动变阻器R的最大阻值为2r0,平行板电容器两极板水平放置,板间距离为d,板长为 d,平行板电容器的右侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。闭合开关S,当滑片处于滑动变阻器中点时,质量为m的带正电粒子以初速度v0水平向右从电容器左侧中点a进入电容器,恰好从电容器下极板右侧边缘b点进入磁场,随后又从电容器上极板右侧边缘c点进入电容器,忽略粒子重力和空气
阻力。
(1)求粒子所带电荷量q;
(2)求磁感应强度B的大小;
(3)若粒子离开b点时,在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场,场强大小为,求粒子相对于电容器右侧的最远水平距离xm。
【答案】 (1)　(2)　(3)
【解析】 (1)粒子在电容器中做类平抛运动,水平方向做匀速直线运动,有 d=v0t,
竖直方向做匀变速直线运动,有
=t,vy=at=t,
由闭合电路欧姆定律可得U=E0,
联立可得vy=v0,q=。
(2)粒子进入磁场时与竖直方向的夹角为
tan θ==60°,v==v0,
粒子在磁场中做匀速圆周运动,有
qvB=m,
由几何关系可得R==,
联立可得B=。
(3)取一个竖直向上的速度使得其对应的洛伦兹力和水平向右的静电力平衡,则有qvy1B=qE,
解得vy1=v0,
粒子以vy1速度向上做匀速直线运动,粒子做圆周运动的合速度的竖直方向分速度为
vy2=vy1+vy=v0,
此时合速度与竖直方向的夹角的正切值为
tan α==,
合速度为v′=,
粒子做圆周运动的半径r=,
最远距离为xm=r+rcos α=。
带电粒子在两种场中的处理方法
[跟踪训练1] 如图所示,在矩形区域ABCD内存在竖直向上的匀强电场,在BC右侧Ⅰ、Ⅱ两区域存在匀强磁场,L1、L2、L3是磁场的边界(BC与L1重合),宽度相同,方向如图所示,区域Ⅰ的磁感应强度大小为B1。一电荷量为+q、质量为m的粒子(重力不计)从AD边中点以初速度v0沿水平向右方向进入电场,粒子恰好从B点进入磁场,经区域Ⅰ后又恰好从与B点同一水平高度处进入区域Ⅱ。已知AB长度是BC长度的 倍。
(1)求带电粒子到达B点时的速度大小;
(2)求磁场区域Ⅰ的宽度L;
(3)要使带电粒子在整个磁场中运动的时间最长,求区域Ⅱ的磁感应强度B2的最小值。
【答案】 (1)　(2)　(3)1.5B1
【解析】 (1)设带电粒子进入磁场时的速度大小为v,与水平方向成θ角,粒子在匀强电场中做类平抛运动,由类平抛运动的速度方向与位移方向的关系有tan θ==,则θ=30°,
根据速度关系有v==。
(2)设带电粒子在区域Ⅰ中的轨道半径为r1,由牛顿第二定律得qvB1=m,
轨迹如图所示,由几何关系得L=r1,
解得L=。
(3)当带电粒子不从区域Ⅱ右边界离开磁场时,在磁场中运动的时间最长。设区域Ⅱ中最小磁感应强度为B2m,此时粒子恰好不从区域Ⅱ右边界离开磁场,对应的轨道半径为r2,轨迹如图所示。
由牛顿第二定律得qvB2m=m,
根据几何关系有L=r2(1+sin θ),
解得B2m=1.5B1。
专题二　带电粒子在洛伦兹力作用下的多解问题
1.带电粒子的电性不确定形成多解
受洛伦兹力作用的带电粒子,可能带正电,也可能带负电,当粒子具有相同速度时,正、负粒子在磁场中运动轨迹不同,导致多解。如图所示,带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场,若带正电,其轨迹为a;若带负电,其轨迹为b。
2.磁场方向的不确定形成多解
磁感应强度是矢量,如果题述条件只给出磁感应强度的大小,而未说明磁感应强度的方向,则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解。如图所示,带正电的粒子以速率v垂直进入匀强磁场,若B垂直于纸面向里,其轨迹为a;若B垂直于纸面向外,其轨迹为b。
3.临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时,由于粒子运动轨迹是圆弧状,因此,它可能穿过去了,也可能转过180°从入射面边界反向飞出,如图所示,于是形成了多解。
4.运动的往复性形成多解
带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时,运动往往具有往复性,从而形成多解,如图所示。
[例2] 在x轴上方有匀强电场,电场强度为E,在x轴下方有匀强磁场,磁感应强度为B,方向如图所示。在x轴上有一点M,与O点距离为l,现有一电荷量为+q的粒子,从静止开始释放后能经过M点,如果此粒子在y轴上A点由静止释放,其坐标应满足什么关系 (重力忽略不计)
【答案】 y=(n=1,2,3,…)
【解析】 要使带电粒子从静止释放后能运动到M点,必须把粒子放在电场中A点先加速才行,当粒子经加速并以速度v进入磁场后,只受洛伦兹力而做匀速圆周运动,运动半周后到达C点,再做减速运动,上升到与A点等高处,再返回做加速运动,到C点后又以速度v进入磁场做圆周运动,半径与前者相同,以后重复前面的运动。从图中可以看出,要想经过M点,OM距离应为直径的整数倍,即满足
2R·n=OM=l(n=1,2,3,…),
R=,
Eq·y=mv2,
联立可得y=(n=1,2,3,…)。
求解带电粒子在磁场中运动多解问题的方法
(1)分析题目特点,确定题目多解情况形成的原因。
(2)作出粒子运动轨迹示意图。(全面考虑多种可能性)
(3)若为周期性重复的多解问题,寻找通项式;若是出现几种解的可能性,注意每种解出现的条件。
