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广东省潮州市潮安区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
1．（2026九上·潮安期末）下列环保标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
【分析】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做对称中心．
2．（2026九上·潮安期末）如图，中，弦相交于点，若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故选：B．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等即可求出答案.
3．（2026九上·潮安期末）抛物线 的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数的顶点式 的顶点坐标为
所以抛物线 的顶点坐标为
故选：C．
【分析】根据二次函数的顶点式性质即可求出答案.
4．（2026九上·潮安期末）下列事件中是必然事件的是（　　）
A．投掷一枚质量均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次
B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数
C．购买一张彩票，未中奖
D．温度降到以下，纯净的水会结冰
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A．投掷一枚质量均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次是随机事件；
B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数是随机事件；
C．购买一张彩票，未中奖是随机事件；
D．温度降到以下，纯净的水会结冰是必然现象．
故选D．
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
5．（2026九上·潮安期末）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
∴；
故选D．
【分析】根据配方法化简变形即可求出答案.
6．（2026九上·潮安期末）一元二次方程根的情况是（　　）
A．根的情况无法判断 B．无实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵对于一元二次方程，，，，
∴，
∴方程无实数根．
故选B．
【分析】根据二次方程判别式，可得方程无解.
7．（2026九上·潮安期末）两块大小相同，含有角的直角三角板水平放置，如图，将绕点旋转到的位置，使落在边上，则旋转的角度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意，，
∵旋转，
∴，
∴，
∴，
∴；即旋转的角度是；
故选A．
【分析】由题意，，根据旋转性质可得，，根据等边对等角可得，再根据补角即可求出答案.
8．（2026九上·潮安期末）一条钢管放在形架内，其截面图如图所示，为钢管的圆心．如果钢管的半径为，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】切线的性质；弧长的计算；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题意得：和分别与相切于点和点，
∴，
∵，
∴，
∴劣弧的长，
故选：D．
【分析】根据切线性质可得，根据四边形内角和可得∠MON，再根据弧长公式即可求出答案.
9．（2026九上·潮安期末）如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（　　）
A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26
【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：∵点，在二次函数的图象上，
∴当时，，当时，，
∴当时，，
∴选项C符合，
故选：C．
【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间，即可求出答案.
10．（2026九上·潮安期末）潮绣婚纱晚礼服是以潮州市为产业核心的服饰品类，依托“中国婚纱晚礼服名城”产业定位形成集群化发展格局.某服装厂生产一批晚礼服，2023年该晚礼服的出厂价是300元/件，2024年、2025年连续两年改进技术降低成本，2025年该晚礼服的出厂价调整为243元/件.若这两年此类晚礼服的出厂价下降的百分率相同，则年平均下降率是（　　）
A．10% B．190% C．10%或190% D．19%
【答案】A
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】
解：设年平均下降率为x，
则300(1-x)2=243，
解得：x1=1.9(舍去)，x2=0.1=10%，
即年平均下降率为10%，
故答案为：A
【分析】先设年平均下降率为x，根据下调2年后出厂价调整为243元/件列出一元二次方程300(1-x)2=243，解方程即可解答.
11．（2026九上·潮安期末）若x=1是方程的一个根，那么m的值是　 　.
【答案】-2
【知识点】解一元一次方程；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】
解：∵ x=1是方程的一个根
∴
解得 m =-2
故答案为：-2
【分析】根据方程的根的定义：把x=1代入方程计算即可解答.
12．（2026九上·潮安期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点的对称点为．
故答案为．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
13．（2026九上·潮安期末）如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为　 　 ．
【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
故答案为：．
【分析】根据圆内接四边形性质即可求出答案.
14．（2026九上·潮安期末）如图，广场有一喷水池，以出水点为原点，出水点与落水点所在直线为轴建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线的一部分，则水喷出后，离地面的最大高度是　 　米．
【答案】4
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线，
∴水喷出后，离地面的最大高度是的顶点坐标的纵坐标，
∴，
∴顶点坐标为：，
∴水喷出后，离地面的最大高度是4米，
故答案为：4．
【分析】将解析式转换为顶点式即可求出答案.
