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山西大学附中 2025~2026 学年第二学期高三 2 月模块诊断 数学试题
考查时间:120 分钟 满分:150 分
一、选择题(本小题 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.)
1. 命题“ ”的否定是( )
A. B.
C. D.
2. 已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知空间向量 ，且 与 夹角的余弦值为 ，则 在 上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4. 若 ，则 ( )
A. B. C. D.
5. 下列函数中,是偶函数且在区间 上有最小值的是 ( )
A. B. C. D.
6. 将 5 名程序专家全部分配到 1,2,3 号 3 个实验室指导工作, 每个实验室至少分配 1 名专家，其中 专家必须去 1 号实验室，则不同的分配方案共有( )
A. 26 种 B. 36 种 C. 38 种 D. 50 种
7. 如图，在平面四边形 中， ， 是边长为 3 的正三角形. 将该四边形沿对角线 折成一个大小为 的二面角 ，则四面体 的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
8. 若函数 在其定义域内存在实数 满足 ,则称函数 为“局部奇函数”.已知函数 是定义在 上的“局部奇函数”，则实数 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二、选择题(本小题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.)
9. 已知一组样本数据: 4、2、4、2、 、2、0、2，下列说法正确的是( )
A. 这组数据的平均数为 2 B. 这组数据的 80% 分位数为 2
C. 去掉一个样本数据 0 后方差变小 D. 每个样本数据都减 后方差变小
10. 已知数列 满足 ， 是 的前 项和，则下列说法一定正确的是( )
A.
B.
C. 是等比数列
D. 若 ，当 为奇数时，满足 的 的最大值为 43
11. 已知抛物线 的焦点为 ,准线 与 轴交于点 ,过第一象限 上一点 作 的垂线,垂足为 ,线段 与 相交于点 ,若 ,则()
A. 直线 的斜率为
B. 为 的平分线
C. 的面积为
D. 三点共线
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.)
12. 若椭圆 上一点到 的两个焦点的距离之和为 ,则 _____.
13. 已知在 的展开式中，第 3 项的二项式系数与第 5 项的二项式系数相等，则 的系数为_____.
14. 中， ，则 的最大值为_____.
四、解答题 (解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.)
15. (本小题 13 分) 已知 的内角 的对边分别为 ，且 ,
(1)求A的大小；
(2)若 ，求 的面积.
16. (本小题 15 分) 已知椭圆 ，点 在椭圆 上，且点 到两焦点 和 的距离之和为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若点 的坐标为 ，过点 的直线 与椭圆 交于 (异于点 )两点，且直线的斜率为 -1,求 的面积.
17.(本小题 15 分) 如图，三棱台 中， 平面 ， ， 分别是棱 的中点.
(1)证明:平面 平面 ；
(2)已知三棱台 的体积大于 2，且直线 与平面 所成的角的正弦值为 ,求平面 与平面 的夹角的余弦值.
18.(本小题 17 分)近年来足球赛事中，单败淘汰赛制(输一局就淘汰)与新兴的双败赛制并存,为比赛增添了许多看点. 现有四支队伍 参与赛事,其中 是强队,对阵 的获胜概率均为 ,而 彼此之间对阵时获胜概率均为 . 经抽签,第一轮比赛时, 和 对阵, 和 对阵.
单双败赛制规则如下图所示:
双败赛制流程图
(1)若赛前要从 4 支队伍中随机选出 2 支队伍打一场热身赛，求选出的两支队伍恰好是 A 和 的概率;
(2)若 ，在单败淘汰赛赛制下， 获得冠军的概率是多少？
(3)分别计算两种赛制下 获得冠军的概率(用 表示)，并据此证明双败赛制对强队更有利.
19. (本小题 17 分) 已知函数 ,设 为 的导函数.
