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6.4.3 课时3 余弦定理、正弦定理应用举例
1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离、高度、角度的测量问题.
2.能够运用正、余弦定理进一步解决一些有关三角形的计算问题.
C
B
A
b
a
c
a2=b2+c2－2bccosA，
b2=a2+c2－2accosB，
c2=a2+b2－2abcosC.
1.余弦定理
2.正弦定理
三角形面积公式
利用它们能解决哪些实际问题呢？
一、测量距离问题
当线段 AB 的长度不可直接测量时，求 A ， B 两点间的距离有以下三种类型：
①测出两边及其夹角：BC＝a，AC＝b，角C，运用余弦定理得AB＝
②测出两角及其夹边：BC＝a，角B，角C，根据正弦定理＝＝＝＝，得
AB＝
③先在△ADC和△BDC中分别求出AD，BD（或AC，BC），
再在△ABD（或△ABC）中运用余弦定理求解.
例1 如图，货轮在海上以40km/h的速度沿着南偏东40 °的方向航行，货轮在B点观测灯塔A在其南偏东70°的方向上，航行半小时到达C点，此时观测灯塔A在其北偏东65 °的方向上.求C点与灯塔A的距离.
　解：在△ABC中，BC=40×　=20(km)，
　　　∠ABC=70 ° －40 ° =30 ° ，∠ACB=40 ° +65 ° =105 ° ，
　　 所以∠A=180 ° －(30 ° +105 °)=45 ° ．
由正弦定理得
因此，C点与灯塔A的距离是　　 km．
题型1：测量距离问题
在运用解三角形的知识解决实际问题时，通常都应根据题意将实际问题转化为解三角形的问题，从中抽象出一个或几个三角形，然后解这些三角形，得出所要求的量，经检验后得到实际问题的解.其基本步骤如图：
方法归纳
数学问题（画出图形）
解三角形问题
数学结论
实际问题
分析转化
检验
例2 如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为 m的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l.河边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离)，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧CD的交点为E.已知扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB顶端的仰角分别为45° ，30 °和60 °.
(1)求烟囱AB的高度h；
(2)如果要在CE间修一条直路，求CE的长.
题型2：测量高度问题
　　解：(1)因为∠AOB=30 ° ，∠AEB=60 ° ，∠ABO=90 ° ，
　　所以OB=　 h m，EB= h m，
(1)求烟囱AB的高度h；
　又OE=　　 m，所以 ，解得h=15.
　　因此烟囱的高度为15m.
(2)在△ABC中，∠ABC=90 ° ，∠ACB=45 ° ，
所以CB=AB=15m.　由(1)知，OB=　　 m.
所以在△OCE中，CE2=OC2+OE2－2OC·OEcos∠COE
=300+300-600×56=100.
因此CE的长为10 m.
在△OBC中，
(2)如果要在CE间修一条直路，求CE的长.
二、常用的角度知识
实际应用问题中的一些关于角的术语、名称：
（1）坡角：
坡面与水平面的夹角，如图：
（2）仰角和俯角：
与目标视线在同一铅直平面内的水平线和目标视线的夹角，当目标视线在水平线上方时叫作 ，当目标视线在水平线下方时叫作 ，如图：
仰角　
俯角　
（3）方位角
指从正北方向线 到目标方向线的水平角，方位角的取值范围
是 .如图中 B 点的方位角为α.
顺时针旋转　
[0，2π）　
（4）方向角
相对于某一正方向的水平角，即从 方向线到 方向线的水平角.方向角小于90°，通常表达成：正北或正南，北偏东30°，南偏西30°等.如图，点 C 位于点 B 的北偏东60°或东偏北30°方向上.
指定　
目标　
（1）基线选择不同，同一个量的测量结果可能不同. （　√　）
（2）东偏北45°的方向就是东北方向. （　√　）
（3）两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形
并求解. （　√　 ）
可由正弦定理解三角形求解.
√
√
√
（4）如图所示，为了测量隧道 AB 的长度，可测量数据 a ， b ，γ进行计算.
（　√　）
由余弦定理可求出 AB .
√
判一判：
1.一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为
2 km/h，则经过2 h，该船实际航程为 km.
解析：如图所示，
v 实＝ ＝2 （km/h），
所以实际航程为2 ×2＝4 （km）.