15．（2026九上·潮安期末）小华设计了一个圆内接正方形的气枪射击的靶盘，如图，正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成，直角三角形的直角边长度分别为2和1．若随机射击一次，则击中阴影区域的概率约为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；几何概率；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：根据题意分析可得：
大正方形的边长为，故面积为5；
小正方形的边长为，面积为1；
圆的直径为，面积为；
阴影部分的面积为；
则击中阴影区域的概率即两部分面积的比值为．
故答案为：．
【分析】分别求出圆，阴影部分的面积，再根据概率公式即可求出答案.
16．（2026九上·潮安期末）解方程： ．
【答案】解： ，
∴
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用直接开平方法、配方法、分解因式法、公式法解一元二次方程，一般先考虑分解因式法和直接开平方法。
17．（2026九上·潮安期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接．
（1）请判断的形状并说明理由；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：是等腰直角三角形，理由如下：
∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：∵是等腰直角三角形，，
∴．
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据旋转性质可得，，再根据等腰直角三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：是等腰直角三角形，理由如下：
∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：∵是等腰直角三角形，，
∴．
18．（2026九上·潮安期末）如图1，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形．
（1）请在图2中利用尺规作出正六边形（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求地基的面积（答案保留根号）．
【答案】（1）解：正六边形如图所示，
（2）解：连接、，过作于，
六边形是正六边形，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
平方米．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【分析】（1）作出的直径，分别以和为圆心，长为半径画弧，分别交于点和，和，再顺次连接即可；
（2）连接、，过作于，根据正六边形性质可得∠BOC=60°，OB=OC，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据勾股定理可得OG，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：正六边形如图所示，
（2）解：连接、，过作于，
六边形是正六边形，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
平方米．
19．（2026九上·潮安期末）今年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，很多爱国主义题材电影上映．小明和小红想去看电影，但是时间关系只能选择两部，所以他们制作了3张分别印有电影名字的卡片：《南京照相馆》、《东极岛》、《731》．现将这3张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片、求下列事件发生的概率：
（1）第一次抽取的卡片不是《731》的概率为_____________；
（2）求抽取的两次结果都不是《731》的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1）
（2）解：由题意可得，树状图如下：
由上可得，共有6种等可能的结果，两次结果都不是《731》的有2种，
抽取的两次结果都不是《731》的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，
第一次抽取的卡片不是《731》的概率为：，
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出抽取的两次结果都不是《731》的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：由题意可得，
第一次抽取的卡片不是《731》的概率为：，
故答案为：；
（2）解：由题意可得，树状图如下：
由上可得，共有6种等可能的结果，两次结果都不是《731》的有2种，
抽取的两次结果都不是《731》的概率为．
20．（2026九上·潮安期末）定义：某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫做这条线段的黄金分割点．例如：如图1，点是线段上一点，，且，则点是线段的黄金分割点．
（1）图1中，若线段，求线段的长．
（2）如图2，线段，，是线段的黄金分割点．求证：点是线段的黄金分割点．
【答案】（1）解：设，则，
∵，
∴，即，
解得（舍去负值），
∴；
（2）证明：∵，是线段的黄金分割点，
∴，
∵，是线段的黄金分割点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴点是线段的黄金分割点．
【知识点】二次根式的混合运算；公式法解一元二次方程；黄金分割
【解析】【分析】（1）设，则，根据，列得一元二次方程，解方程即可求出答案.
（2）根据黄金分割可得AC，BD，再根据边之间的关系，结合黄金分割点的判定即可求出答案.
