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广东省深圳实验学校初中部2025-2026学年九年级上学期数学期末试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2026九上·深圳期末）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形，选项A能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以是轴对称图形，
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形的定义“一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”逐项判断解题即可．
2．（2026九上·深圳期末）函数中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠-1 B．x＞-1 C．x≠1 D．x≠0
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
x+1≠0，解得：x≠-1
故答案为：A
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.
3．（2026九上·深圳期末）下列运算正确的是（　　）
A．（-m3）2=-m5 B．3mn-m=3n
C．（m-1）2=m2-1 D．m2n m=m3n
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：（-m3）2=m6，错误，不符合题意；
B：3mn-m，不能合并，不符合题意；
C：（m-1）2=m2-2b+1，错误，不符合题意；
D：m2n m=m3n，正确，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据积的乘方，幂的乘方，合并同类项法则，完全平方公式逐项进行判断即可求出答案.
4．（2026九上·深圳期末）为了方便市民出行，提倡低碳交通，近几年某市大力发展公共自行车系统，根据规划，全市公共自行车总量明年将达75000辆，用科学记数法表示75000是（　　）
A．0.75×105 B．7.5×104 C．7.5×105 D．75×103
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：75000用科学记数法表示为7.5×104
故答案为：B
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的性质.
5．（2026九上·深圳期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．“如果x、y是实数，那么x+y=y+x”是随机事件
B．为了了解人们保护水资源的意识，应当采用普查的调查方式
C．分别写有三个数字-1，-2，4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为
D．若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2=2.3，S乙2=1.8，则甲组数据较稳定
【答案】C
【知识点】等式的基本性质；全面调查与抽样调查；事件的分类；概率公式
【解析】【解答】解：A：“如果x、y是实数，那么x+y=y+x”是必然事件，错误，不符合题意；
B：为了了解人们保护水资源的意识，应当采用抽查的调查方式，错误，不符合题意；
C：分别写有三个数字-1，-2，4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，
则卡片上的两数之积为正数的概率为，正确，符合题意；
D： 若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2=2.3，>S乙2=1.8，则乙组数据较稳定，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据事件的分类，结合等式的性质可判断A；根据调查的方式可判断B，根据概率公式可判断C，根据方差的意义可判断D.
6．（2026九上·深圳期末）随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商该品牌电动车今年1月份的销量为1000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了2100辆.设每个月销量的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．1000（1-x）2=2100 B．1000（1+x）2=2100
C．1000（1+2x）=1000+2100 D．1000（1+x）2=1000+2100
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每个月销量的平均增长率为x，
由题意可得：1000（1+x）2=1000+2100
故答案为：D
【分析】设每个月销量的平均增长率为x，根据题意建立方程即可求出答案.
7．（2026九上·深圳期末）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现.如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）的关系图象，该图象经过点P（880，0.25）.根据图象可知，下列说法正确的是（　　）
A．当I=0.2时，R=1000
B．I与R的函数表达式是
C．当R＞500时，I＞0.44
D．当880＜R＜1000时，则0.22＜I＜0.25
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意设反比例函数的解析式为
将点P（880，0.25）代入解析式可得：，解得：k=220
∴反比例函数的解析式为，B错误，不符合题意
当I=0.2时，即，解得：R=1100，A错误，不符合题意
当R=500时，
∴由图象可得，当R＞500时，I<0.44，C错误，不符合题意
当R=800时，，当R=1000时，
∴ 当880＜R＜1000时，则0.22＜I＜0.25。D正确，符合题意
故答案为：D
【分析】设反比例函数的解析式为，根据待定系数法将点P坐标代入解析式可得反比例函数的解析式为，B错误，不符合题意，再根据反比例函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
8．（2026九上·深圳期末）如图，用正方形纸片ABCD进行如下操作：
第一步：对折正方形纸片使得点A和点D重合，展开，折痕为EF，连接EF；
第二步：过点B折叠纸片，使点C落在EF上，点C的对应点为点G，展开，折痕为BK；
第三步：过点K折叠纸片，使得点A、D分别落在边AB、DC上，展开，折痕为QK.
