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广东省深圳市龙岗区2025-2026学年上学期九年级期末考试数学试题
1．（2026九上·龙岗期末） 2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成“东风-5C”液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式.如图为“东风-5C”洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同
2．（2026九上·龙岗期末）若是方程的一个解，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
3．（2026九上·龙岗期末）据统计，2024年某新能源汽车在深圳销售约为12万辆，预计到2026年底在深圳的销量将达到27万辆。设这两年该新能源汽车在深圳的年平均增长率为x%，则可列方程为（　　）
A． B．12（1+2x)=27
C． D．
4．（2026九上·龙岗期末）深圳湾公园为展示“国际红树林中心”建设成果，设置了一块矩形AR 互动科普屏。屏幕显示一个长为10m、宽为6m的矩形公园区域，其中红树林湿地的边界复杂，其面积难以直接计算。为了估算红树林的实际面积，工作人员设计了一个程序：由游客在矩形屏幕上随机点击，记录点击落在红树林图形内的次数，经过统计发现点落在红树林区域的频率稳定在0.7附近。据此，可以估计红树林区域的面积约为（　　）
A．24m2 B．36m2 C．42m2 D．
5．（2026九上·龙岗期末）某学习小组测量旗杆高度，并做出示意图：为旗杆，为旗杆的影子，为一位小组成员，为该成员的影子，在同一时刻测得米，米，米，则旗杆的高度为（　　）
A．9米 B．12米 C．15米 D．18米
6．（2026九上·龙岗期末）将抛物线 通过平移得到抛物线. 下列平移过程正确的是（　　）
A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位
B．向左平移2个单位，再向上平移2个单位
C．向右平移2个单位，再向下平移2个单位
D．向右平移2个单位，再向上平移2个单位
7．（2026九上·龙岗期末）如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则sin∠ABC的大小是（　　）
A． B．2 C． D．
8．（2026九上·龙岗期末） 如图， 在菱形ABCD中， ∠ABC=60°， E是BC的中点， F是DE上一点且满足BF⊥CF， 则 （　　）
A． B． C． D．
9．（2026九上·龙岗期末）已知2a=3b，则 =　 　．
10．（2026九上·龙岗期末）古筝是中国独有的民族乐器之一，被誉为“东方钢琴”，如图所示为其部分琴弦的示意图.已知弦 且相邻两弦之间的距离相等，P是弦l1上一点，过点P作射线PA，交弦l0于点A，交弦l3于点E。若AP=10，则AE=　 　。
11．（2026九上·龙岗期末）深圳某科技园区试点无人机外卖配送。无人机从外卖柜正上方A 点，垂直上升至距地面30米的P 点悬停，然后沿水平方向飞往客户阳台B点。若地面引导员在 C 点测得无人机悬停点 P 的仰角为 （参考数据：sin37°≈0.60， cos37°≈0.80， tan37°≈0.75) ， 则无人机从 P 点水平飞抵 B 点距离PB约为　 　米.
12．（2026九上·龙岗期末）如图，点A是反比例函数 的图象上一点，B是x轴负半轴上一点，AB交y轴于点C， 若C为AB中点， △AOB的面积为8时， 则 　 　。
13．（2026九上·龙岗期末）校动会期间，某学校在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状.数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离AB=8m，再用两根长度为2m 的标杆CE、DF垂直于地面且让标杆端点 C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离 EF=6m，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小)的高度为　 　。
14．（2026九上·龙岗期末）计算：
15．（2026九上·龙岗期末）习题课上老师给了一道方程：
洋洋的解法 方程可化为： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 融融的解法 方程可化为： 第一步两边都除以（x+2)…第二步 ∴x=4…第三步
（1）她们的解法都是错误的，洋洋从第　 　开始错误，错因是　 　；融融从第　 　步开始错误，错因是　 　；
（2）请你正确解出该方程.
16．（2026九上·龙岗期末）深圳某中学科技社举办“拥抱智能，探索未来”AI 应用体验日活动，准备了以下四个体验项目供学生随机选择：
A.智能语音助手对话编程 B. AI学习助手解疑体验
C. AI图像生成艺术创作 D.人形机器人指令交互
（1）该校学生小智随机选择一个项目，他选中“AI图像生成艺术创作”（项目C)的概率是　 　；
（2）科技社成员小深和小港都参加了活动，他们各自从以上四个项目中随机选择一项进行体验。请用画树状图或列表方法，求两人选择的项目恰好相同的概率.
