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6.4.3 课时1 余弦定理
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
情景：隧道工程的设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角.如何求出山脚的长度BC呢?
我们能否利用向量
解决这个问题呢？
勾股定理 ：c2=b2+a2
(1)如果∠A是直角，如何求BC呢？
(2)如果∠A不是直角，如何求BC，你有什么方法？
三条边和三个内角是三角形最基本的六个元素，通常只要知道了三个元素(其中至少包括一条边)就可以求出其余三个未知元素.这种从已知三角形的某些元素出发求这个三角形其他元素的过程叫作解三角形.
B
A
C
a
b
c
（一）解三角形
想一想：如图，在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
提示: 如图，设????????=a，????????=b，????????=c，
那么 c=a-b，①
我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|，
联想到数量积的性质c·c=|c|2，
可以考虑用向量c(即a-b)与其自身作数量积运算.
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（二）余弦定理
c=a-b， ①
由①得|c|2=c·c=(a-b)·(a-b)
=a·a+b·b-2a·b
=a2+b2-2|a||b|cos C.
所以c2=a2+b2-2abcos C.
想一想：若∠C=90°，公式会变成什么？
c2=b2+a2，即勾股定理
特例
余弦定理：
注意：每个等式都涉及三边和一角，四个元素知三求一.
知识归纳
例1 (1)一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是- 35，求三角形的另一边的长；
?
解：（1）设a=5，b=3，cos C=-35，
由余弦定理得，c2=a2+b2-2abcos C=25+9+18=52，
解得c=213，
所以三角形的另一边长是213.
?
(2)在△ABC中，已知b=5，c=15，∠B=30°，解这个三角形.
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两问中，已知什么求什么，如何借助余弦定理来求呢？
例1 (2)在△ABC中，已知b=5，c=15，∠B=30°，解这个三角形.
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解：由余弦定理b2=a2+c2-2accos B，
得(5)2=a2+(15)2-2a×15×cos 30°，
即a2-35a+10=0，解得a=5或a=25.
当a=5时，∠A=30°，∠C=120°；
当a=25时，a2=20=b2+c2，
所以该三角形为直角三角形，且∠A=90°，∠C=60°.
?
先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.
（1）若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；
（2）若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
方法归纳
1.在△ABC中，a=2，b=1，∠A+∠B=60°，则边长c=　　　.
7
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由∠A+∠B=60°得∠C=180°-(∠A+∠B)=120°.
由余弦定理得，c2=a2+b2-2abcos C=4+1-2×2×1×?12=7，
解得c=7.
?
练一练
所以c=3
所以
由余弦定理，得
进而
利用计算器可得
解：因为 ，且C为锐角
练一练
已知三边求角，如何求呢？如何确定这个最小内角？
先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．
方法归纳
已知三角形三边解三角形的方法：
1.余弦定理的推导及定义.
2.已知两边及一角解三角形.
3.已知三边解三角形.

本节课你学到了哪些知识，谈谈你的收获：
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4.在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
解：在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，
所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，
所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，
所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.
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