则矩形QKCB的宽长比（KC：QK）为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：设QK，EF相交于点P，由题意可得∠C=90°
由折叠性质可得，BC=BG，KC=GK，∠BGK=∠C=90°，
∵
∴∠BGF=30°
∴∠GBF=60°
由折叠性质可得∠GBK=∠CBK=90°
∴
∵过点K折叠纸片，使得点A、D分别落在边AB、DC上
∴四边形QKCB为矩形
∴QK=BC
∴KC：QK=
故答案为：B
【分析】设QK，EF相交于点P，由题意可得∠C=90°，由折叠性质可得，BC=BG，KC=GK，∠BGK=∠C=90°，，根据正弦定义，结合特殊角的三角函数值可得∠BGF=30°，根据直角三角形两锐角互余可得∠GBF=60°，由折叠性质可得∠GBK=∠CBK=90°，根据正切定义可得，根据折叠性质可得四边形QKCB为矩形，再根据矩形性质，结合边之间的关系即可求出答案.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9．（2026九上·深圳期末）因式分解： =　 　.
【答案】（a-2）（a+2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】原式=（a-2）（a+2）．
故答案为（a-2）（a+2）．
【分析】直接利用平方差公式分解即可.
10．（2026九上·深圳期末）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠BAC的值为　 　．
【答案】
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D
由图可得：AD=3，BD=4
∴
故答案为：
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，由图可得：AD=3，BD=4，再根据正切定义即可求出答案.
11．（2026九上·深圳期末）如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'=　 　。

【答案】30°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵CC'∥AB
∴∠ACC'=∠CAB=75°
由旋转可知△ABC≌△AB'C'
∴∠B'AC'=∠CAB=75°，AC=AC'
∴∠CAC'= ∠BAB'，∠AC'C=∠ACC'=∠CAB=75°
∴∠CAC'=180°-∠AC'C-∠ACC'=30°
∴∠BAB'=∠CAC'=30°.
【分析】先利用平行线的性质得∠ACC'=∠CAB=75°；然后利用旋转的性质可知△ABC≌△A'B'C，利用全等三角形的性质可得∠B'AC'=∠CAB=75°，AC=AC'，进而得∠CAC'= ∠BAB'，∠AC'C=∠ACC'=∠CAB=75°；再在△ACC'中利用三角形内角和定理求出∠CAC'即可得解。
12．（2026九上·深圳期末）已知四边形ABCD是矩形，AB=5，点E是边BC的中点，连接AE和BD相交于点F，若BF=BE，则矩形ABCD的面积为　 　 .
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴△ADF∽△EBF
∵E为BC中点
∴
设BE=BF=x，则AD=DF=2x
∴BD=3x
在Rt△ABD中，由勾股定理可得AB2+AD2=BD2
即52+(2x)2=(3x)2
解得：
∴矩形ABCD的面积为
故答案为：
【分析】根据矩形性质可得AD∥BC，再根据相似三角形判定定理可得△ADF∽△EBF，则，设BE=BF=x，则AD=DF=2x，BD=3x，根据勾股定理建立方程，解方程可得x值，再根据矩形面积即可求出答案.
13．（2026九上·深圳期末）已知△ABC是等腰三角形且AB=AC，点D是AC的中点，连接BD，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E，连接CE，若，则=　 　 .
【答案】
【知识点】勾股定理；线段的中点；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：作AF⊥BE于点F，DG⊥BE于点G
∵，则设AC=3k，BC=2k
∵△ABC是等腰三角形且AB=AC
∴
∴
∵D是AC的中点，DG∥AF
∴G为FC的中点
∴
设CE=x
在△BDG中，
在△BDE中，
在△DGE中，
∴
解得：
∴
故答案为：
【分析】作AF⊥BE于点F，DG⊥BE于点G，设AC=3k，BC=2k，根据等腰三角形三线合一性质可得，根据勾股定理可得AF，根据线段中点可得GC，再根据三角形中位线定理可得DG，设CE=x，根据勾股定理建立方程，解方程可得x，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14．（2026九上·深圳期末）计算：.
【答案】解：原式=
=3-1+8+1
=11
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；求算术平方根
【解析】【分析】根据二次根式，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．（2026九上·深圳期末）先化简，再将x=-1代入求值．
【答案】解：原式=
=x+2，
将x=-1代入得：
原式=-1+2=1．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将x值代入即可求出答案.
16．（2026九上·深圳期末）为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a.甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如图（数据分成5组：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x≤16）：
b.甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x＜12这一组的是：
10.010.010.110.911.411.511.611.8
c.甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：
平均数 中位数
甲城市 10.8 m
乙城市 11.0 12
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入为　 　百万元；
（3）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1，在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2.