（1）解：设，则，
∵，
∴，即，
解得（舍去负值），
∴；
（2）证明：∵，是线段的黄金分割点，
∴，
∵，是线段的黄金分割点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴点是线段的黄金分割点．
21．（2026九上·潮安期末）景德镇陶瓷生产历史悠久、是中国的古瓷都和陶瓷文化的发祥地之一．某陶瓷工厂生产一款陶瓷碗．其侧面轮廓可近似看作抛物线．某校九（1）班数学兴趣小组同学在进行项目式学习时，通过收集到的素材对该工厂生产的陶瓷碗进行了以【探究碗身盛水深度与水面宽度之间的关系】为任务的综合实践活动．
【收集素材】
素材一：如图1是一个竖直放置在水平桌面上的陶瓷碗．
素材二：如图2是陶瓷碗的截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗深．
【问题提出】
问题一：碗体呈抛物线状，那它的表达式是什么？
问题二：碗身盛水深度呈倍数关系变化时，水面的宽度是否也按一定的倍数关系变化？
【方案设计】
步骤 方案设计
步骤1 ①建立适当的平面直角坐标系； ②求出抛物线的表达式．
步骤2 ①利用具体数据（盛水深度的倍数关系）进行计算； ②分析计算结果，归纳总结规律．
【问题解决】
（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出碗体所在抛物线的表达式；
（2）当盛水深度取，，时，计算水面宽度并总结你得到的规律．
【答案】（1）解：以碗底的中点F为原点O，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
，
，，
，
，
，
设抛物线的解析式为，
将点代入解析式，有，解得，
抛物线解析式为．
（2）解：当时，，
解得，
∴水面的宽度为：；
当时，，
解得，
∴水面的宽度为：；
当时，，
解得，
∴水面的宽度为：；
∵当碗身盛水深度取和，碗身盛水深度是2倍关系，水面的宽度是倍关系；当碗身盛水深度取和，碗身盛水深度是2倍关系，水面的宽度是倍关系，
∴碗身盛水深度呈倍数关系变化时，水面的宽度按一定的倍数关系变化．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平面直角坐标系的构成；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）以碗底的中点F为原点O，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，根据点的坐标可得，，，设抛物线的解析式为，根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）分别把，，代入函数解析式求出x的值，然后求出水面的宽度即可求出答案.
（1）解：以碗底的中点F为原点O，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
，
，，
，
，
，
设抛物线的解析式为，
将点代入解析式，有，解得，
抛物线解析式为．
（2）解：当时，，
解得，
∴水面的宽度为：；
当时，，
解得，
∴水面的宽度为：；
当时，，
解得，
∴水面的宽度为：；
∵当碗身盛水深度取和，碗身盛水深度是2倍关系，水面的宽度是倍关系；当碗身盛水深度取和，碗身盛水深度是2倍关系，水面的宽度是倍关系，
∴碗身盛水深度呈倍数关系变化时，水面的宽度按一定的倍数关系变化．
22．（2026九上·潮安期末）张老师在“图形的旋转”主题下设计了“三点共线”的问题背景：如图，已知和均为等边三角形，且，分别是的中点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，请你解答．
【观察发现】
（1）当，，三点共线时，_____；
【尝试探究】
（2）如图1，当，，三点共线时，求证：平分；
【深入探究】
（3）如图2，三点共线；图3中，三点共线，请你直接写出与的锐角夹角的度数，并选择其中一个图形写出解题过程．
【答案】（1）；
（2）∵，，三点共线，
∴，
∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（3）如图2，三点共线，记交于点，
同理，
∴，
∵，
∴；
如图3，三点共线，
同理，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；旋转的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵，，三点共线，
∴旋转角为，
故答案为：；
【分析】（1）根据旋转的性质即可求出答案.
（2）根据补角可得∠AD'B，根据等边三角形性质可得，，，则，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据补角可得∠AE'C，再根据角平分线判定定理即可求出答案.
（3）分情况讨论：三点共线，记交于点，如图3，三点共线，根据全等三角形判定定理及性质，结合角之间的关系即可求出答案.
