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广东省深圳市宝安区2025-2026学年八年级上学期数学1月期末试卷
1．（2026八上·宝安期末）下列各数中是无理数的是（　　）
A． B． C．2.26 D．π
2．（2026八上·宝安期末）根据下列表述，不能确定具体位置的是（　　）
A．东经113°，北纬22° B．深圳市深南大道4013号
C．某港口南偏东60° D．城市影院6号厅6排6座
3．（2026八上·宝安期末）下列计算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2026八上·宝安期末）某信息奥赛小组参加“CSP-J/S”软件能力认证比赛，比赛结果出来后，信息老师说：“这次比赛被认定为入门级二等的同学最多．”这句话是在用（　　）描述比赛结果的数据特征
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
5．（2026八上·宝安期末）现有一张长方形彩带，将其沿BC折叠成如图所示图形，若∠1=122°，则∠2的度数为（　　）
A．56° B．58° C．64° D．66°
6．（2026八上·宝安期末）今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？（选自《九章算术》）
题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了x钱，乙带了y钱．根据题意，列出的二元一次方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2026八上·宝安期末）如图，线段AB是感应门的示意图，在其正上方点A处（离地2.1米）安装着一个感应器，当人体进入感应范围内时，门会自动打开．身高1.6米的小宝（线段CD）走向感应门，当离门1.2米时（BC=1.2米），感应门自动打开，则此时小宝的头顶D到感应器A的距离等于（　　）
A．2米 B．1.5米 C．1.3米 D．1.2米
8．（2026八上·宝安期末）在《神奇的加密术》中，一种加密规则如下：将英文字母对应的数字（A=1，B=2，···，Z=26）记为x，加密后的数字y满足“”；若y＞26，则将y减去27得到新结果．若结果为0，则对应字母Z；否则，将所得结果（y或新结果）对应为英文字母．图为英文字母和数字的对应表：
字母 A B C D E F G H I J K L M
数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
字母 N O P Q R S T U V W X Y Z
数字 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
示例：原字母“D”（），加密得，对应字母“I”．现有字母“LR”，则加密后的字母是（　　）
A．YJ B．XJ C．ZL D．YK
9．（2026八上·宝安期末）当x=　 　时，二次根式有意义（写出一个符合条件的实数）．
10．（2026八上·宝安期末）已知和关于x轴对称，则的值为　 　．
11．（2026八上·宝安期末）学校体育节进行入场式展示评比，评分项目队列整齐、精神面貌和主题创意依次按照2：3：5计算综合成绩．启航班这三项分别得了88分、90分和92分，则启航班的综合成绩是　 　分．
12．（2026八上·宝安期末）在生物实践课的生态瓶搭建项目中，同学们需采购相应实验用具．购买一套价值15元的生态瓶基础工具包，同时购买若干个玻璃瓶，已知每个玻璃瓶定价为6元．设某小组购买x个玻璃瓶，付款总金额为y元，则y与x的表达式为　 　．
13．（2026八上·宝安期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=60°，对角线BD平分∠ABC，且BD⊥CD，点E是AB上一点，连接CE和DE．记△CDE的面积为S1，△ADE的面积为S2，若AB=4，则S1-S2的值为　 　．
14．（2026八上·宝安期末）计算：
（1）
（2）
15．（2026八上·宝安期末）解方程组：
16．（2026八上·宝安期末）在“金话筒”我的阅读故事演讲比赛中，要从小宝和小安中选一位同学代表班级参赛，已知小宝和小安在之前的备赛环节的测试成绩如下：
小宝同学：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100；
小安同学：70，75，80，82，88，92，92，93，95，96．
（1）小宝同学的测试成绩数据的四分位数m25＝　 　，m50＝　 　，m75＝　 　；
（2）根据四分位数可绘制如图的箱线图，观察图中小宝同学和小安同学的箱线图，　 　成绩比较集中；
（3）你认为应选派谁代表班级参加“金话筒”我的阅读故事演讲比赛？请说明理由．
17．（2026八上·宝安期末）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点均在格点上．
（1）过点C作CD∥BA，且CD=BA，画出线段CD；
（2）在（1）的条件下，求证：CA平分∠BCD．
18．（2026八上·宝安期末）学校创客社团为科技节布置展位，需运输3D打印器材与编程设备的包装箱，现租用了A型手动折叠款和B型电动轻便款两种小型搬运车：已知用2辆A型搬运车和1辆B型搬运车一次可装满16个包装箱；用1辆A型搬运车和2辆B型搬运车一次可装满14个包装箱．
（1）1辆A型搬运车和1辆B型搬运车一次分别能装满多少个包装箱？
（2）现有32个包装箱需一次性运完，计划租用A型车a辆和B型车b辆（a、b为正整数，每种搬运车至少租一辆），每辆车均装满且无剩余．已知A型搬运车单次租用费18元，B型搬运车单次租用费15元，请设计出最省钱的租车方案，并求最少费用．