①p1= ▲ ；
②比较p1，p2的大小，并说明理由.
【答案】（1）解：将甲城市邮政企业4月份收入的数据按从小到大的顺序排列为，则中位数为第13个数
∵3+7=10
∴中位数为10≤x＜12这一组数的第三个数
∴m=10.1
（2）2200
（3）①12；
②∵乙城市邮政企业4月份收入的平均数为11.0，中位数为11.5
∴乙城市4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业个数大于或等于13个，即p2≥13
∴p1【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：（2）11.0x200=2200（百万元）
故乙城市的邮政企业4月份的总收入约为2200百万元
故答案为：2200
（3）①由题意可得：
P1=5+3+4=12
故答案为：12
【分析】（1）根据中位数的定义即可求出答案.
（2）根据2002乘以平均数即可求出答案.
（3）①根据题意，结合有理数的加法即可求出答案.
②求出P2，再比较大小即可求出答案.
17．（2026九上·深圳期末）冰封文教用品商店欲购进A、B两种笔记本，用160元购进的A种笔记本与用240元购进的B种笔记本数量相同，每本B种笔记本的进价比每本A种笔记本的进价贵10元．
（1）求A、B两种笔记本每本的进价分别为多少元；
（2）若该商店A种笔记本每本售价24元，B种笔记本每本售价35元，准备购进A、B两种笔记本共100本，且这两种笔记本全部售出后总获利不小于468元，则最多购进A种笔记本多少本？
【答案】（1）解：设A种笔记本每本的进价为x元，则B种笔记本每本的进价为（x＋10）元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：A种笔记本每本的进价为20元，B种笔记本每本的进价为30元．
（2）解：设购进A种笔记本m本，则购进B种笔记本本，
依题意，得：，
解得：．
答：最多购进A种笔记本32本．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设种笔记本每本的进价为元，则种笔记本每本的进价为元，根据数量总价单价结合用160元购进的种笔记本与用240元购进的种笔记本数量相同，建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进种笔记本本，则购进种笔记本本，根据总利润每本的利润销售数量（购进数量）结合总获利不小于468元，建立一元一次不等式，解不等式即可求出答案.
18．（2026九上·深圳期末）已知△ABC为直角三角形且∠C=90°，点O是边BC上一点.
（1）如图1，以OC为半径的⊙O与直线AB相切于点D，⊙O与BC相交于点E，若BE=2，.
①求⊙O的半径；
②求线段AC的长；
（2）若以OC为半径的⊙O与直线AB相切，请在图2中使用尺规作图作出⊙O，并证明.
【答案】（1）解：①连接OD
设半径为r，则OD=OE=r，OB=OE+BE=r+2
∵⊙O与直线AB相切于点D
∴∠ODB=90°
∴
解得：r=3
②由①可得BC=OC+OB=8
在Rt△ABC中，
∴
解得：AC=6
（2）解：如图，⊙O即为所求；
作法提示：作∠BAC的角平分线与BC交于点O；
证明：如图，过O作OM⊥AB于点M，
∵AO平分∠BAC，∠C=∠AMO=90°，
∴OC=OM，
∵OC为半径，
∴OM为圆O的半径，
∴AB是⊙O的切线
【知识点】切线的判定与性质；解直角三角形；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）①连接OD，设半径为r，则OD=OE=r，OB=OE+BE=r+2，根据切线性质可得∠ODB=90°，再根据正弦定义建立方程，解方程即可求出答案.
②由①可得BC=OC+OB=8，解直角三角形即可求出答案.
（2）过O作OM⊥AB于点M，根据角平分线性质可得OC=OM，再根据切线判定定理即可求出答案.
19．（2026九上·深圳期末）小明为了探究函数M：y=-x2+4|x|-3的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题.
（1）完成函数图象的作图，并完成填空.
①列出y与x的几组对应值如表：
x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
y … -8 -3 0 1 0 -3 0 1 0 a -8 …
表格中，a= ▲ ；
②结合表格，在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时函数M的图象；
③观察图象，当x= ▲ 时，y有最大值为 ▲ ；
（2）求函数M：y=-x2+4|x|-3与直线l：y=2x-3的交点坐标；
（3）若函数M的图象与直线y=3x+b恰好有4个交点，求b的取值范围.