23．（2026九上·潮安期末）【实验探究】
在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上有一个动点，连接，如图，完成画图步骤：
①画线段的垂直平分线；
②过点画轴的垂线；
③记的交点为．
【操作猜想】
（1）取点的横坐标分别为，0，2，4，6，请你按题干画图步骤在网格图中分别描出对应的点（不需要尺规作图），并用平滑的曲线顺次连接各点，观察你画出的曲线，猜想它是哪种曲线？
【猜想论证】
（2）在你画出的曲线上任取一点，连接，作轴，垂足为．设点的坐标为，请你由与的关系求与满足的关系式；
【类比应用】
（3）如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上有一个动点，连接的垂直平分线交轴于点，过点分别作轴，轴的垂线，两条垂线交于点是的中点，连接，作的外接圆．求面积的取值范围．
【答案】解：（1）所作图形如图，是一条抛物线；
（2）∵点的坐标是，点的坐标为，轴，
∴，，
由题意得，即，
∴，整理得；
（3）设点的坐标为，
∵点的坐标是，是线段的垂直平分线，
∴点的坐标是，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴点的坐标是，记，
∴点的坐标是，
∵点是的中点，
∴点的坐标是，
∴点的坐标是，
∴，
∴圆的半径为，
∴圆的面积为，
∵，
∴，
∴，
令，
∴，
当，即时，，
但此时，垂直平分线不存在，
∴，
∴的面积为．
【知识点】勾股定理；二次函数的实际应用-几何问题；尺规作图-垂线；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可.
（2）根据两点间距离可得GE，根据勾股定理可得GA，再根据题意建立函数关系式即可求出答案.
（3）设点的坐标为，根据垂直平分线性质可得点的坐标是，根据两点间距离可得AB，AC，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得AD，OD，则点的坐标是，记，根据线段中点可得点的坐标是，则点的坐标是，根据两点间距离可得DP，根据圆的面积可得，结合二次函数性质即可求出答案.
1 / 1广东省潮州市潮安区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
1．（2026九上·潮安期末）下列环保标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026九上·潮安期末）如图，中，弦相交于点，若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
3．（2026九上·潮安期末）抛物线 的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．（2026九上·潮安期末）下列事件中是必然事件的是（　　）
A．投掷一枚质量均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次
B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数
C．购买一张彩票，未中奖
D．温度降到以下，纯净的水会结冰
5．（2026九上·潮安期末）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2026九上·潮安期末）一元二次方程根的情况是（　　）
A．根的情况无法判断 B．无实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
7．（2026九上·潮安期末）两块大小相同，含有角的直角三角板水平放置，如图，将绕点旋转到的位置，使落在边上，则旋转的角度是（　　）
A． B． C． D．
8．（2026九上·潮安期末）一条钢管放在形架内，其截面图如图所示，为钢管的圆心．如果钢管的半径为，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
9．（2026九上·潮安期末）如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（　　）
A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26
10．（2026九上·潮安期末）潮绣婚纱晚礼服是以潮州市为产业核心的服饰品类，依托“中国婚纱晚礼服名城”产业定位形成集群化发展格局.某服装厂生产一批晚礼服，2023年该晚礼服的出厂价是300元/件，2024年、2025年连续两年改进技术降低成本，2025年该晚礼服的出厂价调整为243元/件.若这两年此类晚礼服的出厂价下降的百分率相同，则年平均下降率是（　　）
A．10% B．190% C．10%或190% D．19%
11．（2026九上·潮安期末）若x=1是方程的一个根，那么m的值是　 　.