19．（2026八上·宝安期末）【回顾教材】
在《第一章勾股定理》中，我们先是通过测量、数格子的方法初
步发现了勾股定理，后续又通过严谨的推理过程验证了这一定理．在研究勾股定理的过程中，我们观察到面积与线段之间存在着可相互转化的关系．具体而言，在某些特定条件下，可以通过构造适当的几何模型或运用代数方法，实现面积大小与线段长度的转换．
（1）【基础应用】如图1，Rt△ABC的三边分别为a，b，c，以三边向外作正方形，正方形的面积分别记为．若，则a=　 　；
（2）【延伸扩展】在课后拓展环节，老师留下思考题：你能提出什么新问题？小宝同学设计了如下问题：如图2，分别以四边形ACBD的四条边为边向外作四个正方形，已知∠ACB=∠ADB=90°，面积分别为m，n，p，q．若m+n=12求p+q的值．
（3）小安同学设计了如下问题：如图3，将图1的图形放入长方形OPQR中，使点I，J、K，L，M，N都在长方形OPQR的边上，连接KC、LC，若S△KLC=10，b=2a，求c的值．
20．（2026八上·宝安期末）【新定义】
若两条直线l1和l2的交点在x轴上，且直线l分别与直线l1交于点P（m，n），与直线l2交于点Q（n，m）（P、Q不与原点重合），则称直线l是l1和l2的“美好对应轴”．
例：如图1所示，与相交于点A（5，0），直线分别与l1，l2交于点P（-2，1）和点Q（1，-2），称直线l是l1和的“美好对应轴”．
（1）若直线l是l1和l2的“美好对应轴”，已知直线l与l1交点为P（3，2），则另外一个交点Q（　 　，　 　）；
（2）如图2所示，已知，，请判断是否为l1和l2的“美好对应轴”，并说明理由；
（3）如图3所示，已知，，若l是l1和l2的“美好对应轴”，请求出l2的函数表达式．
（4）【拓展研究】如图4所示，，直线l是l1和l2的“美好对应轴”，l和l1交于点P，l和l2交于点Q，连接PO、QO，若AOP的面积和△AOQ的面积存在两倍关系，请直接写出点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A：=3不是无理数，不符合题意；
B：不是无理数，不符合题意；
C：2.26不是无理数，不符合题意；
D：π是无理数，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据无理数的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】用方向和距离确定物体的位置
【解析】【解答】解：A：东经113°，北纬22°能确定具体位置，不符合题意；
B：深圳市深南大道4013号能确定具体位置，不符合题意；
C：某港口南偏东60°不能确定具体位置，符合题意；
D：城市影院6号厅6排6座能确定具体位置，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据确定具体位置的要素即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；合并同类项法则及应用；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A：，不能合并，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，正确，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据合并同类项法则，二次根式的四则运算逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由题意可得：
这次比赛被认定为入门级二等的同学最多，符合众数的意义
故答案为：B
【分析】根据各统计量的意义进行判断即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示：
∵长方形的对边平行
∴∠3+∠1=180°
∵∠1=122°
∴∠3=58°
由折叠可得，∠2=∠3=58°
故答案为：B
【分析】根据长方形性质可得长方形的对边平行，根据直线平行性质可得∠1，再根据折叠性质即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲带了x钱，乙带了y钱
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设甲带了x钱，乙带了y钱，根据如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱建立方程组即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E
∴AE=2.1-1.6=0.5米，BC=DE=1.2米
在Rt△ADE中，米
故答案为：C
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据边之间的关系可得AE，BC，再根据勾股定理即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的加法法则；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意可得：
字母L对应的数字为12，则2×12+1=25
∴加密后的字母为Y
字母R对应的数字为18，则2×18+1=37，37-27=10
∴加密后的字母为J
∴字母“LR”加密后的字母为YJ
故答案为：A
【分析】根据表格得到字母L，R对应的数字，代入解析式，结合有理数的乘法，加法求出加密后的字母即可求出答案.