【答案】（1）①-3；
②画出当x＞0时函数M的图象如下：
③-2或2；1
（2）解：当x<0时，联立，解得：或(舍去)
当x≥0时，联立，解得：或
∴函数M：y=-x2+4|x|-3与直线l：y=2x-3的交点坐标为（-6，-15）、（0，-3）、（2，1）
（3）解：当直线y=3x+b过点(0，-3)时，直线与函数M的图象有三个交点，此时b=-3
当直线y=3x+b于函数y=-x2+4x-3的图象相切时有三个交点
联立，整理得：x2-x+b+3=0
∴
解得：
∴b的取值范围是-3＜b＜-
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：（1）①将x=4代入y=-x2+4|x|-3可得：y=-16+16-3=-3
∴a=-3
故答案为：-13
③由图象可得，当x=-2或2时，y有最大值为1
故答案为：-2或2；1
【分析】（1）①将x=4代入函数解析式即可求出答案.
②根据描点法作出函数图象即可.
③根据函数图象信息即可求出答案.
（2）分情况讨论：当x<0时，当x≥0时，去绝对值，联立两函数解析式，解方程组即可求出答案.
（3）当直线y=3x+b过点(0，-3)时，直线与函数M的图象有三个交点，此时b=-3，当直线y=3x+b于函数y=-x2+4x-3的图象相切时有三个交点，联立解析式可得x2-x+b+3=0，再根据判别式，解方程即可求出答案.
20．（2026九上·深圳期末）“正方形中的垂直线段”是解决正方形有关问题的基本图形，小明对此进行了深入的研究与思考：
已知：四边形ABCD是正方形.
（1）【图形探究】如图1，点F是边BC上的动点（点F不与点B和点C重合），连接DF，过点A作AE⊥DF于点E，求证：△ADE∽△DFC；
（2）【深入研究】在（1）的条件下，如图2，连接BE，过点E作EG⊥BE交AD于点G.
①求证：△DGE∽△ABE；
②点F在线段BC上运动的过程中，线段GD与线段FC的长是否始终相等，若相等请证明，若不相等请说明理由；
（3）【拓展应用】如图3，点F在AD上，连接CF，点E在CF上，连接DE和AE，当∠DEA=90°且AE=4DE时，请直接写出此时的值.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠C=90°，
∵AE⊥DF，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，∠FDC+∠ADE=90°，
∴∠EAD=∠FDC，
∴△ADE∽△DFC．
（2）①证明：∵EG⊥BE，AE⊥DF，
∴∠BEG=90°，∠AED=90°，
∴∠BEA+∠AEG=90°，∠AEG+∠GED=90°，
∴∠BEA=∠GED，
∴∠EAD+∠ADE=90°，∠BAE+∠EAD=90°，
∴∠BAE=∠GDE，
∴△DGE∽△ABE；
②GD=FC，理由如下：
∵△DGE∽△ABE，△ADE∽△DFC，
∴，，即，，
故．
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴GD=FC．
（3）
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）过点E作EM⊥CD于点M
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ADC=90°，AD=CD
∵EM⊥CD
∴∠EMD=90°
∴∠DEA=90°，∠ADC=90°
∴∠EAAD+∠ADE=90°，∠ADE+∠EDM=90°
∴∠AED=∠EDM
∴△ADE∽△DEM
∴
∵AE=4DE
∴DM=4EM
设EM=x，则DE=4x
在Rt△DEM中，
在Rt△ADE中，
即CD=AD=17x
∴MC=CD-DM=13x
∵∠EMC=∠ADC=90°
∴
【分析】（1）根据正方形性质可得∠ADC=∠C=90°，根据角之间的关系可得∠EAD=∠FDC，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）①根据角之间的关系可得∠BEA=∠GED，∠BAE=∠GDE，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
②根据相似三角形性质可得，，即，，根据边之间的关系可得，再根据正方形性质可得AB=CD，则GD=FC．
（3）过点E作EM⊥CD于点M，根据正方形性质可得∠ADC=90°，AD=CD，根据角之间的关系可得∠AED=∠EDM，根据相似三角形判定定理可得△ADE∽△DEM，则，设EM=x，则DE=4x，根据勾股定理可得DE，AD，即CD=AD=17x，根据边之间的关系可得MC，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1广东省深圳实验学校初中部2025-2026学年九年级上学期数学期末试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2026九上·深圳期末）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2026九上·深圳期末）函数中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠-1 B．x＞-1 C．x≠1 D．x≠0
3．（2026九上·深圳期末）下列运算正确的是（　　）
A．（-m3）2=-m5 B．3mn-m=3n
C．（m-1）2=m2-1 D．m2n m=m3n
4．（2026九上·深圳期末）为了方便市民出行，提倡低碳交通，近几年某市大力发展公共自行车系统，根据规划，全市公共自行车总量明年将达75000辆，用科学记数法表示75000是（　　）
A．0.75×105 B．7.5×104 C．7.5×105 D．75×103
