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第二章 平面向量及其应用
2.4.2 平面向量及运算的坐标表示
1.理解平面向量坐标的概念，会求平面向量的坐标.
2.掌握平面向量运算的坐标表示.
3.掌握向量平行的坐标表示，能解决向量共线问题.
情境：如图所示，木块所受重力 G 可以分解为两个分力：平行于斜面使木块下滑的力 F1，垂直于斜面的压力 F2 .
向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
如图，重力 G 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解.
问题1：在平面直角坐标系中，每一个点可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那么对平面直角坐标内的每一个向量，可否用坐标来表示？若可以，该如何表示呢？
x
y
a
i
j
P (x，y)
O
如图，作 = a (称 为位置向量)，则由平面向量基本定理可得， = xi + yj，即 a = xi + yj.
(x，y) 称为向量 a 在标准正交基 {i，j} 下的坐标，向量 a 可以表示为 a = (x，y).
x
y
i
j
p (x，y)
O
平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，点 P 的位置被它的位置向量 所唯一确定，设点 P 的坐标为 (x，y)，易得： = xi + yj = (x，y)，
即点 P 的位置向量 的坐标 (x，y) 也就是点 P 的坐标；反之，点 P 在平面直角坐标系中的坐标也是点 P 所决定的位置向量 的坐标.
例1：在平面内，以点 O 的正东方向为 x 轴的正向，正北方向为 y 轴的正向建立平面直角坐标系. 质点在平面内做直线运动. 先画出位移向量在基{i，j}下的正交分解，再求出下列位移向量的坐标.
（1）向量 a 表示沿东北方向移动了 2 个单位长度；
x
y
a
i
j
O
45°
P
解：（1）设 a = (x1，y1)，则向量 a 在基{i，j}下的正交分解，如图所示；
（2）向量 b 表示沿北偏西 30°方向移动了 3 个单位长度；
（3）向量 c 表示沿南偏东 60°方向移动了 4 个单位长度.
（2）（3）设 b = (x2，y2)，c = (x3，y3)，同理可得：
问题2：已知 a = (x1，y1)，b = (x2，y2)，试求 a + b，a - b，λa 的坐标.
解：∵a = (x1，y1)，b = (x2，y2)，∴a = x1i + y1j，b = x2i + y2j，
∴ a + b = (x1i + y1j) + (x2i + y2j) = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j，
即 a + b = (x1 + x2，y1 + y2)，
同理 a - b = (x1 - x2，y1 - y2)，
设λ∈R，则 λa = λ(x1i + y1j) = λx1i + λy1j，即 λa = (λx1，λy1).
归纳：
1. 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差；
2. 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积.
练一练1：已知 a = (2，1)，b = ( - 3，4)，求 a + b，a - b，3a + 4b 的坐标.
解：a + b = (2，1) + (-3，4) = (-1，5)；
a - b = (2，1) - (-3，4) = (5，-3)；
3a + 4b = 3(2，1) + 4(-3，4) = (6，3) + ( -12，16) = ( -6，19).
例2：已知 A (x1，y1)，B (x2，y2)，如何求出 的坐标？
A(x1，y1)
B(x2，y2)
O
y
x
解：在直角坐标系中作向量
归纳：一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标.
变式：已知 A (x1，y1)，B (x2，y2)，若 M 是线段 AB 的中点，求点 M 的坐标.
线段 AB 的中点坐标
解：如图，向量
A
O
y
x
M
B
练一练2：已知点 A(1，0)，B(0，2)，C( -1，-2)，用向量的方法求□ABCD 的顶点 D 的坐标为 .
(0，-4)
分析：如图，设点 D 坐标为(x，y)，由 ，得
(0，2) - (1，0) = (-1，-2) - (x，y)，
即 (-1，2) = (-1 - x，-2 - y)，解得 x = 0，y = -4.
所以点 D 的坐标为 (0，-4) .
问题3：若 a = (x1，y1)，b = (x2，y2) (b≠0)，那么 a∥b 时，它们的坐标应满足什么条件？
解：由共线(平行)向量基本定理可知：x1i + y1j = λ(x2i + y2j) = λx2i + λy2j，
可得 x1y2 - x2y1 = 0.
向量 a，b (b ≠ 0) 共线的充要条件是 x1y2 - x2y1 = 0.
例3：已知 O 是坐标原点， ，当 k 为何值时，A，B，C 三点共线？
解：依题意得
要使 A，B，C 三点共线，只需 共线，
即(4 - k)(k - 5) - 6×( - 7) = 0，解得 k = - 2 或 k = 11，
∴当 k = - 2 或 k = 11 时，A，B，C 三点共线.
根据今天所学，回顾下列知识点：
（1）平面向量的坐标表示： =_______________；
（2）平面向量运算的坐标表示：
① a + b = _______________；② a - b = ______________；③ λa =_________；
（3）平面向量共线的充要条件：______________.
xi + yj = (x，y)
(x1 + x2，y1 + y2)
(x1 - x2，y1 - y2)
(λx1，λy1)
x1y2 - x2y1 = 0

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