9．【答案】1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
-2x+3≥0
解得：
故答案为：1(答案不唯一)
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
10．【答案】-1
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；有理数的乘方法则；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵和关于x轴对称
∴a-1=2，b+1=-3
解得：a=3，=-4
∴
故答案为：-1
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征可得a，b值，再代入代数式，结合有理数的乘方即可求出答案.
11．【答案】90.6
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：90.6
【分析】根据加权平均数即可求出答案.
12．【答案】y=15+6x
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：设某小组购买x个玻璃瓶，付款总金额为y元
由题意可得：y=15+6x
故答案为：y=15+6x
【分析】 设某小组购买x个玻璃瓶，付款总金额为y元 ，根据购买一套价值15元的生态瓶基础工具包，同时购买若干个玻璃瓶，已知每个玻璃瓶定价为6元建立函数关系式即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过点D作DM⊥AB于点M，记BD，CE于点O
∵BD⊥CD，∠DCB=60°
∴∠CBD=30°
∵对角线BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠CBD=30°
∵AD∥BC
∴∠ADB=∠CBD=∠AND=30°
∴AB=AD=4，∠DAM=60°
∵∠M=90°
∴∠ADM=30°
∴
过点D作DN⊥BC于点N，则
在Rt△BDN中，
在Rt△CDN中，
∴BC=BN+CN=8
过点C作CL⊥AB于点L
在Rt△CBL中，，此时L，A重合
∴
设AE=x，则BE=AB-AE=4-x
∴
∵，
∴
∴
故答案为：
【分析】过点D作DM⊥AB于点M，记BD，CE于点O，根据直角三角形两锐角互余可得∠CBD=30°，根据角平分线定义可得∠ABD=∠CBD=30°，根据直线平行性质可得∠ADB=∠CBD=∠AND=30°，则AB=AD=4，∠DAM=60°，根据直角三角形两锐角互余可得∠ADM=30°，根据含30°角的直角三角形性质可得AM，再根据勾股定理可得DM，过点D作DN⊥BC于点N，则，解直角三角形可得BN，CN，再根据边之间的关系可得BC，过点C作CL⊥AB于点L，则，此时L，A重合，根据勾股定理可得CL，设AE=x，则BE=AB-AE=4-x，再根据三角形面积求出S2，根据割补法求出S1，再作差即可求出答案.
14．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）根据立方根，绝对值性质，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据二次根式混合运算即可求出答案.
15．【答案】解：
①②，得，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴二元一次方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法解方程组即可求出答案.
16．【答案】（1）70；90；96
（2）小安同学
（3）解：我认为应该选小宝同学代表班级参加，因为他的上四分位数更大，有更大可能性获奖。
【知识点】箱线图；四分位数
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
∴m25=75，m75=96
故答案为：70；90；96
【分析】（1）根据四分位数定义即可求出答案.
（2）根据箱线图性质即可求出答案.
（3）根据箱线图性质进行判断即可求出答案.
17．【答案】（1）解：如图，线段CD即为所求，
∵，，
∴CD2+AD2=AC2，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴CD∥BA．
∵，，
∴CD=BA
（2）解：由（1）得，，
∴CA平分．
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；尺规作图-直线、射线、线段；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据线段定义作图即可.
（2）根据角平分线判定定理即可求出答案.
18．【答案】（1）解：设1辆A型搬运车一次能装满x个包装箱，1辆B型搬运车一次能装满y个包装箱，
根据题意，得：，解得，
答：1辆A型搬运车一次能装满6个包装箱，1辆B型搬运车一次能装满4个包装箱
（2）解：由（1）知：1辆A型车装6个包装箱，1辆B型车装4个包装箱，
需运输32个包装箱，得，
化简得，
∴，
∵a≥1，b≥1，且a，b为正整数，
∴或，
费用，
当a=2，b=5时，（元），
当a=4，b=2时，（元），
∴最省钱方案为a=4，b=2，费用102元．
答：租A型车4辆和B型车2辆，最少费用102元．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）设1辆A型搬运车一次能装满x个包装箱，1辆B型搬运车一次能装满y个包装箱，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）由（1）知：1辆A型车装6个包装箱，1辆B型车装4个包装箱，需运输32个包装箱，得，则，根据a，b为正整数，取值计算即可求出答案.