[跟踪训练2] (多选)如图所示,左右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向里。一个质量为m、电荷量为q的粒子,沿图示方向以速度v0垂直射入磁场。欲使粒子不能从边界QQ′射出,粒子入射速度v0的最大值可能是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 AC
【解析】 粒子射入磁场后做匀速圆周运动,由R=知,粒子的入射速度v0越大,R越大,当粒子的径迹和边界QQ′相切时,粒子刚好不从QQ′射出,此时其入射速度v0应为最大。若粒子带正电,其运动轨迹如图甲所示(此时圆心为O点),根据几何关系有R1cos 45°+d=R1,且R1=,联立解得v0=;若粒子带负电,其运动轨迹如图乙所示(此时圆心为O′点),根据几何关系有R2+R2cos 45°=d,且R2=,联立解得v0=,故选A、C。
专题三　与洛伦兹力相关的几种科学仪器
1.仪器装置原理
装置 原理图 规律
磁流 体发 电机 等离子体射入,受洛伦兹力偏转,使两极板带正、负电荷。两极板的电压为U时,电势差恒定,q=qvB,U=vBd
电磁 流量 计 液体流速v,带电离子不再发生偏转时,管道的两侧电势差恒定, q=qvB, v=, 流量Q=vS=
霍尔 元件 电流方向与磁场方向垂直的载流导体,在与电流、磁场方向均垂直的表面上出现电势差——霍尔电势差,其值U=k
2.几种仪器的说明
(1)分析磁流体发电机时,没有考虑磁流体的电阻。但处理问题时要根据题意判断是否考虑磁流体的电阻。
(2)霍尔电势差的高低与载流体中载流子的电荷性质有关,其他条件相同的情况下,要明确是金属导体还是其他导体,从而确定载流子的性质。
[例3] 如图所示为利用霍尔元件制成的磁传感器。已知该长方体金属导体宽为d,高为h,上下表面接线柱M、N连线与导体竖直边平行,上表面过接线柱M的水平虚线与导体水平边平行。当导体通过一定电流,且电流与磁场方向垂直时,下列说法正确的是(　　)
[A] 电压表a端接“+”接线柱
[B] 为提高磁传感器的灵敏度(),可减小导体的宽度d
[C] 将电压表的表盘改装为磁传感器的表盘,则刻度线不均匀
[D] 若上表面接线柱M沿虚线向右移动少许,则电压表示数不变
【答案】 B
【解析】 金属导体中载流子为自由电子,其定向移动方向与电流方向相反,根据左手定则可知电子将向上表面偏转,所以电压表a端接“-”接线柱,故A错误;当上下表面间的稳定电压为U时,电子所受电场力与洛伦兹力平衡,有=evB,根据电流的微观表达式有I=nedhv,解得U=,所以电压U与B成正比例关系,而电压表的表盘上电压刻度线均匀,所以由电压表的表盘改装的磁传感器刻度线均匀,故C错误;磁传感器的灵敏度=,为提高磁传感器的灵敏度,可减小导体的宽度d,故B正确;在电源之外的电路中沿电流方向电势降低,若上表面接线柱沿虚线向右移动少许,则N、M间在沿电流方向上也会存在电势差,且N处电势高于M处电势,所以电压表示数会变大,故D错误。
解决科学技术问题的流程
[跟踪训练3] 一种用磁流体发电的装置如图所示。平行金属板P、Q之间有很强的磁场,将一束等离子体(即高温下电离的气体,含有大量正、负带电粒子)喷入磁场,P、Q两板间便产生电压。如果将P、Q板和电阻为R的用电器连接,P、Q就是一个直流电源的两个电极。若P、Q两板相距为d,不计P、Q板间电阻,板间的磁场按匀强磁场处理,磁感应强度为B,等离子体以速度v沿垂直于B的方向射入磁场。下列说法正确的是(　　)
[A] Q板电势高于P板电势
[B] 发电机的电动势为2Bdv
[C] 通过用电器的电流方向为从下到上
[D] 用电器两端电压大小为Bdv
【答案】 D
【解析】 根据左手定则,带正电粒子向上偏转,所以P板带正电,P板的电势高于Q板的电势,通过用电器的电流方向为从上到下,故A、C错误;P、Q两板将会聚集越来越多的电荷,电场强度变大,不计P、Q板间电阻,两板间的电势差等于电动势,设两板间的电动势为U,当平衡时有qvB=q,解得U=Bdv,即用电器两端电压为Bdv,故B错误,D正确。
1.(多选)一个带电粒子以初速度v0垂直于电场方向向右射入匀强电场区域,穿出电场后接着又进入匀强磁场区域。设电场和磁场区域有明确的分界线,且分界线与电场强度方向平行,如图中的虚线所示。在下图所示的几种情况中,可能出现的是(　　)
　　　
[A] [B]
　　　
[C] [D]
【答案】 AD
【解析】 根据带电粒子在电场中的偏转情况可以确定选项A、C、D中粒子带正电,选项B中粒子带负电,再根据左手定则判断粒子在磁场中的偏转方向,故A、D正确,B、C错误。
2.电磁血流量计可以测量血管内血液的流速。如图,某段监测的血管可视为规则的圆柱体模型,其前后两个侧面a、b固定两块竖直正对的金属电极,匀强磁场方向竖直向下,血液中的正、负离子随血液一起从左至右水平流动,则a、b电极间存在电势差。在达到平衡时,血管内部的电场可看作匀强电场,血液中的离子所受的电场力和磁场力的合力为零。在某次监测中,两触点间的距离为 3.00 mm,血管壁的厚度可忽略,两触点间的电势差为150 μV,磁感应强度的大小为0.120 T。则血流速度的近似值和电极a、b的正负分别为(　　)
[A] 0.36 m/s,a正,b负
[B] 0.36 m/s,a负,b正
[C] 0.42 m/s,a负,b正
[D] 0.42 m/s,a正,b负
【答案】 D
【解析】 血液中的离子所受的电场力和磁场力的合力为零,则qE=qvB,由于血管内部的电场可看作匀强电场,则电场强度E=,解得v≈0.42 m/s;根据左手定则可知,正离子向a极偏转,负离子向 b极偏转,则a为正,b为负,故选D。
