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第六章 平面向量及其应用
6.2.3 向量的数乘运算
1.理解向量的数乘运算及线性运算的概念.
2.掌握数乘运算的运算律，能进行向量的线性运算.
情境：如图，一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动 1 秒钟的位移对应的向量为 ???? ，那么它向东运动 3 秒钟的位移对应的向量该怎样表示？
?
类比乘法
记作
与 相同
方向
长度
的3倍
问题1：蚂蚁向东运动 1 秒钟的位移对应的向量为 ???? ，那么它向西运动 3 秒钟的位移对应的向量该怎样表示？
?
O
A
B
C
类比乘法
记作
与 相反
方向
长度
的3倍
向量的数乘：
实数 λ 与向量 a 的乘积是一个向量，记作 λa，满足以下条件：
（1）当 λ > 0 时，向量 λa 与向量 a 的方向相同；
当 λ < 0 时，向量 λa 与向量 a 的方向相反；
当 λ = 0 时，0a = 0.
（2）|λa| = |λ| |a|.
思考：观察上图，试说说向量的数乘的几何意义？
向量的数乘的几何意义：
如图，由实数与向量数乘 λa 的定义可以看出，它的几何意义是：
① 当 λ > 0 时，表示向量 a 的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的 |λ| 倍；
② 当 λ < 0 时，表示向量 a 的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的 |λ| 倍.
由向量数乘的定义容易推出：
在非零向量 a 方向上的单位向量是
问题2：如图，给定向量 ， ，试作下列向量，并进行比较.
（1） 和 ； （2） 和 ； （3） 和 .
（1）
（2）
问题2：如图，给定向量 ， ，试作下列向量，并进行比较.
（3） 和 .
思考：结合上述结论，类比实数的乘法运算律，说说你有什么发现？
（3）
数乘运算的运算律：
设 λ，μ 为实数，a，b为向量，根据向量的数乘定义，可得以下运算律：
（1）(λ + μ)a = λa + μa；（2）λ(μa) = (λμ)a； （3）λ(a + b) = λa + λb.
向量的加法、减法、数乘的综合运算，
通常称为向量的线性运算 (或线性组合).
例1：设a，b为向量，计算下列各式：
（1）( -3)×4a；
（2）3(a + b) - (a - b) - a；
（3）(2λ - μ)a - λb - (λ - μ)(a - b) (λ，μ为实数).
解：（1）由数乘运算的运算律得( - 3)×4a = ( -3×4)a = -12a；
（2）3(a + b) - (a - b) - a = 3a + 3b - a + b - a
= a + b；
（3）(2λ - μ)a - λb - (λ - μ)(a - b) = (2λ - μ)a - λb - (λ - μ)a + (λ - μ)b
= [(2λ - μ) - (λ - μ)]a + [ - λ + (λ - μ)]b = λa - μb.
练一练1：（1）(2????+3?????????)?(3?????2????+????)；（2）(????+????)?????(?????????)????.
?
解：（1）原式 = 2????+3??????????3????+2?????????=?????+5?????2????.
?
（2）原式 = (????+?????????+????)???? = 2???????? .
?
例2：设 x 是未知向量，解方程 x + a - 3(x - b) = 0.
解：原式可变形为 x + a - 3x + 3b = 0，
2x = a + 3b，
x = a + b.
解：∵点 D 为边 BC 的中点，∴
∴ ，
例3：如图，已知点 O 是 △ABC 所在平面内一点，点 D 为边 BC 的中点，且
= 0，说明向量 与 的关系.
又 = 0，∴ = 0，
∴ ，
即向量 与 共线且方向相同，长度是向量 长度的 倍.
回顾：根据今天所学，构建知识框图.
向量的数乘运算
数乘运算的定义
数乘运算的运算律

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