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(共24张PPT)
第四章 平行四边形
4.6 反证法
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
01
02
1.反证法的概念和利用反证法证明的一般步骤。
2.能灵活运用反证法来解决问题。
3.了解定理“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”。
4.通过反证法的学习，感受数学证明的严谨性，提高学习数学的兴趣和信心。
02
新知导入
中国古代有一个《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子。小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动。
有人问王戎为什么
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李。”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李。
王戎是怎样知道李子是苦的呢 他运用了怎样的推理方法
03
新知探究
【思考】假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢？
那么，树上的李子还会这么多吗？
这与事实矛盾吗？说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？
所以，李子是苦的。
03
新知讲解
王戎推理过程
假设“李子甜”
树在道边则李子少
与已知条件 “树在道边而多子”产生矛盾
假设 “李子甜”不成立
所以“树在道边而多子，此必为苦李” 是正确
提出假设
推理论证
得出矛盾
结论成立
03
新知讲解
【例】小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了，小华对小明说：“昨天晚上下雨了。”
你能对小华的判断说出理由吗？
小华的理由吗：
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。
我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。
03
新知讲解
提炼概念
在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义、基本事实、定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法。
步骤：
假设：假设命题结论的否定
推理归谬：将假设作为条件，与原命题的条件一起，进行正确的推理，推出矛盾的结果
得出结论：否定假设，肯定原命题结论是正确的。
03
新知讲解
用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的。这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定。既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了。
【知识拓展】
新课探究
例1
例 求证:四边形中至少有一个角是钝角或直角。
已知:四边形ABCD。
求证:四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角。
证明：假设 四边形ABCD中没有一个角是钝角或直角,
即∠A<90°,∠B<90° ,∠C<90°,∠D<90°，
于是∠A+∠B+∠C+∠D<360°。
这与“四边形的内角和为360°”矛盾。
所以四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角。
新课探究
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
(1)你首先会选择哪一种证明方法
(2)如果选择反证法,先怎样假设 结果和什么产生矛盾
03
新知讲解
已知:如图，l1∥l2 ,l2 ∥l3。
求证：l１∥l３。
l２
l１
l３
∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点P就有两条直线l１， l３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线”矛盾。
证明：假设l１不平行于l３，则l１与l３相交,设交点为P。
P
所以假设不成立，所求证的结论成立，
即l１∥l３。
03
新知讲解
用反证法证题时，应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；
（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。
【总结归纳】
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．“aA．a≠b B．a>b C．a=b D．a=b或a>b
2．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（ ）
A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c
C．a⊥b D．a与b相交
D
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3．如下图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点．
证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点___________________”矛盾，所以假设不成立，则______________。
两
有且只有一条直线
原命题成立
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
4.用反证法证明：等腰三角形的底角都是锐角。
证明：假设等腰三角形的底角不是锐角。
已知：在△ABC中，AB=AC，求证：∠B、∠C是直角或钝角。
∵AB=AC , ∴∠B=∠C 。
∵∠B、∠C是直角或钝角 , ∴∠A+∠B+∠C≥1800 。
这与三角形内角和180°矛盾，所以假设不成立，原命题正确。
05
课堂小结
【总结归纳】反证法的步骤
一、提出假设
假设命题不成立（即命题的反面成立）
二、推理论证
从假设出发经过推理
三、得出矛盾
假设出发所得结论与已知条件或定义、基本事实、定理矛盾
四、结论成立
从而说明假设不成立，原命题成立
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（　 　）
A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°
C
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
2．完成下列证明。
如右图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角．
证明：假设结论不成立，则∠B是_________或_________。
当∠B是_______时，则____________________，
这与__________________________矛盾；
当∠B是_______时，则__________________，
这与___________________________矛盾。
综上所述，假设不成立．∴∠B一定是锐角。
直角
钝角
直角
∠A+∠B+∠C>180°
三角形的内角和等于180°
钝角
∠A+∠B+∠C>180°
三角形的内角和等于180°
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.用反证法证明:在同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.有如下步骤:
①∵∠PAB+∠PBA+∠APB>180°,这与三角形内角和定理相矛盾;
②∴假设不成立,原命题成立;
③如图,假设过点P不止一条直线与已知直线l垂直,不妨设PA⊥直线l于点A,PB⊥直线l于点B;
④∴∠PAB=90°,∠PBA=90°。
正确的顺序是　　　　。
③④①②
06
作业布置
【综合拓展类作业】
3.如图,在△ABC中,AB=AC,P是△ABC内的一点,且∠APB>∠APC,
求证:PB证明:假设P≥PC.
把△ABP绕点A逆时针旋转得到△ACD,连结PD,则BP=CD,∠APB=∠ADC,
∵PB≥PC,PB=CD,∴CD≥PC,
∴∠CPD≥∠CDP,
∵AP=AD, ∴∠APD=∠ADP,
06
作业布置
【综合拓展类作业】
∴∠APD+∠CPD≥∠ADP+∠CDP,即∠APC≥∠ADC,
又∵∠APB=∠ADC,
∴∠APC≥∠APB,与∠APB>∠APC矛盾,
∴PB≥PC不成立,
∴PBThanks!
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