3.如图所示,某种带电粒子由静止开始经电压为U1的电场加速后,射入水平放置、电势差为U2的两块导体板间的匀强电场中,带电粒子沿平行于两板的方向从两板正中间射入,穿过两板后又垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场中,则粒子射入磁场和射出磁场的M、N两点间的距离d随着U1和U2的变化情况为(不计重力,不考虑边缘效应)(　　)
[A] d随U1变化,d与U2无关
[B] d与U1无关,d随U2变化
[C] d随着U1、U2变化
[D] d与U1、U2均无关
【答案】 A
【解析】 粒子在匀强电场中加速,由动能定理得 qU1=m,则有v0=。粒子在偏转电场中做类平抛运动,设粒子在偏转电场中的偏向角为θ,进入磁场时的速度为v,则有=
cos θ,而在磁场中做匀速圆周运动,设运动轨迹对应的半径为r,由几何关系可得,半径与直线MN夹角等于θ,则有=cos θ,所以d=,又因为半径r=,则有d==,故d随U1变化,与U2无关,故A正确,B、C、D错误。
4.如图所示,两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形AOC分开,三角形内磁场方向垂直于纸面向里,三角形顶点A处有一质子源,能沿∠OAC的平分线发射速度不同的质子(不计重力),所有质子均能通过C点,质子比荷=k,则以下说法正确的是(　　)
[A] 质子的速度可能为BkL
[B] 质子的速度可能为BkL
[C] 质子由A到C的时间可能为
[D] 质子由A到C的时间可能为
【答案】 C
【解析】因质子带正电,且经过C点,其可能的轨迹如图所示,所有圆弧所对圆心角均为60°,质子可能的运动半径r=(n=1,2,3,…),由洛伦兹力提供向心力得qvB=m,即v==Bk
(n=1,2,3,…),质子的速度不可能为BkL和BkL,故A、B错误;质子由A到C的时间可能为t=×n×==(n=1,2,3,…),故C正确,D错误。
5.(2025·广东卷)某同步加速器简化模型如图所示,其中仅直通道PQ内有加速电场,三段圆弧内均有可调的匀强偏转磁场B。带电荷量为+q、质量为m的离子以初速度v0从P处进入加速电场后,沿顺时针方向在加速器内循环加速。已知加速电压为U,磁场区域中离子的偏转半径均为R。忽略所受离子重力和相对论效应,下列说法正确的是(　　)
[A] 偏转磁场的方向垂直于纸面向里
[B] 第1次加速后,离子的动能增加了2qU
[C] 第k次加速后,离子的速度大小变为
[D] 第k次加速后,偏转磁场的磁感应强度大小应为
【答案】 D
【解析】 直线通道PQ有电势差为U的加速电场,离子带正电,离子沿顺时针方向运动,由左手定则可知,偏转磁场的磁感应强度方向垂直于纸面向外,A错误;由动能定理可知,加速一次后带电离子的动能增量为qU,由于洛伦兹力不做功,则加速k次后,带电离子的动能增量为kqU,加速k次后,由动能定理有kqU=mv2-m,解得v==
,B、C错误;离子在偏转磁场中运动的半径为R,则有qvB=m,联立解得B=
=,D正确。
6.如图所示,有一对水平放置的平行金属板,两板之间有相互垂直的匀强电场和匀强磁场,电场强度为 E=200 V/m,方向竖直向下;磁感应强度大小为B0=0.1 T,方向垂直于纸面向里。图中右边有一半径R为 0.1 m、圆心为O的圆形区域内也存在匀强磁场,磁感应强度大小为B= T,方向垂直于纸面向里。一正离子沿平行于金属板面,从A点垂直于磁场的方向射入平行金属板之间,沿直线射出平行金属板之间的区域,并沿直径CD方向射入圆形磁场区域,最后从圆形区域边界上的F点射出。已知速度的偏向角θ=,不计离子重力。求:
(1)离子速度v的大小;
(2)离子的比荷;
(3)离子在圆形磁场区域中运动的时间t。
【答案】 (1)2 000 m/s　(2)2×104 C/kg
(3)×10-4 s
【解析】 (1)离子在平行金属板之间做匀速直线运动,洛伦兹力与电场力平衡,有qvB0=qE,
解得v==2 000 m/s。
(2)在圆形磁场区域,离子做匀速圆周运动,轨迹如图所示。
由洛伦兹力提供向心力有qvB=m,
由几何关系有tan=,
联立解得=2×104 C/kg。
(3)弧CF对应的圆心角为θ,离子在圆形磁场区域中的运动时间为t,则t=T,
而T=,解得t=×10-4 s。
7.如图所示,第一象限内有垂直于直角坐标系平面的匀强磁场,磁感应强度为B。质量为m、电荷量为q的粒子在直角坐标系平面内经原点O射入磁场中,初速度v0与x轴的夹角θ=60°,则:
(1)带电粒子从何处离开磁场 穿越磁场时运动方向发生的偏转角是多大
(2)带电粒子在磁场中的运动时间是多少
【答案】 见解析
【解析】 不论粒子带何种电荷,其运动轨迹半径均为R=。如图所示,
有O1O=O2O=R=O1A=O2B,
带电粒子在磁场中运动的周期T==。
(1)若粒子带负电,它将从x轴上A点离开磁场,运动方向发生的偏转角θ1=120°,
A点与O点相距x=2Rsin 60°=;
若粒子带正电,它将从y轴上B点离开磁场,运动方向发生的偏转角θ2=60°,B点与O点相距 y=2Rsin 30°=。
(2)若粒子带负电,它从O点到A点所用的时间为t1=T=;
若粒子带正电,它从O点到B点所用的时间为
t2=T=。
8.如图甲所示,在y轴右侧有垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度B=1 T。从原点O处向第Ⅰ象限发射一比荷=1×104 C/kg的带正电的粒子(重力不计),速度大小v=103 m/s,方向垂直于磁场且与x轴正方向成30°角。
(1)求粒子在该匀强磁场中做匀速圆周运动的半径R和在该磁场中运动的时间t1。