5．（2026九上·深圳期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．“如果x、y是实数，那么x+y=y+x”是随机事件
B．为了了解人们保护水资源的意识，应当采用普查的调查方式
C．分别写有三个数字-1，-2，4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为
D．若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2=2.3，S乙2=1.8，则甲组数据较稳定
6．（2026九上·深圳期末）随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商该品牌电动车今年1月份的销量为1000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了2100辆.设每个月销量的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．1000（1-x）2=2100 B．1000（1+x）2=2100
C．1000（1+2x）=1000+2100 D．1000（1+x）2=1000+2100
7．（2026九上·深圳期末）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现.如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）的关系图象，该图象经过点P（880，0.25）.根据图象可知，下列说法正确的是（　　）
A．当I=0.2时，R=1000
B．I与R的函数表达式是
C．当R＞500时，I＞0.44
D．当880＜R＜1000时，则0.22＜I＜0.25
8．（2026九上·深圳期末）如图，用正方形纸片ABCD进行如下操作：
第一步：对折正方形纸片使得点A和点D重合，展开，折痕为EF，连接EF；
第二步：过点B折叠纸片，使点C落在EF上，点C的对应点为点G，展开，折痕为BK；
第三步：过点K折叠纸片，使得点A、D分别落在边AB、DC上，展开，折痕为QK.
则矩形QKCB的宽长比（KC：QK）为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9．（2026九上·深圳期末）因式分解： =　 　.
10．（2026九上·深圳期末）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠BAC的值为　 　．
11．（2026九上·深圳期末）如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'=　 　。

12．（2026九上·深圳期末）已知四边形ABCD是矩形，AB=5，点E是边BC的中点，连接AE和BD相交于点F，若BF=BE，则矩形ABCD的面积为　 　 .
13．（2026九上·深圳期末）已知△ABC是等腰三角形且AB=AC，点D是AC的中点，连接BD，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E，连接CE，若，则=　 　 .
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14．（2026九上·深圳期末）计算：.
15．（2026九上·深圳期末）先化简，再将x=-1代入求值．
16．（2026九上·深圳期末）为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a.甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如图（数据分成5组：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x≤16）：
b.甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x＜12这一组的是：
10.010.010.110.911.411.511.611.8
c.甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：
平均数 中位数
甲城市 10.8 m
乙城市 11.0 12
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入为　 　百万元；
（3）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1，在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2.
①p1= ▲ ；
②比较p1，p2的大小，并说明理由.
17．（2026九上·深圳期末）冰封文教用品商店欲购进A、B两种笔记本，用160元购进的A种笔记本与用240元购进的B种笔记本数量相同，每本B种笔记本的进价比每本A种笔记本的进价贵10元．
（1）求A、B两种笔记本每本的进价分别为多少元；
（2）若该商店A种笔记本每本售价24元，B种笔记本每本售价35元，准备购进A、B两种笔记本共100本，且这两种笔记本全部售出后总获利不小于468元，则最多购进A种笔记本多少本？
18．（2026九上·深圳期末）已知△ABC为直角三角形且∠C=90°，点O是边BC上一点.
（1）如图1，以OC为半径的⊙O与直线AB相切于点D，⊙O与BC相交于点E，若BE=2，.
①求⊙O的半径；
②求线段AC的长；
（2）若以OC为半径的⊙O与直线AB相切，请在图2中使用尺规作图作出⊙O，并证明.
19．（2026九上·深圳期末）小明为了探究函数M：y=-x2+4|x|-3的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题.
（1）完成函数图象的作图，并完成填空.