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
( 2 )当 时，求 的极值点个数；
(3)判断当 时， 的所有零点之和与 的大小关系，并说明理由.山西大学附中 2025~2026 学年第二学期高三 2 月模块诊断 数学试题
考查时间:120 分钟 满分:150 分 命题人:李夏
一、单选题
1. 命题“ ”的否定是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
2. 已知复数 满足 ,则 在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
3. 已知空间向量 ，且 与 夹角的余弦值为 ，则 在 上的投影向量为( )
A. B. C. D.
【答案】D
4. 若 ,则
A. B. C. D.
【答案】B
5. 下列函数中,是偶函数且在区间 上有最小值的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
6. 将 5 名程序专家全部分配到 1,2,3 号 3 个 实验室指导工作,每个实验室至少分配 1 名专家,其中 专家少须去 1 号实验室, 则不同的分配方案共有 ( )
A. 26 种 B. 36 种 C. 38 种 D. 50 种
【答案】D
7. 如图,在平面四边形 中, 是边长为 3 的正三角形. 将该四边形沿对角线 折成一个大小为 的二面角 ,则四面体 的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
8. 若函数 在其定义域内存在实数 满足 ,则称函数 为“局部奇函数”. 知函数 是定义在 上的“局部奇函数”，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
二、多选题
9. 已知一组样本数据: 4、2、4、2、、2、0、2，下列说法正确的是( )
A. 这组数据的平均数为 2 B. 这组数据的 80% 分位数为 2
C. 去掉一个样本数据 0 后方差变小 D. 每个样本数据都减 后方差变小
【答案】AC
10. 已知数列 满足 ， 是 的前 项和，则下列说法一定正确的是( )
A.
B.
C. 是等比数列
D. 若 ，当 为奇数时，满足 的最大值为 43
【答案】AD
11. 已知抛物线 的焦点为 ,准线 与 轴交于点 ,过第一象限 上一点 作 的垂线,垂足为 ,线段 与 相交于点 ,若 ,则()
A. 直线 的斜率为 B. FQ 为 的平分线
C. 的面积为 D. 三点共线
【答案】ABD
三、填空题
12. 若椭圆 上一点到 的两个焦点的距离之和为 ,则 _____.
【答案】 .
13. 已知在 的展开式中，第 3 项的二项式系数与第 5 项的二项式系数相等，则 的系数为_____.
【答案】60
14. 中， ，则 的最大值为_____.
【答案】
四、解答题
15. 已知 的内角 的对边分别为 ,且 ,
(1)求A的大小；
(2)若 ，求 的面积.
【答案】【小题 1】 【小题 2】
(1) ,可得
又
(2)由正弦定理得， ，
由余弦定理, ,可得, ,
联立方程组整理得, ,所以 或 (舍).
16. 已知椭圆 ，点 在椭圆 上，且点 到两焦点 和 的距离之和为 . (1)求椭圆 的标准方程；
(2)若点 的坐标为 ，过点 的直线 与椭圆 交于 (异于点 )两点，且直线的斜率为 -1，求 的面积.
【答案】
(2)
(1)由已知可得 化简可得 ,
,
则椭圆方程为 ;
(2)设 ，
由已知可得直线 ，即 ，
联立直线与椭圆 ,消去 可得 ,
则 ,
则 ,
又点 到直线 的距离 ,
所以 ;
17. 如图,三棱台 中, 平面 分别是棱 的中点.
(1)证明:平面 平面 ；
(2)已知三棱台 的体积大于 2，且直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，求平面 与平面 所成角的余弦值.
( 1 )证明:因为 平面 平面
所以 ,又因为 ,都在平面 内,
所以 平面 ，又因为 平面
所以平面 平面
(2)解:在三棱台 中， 分别是棱 的中点，所以 且相等, 且相等,
所以 四点共面
由(1)知 平面 平面 ，
在平面 内,
得:
所以 为平面 与平面 所成角,
设 ,点 到平面 的距离为
由 可得:
所以
所以 或
又因为
所以 ,所以
所以在 Rt 中,
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 .
18. 近年来足球赛事中, 单败淘汰赛制 (输一局就淘汰) 与新兴的双败赛制并存, 为比赛增添了许多看点. 现有四支队伍 参与赛事,其中 是强队,对阵 的获胜概率均为 ,而 彼此之间对阵时获胜概率均为 . 经抽签,第一轮比赛时, 和 对阵, 和 对阵.