17．（2026九上·龙岗期末）如图， 点E是矩形ABCD的边BC上一点， 且AE=AD.
（1）【操作与验证】尺规作图：在BC的延长线上找到一点F，连接DF，使得四边形AEFD 是菱形，并给出相应证明；
（2）【推理与计算】在（1）的条件下， 连接DE， 若DE=8，且四边形AEFD 的周长为32，求矩形ABCD 的面积.
18．（2026九上·龙岗期末）【定义】对于一个函数，如果存在自变量x0=m时，其对应的函数值y0=m，那么我们称该函数为“不动函数”，点（m，m)为该函数图象上的一个不动点.
【初步探究】
反比例函数 是否为“不动函数” 数学兴趣小组作以下思考：
从“数”的角度，由定义可知令y=x，即判断方程 是否有解即可；
从“形”的角度，点（m，m)一定在直线y=x上，即判断反比例函数 的图象与直线y=x是否有交点即可.
【问题解决】
（1）结合上述探究思路，可以判断出反比例函数 　 　不动函数”；（填“是”或“不是”)
（2）下列函数是“不动函数”的序号是　 　；
①y=2x+1；
（3）请判断二次函数 是否为“不动函数” 若是，请求出不动点坐标；若不是，请说明理由；
19．（2026九上·龙岗期末）为响应2025年粤港澳全运会“绿色、共享、惠民”的办赛理念，深圳某文创企业推出一系列全运会特许纪念品。企业将纪念品分为“经典系列”和“环保系列”两类进行试销，并根据市场反馈动态调整定价策略，旨在让利于民的同时实现可持续发展.
【信息收集】信息一：
系列 每件成本（元) 试销单价 （元/件) 试销日销量
经典系列 40 60 200
环保系列 20 x 未定
信息二：“环保系列”在试销单价x元时，其日销售量 q（件)可表示为：（q=360-4x；
信息三：试销期间，企业从“经典系列”获得的每日总利润，与从“环保系列”以单价x元销售时获得的每日总利润恰好相等.
【问题解决】
（1）求“经典系列”在试销时的每日总利润，
（2）求出信息二中x的值；
（3）企业决定对“环保系列”采用灵活的定价策略。设“环保系列”的销售单价为t元/件（t≥40)，其每日总利润为w元。问每日的最大利润是否能超过4950元 如能，请求出此时对应的销售单价；若不能，请说明理由.
20．（2026九上·龙岗期末） 如图
（1）【教材回顾】如图1， 在正方形ABCD中， E为CD边上一点， F为BC延长线上一点， 且CE=CF。 求证： BE=DF， BE⊥DF；
（2）【类比迁移】如图2， 在矩形ABCD中， AB=6， AD=8， E是CD 边上一点， 将△BED沿BE折叠得到△BEG， 延长DG和BC相交于点F。若CE=2DE时，求FG的长；
（3）【拓展提升】如图3， 在菱形ABCD中， ∠A=120°， E是CD边上一点且满足DE=2CE，点F是BC延长线上一点，连接DF 交射线BE于点 G，当线段DF与射线BE所夹的锐角为60°时，直接写出 的值。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
主视图与俯视图相同
故答案为：B
【分析】根据几何图的三视图即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的一个解，
∴，解得，
故答案为：D．
【分析】根据方程解的定义“使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解”，将x=1代入原方程可得关于字母m的一元一次方程，求解即可得出m的值.