19．【答案】（1）
（2）解：连接AB，
∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴△ABC和△ABD是直角三角形，
∴由勾股定理得，AB2=AC2+BC2且AB2=AD2+BD2
∴AC2+BC2=AD2+BD2，
由题意得，AC2=m，BC2=n，AD2=q，BD2=p
∴m+n=p+q，
∵m+n=12，
∴p+q=12
（3）解：过点A作AS⊥PQ于点S，过点B作BT⊥QR于点T，
在正方形AKLB中，∠KAB=90°，AK=AB，
∴∠BAC=∠SKA=90°-∠SKA，
∵∠ACB=∠KSA=90°，
∴△ACB≌△KSA(AAS)，
同理可得，△QKL≌△TLB≌△CBA≌△SAK，
∴BC=AS=KQ=LT=a，CA=SK=QL=TB=b=2a，
∴，，
又∵，，S△KLC=10，
∴，
∴，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，
∴，
∴（舍负）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
S3-S2=S1=a2=8
∴a=
故答案为：
【分析】（1）根据勾股定理，结合正方形面积即可求出答案.
（2）连接AB，根据直角三角形判定定理可得△ABC和△ABD是直角三角形，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）过点A作AS⊥PQ于点S，过点B作BT⊥QR于点T，根据正方形性质可得∠KAB=90°，AK=AB，则∠BAC=∠SKA=90°-∠SKA，根据全等三角形判定定理可得△ACB≌△KSA(AAS)，△QKL≌△TLB≌△CBA≌△SAK，则BC=AS=KQ=LT=a，CA=SK=QL=TB=b=2a，再根据割补法，结合三角形，正方形面积可得a，再根据勾股定理即可求出答案.
20．【答案】（1）2；3
（2）解：直线l是l1和l2的“美好对应轴”，理由如下：
∵解方程组得，
∴直线与直线的交点为（6，0），该交点在x轴上；
∵解方程组得，
∴直线与直线的交点为（-3，3），
∵解方程组得，
∴直线与直线的交点为（3，-3），
∴是l1和l2的“美好对应轴”．
（3）解：∵对于直线，令y=0，则，解得x=6，
∴直线与x轴的交点为（6，0），
∵解方程组得，
∴直线与直线的交点为（3，1），
∵l是l1和l2的“美好对应轴”，
∴直线l2过点（6，0），（1，3），
设直线l2的函数解析式为y=kx+b，
∴，解得，
∴直线l2的函数解析式为．
（4）解：直线与x轴的交点为（6，0），
∴A（6，0），AO=6，
∵l和l1交于点P，
∴设，
∵l和l2交于点Q，直线l是l1和l2的“美好对应轴”，
∴，
∴，
，
∵△AOP的面积和△AOQ的面积存在两倍关系，
∴或，
①当时，，
解得或，
当时，，则；
当时，，则；
②当时，
解得或m=-12，
当时，，则；
当m=-12时，，则；
综上所述，点P的坐标为或，，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；轴对称的性质；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）根据“美好对称轴”的定义即可求出答案.
（2）联立两直线解析式，解方程组可得直线与直线的交点为（6，0），该交点在x轴上，联立直线与直线，解方程组可得交点为（-3，3），再联立直线与直线，解方程组可得交点为（3，-3），再根据“美好对称轴”的定义即可求出答案.
（3）根据坐标轴上点的坐标特征可得直线与x轴的交点为（6，0），联立两直线解析式，解方程组可得交点为（3，1），根据“美好对称轴”的定义可得直线l2过点（6，0），（1，3），设直线l2的函数解析式为y=kx+b，再根据待定系数法将点坐标代入即可求出答案.
