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6.4.1平面几何中的向量方法
& 6.4.2向量在物理中的应用举例
1.会用向量法解决简单的平面几何问题，体会向量在数学问题的作用.
2.掌握用向量知识解决一些简单的平面几何问题的方法.
3.会用向量法解决简单的力学问题以及实际问题，把物理问题转化为数学问题.
共线向量定理
平面向量基本定理
∥
A、P、B三点共线?
线性运算
且方向相同
数量积
坐标运算
如何运用这些向量知识解决平面几何和物理中的问题呢？
例1 DE是△ABC的中位线，用向量方法证明： DE//BC，DE=12BC.
?
想一想：我们要证明的结论可以转化为怎样的向量问题？
解决这一向量问题的思路是怎样的？
证明DE//BC，DE=12BC可以归结为证明????????=12????????，利用向量的共线来解决.
?
可以把问题进行转化，选取{????????,????????}为基底，用????????,????????
分别表示????????，????????进行证明.
?
一、平行问题
转化
运算
翻译
三步曲
用向量解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，讲平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离，夹角等问题；
（3）将运算结果“翻译”成几何关系.
方法归纳
二、长度问题
第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题:
例2 如图示，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？
解：
第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系:
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系:
追问：还可以选择其他基底吗？还可以用什么方法解决以下问题？
如图，以A为坐标原点， AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
x
y
例2 如图示，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
基底法
坐标法
(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3) 把运算结果“翻译”成几何关系.
转化
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；
④把几何问题向量化．
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找相应关系；
④把几何问题向量化．
方法归纳
√
练一练
解：
2. 如图示，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，求∠EMF的余弦值.
x
y
练一练
平面几何中的向量方法
1. 证明线段相等,转化为证明向量的长度相等;求线段的长,转化为求向量的模.
2. 证明线段、直线平行,转化为证明向量平行.
3. 证明线段、直线垂直,转化为证明向量垂直.
4. 几何中与角相关的问题,转化为向量的夹角问题.
5. 对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题,通常以相互垂直的两边所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系,通过向量的坐标运算解决平面几何问题.
方法归纳
例3 在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包、两个拉力夹角越大越费力如何从数学的角度解释这种现象？
思考：
（1）当θ为何值时，|F1|最小，最小值是多少？
（2）|F1|能等于|G|吗？为什么？
用向量法解决物理问题的一般步骤：
(1) 把物理问题中的相关量用向量表示；
(2) 转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；
(3) 将结果还原为物理问题，解释物理现象．
要点归纳
用向量法解决物理问题时，正确做出相应的几何图形有助于我们建立数学模型.向量在物理中的应用，如求力的合力与分解，力做的功等.
A
练一练
例4 如图，一条河两岸平行，河的宽度d＝500 m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度v1的大小为|v1|＝10 km/h，水流速度v2的大小为|v2|＝2 km/h，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间(精确到0.1 min)?
解：设点B是河对岸一点，AB与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着AB方向行驶时，船的航程最短.
如图示，设v=v1＋v2，则
所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要约为3.1min.
变式：行驶时间最短时，所用的时间是多少？
分析：小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小船过河所用时间才最短.
变式：行驶时间最短时，所用的时间是多少？
答：行驶的时间最短时，所用的时间是3min
v2
v1
v
4.一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知水流速度为2 km/h，若船的实际航行方向与水流方向垂直，则经过3 h，该船的实际航程为_____km.
练一练
问题：用向量方法解决几何问题、物理问题的思路是什么？你有哪些收获？
简记为：“三步曲”
几何元素向量化；
向量运算关系化；
结果翻译几何化.
基底法
坐标法
转化方法
用向量方法解决物理学中的相关问题的思路：

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