3．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这两年该新能源汽车在深圳的年平均增长率为x%
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设这两年该新能源汽车在深圳的年平均增长率为x%，根据题意建立方程即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意可得：
10×6×0.7= 42m2
故答案为：C
【分析】根据频率估计概率即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定；平行投影；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意知，
，
又，
，
，即，
，
即旗杆的高度为12米．
故选B．
【分析】由题意知，根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意可得：
将抛物线 向左平移2个单位，再向下平移2个单位
故答案为：A
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；求正弦值
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴AC2+AB2=BC2
∴∠BAC=90°
∴
故答案为：D
【分析】根据勾股定理可得AC，BC，AB，再根据勾股定理逆定理可得∠BAC=90°，再根据正弦定义即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，则∠H=90°
∴△DCH和△DEH都是直角三角形
∵E是BC的中点
∴设BE=CE=a
∴BC=BE+CE=2a
∵四边形ABCD是菱形
∴CD=BC=2a，AB∥CD
∵∠ABC=60°
∴∠DCH=∠ABC=60°
在Rt△DCH中，∠CDH=90°-∠DCH=30°
∴
∴，
∵BF⊥CF
∴∠BFC=90°
∴△BFC是直角三角形
∵E是BC的中点
∴
∴
故答案为：C
【分析】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，则∠H=90°，根据直角三角形判定定理可得△DCH和△DEH都是直角三角形，根据直角三角形，设BE=CE=a，根据线段中点可得BC，再根据菱形性质可得CD=BC=2a，AB∥CD，则∠DCH=∠ABC=60°，根据含30°角的直角三角形性质可得CH，再根据勾股定理可得DH，DE，再根据直角三角形性质即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵2a=3b，∴ = ．
【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．可直接得到 的结果．
10．【答案】6
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，且相邻两弦之间的距离相等
∴AE：EP=3：2
∵AP=10
∴AE=6，EP=4
故答案为：6
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
11．【答案】42
【知识点】平行线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意可得：
PB∥AC，BC=30，BC⊥PB
∴∠P=∠ACP=37°
∴
∴PB=42
故答案为：42
【分析】由题意可得PB∥AC，BC=30，BC⊥PB，根据直线平行性质可得∠P=∠ACP=37°，解直角三角形即可求出答案.
12．【答案】16
【知识点】三角形的面积；线段的中点
【解析】【解答】解：由题意可得：
设点A的坐标为
∵C为AB中点
∴B(-x，0)
∴
解得：k=16
故答案为：16
【分析】设点A的坐标为，根据线段中点可得B(-x，0)，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：建立如图所示的直角坐标
设抛物线的解析式为：y=ax2+c，则B(4，0)，D(3，2)
代入解析式可得
解得：
∴此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小)的高度为
故答案为：
【分析】建立直角坐标系，设抛物线的解析式为：y=ax2+c，则B(4，0)，D(3，2)，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式即可求出答案.
14．【答案】解：原式=
=3
【知识点】求特殊角的三角函数值；有理数的乘方法则；实数的绝对值
【解析】【分析】根据有理数的乘方，二次根式，绝对值性质，特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】（1）二；违反了等式的基本性质1；二；违反了等式的基本性质2，(x+2)可能为0
（2）解：方程可化为x(x+2)=4(x+2)
x(x+2)-4(x+2)=0
(x-4)(x+2)=0
【知识点】等式的基本性质；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据等式的性质进行判断即可秋促答案.
（2）根据因式分解解方程即可求出答案.
16．【答案】（1）
（2）解：用A、B、C、D分别表示四个体验项目，画树状图如下：
∴由树状图可知，共有16种等可能结果，其中小深和小港选择的项目相同的结果有4种，
∴两人选择的项目恰好相同的概率为14
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出其中小深和小港选择的项目相同的结果，再根据概率公式即可求出答案.
17．【答案】（1）解：如图所示，点F为所求；
证明： ∵AE=AD， AE=EF
∴AD=EF
∵矩形 ABCD
∴AD//BF
∴四边形 AEFD是平行四边形
∴平行四边形AEFD是菱形.
（2）解：∵菱形 AEFD 的周长为32
∴AE=AD=8
∵DE=8
∴△ADE 是等边三角形
∴∠DAE=60°
在矩形 ABCD 中， ∠B=∠BAD=90°
∴在Rt△ABE 中， ∠BAE=30°， AE=8
∴BE=4， AB=4
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义作图即可，根据矩形性质可得AD//BF，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得AE=AD=8，再根据等边三角形判定定理可得△ADE 是等边三角形，则∠DAE=60°，再根据含30°角的直角三角形性质可得BE=4， AB=4 ，再根据三角形面积即可求出答案.
18．【答案】（1）是
（2）①
（3）解：令，即x2+2x-3=0
解得：
∴二次函数 是“不动函数”， 且不动点为(-3，-3)，(1，1)
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）令，解得：x=±2
∴反比例函数 是不动函数
故答案为：是
（2）①令2x+1=x，解得：x=-1
∴y=2x+1是是不动函数
②令，则x2=-5，方程无解
∴不是不动函数
③令，则x2-x+3=0
∵
∴方程无解
∴不是不动函数
故答案为：①
【分析】（1）根据题意令，解方程，结合“不动函数”的定义进行判断即可求出答案.