（4）由题意可得A（6，0），AO=6，设，根据“美好对称轴”的定义可得，分情况讨论：①当时，②当时，根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市宝安区2025-2026学年八年级上学期数学1月期末试卷
1．（2026八上·宝安期末）下列各数中是无理数的是（　　）
A． B． C．2.26 D．π
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A：=3不是无理数，不符合题意；
B：不是无理数，不符合题意；
C：2.26不是无理数，不符合题意；
D：π是无理数，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据无理数的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．（2026八上·宝安期末）根据下列表述，不能确定具体位置的是（　　）
A．东经113°，北纬22° B．深圳市深南大道4013号
C．某港口南偏东60° D．城市影院6号厅6排6座
【答案】C
【知识点】用方向和距离确定物体的位置
【解析】【解答】解：A：东经113°，北纬22°能确定具体位置，不符合题意；
B：深圳市深南大道4013号能确定具体位置，不符合题意；
C：某港口南偏东60°不能确定具体位置，符合题意；
D：城市影院6号厅6排6座能确定具体位置，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据确定具体位置的要素即可求出答案.
3．（2026八上·宝安期末）下列计算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；合并同类项法则及应用；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A：，不能合并，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，正确，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据合并同类项法则，二次根式的四则运算逐项进行判断即可求出答案.
4．（2026八上·宝安期末）某信息奥赛小组参加“CSP-J/S”软件能力认证比赛，比赛结果出来后，信息老师说：“这次比赛被认定为入门级二等的同学最多．”这句话是在用（　　）描述比赛结果的数据特征
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由题意可得：
这次比赛被认定为入门级二等的同学最多，符合众数的意义
故答案为：B
【分析】根据各统计量的意义进行判断即可求出答案.
5．（2026八上·宝安期末）现有一张长方形彩带，将其沿BC折叠成如图所示图形，若∠1=122°，则∠2的度数为（　　）
A．56° B．58° C．64° D．66°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示：
∵长方形的对边平行
∴∠3+∠1=180°
∵∠1=122°
∴∠3=58°
由折叠可得，∠2=∠3=58°
故答案为：B
【分析】根据长方形性质可得长方形的对边平行，根据直线平行性质可得∠1，再根据折叠性质即可求出答案.
6．（2026八上·宝安期末）今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？（选自《九章算术》）
题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了x钱，乙带了y钱．根据题意，列出的二元一次方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲带了x钱，乙带了y钱
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设甲带了x钱，乙带了y钱，根据如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱建立方程组即可求出答案.
7．（2026八上·宝安期末）如图，线段AB是感应门的示意图，在其正上方点A处（离地2.1米）安装着一个感应器，当人体进入感应范围内时，门会自动打开．身高1.6米的小宝（线段CD）走向感应门，当离门1.2米时（BC=1.2米），感应门自动打开，则此时小宝的头顶D到感应器A的距离等于（　　）
A．2米 B．1.5米 C．1.3米 D．1.2米
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E
∴AE=2.1-1.6=0.5米，BC=DE=1.2米
在Rt△ADE中，米
故答案为：C
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据边之间的关系可得AE，BC，再根据勾股定理即可求出答案.
8．（2026八上·宝安期末）在《神奇的加密术》中，一种加密规则如下：将英文字母对应的数字（A=1，B=2，···，Z=26）记为x，加密后的数字y满足“”；若y＞26，则将y减去27得到新结果．若结果为0，则对应字母Z；否则，将所得结果（y或新结果）对应为英文字母．图为英文字母和数字的对应表：
字母 A B C D E F G H I J K L M
数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
字母 N O P Q R S T U V W X Y Z
数字 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
示例：原字母“D”（），加密得，对应字母“I”．现有字母“LR”，则加密后的字母是（　　）
A．YJ B．XJ C．ZL D．YK
【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的加法法则；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意可得：
字母L对应的数字为12，则2×12+1=25
∴加密后的字母为Y
字母R对应的数字为18，则2×18+1=37，37-27=10
∴加密后的字母为J
∴字母“LR”加密后的字母为YJ
故答案为：A
【分析】根据表格得到字母L，R对应的数字，代入解析式，结合有理数的乘法，加法求出加密后的字母即可求出答案.