4 　
练一练
2.如图，某景区欲在两山顶 A ， C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离，已知山高 AB ＝1 km， CD ＝3 km，在水平面上 E 处测得山顶 A 的仰角为30°，山顶 C 的仰角为60°，∠ AEC ＝150°，则两山顶 A ， C 之间的距离为（　A　）
A. 2 km B. 3 km
C. 4 km D. 3 km
A
[解析]　因为 AB ＝1， CD ＝3，∠ AEB ＝30°，∠ CED ＝60°，∠ AEC ＝150°，
所以 AE ＝2 AB ＝2， CE ＝ ＝ ＝2 ，
在△ ACE 中，由余弦定理，得 AC 2＝ AE 2＋ CE 2－2× AE × CE × cos ∠ AEC
＝4＋12－2×2×2 ×（－ ）＝28，
所以 AC ＝2 ，即两山顶 A ， C 之间的距离为2 km.
[解析]　在△ ABC 中，由正弦定理，得
＝ ，
即 ＝ ，
所以 AC ＝100 .
在△ ADC 中，由正弦定理得 ＝ ，
即 ＝ ，
所以 cos θ＝ sin （θ＋90°）＝ ＝ －1.
例3 如图所示，在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C 对于山
坡的倾斜度为15°，向山顶前进100 m到达 B 处，又测得 C 对于山坡的倾斜度为45°，
若 CD ＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，求 cos θ.（注： sin 15°＝ ）
题型3 测量角度问题
　
3.当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m的竹竿如图所示放置，要
使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角为（　A　）
A. 30° B. 60° C. 45° D. 90°
解：设竹竿与地面所成的角为α，影子长为 x m.
由正弦定理，得 ＝ ，所以 x ＝ × sin （120°－α），因为30°
＜120°－α＜120°，所以当120°－α＝90°，即α＝30°时， x 有最大值，
故竹竿与地面所成的角为30°时，影子最长.故选A.
A
练一练
本节课你学到了哪些知识与方法？谈谈你的收获.
分析转化
数学问题（画出图形）
解三角形问题
实际问题
检
验
数学结论
距离、高度、角度的测量问题
1. 某人先向正东方向走了 x km，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，
结果他离出发点恰好为 km，那么 x 的值为（　C　）
A. B. 2
C. 2或 D. 3
解析：根据余弦定理，可得（ ）2＝ x 2＋32－2×3 x × cos （180°－150°），
即 x 2－3 x ＋6＝0，解得 x ＝2 或 x ＝ .
2. 两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站北偏东40°的
方向上，灯塔 B 在观察站南偏东60°的方向上，那么灯塔 A 在灯塔 B 的（　B　）
A. 北偏东10° B. 北偏西10°
C. 南偏东10° D. 南偏西10°
C
B
解析：如图，由已知，得
∠ ACB ＝180°－（40°＋60°）＝80°，
∵ AC ＝ BC ，
∴∠ A ＝∠ CBA ＝ ×（180°－80°）＝50°.
又 EC ∥ BD ，
∴∠ CBD ＝∠ BCE ＝60°，
则∠ ABD ＝60°－50°＝10°，
∴灯塔 A 在灯塔 B 的北偏西10°的方向上.
2. 两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站北偏东40°的
方向上，灯塔 B 在观察站南偏东60°的方向上，那么灯塔 A 在灯塔 B 的（　B　）
3. 江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m.
解：如图，过炮台顶部 A 作水平面的垂线，垂足为 B ，设 A 处观测小船 C 的俯角为45°， A 处观测小船 D 的俯角为30°，
由已知得 AB ＝ BC ＝30 m， BD ＝30 m.
又∠ CBD ＝30°，在△ BDC 中，由余弦定理，得
30　
CD ＝
＝ ＝30（m）.
4. 北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 m，则旗杆的高度为 m.
30　
解：设旗杆高为 h m，最后一排的观测点为点 A ，
第一排的观测点为点 B ，旗杆
顶端为点 C ，则 BC ＝ ＝ h .
在△ ABC 中， AB ＝10 ，∠ CAB ＝45°，∠ ABC ＝105°，
所以∠ ACB ＝30°，由正弦定理，得 ＝ ，
解得 h ＝30，故旗杆的高度为30 m.

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