（2）根据题意建立方程，解方程，结合“不动函数”的定义进行判断即可求出答案.
（3）令，解方程即可求出答案.
19．【答案】（1）解：“经典系列”试销时， 单件利润为 60-40=20 (元)
∵日销量为 200件
∴每日总利润为20×200=4000(元)
答：“经典系列”在试销时的总利润为4000元
（2）解：根据题意得： (x-20)(360-4x)=4000
解得：
∵让利于民
∴x的值为40
（3）解：w=(t-20)(360-4t)=-4(t-55)2+4900·
∵t≥40
∴当t=55时，
答：每日的最大利润不能超过4950元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据总利润=单件利润×总销售量列式计算即可求出答案.
（2）根据总利润=单件利润×总销售量建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据总利润=单件利润×总销售量建立函数关系式，结合二次函数的性质即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：延长BE交于DF 于点 H
在正方形ABCD中， BC=CD， ∠BCE=∠DCF=90°
∵CE=CF
∴△BCE≌△DCF (SAS)
∴∠CBE=∠CDF， BE=DF
∵∠BEC=∠DEH
∴∠BCE=∠DHE=90°， 即 BE⊥DF
（2）解：延长BE交于 DF于点H
在矩形ABCD中， ∠BCD=90°， AB=CD， AD=BC
∵AB=6， AD=8， CE=2DE
∴CE=4， DE=2， BC=8
∴在 Rt△BCE 中，
∵△BED沿BE 折叠得到△BEG
∴DH=HG， BH⊥DF， 即 ∠DHE=90°
∵∠BEC=∠DEH
∴△BCE~△DHE·
即
∴在Rt△DFC中，
∴CF=3
∴在Rt△DFC中，
（3）解：
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）当线段DF 与射线BE所夹的锐角为60°时， 则∠BGF=60°或∠BGD=60°
①当∠BGF=60°时
过点E作EP⊥CF交于CF于点 P，延长BG交AD 延长线于点H
在菱形ABCD中，∠A=120°
∴∠BCD=120°， BC=CD， AD∥BC
∵DE=2CE
∴令 DE=4， CE=2， 则BC=CD=6，在 Rt△CEP中，
∴BP=7
∴在 Rt△BEP中，
∵AH∥BF
∵∠BCD=∠DGE， ∠BEC=∠DEG
∴△BCE~△DGE
∴∠1=∠2
∵AH//BF
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴△HED~△DEG
即
②当∠BGD=60°时∠BGF=120°
由①知
∵∠EBC=∠GBF， ∠BCD=∠BGF
∴△BCE~△BGF
∴∠4=∠F
∵AH∥BF
∴∠6=∠F
∵∠4=∠5
∴∠6=∠5
∵∠H=∠H
∴△DEH~△GDH
即
【分析】（1）延长BE交于DF于点H，根据正方形性质可得BC=CD， ∠BCE=∠DCF=90°，再根据全等三角形判定定理可得△BCE≌△DCF (SAS) ，则∠CBE=∠CDF， BE=DF，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）延长BE交于DF于点H，根据矩形性质可得∠BCD=90°， AB=CD， AD=BC，根据勾股定理可得BE，再根据折叠性质可得DH=HG， BH⊥DF， 即 ∠DHE=90°，再根据相似三角形判定定理可得△BCE~△DHE·，则，代值计算可得DH，再根据正切定义可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当∠BGF=60°时，过点E作EP⊥CF交于CF于点 P，延长BG交AD 延长线于点H，根据菱形性质可得∠BCD=120°， BC=CD， AD∥BC，令 DE=4， CE=2， 则BC=CD=6，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得BP，再根据勾股定理可得BE，根据平行线分线段成比例定理可得，再根据相似三角形判定定理可得△HED~△DEG，则，代值计算可得EG，再根据边之间的关系即可求出答案；②当∠BGD=60°时∠BGF=120°，由①知 ，根据相似三角形判定定理可得△BCE~△BGF，则∠4=∠F，根据直线平行性质可得∠6=∠F，根据角之间的关系可得∠6=∠5，再根据相似三角形判定定理可得△DEH~△GDH，则，代值计算可得GH，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市龙岗区2025-2026学年上学期九年级期末考试数学试题
1．（2026九上·龙岗期末） 2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成“东风-5C”液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式.如图为“东风-5C”洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
主视图与俯视图相同
故答案为：B
【分析】根据几何图的三视图即可求出答案.