9．（2026八上·宝安期末）当x=　 　时，二次根式有意义（写出一个符合条件的实数）．
【答案】1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
-2x+3≥0
解得：
故答案为：1(答案不唯一)
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
10．（2026八上·宝安期末）已知和关于x轴对称，则的值为　 　．
【答案】-1
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；有理数的乘方法则；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵和关于x轴对称
∴a-1=2，b+1=-3
解得：a=3，=-4
∴
故答案为：-1
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征可得a，b值，再代入代数式，结合有理数的乘方即可求出答案.
11．（2026八上·宝安期末）学校体育节进行入场式展示评比，评分项目队列整齐、精神面貌和主题创意依次按照2：3：5计算综合成绩．启航班这三项分别得了88分、90分和92分，则启航班的综合成绩是　 　分．
【答案】90.6
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：90.6
【分析】根据加权平均数即可求出答案.
12．（2026八上·宝安期末）在生物实践课的生态瓶搭建项目中，同学们需采购相应实验用具．购买一套价值15元的生态瓶基础工具包，同时购买若干个玻璃瓶，已知每个玻璃瓶定价为6元．设某小组购买x个玻璃瓶，付款总金额为y元，则y与x的表达式为　 　．
【答案】y=15+6x
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：设某小组购买x个玻璃瓶，付款总金额为y元
由题意可得：y=15+6x
故答案为：y=15+6x
【分析】 设某小组购买x个玻璃瓶，付款总金额为y元 ，根据购买一套价值15元的生态瓶基础工具包，同时购买若干个玻璃瓶，已知每个玻璃瓶定价为6元建立函数关系式即可求出答案.
13．（2026八上·宝安期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=60°，对角线BD平分∠ABC，且BD⊥CD，点E是AB上一点，连接CE和DE．记△CDE的面积为S1，△ADE的面积为S2，若AB=4，则S1-S2的值为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过点D作DM⊥AB于点M，记BD，CE于点O
∵BD⊥CD，∠DCB=60°
∴∠CBD=30°
∵对角线BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠CBD=30°
∵AD∥BC
∴∠ADB=∠CBD=∠AND=30°
∴AB=AD=4，∠DAM=60°
∵∠M=90°
∴∠ADM=30°
∴
过点D作DN⊥BC于点N，则
在Rt△BDN中，
在Rt△CDN中，
∴BC=BN+CN=8
过点C作CL⊥AB于点L
在Rt△CBL中，，此时L，A重合
∴
设AE=x，则BE=AB-AE=4-x
∴
∵，
∴
∴
故答案为：
【分析】过点D作DM⊥AB于点M，记BD，CE于点O，根据直角三角形两锐角互余可得∠CBD=30°，根据角平分线定义可得∠ABD=∠CBD=30°，根据直线平行性质可得∠ADB=∠CBD=∠AND=30°，则AB=AD=4，∠DAM=60°，根据直角三角形两锐角互余可得∠ADM=30°，根据含30°角的直角三角形性质可得AM，再根据勾股定理可得DM，过点D作DN⊥BC于点N，则，解直角三角形可得BN，CN，再根据边之间的关系可得BC，过点C作CL⊥AB于点L，则，此时L，A重合，根据勾股定理可得CL，设AE=x，则BE=AB-AE=4-x，再根据三角形面积求出S2，根据割补法求出S1，再作差即可求出答案.
14．（2026八上·宝安期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）根据立方根，绝对值性质，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据二次根式混合运算即可求出答案.
15．（2026八上·宝安期末）解方程组：
【答案】解：
①②，得，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴二元一次方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法解方程组即可求出答案.
16．（2026八上·宝安期末）在“金话筒”我的阅读故事演讲比赛中，要从小宝和小安中选一位同学代表班级参赛，已知小宝和小安在之前的备赛环节的测试成绩如下：
小宝同学：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100；
小安同学：70，75，80，82，88，92，92，93，95，96．
（1）小宝同学的测试成绩数据的四分位数m25＝　 　，m50＝　 　，m75＝　 　；
（2）根据四分位数可绘制如图的箱线图，观察图中小宝同学和小安同学的箱线图，　 　成绩比较集中；
（3）你认为应选派谁代表班级参加“金话筒”我的阅读故事演讲比赛？请说明理由．
【答案】（1）70；90；96
（2）小安同学
（3）解：我认为应该选小宝同学代表班级参加，因为他的上四分位数更大，有更大可能性获奖。
【知识点】箱线图；四分位数
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
∴m25=75，m75=96
故答案为：70；90；96
【分析】（1）根据四分位数定义即可求出答案.