(2)若磁场随时间变化的规律如图乙所示(垂直于纸面向外为正方向),t=×10-4 s后空间不存在磁场。在t=0时刻,粒子仍从O点以与原来相同的速度v射入,求粒子从O点射出后第2次经过x轴时与O点的距离。
【答案】 (1)0.1 m　π×10-4 s　(2)0.6 m
【解析】 (1)轨迹如图(a)所示。
由qvB=m可得,
轨迹半径R==0.1 m,
粒子运动周期T==2π×10-4 s,
粒子在磁场中轨迹所对的圆心角为240°,所以粒子在磁场中运动的时间为
t1==π×10-4 s。
(2)磁场变化的半周期为
Δt=×10-4 s=,
在图(b)中,∠OO1C=∠CO2D=120°,且O1O2平行于x轴,
OE=2(R+Rsin 30°)=3R=0.3 m,
在Rt△EDP中,∠EDP=60°,DE=2Rsin 60°,
EP=DEtan 60°=3R=0.3 m,
则粒子从O点射出后第2次经过x轴时与O点的距离为OP=OE+EP=0.6 m。
磁场对电流的作用　检测试题
(分值:100分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题3分,共24分。每小题只有一个选项符合题目要求。
1.如图所示,金属杆ab的质量为m,长为l,与宽度也为l的导轨间的动摩擦因数为μ,通过的电流为I,处在磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向与导轨平面为θ角斜向上,ab静止于水平导轨上。下列说法正确的是(　　)
[A] 金属杆ab所受安培力水平向左
[B] 金属杆ab所受安培力大小为F安=IlBsin θ
[C] 金属杆受到的摩擦力Ff=μIlBcos θ
[D] 若将磁场方向与水平面间的夹角减小,金属杆仍保持静止,则此时导轨对金属杆的支持力变小
【答案】 D
【解析】 由左手定则可知,金属杆ab所受安培力斜向左上,A错误;金属杆ab所受安培力大小为 F安=IlB,B错误;根据平衡条件得金属杆受到的摩擦力f=IlBsin θ,导轨对金属杆的支持力N=mg-IlBcos θ,若将磁场方向与导轨平面间的夹角减小,金属杆仍保持静止,则此时导轨对金属杆的支持力变小,C错误,D正确。
2.粒子甲的质量与电荷量分别是粒子乙的4倍与2倍,两粒子均带正电,让它们在匀强磁场中同一点以大小相等、方向相反的速度开始运动。已知磁场方向垂直于纸面向里,以下四个图中,能正确表示两粒子运动轨迹的是(　　)
　　　　　
[A] [B]
　　　　　
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 由半径公式R=得=·=2,再由左手定则知,选项A正确,B、C、D错误。
3.如图,用材料相同、粗细均匀的电阻丝折成正方形金属框架GHJK,边长为L,每边电阻为r,框架与一电动势为E、内阻也为r的电源相接,垂直于框架平面有磁感应强度为B的匀强磁场,则闭合电路稳定后,框架受到的安培力大小为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 正方形金属框架GHJK在G、J间的等效电阻为r,有效长度为L,流过框架的等效电流I=,框架受到的安培力大小为F=BI·L,解得F=。故选C。
4.如图甲所示,电磁流量计是用来测管内电介质流量的感应式仪表,单位时间内流过管道横截面的液体体积为流量。图乙、丙为电磁流量计示意图和匀强磁场方向,磁感应强度大小为B。当管中的导电液体流过时,测得管壁上M、N两点间的电压为U,已知管道直径为d,则(　　)
[A] 管壁上N点电势低于M点
[B] 管中导电液体的流速为
[C] 管中导电液体的流量为
[D] 管中导电液体的流量为
【答案】 D
【解析】 若导电液体带正电,根据左手定则可知,其受向下的洛伦兹力,正电荷打在N处,所以N点电势高于M点电势,若导电液体带负电,结论相同,故A错误;稳定时电荷受力平衡,根据平衡条件得qvB=,解得v=,故B错误;流量为Q=vS=·=,故C错误,D
正确。
5.如图所示,在正方体的四条沿y轴方向的棱上,分别固定四根通有等大电流I0的等长导线。正方体的中心点P处有不断沿各个方向喷射带正电粒子的粒子源,关于粒子刚被喷出时所受到的洛伦兹力方向,下列说法正确的是(　　)
[A] 若初速度方向沿x轴正方向,则其所受的洛伦兹力方向沿z轴正方向
[B] 若初速度方向沿x轴正方向,则其所受的洛伦兹力方向沿y轴正方向
[C] 若初速度方向沿y轴正方向,则其所受的洛伦兹力方向沿z轴负方向
[D] 若初速度方向沿y轴正方向,则其所受的洛伦兹力方向沿x轴正方向
【答案】 D
【解析】 根据四根导线的电流方向,结合右手螺旋定则可知,四根导线的电流在P处产生的合磁场方向沿z轴正方向。带正电粒子初速度方向沿x轴正方向时,根据左手定则可知,其所受的洛伦兹力方向沿y轴负方向,故A、B错误;带正电粒子初速度方向沿y轴正方向时,根据左手定则可知,其所受的洛伦兹力方向沿x轴正方向,故C错误,D正确。
6.如图所示,平行边界MN、PQ间有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁场的磁感应强度大小为B,两边界长度足够长,间距为d,MN上有一粒子源A,可在纸面内沿各个方向向磁场中射入质量均为m、电荷量均为q的带正电的粒子,粒子射入磁场的速度v=,不计粒子的重力,则粒子能从PQ边界射出磁场的区域长度为(　　)
[A] d [B] [C] 2d [D] d
【答案】 C
【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律得qvB=m,解得R=d,粒子从PQ边界射出磁场的临界运动轨迹如图所示,由几何知识得CE=R=d,且DE=R=d,粒子能从PQ边界射出的区域长度L=CD=2d,故C正确,A、B、D错误。
