资源简介

数学学科
考生须知:
1. 本试卷共 4 页, 满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
2. 答题前，请在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。
3. 所有答案必须写在答题卷上的规定区域内，写在试卷上无效。
4. 考试结束后，只需上交答题卷。
选择题部分
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题 目要求.)
1. 若 ,则复数 在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知全集为 ,集合 ,则
A. B. C. D.
3. 已知 为曲线 上的点,则 的最小值为
A. B. C. 1 D.
4. 将函数 的图象向左平移 个单位,得到函数 的图象,则
A. B. C. D.
5.《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著. 书架的某一层上有 4 本不同的文学书，现将四大名著各一本插进这 4 本书的 5 个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有 3 本相邻，则不同的插法共有
A. 120 种 B. 240 种 C. 480 种 D. 600 种
6. 已知函数 的定义域为 ,对 与 均恒成立, 则
A. -1 B. 0
C. D. 1
7. 在平面直角坐标系 中, 为坐标原点,点 ,若直线 截以 为直径的圆所得的弦长为 1,则实数
A. B. -1 C. 1 或 -1 D. 或
8. 已知数列 的前 项和为 ,则对 “ ” 是 “ ” 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目 要求, 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分.)
9. 已知随机变量 ,且 ,则
A.
B.
C.
D.
10. 如图,在正四棱锥 中, 分别为侧棱 的中点,若多面体 的体积为 ,则
第 10 题图
A. 平面
B. 四棱锥 的外接球半径为 2
C. 直线 与底面 所成角的余弦值为
D. 点 到平面 的距离为
11. 已知曲线 为曲线 上的动点,则下列结论正确的是
A. 曲线 关于直线 对称
B. 点 不可能在直线 上
C. 曲线 与圆 有 4 个公共点
D. 记曲线 所围成的区域的面积为 ,则
非选择题部分
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.)
12. 已知 ,则 _____.
13. 已知倾斜角为 的直线 与曲线 和 都相切,则实数 _____.
14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,双曲线 的一条渐近线的斜率为 ,过点 的直线 与双曲线 的右支交于 两点. 分别为 和 的内心，若四边形 的面积为 ，则直线 的斜率为_____.
四、解答题(本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. )
15. (13 分) 已知 的外接圆半径为 为 的内角 的对边,且 .
(1)试判断 的形状；
(2)若 ，求 周长的最大值.
16. (15 分)如图，在多面体 中，四边形 EFDC 为正方形， 平面 EFDC， ， 且 为棱 上的点.
第 16 题图
(1)证明:平面 平面 ；
(2)若平面 与平面 的夹角的余弦值为 ， 求线段 的长.
17. (15 分) 已知函数 .
(1)求函数 的单调区间;
(2)试判断曲线 与直线 在 上公共点的个数；
18. (17 分) “村超” 是乡村足球超级联赛的简称. 其通过全民参与的体育赛事激活了乡村振兴新动能, 构建了集文化自信、经济发展、社会治理于一体的乡村发展新模式. 为了提高参赛球队技战术水平，某乡镇组织甲、乙、丙、丁四支参赛球队进行了 “热身排位赛”，赛程为:第一轮:经过抽签，甲队和乙队为一组，丙队和丁队为一组，两组分别进行组内比赛，每组的胜者编入 组， 负者编入 组; 第二轮: 两组的球队分别进行组内比赛, 组的胜者进入决赛, 组的负者获得第 4 名；第三轮: 组的负者和 组的胜者比赛，胜者进入决赛，负者获得第 3 名；第四轮:决赛，胜者获得第 1 名，负者获得第 2 名. 已知甲队与其他三支球队的比赛中，甲队获胜的概率均为 . 乙、丙、丁三支球队间的比赛中,每支球队获胜的概率均为 (比赛没有平局). 且各场比赛之间互不影响.
(1)求在第一轮比赛中甲队获胜的条件下，乙队获得第 3 名的概率；
(2)记甲队最终获得的名次为随机变量 ，求 的分布列和数学期望.
19. (17 分) 已知抛物线 的焦点为 ,直线 与抛物线 交于 两点, ,且 为坐标原点 .
(1)求抛物线 的方程；
(2) 为抛物线 上的 4 个点， ，且直线 与 交于点 .
(i) 求直线 的斜率;
(ii) 试判断直线 与 是否交于定点 若是,请求出该定点的坐标; 若否,请说明理由.
评卷说明
2. 填空:12题答案 或(0.8) 13 题:答案 或(0.5)；
14 题: 答案填不存在及 1 或 -1 ; ±1均给满分。 高三题库数学学科参考答案及解析
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题 目要求.)
1. ,所以 在复平面内对应的点位于第三象限,故选 .
2. 由题 ,所以 ,故 ,故选 .
3. D由题 且 ,即 ,所以 ,当且仅当 ,即 时,等号成立,所以 的最小值为 ,故选 D.
4. A ,所以 ,故选 A.
5. D四大名著 3 本相邻共有 种插法; 4 本相邻时共有 种插法,所以不同的插法共有 600 种，故选 D.
6. B 由 ， ，令 得 ,所以 ,故 ,所以 ,故选 B.
7. 设 ,则 ,由题可知向量 在向量 上的投影向量 的模为 1,因为 ,所以 ,解得 或 ,故选 D.
8. A由 得: , 不等式左右两边分别相加得 ,所以 ; 对于 ,满足 ,但 ,所以 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件,故选 A.
二、选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目 要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分.)