（2）根据箱线图性质即可求出答案.
（3）根据箱线图性质进行判断即可求出答案.
17．（2026八上·宝安期末）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点均在格点上．
（1）过点C作CD∥BA，且CD=BA，画出线段CD；
（2）在（1）的条件下，求证：CA平分∠BCD．
【答案】（1）解：如图，线段CD即为所求，
∵，，
∴CD2+AD2=AC2，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴CD∥BA．
∵，，
∴CD=BA
（2）解：由（1）得，，
∴CA平分．
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；尺规作图-直线、射线、线段；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据线段定义作图即可.
（2）根据角平分线判定定理即可求出答案.
18．（2026八上·宝安期末）学校创客社团为科技节布置展位，需运输3D打印器材与编程设备的包装箱，现租用了A型手动折叠款和B型电动轻便款两种小型搬运车：已知用2辆A型搬运车和1辆B型搬运车一次可装满16个包装箱；用1辆A型搬运车和2辆B型搬运车一次可装满14个包装箱．
（1）1辆A型搬运车和1辆B型搬运车一次分别能装满多少个包装箱？
（2）现有32个包装箱需一次性运完，计划租用A型车a辆和B型车b辆（a、b为正整数，每种搬运车至少租一辆），每辆车均装满且无剩余．已知A型搬运车单次租用费18元，B型搬运车单次租用费15元，请设计出最省钱的租车方案，并求最少费用．
【答案】（1）解：设1辆A型搬运车一次能装满x个包装箱，1辆B型搬运车一次能装满y个包装箱，
根据题意，得：，解得，
答：1辆A型搬运车一次能装满6个包装箱，1辆B型搬运车一次能装满4个包装箱
（2）解：由（1）知：1辆A型车装6个包装箱，1辆B型车装4个包装箱，
需运输32个包装箱，得，
化简得，
∴，
∵a≥1，b≥1，且a，b为正整数，
∴或，
费用，
当a=2，b=5时，（元），
当a=4，b=2时，（元），
∴最省钱方案为a=4，b=2，费用102元．
答：租A型车4辆和B型车2辆，最少费用102元．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）设1辆A型搬运车一次能装满x个包装箱，1辆B型搬运车一次能装满y个包装箱，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）由（1）知：1辆A型车装6个包装箱，1辆B型车装4个包装箱，需运输32个包装箱，得，则，根据a，b为正整数，取值计算即可求出答案.
19．（2026八上·宝安期末）【回顾教材】
在《第一章勾股定理》中，我们先是通过测量、数格子的方法初
步发现了勾股定理，后续又通过严谨的推理过程验证了这一定理．在研究勾股定理的过程中，我们观察到面积与线段之间存在着可相互转化的关系．具体而言，在某些特定条件下，可以通过构造适当的几何模型或运用代数方法，实现面积大小与线段长度的转换．
（1）【基础应用】如图1，Rt△ABC的三边分别为a，b，c，以三边向外作正方形，正方形的面积分别记为．若，则a=　 　；
（2）【延伸扩展】在课后拓展环节，老师留下思考题：你能提出什么新问题？小宝同学设计了如下问题：如图2，分别以四边形ACBD的四条边为边向外作四个正方形，已知∠ACB=∠ADB=90°，面积分别为m，n，p，q．若m+n=12求p+q的值．
（3）小安同学设计了如下问题：如图3，将图1的图形放入长方形OPQR中，使点I，J、K，L，M，N都在长方形OPQR的边上，连接KC、LC，若S△KLC=10，b=2a，求c的值．
【答案】（1）
（2）解：连接AB，
∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴△ABC和△ABD是直角三角形，
∴由勾股定理得，AB2=AC2+BC2且AB2=AD2+BD2
∴AC2+BC2=AD2+BD2，
由题意得，AC2=m，BC2=n，AD2=q，BD2=p
∴m+n=p+q，
∵m+n=12，
∴p+q=12
（3）解：过点A作AS⊥PQ于点S，过点B作BT⊥QR于点T，
在正方形AKLB中，∠KAB=90°，AK=AB，
∴∠BAC=∠SKA=90°-∠SKA，
∵∠ACB=∠KSA=90°，
∴△ACB≌△KSA(AAS)，
同理可得，△QKL≌△TLB≌△CBA≌△SAK，
∴BC=AS=KQ=LT=a，CA=SK=QL=TB=b=2a，
∴，，
又∵，，S△KLC=10，
∴，
∴，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，
∴，
∴（舍负）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
S3-S2=S1=a2=8
∴a=
故答案为：
【分析】（1）根据勾股定理，结合正方形面积即可求出答案.