12．（2026九上·潮安期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　 　．
13．（2026九上·潮安期末）如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为　 　 ．
14．（2026九上·潮安期末）如图，广场有一喷水池，以出水点为原点，出水点与落水点所在直线为轴建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线的一部分，则水喷出后，离地面的最大高度是　 　米．
15．（2026九上·潮安期末）小华设计了一个圆内接正方形的气枪射击的靶盘，如图，正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成，直角三角形的直角边长度分别为2和1．若随机射击一次，则击中阴影区域的概率约为　 　．
16．（2026九上·潮安期末）解方程： ．
17．（2026九上·潮安期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接．
（1）请判断的形状并说明理由；
（2）若，求的长．
18．（2026九上·潮安期末）如图1，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形．
（1）请在图2中利用尺规作出正六边形（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求地基的面积（答案保留根号）．
19．（2026九上·潮安期末）今年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，很多爱国主义题材电影上映．小明和小红想去看电影，但是时间关系只能选择两部，所以他们制作了3张分别印有电影名字的卡片：《南京照相馆》、《东极岛》、《731》．现将这3张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片、求下列事件发生的概率：
（1）第一次抽取的卡片不是《731》的概率为_____________；
（2）求抽取的两次结果都不是《731》的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由）
20．（2026九上·潮安期末）定义：某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫做这条线段的黄金分割点．例如：如图1，点是线段上一点，，且，则点是线段的黄金分割点．
（1）图1中，若线段，求线段的长．
（2）如图2，线段，，是线段的黄金分割点．求证：点是线段的黄金分割点．
21．（2026九上·潮安期末）景德镇陶瓷生产历史悠久、是中国的古瓷都和陶瓷文化的发祥地之一．某陶瓷工厂生产一款陶瓷碗．其侧面轮廓可近似看作抛物线．某校九（1）班数学兴趣小组同学在进行项目式学习时，通过收集到的素材对该工厂生产的陶瓷碗进行了以【探究碗身盛水深度与水面宽度之间的关系】为任务的综合实践活动．
【收集素材】
素材一：如图1是一个竖直放置在水平桌面上的陶瓷碗．
素材二：如图2是陶瓷碗的截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗深．
【问题提出】
问题一：碗体呈抛物线状，那它的表达式是什么？
问题二：碗身盛水深度呈倍数关系变化时，水面的宽度是否也按一定的倍数关系变化？
【方案设计】
步骤 方案设计
步骤1 ①建立适当的平面直角坐标系； ②求出抛物线的表达式．
步骤2 ①利用具体数据（盛水深度的倍数关系）进行计算； ②分析计算结果，归纳总结规律．
【问题解决】
（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出碗体所在抛物线的表达式；
（2）当盛水深度取，，时，计算水面宽度并总结你得到的规律．
22．（2026九上·潮安期末）张老师在“图形的旋转”主题下设计了“三点共线”的问题背景：如图，已知和均为等边三角形，且，分别是的中点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，请你解答．
【观察发现】
（1）当，，三点共线时，_____；
【尝试探究】
（2）如图1，当，，三点共线时，求证：平分；
【深入探究】
（3）如图2，三点共线；图3中，三点共线，请你直接写出与的锐角夹角的度数，并选择其中一个图形写出解题过程．
23．（2026九上·潮安期末）【实验探究】
在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上有一个动点，连接，如图，完成画图步骤：
①画线段的垂直平分线；
②过点画轴的垂线；
③记的交点为．
【操作猜想】
（1）取点的横坐标分别为，0，2，4，6，请你按题干画图步骤在网格图中分别描出对应的点（不需要尺规作图），并用平滑的曲线顺次连接各点，观察你画出的曲线，猜想它是哪种曲线？
【猜想论证】
（2）在你画出的曲线上任取一点，连接，作轴，垂足为．设点的坐标为，请你由与的关系求与满足的关系式；
【类比应用】
（3）如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上有一个动点，连接的垂直平分线交轴于点，过点分别作轴，轴的垂线，两条垂线交于点是的中点，连接，作的外接圆．求面积的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
【分析】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做对称中心．
2．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故选：B．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数的顶点式 的顶点坐标为
所以抛物线 的顶点坐标为
故选：C．
【分析】根据二次函数的顶点式性质即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A．投掷一枚质量均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次是随机事件；
B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数是随机事件；
C．购买一张彩票，未中奖是随机事件；
D．温度降到以下，纯净的水会结冰是必然现象．
故选D．
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
∴；
故选D．
【分析】根据配方法化简变形即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵对于一元二次方程，，，，
∴，
∴方程无实数根．
故选B．
【分析】根据二次方程判别式，可得方程无解.