2．（2026九上·龙岗期末）若是方程的一个解，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的一个解，
∴，解得，
故答案为：D．
【分析】根据方程解的定义“使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解”，将x=1代入原方程可得关于字母m的一元一次方程，求解即可得出m的值.
3．（2026九上·龙岗期末）据统计，2024年某新能源汽车在深圳销售约为12万辆，预计到2026年底在深圳的销量将达到27万辆。设这两年该新能源汽车在深圳的年平均增长率为x%，则可列方程为（　　）
A． B．12（1+2x)=27
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这两年该新能源汽车在深圳的年平均增长率为x%
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设这两年该新能源汽车在深圳的年平均增长率为x%，根据题意建立方程即可求出答案.
4．（2026九上·龙岗期末）深圳湾公园为展示“国际红树林中心”建设成果，设置了一块矩形AR 互动科普屏。屏幕显示一个长为10m、宽为6m的矩形公园区域，其中红树林湿地的边界复杂，其面积难以直接计算。为了估算红树林的实际面积，工作人员设计了一个程序：由游客在矩形屏幕上随机点击，记录点击落在红树林图形内的次数，经过统计发现点落在红树林区域的频率稳定在0.7附近。据此，可以估计红树林区域的面积约为（　　）
A．24m2 B．36m2 C．42m2 D．
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意可得：
10×6×0.7= 42m2
故答案为：C
【分析】根据频率估计概率即可求出答案.
5．（2026九上·龙岗期末）某学习小组测量旗杆高度，并做出示意图：为旗杆，为旗杆的影子，为一位小组成员，为该成员的影子，在同一时刻测得米，米，米，则旗杆的高度为（　　）
A．9米 B．12米 C．15米 D．18米
【答案】B
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定；平行投影；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意知，
，
又，
，
，即，
，
即旗杆的高度为12米．
故选B．
【分析】由题意知，根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
6．（2026九上·龙岗期末）将抛物线 通过平移得到抛物线. 下列平移过程正确的是（　　）
A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位
B．向左平移2个单位，再向上平移2个单位
C．向右平移2个单位，再向下平移2个单位
D．向右平移2个单位，再向上平移2个单位
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意可得：
将抛物线 向左平移2个单位，再向下平移2个单位
故答案为：A
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
7．（2026九上·龙岗期末）如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则sin∠ABC的大小是（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；求正弦值
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴AC2+AB2=BC2
∴∠BAC=90°
∴
故答案为：D
【分析】根据勾股定理可得AC，BC，AB，再根据勾股定理逆定理可得∠BAC=90°，再根据正弦定义即可求出答案.
8．（2026九上·龙岗期末） 如图， 在菱形ABCD中， ∠ABC=60°， E是BC的中点， F是DE上一点且满足BF⊥CF， 则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，则∠H=90°
∴△DCH和△DEH都是直角三角形
∵E是BC的中点
∴设BE=CE=a
∴BC=BE+CE=2a
∵四边形ABCD是菱形
∴CD=BC=2a，AB∥CD
∵∠ABC=60°
∴∠DCH=∠ABC=60°
在Rt△DCH中，∠CDH=90°-∠DCH=30°
∴
∴，
∵BF⊥CF
∴∠BFC=90°
∴△BFC是直角三角形
∵E是BC的中点
∴
∴
故答案为：C
【分析】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，则∠H=90°，根据直角三角形判定定理可得△DCH和△DEH都是直角三角形，根据直角三角形，设BE=CE=a，根据线段中点可得BC，再根据菱形性质可得CD=BC=2a，AB∥CD，则∠DCH=∠ABC=60°，根据含30°角的直角三角形性质可得CH，再根据勾股定理可得DH，DE，再根据直角三角形性质即可求出答案.
