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第六章 平面向量及其应用
6.2.1 向量的加法运算
1.理解向量加法的定义，会用向量加法的平行四边形法则和向量加法的三角形法则作两个向量的和向量.
2.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们求多个向量的和.
“宏海号”—— 中国自主研发的 “世界最大龙门吊”
问题1：“宏海号”想将一个集装箱从 A 点吊至 B 点.
（1）观察右图，说说从哪些路径可以达成目的；
（2）从向量的角度猜想这些路径之间有什么关系.
（1）三条路径：
① A → D → B；② A → C → B；③ A → B；
（2）猜想： ； .
向量的加法：求两个向量和的运算.
已知两个不共线的向量 a，b，在平面内任取一点 A 作有向线段 = a， = b，以有向线段为邻边作□ ADBC，则有向线段 表示的向量即为向量 a 与向量 b 的和，记作 a + b.
这种求两个向量和的作图方法，成为向量加法的平行四边形法则
a
b
b
a
a + b
猜想成立： ； .
问题2：已知向量加法的平行四边形法则成立，那么下图中的三角形中，向量的加法也成立吗？
显然，作有向线段 = a，以有向线段 的终点为起点，作有向线段 = b，连接 A，C 得到有向线段 ，也可以表示向量 a 与 b 的和.
这种作图的方法称为向量加法的三角形法则.
思考：若向量 a，b 共线，上述法则还适用吗？尝试写出向量 a，b 共线后的和.
a
不适用，共线后无法构建平行四边形、三角形.
①同向：
a
b
②反向：
a
b
a
b
a + b
b
a + b
若向量 a，b 共线，上述法则还适用吗？尝试写出向量 a，b 共线后的和.
注意：由向量加法的定义可知，互为相反向量的两个向量的和为零向量，即：
a + (-a) = (-a) + a = 0.
例1：如图，已知向量 a，b，求作向量 a + b.
a
b
解：作法1：在平面内任取一点 O，
作 = a， = b，以 OA，OB 为邻边
作□ OACB，连接 OC，则 = a + b.
a
b
O
A
B
C
作法2：在平面内任取一点O，
作 = a， = b，则 = a + b.
a
b
O
A
B
问题3：对任意两个向量 a、b，|a + b|，|a| + |b|，|a| - |b| 之间具有怎样的大小关系？通过作图进行说明.
|a + b| ≤ |a| + |b|，当且仅当a，b同向，等号成立；
|a + b| ≥ |a|－|b|，当且仅当a，b反向，等号成立.
a
b
a
b
a + b
a
a
b
b
a + b
a
b
a + b
例2：某轮船从 A 港沿北偏东 60°方向行驶了 40 n mile 到达 B 处，再由 B 处沿正北方向行驶 40 n mile到达 C 处. 求此时轮船与 A 港的相对位置 (精确到 0.1 n mile).
解：如图，设正东方向所在直线为 AE，作 BD⊥AE，
在 Rt△ADB 中，∠ADB = 90°，∠BAD = 30°，
= 40 n mile，所以 (n mile)，
(n mile)，
在 Rt△ ADC 中，∠ADC = 90°， (n mile)，
∴ (n mile)，
由 ，得∠CAD = 60°，
∴此时轮船位于 A 港北偏东 30°，且距离 A 港 n mile的 C 处.
问题4：数的加法运算满足结合律和交换律，即对任意 α，β，γ∈R，都有：
(α + β) + γ = α + (β + γ)，
α + β = β + α；
那么向量的加法也满足交换律吗？如何检验？
满足结合律，验证如下：
如图，(a + b) + c = ，
a + (b + c) = ，
∴(a + b) + c = a + (b + c).
如图，a + b = ，
b + a = ，
∴ a + b = b + a.
满足交换律，验证如下：
例3：如图，已知向量 a，b，c，d，作出 a + b + c + d，并说出多个向量求和的方法及依据.
则a + b + c + d = [(a + b) + c] + d
= ( + c) + d
= + d
=
解：可按照不同的次序与组合进行这四个向量的加法.
方法1：如下图，在平面上任取一点 A，作 = a， = b，
= c， = d .
方法2：如图，在平面上任取一点 A′，作 = a， = d，
= c， = b；
则a + b + c + d = (a + d) + (c + b)
=
求 n 个向量 α1，α2，…，αn 的和可以按以下步骤进行：
任取一点 O，依次作有向线段 = α1， = α2，…， = αn， 即为这 n 个向量之和. (也可以把 n 个向量分为若干组，先求每组向量之和，再求出这些组向量和的和).
根据今天所学，回答下列问题：
（1）向量求和有哪几个法则？ （2）向量加法的运算律有哪些？
结合律：(a + b) + c = a + (b + c).
交换律：a + b = b + a.

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