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意，，
∵旋转，
∴，
∴，
∴，
∴；即旋转的角度是；
故选A．
【分析】由题意，，根据旋转性质可得，，根据等边对等角可得，再根据补角即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】切线的性质；弧长的计算；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题意得：和分别与相切于点和点，
∴，
∵，
∴，
∴劣弧的长，
故选：D．
【分析】根据切线性质可得，根据四边形内角和可得∠MON，再根据弧长公式即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：∵点，在二次函数的图象上，
∴当时，，当时，，
∴当时，，
∴选项C符合，
故选：C．
【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间，即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】
解：设年平均下降率为x，
则300(1-x)2=243，
解得：x1=1.9(舍去)，x2=0.1=10%，
即年平均下降率为10%，
故答案为：A
【分析】先设年平均下降率为x，根据下调2年后出厂价调整为243元/件列出一元二次方程300(1-x)2=243，解方程即可解答.
11．【答案】-2
【知识点】解一元一次方程；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】
解：∵ x=1是方程的一个根
∴
解得 m =-2
故答案为：-2
【分析】根据方程的根的定义：把x=1代入方程计算即可解答.
12．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点的对称点为．
故答案为．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
故答案为：．
【分析】根据圆内接四边形性质即可求出答案.
14．【答案】4
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线，
∴水喷出后，离地面的最大高度是的顶点坐标的纵坐标，
∴，
∴顶点坐标为：，
∴水喷出后，离地面的最大高度是4米，
故答案为：4．
【分析】将解析式转换为顶点式即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；几何概率；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：根据题意分析可得：
大正方形的边长为，故面积为5；
小正方形的边长为，面积为1；
圆的直径为，面积为；
阴影部分的面积为；
则击中阴影区域的概率即两部分面积的比值为．
故答案为：．
【分析】分别求出圆，阴影部分的面积，再根据概率公式即可求出答案.
16．【答案】解： ，
∴
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用直接开平方法、配方法、分解因式法、公式法解一元二次方程，一般先考虑分解因式法和直接开平方法。
17．【答案】（1）解：是等腰直角三角形，理由如下：
∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：∵是等腰直角三角形，，
∴．
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据旋转性质可得，，再根据等腰直角三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：是等腰直角三角形，理由如下：
∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：∵是等腰直角三角形，，
∴．
18．【答案】（1）解：正六边形如图所示，
（2）解：连接、，过作于，
六边形是正六边形，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
平方米．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【分析】（1）作出的直径，分别以和为圆心，长为半径画弧，分别交于点和，和，再顺次连接即可；
（2）连接、，过作于，根据正六边形性质可得∠BOC=60°，OB=OC，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据勾股定理可得OG，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：正六边形如图所示，
（2）解：连接、，过作于，
六边形是正六边形，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
平方米．
19．【答案】（1）
（2）解：由题意可得，树状图如下：
由上可得，共有6种等可能的结果，两次结果都不是《731》的有2种，
抽取的两次结果都不是《731》的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，
第一次抽取的卡片不是《731》的概率为：，
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出抽取的两次结果都不是《731》的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：由题意可得，
第一次抽取的卡片不是《731》的概率为：，
故答案为：；
（2）解：由题意可得，树状图如下：
由上可得，共有6种等可能的结果，两次结果都不是《731》的有2种，
抽取的两次结果都不是《731》的概率为．
20．【答案】（1）解：设，则，
∵，
∴，即，
解得（舍去负值），
∴；
（2）证明：∵，是线段的黄金分割点，
∴，
∵，是线段的黄金分割点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴点是线段的黄金分割点．
【知识点】二次根式的混合运算；公式法解一元二次方程；黄金分割
【解析】【分析】（1）设，则，根据，列得一元二次方程，解方程即可求出答案.