①列出y与x的几组对应值如表：
x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
y … -8 -3 0 1 0 -3 0 1 0 a -8 …
表格中，a= ▲ ；
②结合表格，在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时函数M的图象；
③观察图象，当x= ▲ 时，y有最大值为 ▲ ；
（2）求函数M：y=-x2+4|x|-3与直线l：y=2x-3的交点坐标；
（3）若函数M的图象与直线y=3x+b恰好有4个交点，求b的取值范围.
20．（2026九上·深圳期末）“正方形中的垂直线段”是解决正方形有关问题的基本图形，小明对此进行了深入的研究与思考：
已知：四边形ABCD是正方形.
（1）【图形探究】如图1，点F是边BC上的动点（点F不与点B和点C重合），连接DF，过点A作AE⊥DF于点E，求证：△ADE∽△DFC；
（2）【深入研究】在（1）的条件下，如图2，连接BE，过点E作EG⊥BE交AD于点G.
①求证：△DGE∽△ABE；
②点F在线段BC上运动的过程中，线段GD与线段FC的长是否始终相等，若相等请证明，若不相等请说明理由；
（3）【拓展应用】如图3，点F在AD上，连接CF，点E在CF上，连接DE和AE，当∠DEA=90°且AE=4DE时，请直接写出此时的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形，选项A能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以是轴对称图形，
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形的定义“一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”逐项判断解题即可．
2．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
x+1≠0，解得：x≠-1
故答案为：A
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：（-m3）2=m6，错误，不符合题意；
B：3mn-m，不能合并，不符合题意；
C：（m-1）2=m2-2b+1，错误，不符合题意；
D：m2n m=m3n，正确，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据积的乘方，幂的乘方，合并同类项法则，完全平方公式逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：75000用科学记数法表示为7.5×104
故答案为：B
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的性质.
5．【答案】C
【知识点】等式的基本性质；全面调查与抽样调查；事件的分类；概率公式
【解析】【解答】解：A：“如果x、y是实数，那么x+y=y+x”是必然事件，错误，不符合题意；
B：为了了解人们保护水资源的意识，应当采用抽查的调查方式，错误，不符合题意；
C：分别写有三个数字-1，-2，4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，
则卡片上的两数之积为正数的概率为，正确，符合题意；
D： 若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2=2.3，>S乙2=1.8，则乙组数据较稳定，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据事件的分类，结合等式的性质可判断A；根据调查的方式可判断B，根据概率公式可判断C，根据方差的意义可判断D.
6．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每个月销量的平均增长率为x，
由题意可得：1000（1+x）2=1000+2100
故答案为：D
【分析】设每个月销量的平均增长率为x，根据题意建立方程即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意设反比例函数的解析式为
将点P（880，0.25）代入解析式可得：，解得：k=220
∴反比例函数的解析式为，B错误，不符合题意
当I=0.2时，即，解得：R=1100，A错误，不符合题意
当R=500时，
∴由图象可得，当R＞500时，I<0.44，C错误，不符合题意
当R=800时，，当R=1000时，
∴ 当880＜R＜1000时，则0.22＜I＜0.25。D正确，符合题意
故答案为：D
【分析】设反比例函数的解析式为，根据待定系数法将点P坐标代入解析式可得反比例函数的解析式为，B错误，不符合题意，再根据反比例函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：设QK，EF相交于点P，由题意可得∠C=90°
由折叠性质可得，BC=BG，KC=GK，∠BGK=∠C=90°，
∵
∴∠BGF=30°
∴∠GBF=60°
由折叠性质可得∠GBK=∠CBK=90°
∴
∵过点K折叠纸片，使得点A、D分别落在边AB、DC上
∴四边形QKCB为矩形
∴QK=BC
∴KC：QK=
故答案为：B
【分析】设QK，EF相交于点P，由题意可得∠C=90°，由折叠性质可得，BC=BG，KC=GK，∠BGK=∠C=90°，，根据正弦定义，结合特殊角的三角函数值可得∠BGF=30°，根据直角三角形两锐角互余可得∠GBF=60°，由折叠性质可得∠GBK=∠CBK=90°，根据正切定义可得，根据折叠性质可得四边形QKCB为矩形，再根据矩形性质，结合边之间的关系即可求出答案.
9．【答案】（a-2）（a+2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】原式=（a-2）（a+2）．
故答案为（a-2）（a+2）．
【分析】直接利用平方差公式分解即可.