7.一质量为m、电荷量为-q的圆环,套在与水平面成θ角的足够长的粗糙细杆上,圆环的直径略大于杆的直径,细杆处于垂直于纸面向里的匀强磁场中。现给圆环一沿杆向左上方的初速度v0,取初速度v0的方向为正方向,以后的运动过程中,圆环运动的 v-t图像不可能是(　　)
【答案】 A
【解析】 圆环沿杆向上运动时,所受到的洛伦兹力垂直于杆向上,若qv0B>mgcos θ,则杆对圆环的弹力N垂直于杆向下,随着速度减小,洛伦兹力越来越小,N先减小到零再反向增大,因摩擦力f=μN,故f也先减小后增大,根据牛顿第二定律,圆环减速的加速度a=,也先减小后增大;当速度减为零时,若μ>tan θ,圆环将静止;若 μtan θ,圆环将静止;若μ8.如图,在竖直平面内的Oxy直角坐标系中,x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。在第二象限内,垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN,MN到x轴的距离为d,上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源,沿Oxy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用,则(　　)
[A] 粒子在磁场中做圆周运动的半径为2d
[B] 薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 d
[C] 薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d
[D] 薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为
【答案】 C
【解析】 粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,有qvB=,可得R=
=d,故A错误。当粒子沿x轴正方向射出时,薄板上表面接收到的粒子离y轴最近,如图中轨迹1所示,根据几何关系可知s上min=d;当粒子恰好能通过N点到达薄板上方时,薄板上表面接收点距离y轴最远,如图中轨迹2所示,根据几何关系可知s上max=d,故上表面接收到粒子的区域长度为s上=d-d,故B错误。根据图像可知,粒子可以恰好打到下表面的N点;当粒子沿y轴正方向射出时,薄板下表面接收到的粒子离y轴最远,如图中轨迹3所示,根据几何关系可知,此接收点与y轴距离为d,故下表面接收到粒子的区域长度为d,故C正确。根据图像可知,粒子恰好打到下表面N点时转过的圆心角最小,用时最短,有tmin=·=,故D错误。
二、多项选择题:本题共4小题,每小题4分,共16分。每小题有多个选项符合题目要求,全部选对得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分。
9.下列关于磁场与现代科技的相关说法正确的是　(　　)
[A] 图甲是一种速度选择器,v>的正电荷从左侧射入,将向上偏转
[B] 图乙是一种磁流体发电机的装置,一束等离子体(含有大量正、负带电粒子)射入磁场,则通过电阻R的电流从b流向a
[C] 图丙是常见的质谱仪,可以把质量不同,但比荷相同的带电粒子分开
[D] 图丁是金属导体制成的霍尔元件,通以如图丁所示的电流,则a面电势高于b面电势
【答案】 AB
【解析】 当v>时,qvB>Eq,即电荷受到向上的洛伦兹力较大,将向上偏转,故A正确;一束等离子体(含有大量正、负带电粒子)射入磁场,根据左手定则可知,正电荷受到指向B极板的洛伦兹力而向B板偏转,负电荷受到指向A极板的洛伦兹力而向A板偏转,所以B板带正电,A板带负电,通过电阻R的电流从b流向a,故B正确;粒子在加速电场中,有qU=mv2,在偏转磁场中,有qvB=m,所以R=,由此可知,该质谱仪不能区分比荷相同的带电粒子,故C错误;由于金属导体导电粒子为自由电子,根据左手定则,四指指向电流的方向可知,自由电子受到指向a面的洛伦兹力,所以自由电子将打到a面,则a面电势低于b面电势,故D错误。
10.电磁轨道炮工作原理如图所示。待发射弹体可在两平行轨道之间自由移动,并与轨道保持良好接触。电流I从一条轨道流入,通过导电弹体后从另一条轨道流回。轨道电流可形成在弹体处垂直于轨道面的磁场(可视为匀强磁场),磁感应强度的大小与I成正比。通电的弹体在轨道上受到安培力的作用而高速射出。现欲使弹体的出射速度增加至原来的2倍,理论上可采用的办法是(　　)
[A] 只将轨道长度L变为原来的2倍
[B] 只将电流I增加至原来的2倍
[C] 只将弹体质量减至原来的一半
[D] 将弹体质量减至原来的一半,轨道长度L变为原来的2倍,其他量不变
【答案】 BD
【解析】 通电的弹体在安培力作用下加速运动,F=BId,d为轨道间距,B=kI,故F∝I2,根据动能定理FL=mv2,得v∝I,故选项B、D正确,A、C错误。
11.如图所示,一个半径为R的圆形磁场区域,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向里。一个粒子源从圆上的A点向各个方向不停地发射出相同速率的带正电的粒子,带电粒子的质量均为m,所带电荷量均为q,运动的半径均为r。下列说法正确的是(　　)
[A] 若r=2R,则粒子在磁场中运动的最长时间为
[B] 若r=2R,则粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是整个圆周