9．（2026九上·龙岗期末）已知2a=3b，则 =　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵2a=3b，∴ = ．
【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．可直接得到 的结果．
10．（2026九上·龙岗期末）古筝是中国独有的民族乐器之一，被誉为“东方钢琴”，如图所示为其部分琴弦的示意图.已知弦 且相邻两弦之间的距离相等，P是弦l1上一点，过点P作射线PA，交弦l0于点A，交弦l3于点E。若AP=10，则AE=　 　。
【答案】6
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，且相邻两弦之间的距离相等
∴AE：EP=3：2
∵AP=10
∴AE=6，EP=4
故答案为：6
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
11．（2026九上·龙岗期末）深圳某科技园区试点无人机外卖配送。无人机从外卖柜正上方A 点，垂直上升至距地面30米的P 点悬停，然后沿水平方向飞往客户阳台B点。若地面引导员在 C 点测得无人机悬停点 P 的仰角为 （参考数据：sin37°≈0.60， cos37°≈0.80， tan37°≈0.75) ， 则无人机从 P 点水平飞抵 B 点距离PB约为　 　米.
【答案】42
【知识点】平行线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意可得：
PB∥AC，BC=30，BC⊥PB
∴∠P=∠ACP=37°
∴
∴PB=42
故答案为：42
【分析】由题意可得PB∥AC，BC=30，BC⊥PB，根据直线平行性质可得∠P=∠ACP=37°，解直角三角形即可求出答案.
12．（2026九上·龙岗期末）如图，点A是反比例函数 的图象上一点，B是x轴负半轴上一点，AB交y轴于点C， 若C为AB中点， △AOB的面积为8时， 则 　 　。
【答案】16
【知识点】三角形的面积；线段的中点
【解析】【解答】解：由题意可得：
设点A的坐标为
∵C为AB中点
∴B(-x，0)
∴
解得：k=16
故答案为：16
【分析】设点A的坐标为，根据线段中点可得B(-x，0)，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
13．（2026九上·龙岗期末）校动会期间，某学校在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状.数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离AB=8m，再用两根长度为2m 的标杆CE、DF垂直于地面且让标杆端点 C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离 EF=6m，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小)的高度为　 　。
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：建立如图所示的直角坐标
设抛物线的解析式为：y=ax2+c，则B(4，0)，D(3，2)
代入解析式可得
解得：
∴此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小)的高度为
故答案为：
【分析】建立直角坐标系，设抛物线的解析式为：y=ax2+c，则B(4，0)，D(3，2)，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式即可求出答案.
14．（2026九上·龙岗期末）计算：
【答案】解：原式=
=3
【知识点】求特殊角的三角函数值；有理数的乘方法则；实数的绝对值
【解析】【分析】根据有理数的乘方，二次根式，绝对值性质，特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
15．（2026九上·龙岗期末）习题课上老师给了一道方程：
洋洋的解法 方程可化为： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 融融的解法 方程可化为： 第一步两边都除以（x+2)…第二步 ∴x=4…第三步
（1）她们的解法都是错误的，洋洋从第　 　开始错误，错因是　 　；融融从第　 　步开始错误，错因是　 　；
（2）请你正确解出该方程.
【答案】（1）二；违反了等式的基本性质1；二；违反了等式的基本性质2，(x+2)可能为0
（2）解：方程可化为x(x+2)=4(x+2)
x(x+2)-4(x+2)=0
(x-4)(x+2)=0
【知识点】等式的基本性质；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据等式的性质进行判断即可秋促答案.
（2）根据因式分解解方程即可求出答案.
16．（2026九上·龙岗期末）深圳某中学科技社举办“拥抱智能，探索未来”AI 应用体验日活动，准备了以下四个体验项目供学生随机选择：
A.智能语音助手对话编程 B. AI学习助手解疑体验
C. AI图像生成艺术创作 D.人形机器人指令交互
（1）该校学生小智随机选择一个项目，他选中“AI图像生成艺术创作”（项目C)的概率是　 　；
（2）科技社成员小深和小港都参加了活动，他们各自从以上四个项目中随机选择一项进行体验。请用画树状图或列表方法，求两人选择的项目恰好相同的概率.
【答案】（1）
（2）解：用A、B、C、D分别表示四个体验项目，画树状图如下：
∴由树状图可知，共有16种等可能结果，其中小深和小港选择的项目相同的结果有4种，
∴两人选择的项目恰好相同的概率为14
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出其中小深和小港选择的项目相同的结果，再根据概率公式即可求出答案.
17．（2026九上·龙岗期末）如图， 点E是矩形ABCD的边BC上一点， 且AE=AD.