10．【答案】
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D
由图可得：AD=3，BD=4
∴
故答案为：
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，由图可得：AD=3，BD=4，再根据正切定义即可求出答案.
11．【答案】30°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵CC'∥AB
∴∠ACC'=∠CAB=75°
由旋转可知△ABC≌△AB'C'
∴∠B'AC'=∠CAB=75°，AC=AC'
∴∠CAC'= ∠BAB'，∠AC'C=∠ACC'=∠CAB=75°
∴∠CAC'=180°-∠AC'C-∠ACC'=30°
∴∠BAB'=∠CAC'=30°.
【分析】先利用平行线的性质得∠ACC'=∠CAB=75°；然后利用旋转的性质可知△ABC≌△A'B'C，利用全等三角形的性质可得∠B'AC'=∠CAB=75°，AC=AC'，进而得∠CAC'= ∠BAB'，∠AC'C=∠ACC'=∠CAB=75°；再在△ACC'中利用三角形内角和定理求出∠CAC'即可得解。
12．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴△ADF∽△EBF
∵E为BC中点
∴
设BE=BF=x，则AD=DF=2x
∴BD=3x
在Rt△ABD中，由勾股定理可得AB2+AD2=BD2
即52+(2x)2=(3x)2
解得：
∴矩形ABCD的面积为
故答案为：
【分析】根据矩形性质可得AD∥BC，再根据相似三角形判定定理可得△ADF∽△EBF，则，设BE=BF=x，则AD=DF=2x，BD=3x，根据勾股定理建立方程，解方程可得x值，再根据矩形面积即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；线段的中点；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：作AF⊥BE于点F，DG⊥BE于点G
∵，则设AC=3k，BC=2k
∵△ABC是等腰三角形且AB=AC
∴
∴
∵D是AC的中点，DG∥AF
∴G为FC的中点
∴
设CE=x
在△BDG中，
在△BDE中，
在△DGE中，
∴
解得：
∴
故答案为：
【分析】作AF⊥BE于点F，DG⊥BE于点G，设AC=3k，BC=2k，根据等腰三角形三线合一性质可得，根据勾股定理可得AF，根据线段中点可得GC，再根据三角形中位线定理可得DG，设CE=x，根据勾股定理建立方程，解方程可得x，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】解：原式=
=3-1+8+1
=11
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；求算术平方根
【解析】【分析】根据二次根式，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】解：原式=
=x+2，
将x=-1代入得：
原式=-1+2=1．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将x值代入即可求出答案.
16．【答案】（1）解：将甲城市邮政企业4月份收入的数据按从小到大的顺序排列为，则中位数为第13个数
∵3+7=10
∴中位数为10≤x＜12这一组数的第三个数
∴m=10.1
（2）2200
（3）①12；
②∵乙城市邮政企业4月份收入的平均数为11.0，中位数为11.5
∴乙城市4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业个数大于或等于13个，即p2≥13
∴p1【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：（2）11.0x200=2200（百万元）
故乙城市的邮政企业4月份的总收入约为2200百万元
故答案为：2200
（3）①由题意可得：
P1=5+3+4=12
故答案为：12
【分析】（1）根据中位数的定义即可求出答案.
（2）根据2002乘以平均数即可求出答案.
（3）①根据题意，结合有理数的加法即可求出答案.
②求出P2，再比较大小即可求出答案.
17．【答案】（1）解：设A种笔记本每本的进价为x元，则B种笔记本每本的进价为（x＋10）元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：A种笔记本每本的进价为20元，B种笔记本每本的进价为30元．
（2）解：设购进A种笔记本m本，则购进B种笔记本本，
依题意，得：，
解得：．
答：最多购进A种笔记本32本．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设种笔记本每本的进价为元，则种笔记本每本的进价为元，根据数量总价单价结合用160元购进的种笔记本与用240元购进的种笔记本数量相同，建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进种笔记本本，则购进种笔记本本，根据总利润每本的利润销售数量（购进数量）结合总获利不小于468元，建立一元一次不等式，解不等式即可求出答案.