（2）根据黄金分割可得AC，BD，再根据边之间的关系，结合黄金分割点的判定即可求出答案.
（1）解：设，则，
∵，
∴，即，
解得（舍去负值），
∴；
（2）证明：∵，是线段的黄金分割点，
∴，
∵，是线段的黄金分割点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴点是线段的黄金分割点．
21．【答案】（1）解：以碗底的中点F为原点O，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
，
，，
，
，
，
设抛物线的解析式为，
将点代入解析式，有，解得，
抛物线解析式为．
（2）解：当时，，
解得，
∴水面的宽度为：；
当时，，
解得，
∴水面的宽度为：；
当时，，
解得，
∴水面的宽度为：；
∵当碗身盛水深度取和，碗身盛水深度是2倍关系，水面的宽度是倍关系；当碗身盛水深度取和，碗身盛水深度是2倍关系，水面的宽度是倍关系，
∴碗身盛水深度呈倍数关系变化时，水面的宽度按一定的倍数关系变化．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平面直角坐标系的构成；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）以碗底的中点F为原点O，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，根据点的坐标可得，，，设抛物线的解析式为，根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）分别把，，代入函数解析式求出x的值，然后求出水面的宽度即可求出答案.
（1）解：以碗底的中点F为原点O，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
，
，，
，
，
，
设抛物线的解析式为，
将点代入解析式，有，解得，
抛物线解析式为．
（2）解：当时，，
解得，
∴水面的宽度为：；
当时，，
解得，
∴水面的宽度为：；
当时，，
解得，
∴水面的宽度为：；
∵当碗身盛水深度取和，碗身盛水深度是2倍关系，水面的宽度是倍关系；当碗身盛水深度取和，碗身盛水深度是2倍关系，水面的宽度是倍关系，
∴碗身盛水深度呈倍数关系变化时，水面的宽度按一定的倍数关系变化．
22．【答案】（1）；
（2）∵，，三点共线，
∴，
∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（3）如图2，三点共线，记交于点，
同理，
∴，
∵，
∴；
如图3，三点共线，
同理，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；旋转的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵，，三点共线，
∴旋转角为，
故答案为：；
【分析】（1）根据旋转的性质即可求出答案.
（2）根据补角可得∠AD'B，根据等边三角形性质可得，，，则，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据补角可得∠AE'C，再根据角平分线判定定理即可求出答案.
（3）分情况讨论：三点共线，记交于点，如图3，三点共线，根据全等三角形判定定理及性质，结合角之间的关系即可求出答案.
23．【答案】解：（1）所作图形如图，是一条抛物线；
（2）∵点的坐标是，点的坐标为，轴，
∴，，
由题意得，即，
∴，整理得；
（3）设点的坐标为，
∵点的坐标是，是线段的垂直平分线，
∴点的坐标是，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴点的坐标是，记，
∴点的坐标是，
∵点是的中点，
∴点的坐标是，
∴点的坐标是，
∴，
∴圆的半径为，
∴圆的面积为，
∵，
∴，
∴，
令，
∴，
当，即时，，
但此时，垂直平分线不存在，
∴，
∴的面积为．
【知识点】勾股定理；二次函数的实际应用-几何问题；尺规作图-垂线；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可.
（2）根据两点间距离可得GE，根据勾股定理可得GA，再根据题意建立函数关系式即可求出答案.
（3）设点的坐标为，根据垂直平分线性质可得点的坐标是，根据两点间距离可得AB，AC，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得AD，OD，则点的坐标是，记，根据线段中点可得点的坐标是，则点的坐标是，根据两点间距离可得DP，根据圆的面积可得，结合二次函数性质即可求出答案.
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