（2）连接AB，根据直角三角形判定定理可得△ABC和△ABD是直角三角形，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）过点A作AS⊥PQ于点S，过点B作BT⊥QR于点T，根据正方形性质可得∠KAB=90°，AK=AB，则∠BAC=∠SKA=90°-∠SKA，根据全等三角形判定定理可得△ACB≌△KSA(AAS)，△QKL≌△TLB≌△CBA≌△SAK，则BC=AS=KQ=LT=a，CA=SK=QL=TB=b=2a，再根据割补法，结合三角形，正方形面积可得a，再根据勾股定理即可求出答案.
20．（2026八上·宝安期末）【新定义】
若两条直线l1和l2的交点在x轴上，且直线l分别与直线l1交于点P（m，n），与直线l2交于点Q（n，m）（P、Q不与原点重合），则称直线l是l1和l2的“美好对应轴”．
例：如图1所示，与相交于点A（5，0），直线分别与l1，l2交于点P（-2，1）和点Q（1，-2），称直线l是l1和的“美好对应轴”．
（1）若直线l是l1和l2的“美好对应轴”，已知直线l与l1交点为P（3，2），则另外一个交点Q（　 　，　 　）；
（2）如图2所示，已知，，请判断是否为l1和l2的“美好对应轴”，并说明理由；
（3）如图3所示，已知，，若l是l1和l2的“美好对应轴”，请求出l2的函数表达式．
（4）【拓展研究】如图4所示，，直线l是l1和l2的“美好对应轴”，l和l1交于点P，l和l2交于点Q，连接PO、QO，若AOP的面积和△AOQ的面积存在两倍关系，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）2；3
（2）解：直线l是l1和l2的“美好对应轴”，理由如下：
∵解方程组得，
∴直线与直线的交点为（6，0），该交点在x轴上；
∵解方程组得，
∴直线与直线的交点为（-3，3），
∵解方程组得，
∴直线与直线的交点为（3，-3），
∴是l1和l2的“美好对应轴”．
（3）解：∵对于直线，令y=0，则，解得x=6，
∴直线与x轴的交点为（6，0），
∵解方程组得，
∴直线与直线的交点为（3，1），
∵l是l1和l2的“美好对应轴”，
∴直线l2过点（6，0），（1，3），
设直线l2的函数解析式为y=kx+b，
∴，解得，
∴直线l2的函数解析式为．
（4）解：直线与x轴的交点为（6，0），
∴A（6，0），AO=6，
∵l和l1交于点P，
∴设，
∵l和l2交于点Q，直线l是l1和l2的“美好对应轴”，
∴，
∴，
，
∵△AOP的面积和△AOQ的面积存在两倍关系，
∴或，
①当时，，
解得或，
当时，，则；
当时，，则；
②当时，
解得或m=-12，
当时，，则；
当m=-12时，，则；
综上所述，点P的坐标为或，，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；轴对称的性质；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）根据“美好对称轴”的定义即可求出答案.
（2）联立两直线解析式，解方程组可得直线与直线的交点为（6，0），该交点在x轴上，联立直线与直线，解方程组可得交点为（-3，3），再联立直线与直线，解方程组可得交点为（3，-3），再根据“美好对称轴”的定义即可求出答案.
（3）根据坐标轴上点的坐标特征可得直线与x轴的交点为（6，0），联立两直线解析式，解方程组可得交点为（3，1），根据“美好对称轴”的定义可得直线l2过点（6，0），（1，3），设直线l2的函数解析式为y=kx+b，再根据待定系数法将点坐标代入即可求出答案.
（4）由题意可得A（6，0），AO=6，设，根据“美好对称轴”的定义可得，分情况讨论：①当时，②当时，根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
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