[C] 若r=R,则粒子在磁场中运动的最长时间为
[D] 若r=R,则粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是六分之一个圆周
【答案】 BD
【解析】 若r=2R,根据几何关系,可知粒子沿不同方向射入磁场,会从磁场圆的不同位置出射,范围是整个圆周长;当入射点到出射点连线的弦越长时,运动时间越长,故磁场区域的直径是轨迹的一条弦,粒子在磁场中运动的时间最长,作出轨迹如图甲所示,因为r=2R,则圆心角α=60°,粒子在磁场中运动的最长时间tmax=T=,故A错误,B正确。
若r=R,粒子沿不同方向射入磁场,如图乙所示,在磁场中运动时间最长的粒子正好转过了一周,时间为tmax=T=,故C错误。若r=R,粒子在磁场圆的出射点都在AP之间,由几何关系可知,AP弧长在磁场圆中对应的角度为60°,所以粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是六分之一个圆周长,故D正确。
12.如图所示,一根不可伸长的绝缘细线一端固定于O点,另一端系一带负电的小球,置于水平向左的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场中。已知绳长为L,小球质量为m,电荷量为q,磁感应强度大小为,现把小球从A点静止释放,刚好沿着圆弧AB到达最高点B处,其中cos θ=,sin θ=,重力加速度为g,取cos 37°=,sin 37°=。则(　　)
[A] 从A到B的过程中,小球的机械能一直增大
[B] 小球所受的电场力是重力的倍
[C] 从A到B过程中,小球的最大速度为
[D] 从A到B过程中,细线的最大拉力为重力的倍
【答案】 AC
【解析】 从A到B过程中,电场力对小球一直做正功,则小球机械能一直增大,电势能一直减小,故A正确;根据动能定理可得-mgL(1-cos θ)+FLsin θ=0,解得F=mg,故B错误;小球所受重力和电场力的合力为F合=mg,方向与竖直方向夹角为37°,所以当小球运动到此位置时速度最大,根据动能定理可得-mgL(1-cos 37°)+FLsin 37°=mv2,解得v=,故C正确;根据T-F洛-F合=m,从A到B过程中,细线的最大拉力T=F合+m+F洛=2mg,故D错误。
三、非选择题:本题共6小题,共60分。
13.(6分)如图所示为“探究磁场对通电导线的作用”的实验装置,其中线框下端与磁场方向垂直。请根据下面的实验操作按要求填空。
(1)在接通电路前先观察并记录了弹簧测力计的读数F0。
(2)接通电路,调节滑动变阻器使电流表读数为I1,观察并记录了弹簧测力计此时的读数F1(F1>F0),则线框受到磁场的安培力F安=　　 　　,F安的方向向　　 　　(选填“上”
“下”“左”或“右”)。
(3)在探究安培力与电流的对应关系时,保持磁场及线框不变,只调节滑动变阻器,记录电流表的读数为I2、I3、…,弹簧测力计的读数为F2、F3、…,并分别计算出F2-F0、F3-F0、…,通过实验可发现,磁场对通电导线安培力的大小与电流大小成正比,实验中所采用的实验方法是　　　　　　(选填“控制变量法”“等效替代法”或“理想模型法”)。
【答案】 (2)F1-F0　下　(3)控制变量法
【解析】 (2)在通电前,线框平衡时有F0=mg,通电后,线框平衡时有F1=mg+F安,联立解得
F安=F1-F0,方向向下。
(3)在探究安培力与电流的对应关系时,控制线框和磁场不变,只改变电流,观察安培力的大小,所采用的实验方法是控制变量法。
14.(7分)如图所示,在匀强磁场中磁感应强度B=1.0 T,方向与导轨平面垂直且向下,导轨与水平面成θ=37°角,宽度为L=0.5 m。垂直导轨放置一根可自由移动的金属杆ab。已知接在导轨中的电源电动势E=16 V,内阻r=1 Ω。ab杆长L=0.5 m,质量m=0.2 kg,杆与导轨间的动摩擦因数μ=0.5,导轨与ab杆的电阻忽略不计。要使杆在导轨上保持静止,求:(g取
10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力)
(1)ab杆受到的最大安培力F1和最小安培力F2;
(2)滑动变阻器R有效电阻的取值范围。
【答案】 (1)2 N　0.4 N　(2)3 Ω≤R≤19 Ω
【解析】 (1)根据左手定则可知,
ab杆受到的安培力沿斜面向上,如图,对金属杆进行受力分析,
ab杆受到的最大静摩擦力为
fmax=μmgcos θ=0.8 N,
当安培力最大时,根据平衡条件可知
F1=fmax+mgsin θ=2 N,
当安培力最小时
F2=mgsin θ-fmax=0.4 N。
(2)根据闭合电路欧姆定律I=,
安培力F=ILB,
将最大、最小安培力代入解得滑动变阻器R有效电阻的取值范围为3 Ω≤R≤19 Ω。
15.(8分)粒子质量为m、电荷量为q,以速度v0与x轴成θ角(弧度)射入磁感应强度为B的匀强磁场中,最后落在x轴上的P点,如图所示,求:
(1)粒子运动轨道的半径r;
(2)粒子从O点射入到落在P点所需的时间t。
【答案】 (1)　(2)
【解析】 (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,则有
qv0B=m,
解得r=。
(2)过O点和P点作速度方向的垂线,两线交点C即为粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心,如图所示。
由图可知,圆弧对应的圆心角为2θ,粒子做圆周运动的周期T=,
则粒子从O点射入到落在P点所需时间t=T=。