（1）【操作与验证】尺规作图：在BC的延长线上找到一点F，连接DF，使得四边形AEFD 是菱形，并给出相应证明；
（2）【推理与计算】在（1）的条件下， 连接DE， 若DE=8，且四边形AEFD 的周长为32，求矩形ABCD 的面积.
【答案】（1）解：如图所示，点F为所求；
证明： ∵AE=AD， AE=EF
∴AD=EF
∵矩形 ABCD
∴AD//BF
∴四边形 AEFD是平行四边形
∴平行四边形AEFD是菱形.
（2）解：∵菱形 AEFD 的周长为32
∴AE=AD=8
∵DE=8
∴△ADE 是等边三角形
∴∠DAE=60°
在矩形 ABCD 中， ∠B=∠BAD=90°
∴在Rt△ABE 中， ∠BAE=30°， AE=8
∴BE=4， AB=4
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义作图即可，根据矩形性质可得AD//BF，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得AE=AD=8，再根据等边三角形判定定理可得△ADE 是等边三角形，则∠DAE=60°，再根据含30°角的直角三角形性质可得BE=4， AB=4 ，再根据三角形面积即可求出答案.
18．（2026九上·龙岗期末）【定义】对于一个函数，如果存在自变量x0=m时，其对应的函数值y0=m，那么我们称该函数为“不动函数”，点（m，m)为该函数图象上的一个不动点.
【初步探究】
反比例函数 是否为“不动函数” 数学兴趣小组作以下思考：
从“数”的角度，由定义可知令y=x，即判断方程 是否有解即可；
从“形”的角度，点（m，m)一定在直线y=x上，即判断反比例函数 的图象与直线y=x是否有交点即可.
【问题解决】
（1）结合上述探究思路，可以判断出反比例函数 　 　不动函数”；（填“是”或“不是”)
（2）下列函数是“不动函数”的序号是　 　；
①y=2x+1；
（3）请判断二次函数 是否为“不动函数” 若是，请求出不动点坐标；若不是，请说明理由；
【答案】（1）是
（2）①
（3）解：令，即x2+2x-3=0
解得：
∴二次函数 是“不动函数”， 且不动点为(-3，-3)，(1，1)
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）令，解得：x=±2
∴反比例函数 是不动函数
故答案为：是
（2）①令2x+1=x，解得：x=-1
∴y=2x+1是是不动函数
②令，则x2=-5，方程无解
∴不是不动函数
③令，则x2-x+3=0
∵
∴方程无解
∴不是不动函数
故答案为：①
【分析】（1）根据题意令，解方程，结合“不动函数”的定义进行判断即可求出答案.
（2）根据题意建立方程，解方程，结合“不动函数”的定义进行判断即可求出答案.
（3）令，解方程即可求出答案.
19．（2026九上·龙岗期末）为响应2025年粤港澳全运会“绿色、共享、惠民”的办赛理念，深圳某文创企业推出一系列全运会特许纪念品。企业将纪念品分为“经典系列”和“环保系列”两类进行试销，并根据市场反馈动态调整定价策略，旨在让利于民的同时实现可持续发展.
【信息收集】信息一：
系列 每件成本（元) 试销单价 （元/件) 试销日销量
经典系列 40 60 200
环保系列 20 x 未定
信息二：“环保系列”在试销单价x元时，其日销售量 q（件)可表示为：（q=360-4x；
信息三：试销期间，企业从“经典系列”获得的每日总利润，与从“环保系列”以单价x元销售时获得的每日总利润恰好相等.
【问题解决】
（1）求“经典系列”在试销时的每日总利润，
（2）求出信息二中x的值；
（3）企业决定对“环保系列”采用灵活的定价策略。设“环保系列”的销售单价为t元/件（t≥40)，其每日总利润为w元。问每日的最大利润是否能超过4950元 如能，请求出此时对应的销售单价；若不能，请说明理由.
【答案】（1）解：“经典系列”试销时， 单件利润为 60-40=20 (元)
∵日销量为 200件
∴每日总利润为20×200=4000(元)
答：“经典系列”在试销时的总利润为4000元
（2）解：根据题意得： (x-20)(360-4x)=4000
解得：
∵让利于民
∴x的值为40
（3）解：w=(t-20)(360-4t)=-4(t-55)2+4900·
∵t≥40
∴当t=55时，
答：每日的最大利润不能超过4950元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据总利润=单件利润×总销售量列式计算即可求出答案.
