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人教版 八年级 数学（下）
第二十三章 一次函数
23.4　实际问题与一次函数
第1课时　一次函数的实际应用——将实际问题抽象成一次函数问题
新课导入
问题：某辆汽车在加油后，油箱中有汽油50 L．如果汽车每行驶100 km耗油8 L，那么油箱中的剩余油量y(L)与行驶路程x(km)之间的关系是什么？
1．审题与识别变量：
问：问题中变化的量是什么？(行驶路程x，剩余油量y)
问：谁是自变量，谁是因变量？(x是自变量，y是因变量)
2．寻找对应关系：
问：汽车每公里的耗油量是多少？(8/100＝0.08 L/km)
问：行驶x km，耗油量是多少？(0.08x L)
问：耗油量与剩余油量是什么关系？(初始油量－耗油量＝剩余油量)
探究新知
某玉米种子的价格为40元/kg，若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打6折.
（1）写出付款金额关于购买量的函弊解析式，并画出函数图象；
（2）一次购买4 kg玉米种子，需付款多少元
(1)问题中哪个量是自变量？哪个量是自变量的函数？
提出问题：
(3)画函数图象时应注意什么问题？
(4)求所需付款金额时应注意什么问题？
(2)你能写出函数解析式吗？
知识归纳
抽象一次函数模型的“四步法”：
定变量：找准谁是自变量x，谁是自变量的函数y.
01
02
找关系：分析y是如何随着x的变化而变化的．寻找“初始值”(对应b)和“单位变化量”(对应k)．
03
建模型：根据关系写出y＝kx＋b.
04
释意义：解释k和b在实际问题中的具体含义．
例题与练习
例 1
某玉米种子的价格为40元/kg，若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打6折.
（1）写出付款金额关于购买量的函弊解析式，并画出函数图象；
（2）一次购买4 kg玉米种子，需付款多少元
分析：付款金额与种子价格有关，而种子价格不是固定不变的，它与购买量有关,因此，写函数解析式与画函数图象时，应分0≤x≤2和x>2讨论。
1
O
x/kg
y/元
20
2
3
40
60
80
100
解：（1）设购买量为xkg，付款金额为y元.
当0 ≤ x ≤ 2时，种子价格为40 元/kg，函数解析式为y=40x；
当x>2时，购买的种子中有2kg按40元/kg计价，
其余的（x-2）kg（即超出2kg部分）按24元/kg（即6折）计价，
函数解析式为y=80+24（x-2）=24x+32.
（2）因为4>2，所以y=244+32=128.
因此，一次购买4 kg种子，需付款128元.
1
O
x/kg
y/元
20
2
3
40
60
80
100
y=40x
y=24x+32
函数图象如图所示：
　 某种储蓄罐的质量为50 g，投入若干枚某种硬币以
后，储蓄罐和硬币的总质量y(单位：g)与硬币数量x(单
位：枚)的关系如下表：
硬币数量x/枚 1 2 3 4 5
储蓄罐和硬币总质量y/g 56 62 68 74 80
例 2
解：(1)由题意，每增加1枚硬币，总质量增加6 g，则y与x满足一次函数关系，
(2)当储蓄罐和硬币总质量为110 g时，即当y＝110时，
(1)求y与x之间的函数关系式(x为正整数)；
(2)当投入的硬币数量为6枚时，储蓄罐和硬币的总质量为____g；当储蓄罐和硬币总质量为110 g时，投入的硬币为多少枚？
设y＝kx＋b(k≠0)，把(1，56)，(2，62)代入，得
∴y＝6x＋50.
∴y与x之间的函数关系式为y＝6x＋50.
56＝k+b，
62＝2k+b，
解得
k＝6，
b＝50，
86
由110＝6x＋50，解得x＝10.
1.一个实验室在0：00--2：00保持20的恒温，在2：00-4：00匀速升温，每小时升高5.写出实验室温度T（单位：）关于时间t（单位：h）的函数解析式，并画出函数图象.
解：根据题意，温度 T 随时间 t 的变化分为两段：
第一段（0 ≤ t < 2）：保持恒温 20℃
T=20
第二段（2 ≤ t ≤ 4）：匀速升温，每小时升高 5℃
2:00 时温度为 20℃，之后每小时增加 5℃，
因此：T=20+5(t 2)=5t+10
综上，函数解析式为：
T ≤
20, 0≤t<2
5t+10, 2≤t ≤ 4
2.某市出租车的收费方式为：路程不超过3km时收费9元，超过3 km部分每千米收费2元。记乘客乘坐出租车的路程为x（x>3）km，乘车费为y元.
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若有一位乘客付了23元乘车费，则他的乘车路程是多少？
解：（1）当x>3时，前3千米收费9元，
超过3千米的部分路程为（x-3）千米，这部分费用为2（x-3）元。
∴总费用y=9+2（x-3），化简可得：
y=9+2x-6
y=2x+3
故y关于x的函数解析式为y = 2x+3（x>3）
（2）已知乘客付了23元乘车费，
∵23>9，说明路程超过了3千米。
将y= 23代入y= 2x+3中，
得到23 = 2x+3，即2x+3=23
∴他的乘车路程是10千米，
解得 x=10
3．一个弹簧不挂重物时有一定的长度，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比(在弹簧的弹性限度内)，如果挂上1 kg的物体后，弹簧的总长为14 cm；如果挂上4 kg的物体后，弹簧的总长为20 cm.
(1)求弹簧总长y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数解析式；
(2)求弹簧不挂重物时的长度．
根据自变量的值求函数的值，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
解：(1)设弹簧总长y关于所挂物体质量x的函数解析式为y＝kx＋b，
∴弹簧总长y关于所挂物体质量x的函数解析式为y＝2x＋12.
(2)当x＝0时，y＝12.
答：弹簧不挂重物时的长度为12 cm.
根据题意，得
k+b=14,
4k+b=20,
解得
k=2,
b=12,
4．工艺品店销售某种工艺品，调查发现：当销售价为40元/件时，每天的销售量为20件；而当销售价每降低1元，每天的销售量就多5件．设售价为x元/件，每天的销售量为y件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若某天销售时，每件工艺品的利润为15元，当天共盈利750元，求这天该种工艺品每件的销售价．
解：(1)根据题意，得y＝20＋×5＝－5x＋220，
∴y与x之间的函数关系式为y＝－5x＋220.
(2)当y＝＝50时，－5x＋220＝50，
解得x＝34.
∴这天该种工艺品每件的销售价为34元．
课堂小结
实际问题
函数问题
设变量
找对应关系
函数问题的解
实际问题的解
解释实
际意义

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