16.(9分)有一种“双聚焦分析器”质谱仪,工作原理如图所示,电场分析器中有指向圆心O的辐射状电场,磁场分析器中有垂直于纸面向外的匀强磁场(图中未画出)。离子源发出的初速度均为零的氕核H和氘核H经加速电压U加速后,均沿圆弧MN运动(圆弧MN为电场分析器的中心线),再垂直进入四分之一圆形磁场区域,后从磁场下边界射出。已知氕核 H在磁场区域运动t时间后恰好垂直于磁场下边界从Q点射出,MO=R,PO1=d,氕核H的电荷量为e,忽略离子间的相互作用。求:
(1)电场分析器中心线上电场强度的大小;
(2)氘核H在磁场区域的运动半径;
(3)氘核H的质量。
【答案】 (1)　(2)d　(3)
【解析】 (1)设氕核H的质量为m,氕核H经加速电压U加速后,则有Ue=m,
氕核H在辐射状电场中做圆周运动,电场力提供向心力,
可得eE=m,
解得E=。
(2)在磁场中,设匀强磁场的磁感应强度为B,对氕核 H分析,由洛伦兹力提供向心力,可得
ev1B=m,
解得d=;
设氘核的质量为M,且M=2m,对氘核 H分析,由洛伦兹力提供向心力,
可得ev2B=M,
解得r=,
即氘核 H做圆周运动的半径r=d。
(3)设氕核 H与氘核 H在磁场中做圆周运动的周期分别为T1和T2,
则有T1==4t,T2==8t,
对氘核H,r=d=,
联立解得M=。
17.(14分)如图所示,宽度为L、足够长的匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向里。绝缘长薄板MN置于磁场的右边界,粒子打在板上时会被反弹(碰撞时间极短),反弹前后竖直分速度不变,水平分速度大小不变、方向相反。磁场左边界上O处有一个粒子源,向磁场内沿纸面各个方向发射质量为m、电荷量为+q、速度为v的粒子,不计粒子所受重力和粒子间的相互作用,粒子电荷量保持不变。
(1)要使粒子在磁场中运动时不打到绝缘薄板上,求粒子速度v满足的条件;
(2)若v=,一些粒子打到绝缘薄板上反弹回来,求这些粒子在磁场中运动时间的最小值t。
【答案】 (1)v<　(2)
【解析】 (1)设粒子在磁场中运动的轨道半径为r1,则有qvB=m,
如图甲所示,要使粒子在磁场中运动时不打到绝缘薄板上,应满足2r1解得v<。
(2)粒子在磁场中做圆周运动的周期T=,
设粒子运动的轨道半径为r2,则有qvB=m,
解得r2=L;
在磁场中运动时间最短的粒子通过的圆弧对应的弦长最短,粒子运动轨迹如图乙所示,由几何关系可知时间的最小值t=2×,
解得t=。
18.(16分)如图所示,在平面直角坐标系第二象限内有水平向右的匀强电场,在第一、第四象限内分别存在匀强磁场,磁感应强度大小相等,方向如图所示。现有一个质量为m、电荷量为+q的带电粒子在该平面内从x轴上的P点,以垂直于x轴的初速度v0进入匀强电场,恰好经过y轴上的Q点且与y轴成45°角射出电场,再经过一段时间又恰好垂直于x轴进入第四象限的磁场。已知O、P之间的距离为d。求:(不计粒子的重力)
(1)O点到Q点的距离;
(2)磁感应强度B的大小;
(3)带电粒子自进入电场至在磁场中第二次经过x轴所用的时间。
【答案】 (1)2d　(2)　(3)
【解析】 (1)设Q点的纵坐标为h,到达Q点的水平分速度为vx,P到Q受到恒定的电场力,与初速度垂直,为类平抛运动,则由类平抛运动的规律可知,竖直方向做匀速直线运动,h=v0t1,
水平方向做匀加速直线运动,平均速度
=,
则d=,
根据速度的矢量合成有tan 45°=,
解得h=2d。
(2)粒子运动轨迹如图所示,由几何知识可得粒子在磁场中的运动半径R=2d,
由牛顿第二定律得qvB=m,解得R=,
由(1)问可知v==v0,
联立解得B=。
(3)粒子在电场中的运动时间为t1=,
在磁场中,由运动学公式得T=,
在第一象限中的运动时间为t2=·T=T,
在第四象限内的运动时间为t3=,
带电粒子自进入电场至在磁场中第二次经过x轴所用的时间为t=t1+t2+t3=。(共55张PPT)
章末总结
知识整合·构建网络
专题研析·拓展提升
专题一　“电偏转”和“磁偏转”
“磁偏转”和“电偏转”是分别利用磁场和电场对(运动)电荷施加的洛伦兹力和电场力的作用,从而控制其运动方向和轨迹。由于磁场和电场对电荷的作用具有不同的特征,这使得两种偏转存在着区别,现比较如下表:
项目 电偏转 磁偏转
受力特征 F电=qE,为恒力 F洛=qvB,为变力
运动性质 匀变速曲线运动 匀速圆周运动
运动 轨迹
(1)求粒子所带电荷量q;
(2)求磁感应强度B的大小;
带电粒子在两种场中的处理方法
·规律方法·
(1)求带电粒子到达B点时的速度大小;
(2)求磁场区域Ⅰ的宽度L;
(3)要使带电粒子在整个磁场中运动的时间最长,求区域Ⅱ的磁感应强度B2的最小值。
【答案】 (3)1.5B1
专题二　带电粒子在洛伦兹力作用下的多解问题
1.带电粒子的电性不确定形成多解
受洛伦兹力作用的带电粒子,可能带正电,也可能带负电,当粒子具有相同速度时,正、负粒子在磁场中运动轨迹不同,导致多解。如图所示,带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场,若带正电,其轨迹为a;若带负电,其轨迹为b。
2.磁场方向的不确定形成多解
磁感应强度是矢量,如果题述条件只给出磁感应强度的大小,而未说明磁感应强度的方向,则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解。如图所示,带正电的粒子以速率v垂直进入匀强磁场,若B垂直于纸面向里,其轨迹为a;若B垂直于纸面向外,其轨迹为b。
3.临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时,由于粒子运动轨迹是圆弧状,因此,它可能穿过去了,也可能转过180°从入射面边界反向飞出,如图所示,于是形成了多解。
