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6.4.3 课时2 正弦定理
1.掌握正弦定理及其扩充、变形，能借助向量的运算探究正弦定理的证明过程.
2.理解三角形面积公式，能应用正弦定理解决相关问题，并能综合运用正弦定理和余弦定理解决问题.
C
B
A
b
a
c
说一说：余弦定理可以解决已知哪些元素的三角形？
a2=b2+c2－2bccosA，
b2=a2+c2－2accosB，
c2=a2+b2－2abcosC.
知三求一
余弦定理
SAS
SSA
SSS
思考：根据三角形全等的判定AAS与ASA也可以唯一确定一个三角形，如何
求解已知两角一边的三角形呢？
根据锐角三角函数，在中，有
显然，上述两个关系式在一般三角形中不成立.
c
观察发现，它们有一个共同元素，利用它把两个式子联系起来，可得：
又因为所以上式可以写成与它的对角的正弦的比相等的形式，即
（一）正弦定理
问题1：对于锐角三角形和钝角三角形是否仍然有此结论呢？如何研究？
问题1：对于锐角三角形和钝角三角形，关系式是否仍然成立？
因为涉及三角形的边、角关系，所以仍然采用向量方法来研究.
显然，我们要研究的是中的边，，与它们所对角的正弦之间的关系式.在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究.
问题2：向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦.如何实现转化？
由诱导公式可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系.
如图，在锐角中，过点作与垂直的单位向量，则与的夹角为，与的夹角为.
因为，所以
由分配律，得：
即：，
也即.
所以.
①对于锐角三角形：
同理，过点作与垂直的单位向量，则与的夹角为，与的夹角为.
因为，所以
由分配律，得：
即：，
也即.
所以.
因此，有.
过点作与垂直的单位向量，则与的夹角为，与的夹角为.
因为，所以
由分配律，得：
即：，
也即.
所以.同理，有成立.
①对于钝角三角形，如图，在 中设为钝角：
正弦定理 ：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
.
利用正弦定理，可以解决以下两类问题：
1.已知两角和一边，解三角形；
2.已知两边和其中一边的对角，解三角形.
要点归纳1
以上定理是利用向量方法证明的，你还能想到其他方法吗？
　　①若△ABC为锐角三角形，如图，设CD为AB边上的高，
　　则CD＝bsin A.
因此　bcsin A =　acsin B =　absin ∠ACB，
即
　　
　　同理可得S=　acsin B，S=　absin ∠ACB.
锐角三角形
于是，△ABC的面积S=　AB·CD=　bcsin A.
②若△ABC为钝角三角形，是否能得到上述结论呢？
几何法：
发现：
钝角三角形
②若△ABC为钝角三角形，
思考：三角形各边与它所对角的正弦的比值相等，那么这个比值的几何意义是什么？
O
如图，以直角三角形为例，容易确定的外接圆的圆心的位置，它的外接圆的直径三角形的边、角的关系如下：
C
A
B
直角三角形
设外接圆的半径为R
∵AB=2R
∴BC=2R
又BC=a，所以
同理可得
= = =2R
课后可自行探究△ABC为锐角、钝角的情况
（二）正弦定理的扩充
1.正弦定理的扩充
2.正弦定理的变形形式
（R为三角形外接圆半径）
= = =2R
= = = = 2R
要点归纳2
题型一：已知两角及一边解三角形
例1.(1)在中，，则等于（ ）.
A. B. C. D.
解：因为，所以
因为根据正弦定理，
得故选A.
A
1.(2)在中，已知，，则
答案：.
解(2)：由正弦定理得，即，
解得
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边.
注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如)，再根据上述思路求解.
方法归纳
已知两角及一边解三角形的策略
例2.在中，已知，，，解这个三角形.
解：由正弦定理 ，得：
因为，所以
于是或
(1)当时，
此时，
题型二：已知两边及一边的对角解三角形
(2)当时，
此时，
例2.在中，已知，，，解这个三角形.
由三角函数的性质可知，在区间内，余弦函数单调递减，所以利用余弦定理求角，只有一解；正弦函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以利用正弦定理求角，可能有两解.
为什么这里
C有两个值呢？
于是或
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断出另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一.
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求出两个角，要分类讨论.
方法归纳
已知两边及一边的对角解三角形的方法
题型三：三角形形状的判断、正弦定理在边角互化中的应用
例3.在中，若且试判断的形状.
解：(法一)根据正弦定理，得 .
∵∴
∴是直角，，
∴
∴.∵，∴
∴是等腰直角三角形.
你能想到哪些解题的方法？
解：(法二)根据正弦定理，得 .
∵∴
∴是直角，∵
∴
∴.又，∴
∴是等腰直角三角形.
判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下：
(1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：①为外接圆的半径)；②
(2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有：①为外接圆的半径)；②
方法归纳
题型四　三角形面积公式的应用
例4 在△ABC中,已知B=30°,AB=2,AC=2,求△ABC的面积.
解: 由题意及正弦定理可得sin C=,
则C=60°或C=120°.
当C=60°时,A=90°,此时S△ABC=AB×AC=2;
当C=120°时,A=30°,此时S△ABC=AB×ACsin A=.
综上,△ABC的面积为2.
三角形的面积公式的应用技巧
(1)求三角形的面积时,应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法,这样不仅能减少一些不必要的计算步骤,还能使计算结果更加接近真实值.
(2)在众多公式中,最常用的公式是S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B,即给出三角形的两边和夹角求三角形的面积;反过来,给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角.
方法归纳
问题1：正弦定理有何作用？
文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的的正弦的比相等
符号语言
(1)(为外接圆的半径).
(2)(为外接圆的半径).
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即
(4).
(5),
问题2：正弦定理的常见变形有哪些？
面积公式：
（1）在△ ABC 中，已知 C ＝60°， a ＝1， b ＝3，可用正弦定理解此三角形（ ）.
解析：已知三角形的两边和这两条边的夹角，无法用正弦定理解此三角形.
（2）对于任意△ ABC ，总有 b sin A ＝ a sin B . （　 √ 　）
解析：由正弦定理知 ＝ ，即 b sin A ＝ a sin B .
（3）在△ ABC 中，若 sin A ＞ sin B ，则 A ＞ B ；反之，若 A ＞ B ，则 sin A ＞ sin B （ ）.
解析：在△ ABC 中， sin A ＞ sin B a ＞ b A ＞ B .
×
√
√
（4）在△ ABC 中，若 A ＝30°， a ＝2， b ＝2 ，则 B ＝60°.（　×　）
解析：由正弦定理知 ＝ ，即 ＝ ，所以 sin B ＝ ，则 B ＝
60°或120°，又因为 b ＞ a ，所以 B ＞ A ，故 B ＝60°或120°.
×
判一判

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