双败赛制规则如下图所示:
(1)若赛前要从 4 支队伍中随机选出 2 支队伍打一场热身赛，求选出的两支队伍恰好是 A 和 B 的概率；
(2)若 ，在单败淘汰赛赛制下， 获得冠军的概率是多少？
(3)分别计算两种赛制下 获得冠军的概率(用 表示)，并据此证明双败赛制对强队更有利.
(1)从 4 支队伍中随机选出 2 支，总共有 6 种可能: ，
其中选出的两支队伍恰好是 和 只有 1 种情况，
因此,选出的两支队伍恰好是 和 的概率为 .
(2)设事件 对阵 或 或 时，A 赢”， ；
设事件 “ 对阵 或 时, 赢”,设事件 “ 对阵 或 时, 赢”,
设事件 " 对阵 或 时, 赢",
则 ,事件 之间相互独立.
设事件 “单败淘汰赛制下, 获得冠军”,则事件 包含两种情况:
① 、 对阵时 赢， 、 对阵时 赢，最后 、 对阵时 赢，即事件: B ，
② 、 对阵时 赢， 、 对阵时 赢，最后 、 对阵时 赢，即事件: BB，
.
因为事件 与事件 互斥,且事件 ,
因此, ,
所以在单败淘汰赛赛制下, 获得冠军的概率是 .
(3)在单败淘汰赛赛制下， 要想获得冠军，有两种情况:
① 、 对阵时 赢， 、 对阵时 赢， 再与 对阵时 赢，即事件 ，
② 、 对阵时 赢， 、 对阵时 赢， 再与 对阵时 赢；即事件 ，
因为事件 与事件 互斥,所以 获得冠军的概率为:
在双败赛赛制下, 要想获得冠军,从每场 参与的比赛中 的输赢角度出发,有三种情况:
① 、 对阵时 赢， 与 、 对阵中的胜者比赛时 赢，最后一场决赛 赢，即事件 ，
② 对阵时 赢， 与 对阵中的胜者比赛时 输， 对阵中负者与 对阵时胜者与 对阵时 赢， 最后一场决赛 赢，即事件 ，
,
③ 对阵时 输， 与 对阵中的负者比赛时 赢， 对阵中的胜者与 对阵时负者与 对阵时 赢， 最后一场决赛 赢，即事件 ，
所以 获得冠军概率为:
,
因为 ,
当 时,有 .
因此, 双败赛制对强队更有利.
19. 已知函数 ,设 为 的导函数.
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)证明:当 时， 有且仅有一个极值点；
(3)判断当 时， 的所有零点之和与 的大小关系，并说明理由.
(1) 因为 ,所以 ,
所以 ,
所以曲线 在点 处的切线方程为 ,即 .
( 2 )因为 ，所以 ，
设 ,
则 ,其中 恒成立,
设 ,
则 ,
因为 ,所以 ,
所以当 ,即 时, ,函数 单调递减;
当 ,即 时, ,函数 单调递增;
当 ,即 时, ,函数 单调递减,
又 ,
,
所以 ,使得 ,即 ,
所以对于 ,有 ,
当 时, ,函数 单调递增;
当 时, ,函数 单调递减,
所以 是函数 的极大值点, 无极小值点,
所以函数 有且仅有一个极值点.
(3)函数 的所有零点之和大于 ，理由如下:
由(2)知 ,
,使得当 时,函数 单调递增;
当 时,函数 单调递减,
又 ,所以
因为 ,所以 ,所以 ,
所以 ,使得 ,使得 ,
所以当 时, ,函数 单调递减;
当 时, ,函数 单调递增;
当 时, ,函数 单调递减,
又 ,所以 ,
又 ,
所以 ,使得 ,所以 ,
又 ,所以 ,
所以 ,使得 ,
又 ,
所以函数 在区间 上无零点;
故函数 在 上有两个零点 ,且 ,
由 可得: ,
所以 ,
又 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ,
又 ,所以 ,
因为函数 在 上单调递减，所以 ，即 ，
所以函数 的两个零点之和大于 .

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