4.运动的往复性形成多解
带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时,运动往往具有往复性,从而形成多解,如图所示。
[例2] 在x轴上方有匀强电场,电场强度为E,在x轴下方有匀强磁场,磁感应强度为B,方向如图所示。在x轴上有一点M,与O点距离为l,现有一电荷量为+q的粒子,从静止开始释放后能经过M点,如果此粒子在y轴上A点由静止释放,其坐标应满足什么关系 (重力忽略不计)
求解带电粒子在磁场中运动多解问题的方法
(1)分析题目特点,确定题目多解情况形成的原因。
(2)作出粒子运动轨迹示意图。(全面考虑多种可能性)
(3)若为周期性重复的多解问题,寻找通项式;若是出现几种解的可能性,注意每种解出现的条件。
·规律方法·
[跟踪训练2] (多选)如图所示,左右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向里。一个质量为m、电荷量为q的粒子,沿图示方向以速度v0垂直射入磁场。欲使粒子不能从边界QQ′射出,粒子入射速度v0的最大值可能是(　　 )
AC
专题三　与洛伦兹力相关的几种科学仪器
1.仪器装置原理
2.几种仪器的说明
(1)分析磁流体发电机时,没有考虑磁流体的电阻。但处理问题时要根据题意判断是否考虑磁流体的电阻。
(2)霍尔电势差的高低与载流体中载流子的电荷性质有关,其他条件相同的情况下,要明确是金属导体还是其他导体,从而确定载流子的性质。
[例3] 如图所示为利用霍尔元件制成的磁传感器。已知该长方体金属导体宽为d,高为h,上下表面接线柱M、N连线与导体竖直边平行,上表面过接线柱M的水平虚线与导体水平边平行。当导体通过一定电流,且电流与磁场方向垂直时,下列说法正确的是(　　)
[A] 电压表a端接“+”接线柱
B
解决科学技术问题的流程
·规律方法·
[跟踪训练3] 一种用磁流体发电的装置如图所示。平行金属板P、Q之间有很强的磁场,将一束等离子体(即高温下电离的气体,含有大量正、负带电粒子)喷入磁场,P、Q两板间便产生电压。如果将P、Q板和电阻为R的用电器连接,P、Q就是一个直流电源的两个电极。若P、Q两板相距为d,不计P、Q板间电阻,板间的磁场按匀强磁场处理,磁感应强度为B,等离子体以速度v沿垂直于B的方向射入磁场。下列说法正确的是(　　)
[A] Q板电势高于P板电势
[B] 发电机的电动势为2Bdv
[C] 通过用电器的电流方向为从下到上
[D] 用电器两端电压大小为Bdv
D
达标训练·检测效果
1.(多选)一个带电粒子以初速度v0垂直于电场方向向右射入匀强电场区域,穿出电场后接着又进入匀强磁场区域。设电场和磁场区域有明确的分界线,且分界线与电场强度方向平行,如图中的虚线所示。在下图所示的几种情况中,可能出现的是( 　　)
AD
[A] [B] [C] [D]
【解析】 根据带电粒子在电场中的偏转情况可以确定选项A、C、D中粒子带正电,选项B中粒子带负电,再根据左手定则判断粒子在磁场中的偏转方向,故A、D正确,B、C错误。
2.电磁血流量计可以测量血管内血液的流速。如图,某段监测的血管可视为规则的圆柱体模型,其前后两个侧面a、b固定两块竖直正对的金属电极,匀强磁场方向竖直向下,血液中的正、负离子随血液一起从左至右水平流动,则a、b电极间存在电势差。在达到平衡时,血管内部的电场可看作匀强电
场,血液中的离子所受的电场力和磁场力的合力为零。在某次监测中,两触点间的距离为 3.00 mm,血管壁的厚度可忽略,两触点间的电势差为150 μV,磁感应强度的大小为0.120 T。则血流速度的近似值和电极a、b的正负分别为(　　)
[A] 0.36 m/s,a正,b负 [B] 0.36 m/s,a负,b正
[C] 0.42 m/s,a负,b正 [D] 0.42 m/s,a正,b负
D
A
3.如图所示,某种带电粒子由静止开始经电压为U1的电场加速后,射入水平放置、电势差为U2的两块导体板间的匀强电场中,带电粒子沿平行于两板的方向从两板正中间射入,穿过两板后又垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场中,则粒子射入磁场和射出磁场的M、N两点间的距离d随着U1和U2的变化情况为(不计重力,不考虑边缘效应)(　　)
[A] d随U1变化,d与U2无关
[B] d与U1无关,d随U2变化
[C] d随着U1、U2变化
[D] d与U1、U2均无关
C
5.(2025·广东卷)某同步加速器简化模型如图所示,其中仅直通道PQ内有加速电场,三段圆弧内均有可调的匀强偏转磁场B。带电荷量为+q、质量为m的离子以初速度v0从P处进入加速电场后,沿顺时针方向在加速器内循环加速。已知加速电压为U,磁场区域中离子的偏转半径均为R。忽略所受离子重力和相对论效应,下列说法正确的是(　　)
D
(1)离子速度v的大小;
【答案】 (1)2 000 m/s
【答案】 (2)2×104 C/kg
(3)离子在圆形磁场区域中运动的时间t。
7.如图所示,第一象限内有垂直于直角坐标系平面的匀强磁场,磁感应强度为B。质量为m、电荷量为q的粒子在直角坐标系平面内经原点O射入磁场中,初速度v0与x轴的夹角θ=60°,则:
(1)带电粒子从何处离开磁场 穿越磁场时运动方向发生的偏转角是多大
(2)带电粒子在磁场中的运动时间是多少
(1)求粒子在该匀强磁场中做匀速圆周运动的半径R和在该磁场中运动的时间t1。
【答案】 (2)0.6 m
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