（2）根据总利润=单件利润×总销售量建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据总利润=单件利润×总销售量建立函数关系式，结合二次函数的性质即可求出答案.
20．（2026九上·龙岗期末） 如图
（1）【教材回顾】如图1， 在正方形ABCD中， E为CD边上一点， F为BC延长线上一点， 且CE=CF。 求证： BE=DF， BE⊥DF；
（2）【类比迁移】如图2， 在矩形ABCD中， AB=6， AD=8， E是CD 边上一点， 将△BED沿BE折叠得到△BEG， 延长DG和BC相交于点F。若CE=2DE时，求FG的长；
（3）【拓展提升】如图3， 在菱形ABCD中， ∠A=120°， E是CD边上一点且满足DE=2CE，点F是BC延长线上一点，连接DF 交射线BE于点 G，当线段DF与射线BE所夹的锐角为60°时，直接写出 的值。
【答案】（1）证明：延长BE交于DF 于点 H
在正方形ABCD中， BC=CD， ∠BCE=∠DCF=90°
∵CE=CF
∴△BCE≌△DCF (SAS)
∴∠CBE=∠CDF， BE=DF
∵∠BEC=∠DEH
∴∠BCE=∠DHE=90°， 即 BE⊥DF
（2）解：延长BE交于 DF于点H
在矩形ABCD中， ∠BCD=90°， AB=CD， AD=BC
∵AB=6， AD=8， CE=2DE
∴CE=4， DE=2， BC=8
∴在 Rt△BCE 中，
∵△BED沿BE 折叠得到△BEG
∴DH=HG， BH⊥DF， 即 ∠DHE=90°
∵∠BEC=∠DEH
∴△BCE~△DHE·
即
∴在Rt△DFC中，
∴CF=3
∴在Rt△DFC中，
（3）解：
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）当线段DF 与射线BE所夹的锐角为60°时， 则∠BGF=60°或∠BGD=60°
①当∠BGF=60°时
过点E作EP⊥CF交于CF于点 P，延长BG交AD 延长线于点H
在菱形ABCD中，∠A=120°
∴∠BCD=120°， BC=CD， AD∥BC
∵DE=2CE
∴令 DE=4， CE=2， 则BC=CD=6，在 Rt△CEP中，
∴BP=7
∴在 Rt△BEP中，
∵AH∥BF
∵∠BCD=∠DGE， ∠BEC=∠DEG
∴△BCE~△DGE
∴∠1=∠2
∵AH//BF
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴△HED~△DEG
即
②当∠BGD=60°时∠BGF=120°
由①知
∵∠EBC=∠GBF， ∠BCD=∠BGF
∴△BCE~△BGF
∴∠4=∠F
∵AH∥BF
∴∠6=∠F
∵∠4=∠5
∴∠6=∠5
∵∠H=∠H
∴△DEH~△GDH
即
【分析】（1）延长BE交于DF于点H，根据正方形性质可得BC=CD， ∠BCE=∠DCF=90°，再根据全等三角形判定定理可得△BCE≌△DCF (SAS) ，则∠CBE=∠CDF， BE=DF，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）延长BE交于DF于点H，根据矩形性质可得∠BCD=90°， AB=CD， AD=BC，根据勾股定理可得BE，再根据折叠性质可得DH=HG， BH⊥DF， 即 ∠DHE=90°，再根据相似三角形判定定理可得△BCE~△DHE·，则，代值计算可得DH，再根据正切定义可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当∠BGF=60°时，过点E作EP⊥CF交于CF于点 P，延长BG交AD 延长线于点H，根据菱形性质可得∠BCD=120°， BC=CD， AD∥BC，令 DE=4， CE=2， 则BC=CD=6，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得BP，再根据勾股定理可得BE，根据平行线分线段成比例定理可得，再根据相似三角形判定定理可得△HED~△DEG，则，代值计算可得EG，再根据边之间的关系即可求出答案；②当∠BGD=60°时∠BGF=120°，由①知 ，根据相似三角形判定定理可得△BCE~△BGF，则∠4=∠F，根据直线平行性质可得∠6=∠F，根据角之间的关系可得∠6=∠5，再根据相似三角形判定定理可得△DEH~△GDH，则，代值计算可得GH，再根据边之间的关系即可求出答案.
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