18．【答案】（1）解：①连接OD
设半径为r，则OD=OE=r，OB=OE+BE=r+2
∵⊙O与直线AB相切于点D
∴∠ODB=90°
∴
解得：r=3
②由①可得BC=OC+OB=8
在Rt△ABC中，
∴
解得：AC=6
（2）解：如图，⊙O即为所求；
作法提示：作∠BAC的角平分线与BC交于点O；
证明：如图，过O作OM⊥AB于点M，
∵AO平分∠BAC，∠C=∠AMO=90°，
∴OC=OM，
∵OC为半径，
∴OM为圆O的半径，
∴AB是⊙O的切线
【知识点】切线的判定与性质；解直角三角形；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）①连接OD，设半径为r，则OD=OE=r，OB=OE+BE=r+2，根据切线性质可得∠ODB=90°，再根据正弦定义建立方程，解方程即可求出答案.
②由①可得BC=OC+OB=8，解直角三角形即可求出答案.
（2）过O作OM⊥AB于点M，根据角平分线性质可得OC=OM，再根据切线判定定理即可求出答案.
19．【答案】（1）①-3；
②画出当x＞0时函数M的图象如下：
③-2或2；1
（2）解：当x<0时，联立，解得：或(舍去)
当x≥0时，联立，解得：或
∴函数M：y=-x2+4|x|-3与直线l：y=2x-3的交点坐标为（-6，-15）、（0，-3）、（2，1）
（3）解：当直线y=3x+b过点(0，-3)时，直线与函数M的图象有三个交点，此时b=-3
当直线y=3x+b于函数y=-x2+4x-3的图象相切时有三个交点
联立，整理得：x2-x+b+3=0
∴
解得：
∴b的取值范围是-3＜b＜-
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：（1）①将x=4代入y=-x2+4|x|-3可得：y=-16+16-3=-3
∴a=-3
故答案为：-13
③由图象可得，当x=-2或2时，y有最大值为1
故答案为：-2或2；1
【分析】（1）①将x=4代入函数解析式即可求出答案.
②根据描点法作出函数图象即可.
③根据函数图象信息即可求出答案.
（2）分情况讨论：当x<0时，当x≥0时，去绝对值，联立两函数解析式，解方程组即可求出答案.
（3）当直线y=3x+b过点(0，-3)时，直线与函数M的图象有三个交点，此时b=-3，当直线y=3x+b于函数y=-x2+4x-3的图象相切时有三个交点，联立解析式可得x2-x+b+3=0，再根据判别式，解方程即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠C=90°，
∵AE⊥DF，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，∠FDC+∠ADE=90°，
∴∠EAD=∠FDC，
∴△ADE∽△DFC．
（2）①证明：∵EG⊥BE，AE⊥DF，
∴∠BEG=90°，∠AED=90°，
∴∠BEA+∠AEG=90°，∠AEG+∠GED=90°，
∴∠BEA=∠GED，
∴∠EAD+∠ADE=90°，∠BAE+∠EAD=90°，
∴∠BAE=∠GDE，
∴△DGE∽△ABE；
②GD=FC，理由如下：
∵△DGE∽△ABE，△ADE∽△DFC，
∴，，即，，
故．
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴GD=FC．
（3）
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）过点E作EM⊥CD于点M
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ADC=90°，AD=CD
∵EM⊥CD
∴∠EMD=90°
∴∠DEA=90°，∠ADC=90°
∴∠EAAD+∠ADE=90°，∠ADE+∠EDM=90°
∴∠AED=∠EDM
∴△ADE∽△DEM
∴
∵AE=4DE
∴DM=4EM
设EM=x，则DE=4x
在Rt△DEM中，
在Rt△ADE中，
即CD=AD=17x
∴MC=CD-DM=13x
∵∠EMC=∠ADC=90°
∴
【分析】（1）根据正方形性质可得∠ADC=∠C=90°，根据角之间的关系可得∠EAD=∠FDC，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）①根据角之间的关系可得∠BEA=∠GED，∠BAE=∠GDE，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
②根据相似三角形性质可得，，即，，根据边之间的关系可得，再根据正方形性质可得AB=CD，则GD=FC．
（3）过点E作EM⊥CD于点M，根据正方形性质可得∠ADC=90°，AD=CD，根据角之间的关系可得∠AED=∠EDM，根据相似三角形判定定理可得△ADE∽△DEM，则，设EM=x，则DE=4x，根据勾股定理可得DE，AD，即CD=AD=17x，根据边之间的关系可得MC，再根据边之间的关系即可求出答案.
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