9. BC因为 ,所以 , A 错误; 因为 ,所以 ,即 正确; 因为 ,因为 ,故 , 正确; 因为 ,所以 ,又 ,所以 , D 错误. 故选 BC.
10. 设 交于点 ,连接 ,易知 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 , A 正确; 由题,多面体 为四棱台, ,设四棱台的高为 ,则四棱台 的体积 ,得 ,易知四棱锥 的高 ,故 , 易知 ,所以点 即为四棱锥 的外接球球心,其半径 错误; 取 中点 , 则 ，所以 平面 ，所以 即为直线 与底面 所成的角， ， ,所以 正确;
第 10 题解图
由题可得 ,所以 ,可得 为正三角形,所以 ，又 ，故 ，设点 到平面 的距离为 ,则 ,解得 ,所以点 到平面 的距离为 正确. 故选 ACD.
11. BCD将曲线 的方程中 互换得 ,与原方程不同,所以曲线 不关于直线 对称, 错误; 将 代入曲线 的方程得 ,因为 ,所以方程无实数解,所以曲线 与直线 无公共点, 故点 不可能在直线 上, 正确; 由 得 , 因为 ,所以 ,设 , ,设 ,则 单调递增,由 , 得 在 上单调递减,在 上单调递增,又 , ,故 ,同理可得 ,将 代入曲线 的方程得 ,即 ,即 ,所以 或 ,故 或 ,当 时,得 ,当 时,得 或 ,所以曲线 与圆 有 4 个公共点 , ， 正确； ，因为 ，且 ，所以 ,又 ,所以 ,故 ,可得曲线 在圆 和 之间,所以 正确,故选 BCD.
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.)
12. 由 得 ,即 .
13. ,设直线 与曲线 切于点 ,则 ,得 , 所以直线 的方程为 ,设直线 与曲线 切于点 ,则 ,所以点 在直线 上,故 ,得 .
14. 不存在 1 或 -1
设双曲线 的焦距为 ,则 ,得 ,设点 在直线 上的射影分别为 ，则 ,又 ,所以 ,故点 的横坐标为 ,所以点 的横坐标为 ,同理可得点 的横坐标也为 ,所以 ,故 ,得 ,设直线 的倾斜角为 , 则 , 解得 或 ,所以 或 ,故直线 的斜率为 1 或 -1 . 直线 PQ 与双曲线右支交于两点,斜率绝对需满足大于 ,故斜率不存在 (注: 考生填 1 或 ,不存在均给满分)
四、解答题 (本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.
(1) 因为 ,由余弦定理得 ,
即 , .2 分
故 ,所以 ,故 为钝角,
所以 为钝角三角形. .4 分
另解: 因为 ,由正弦定理得 , 1 分
因为 ,所以 ,
即 ,即 , 3 分
因为 ,
所以 ,故 为钝角,
所以 为钝角三角形. .4 分
(2)由题 ，由正弦定理得 ，
即 ,
由( 1 )知 为钝角，所以 ， .6 分
又 , 8 分因为 ,所以 ,
所以 ,即 的最大值为 4, 10 分
由 得 ,所以 , 12 分
所以 周长 的最大值为 . 13 分
15.(2)法二:由正弦定理求得c=2√3 给 2 分，由余弦定理得到 给 2 分； ,即 ,给 2 分,(没写取等号条件扣 1 分), 结论给 1 分。
评分说明:(2)没过程，只写当且仅当 取等号，扣 3 分。借助圆但没有过程只写当且仅当 取等号，扣 2 分。
16.(1)证明:因为 平面 , 平面 ,所以 , 又四边形 为正方形,所以 ,
因 为 ,所 以 平 面
第 16 题解图
, 2 分
又 平面 ,所以 ,
在四边形 中,易知 ,因为 ,所以 , 又 ,故 ,
故
, 4 分
因为 ，所以 平面 ，
又 平面
所以平面 平面 . 6 分
(2)由(1)知 三条直线两两垂直. 以D为坐标原点、 所在直线分别为 轴,建立空间直角坐标系,设 ,则: , 8 分
设平面 的一个法向量为 ,
,即 ,令 ,得 ,
所以 , 10 分
设平面 的一个法向量为 ,则
,即 ,令 ,得 ,
所以 , 12 分
解得 或 (舍) 14 分
所以 ， 15 分
16.(1)法二证明 AD、DC、FD 两两垂直给 2 分；然后建系且有坐标给 1 分，求得两个法向量各 1 分，共 2 分，得结论 1 分，共 6 分。
(2)有求法向量的过程(列式)各1分，求对各2分，共 6 分；有夹角余弦列式给 1 分，答案对给 1 分, 共 2 分; 得结果给 1 分。
评分说明:1.第一问用传统方法，第二问用向量法，有建系思想且有坐标给 2 分，有求法向量的过程 (列式) 各 1 分, 求对各 1 分, 共 4 分; 有夹角余弦列式给 1 分, 答案对给 1 分, 共 2 分; 得结果给 1 分。
17.( 1 )由题， ， 1 分
因为 ,所以当 时, 单调递增;
当 时, .3 分
单调递减,综上: 函数 的单调递增区间为 ;
单调递减区间为 . .5 分
(2)令 ，则 ， 6 分设 ,则 , 7 分所以当 时, (即 ) 单调递增;
当 时, (即 ) 单调递减, .8 分
因为 ,
所以存在唯一的 ,使得 , 11 分
故当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减; 12 分
又 , 13 分
所以存在唯一的 ,使得 , 14 分
综上可得函数 在 上存在两个零点 0 和 ,
所以曲线 与直线 在 上公共点的个数为 2 . 15 分
18.(1)设 : 乙队获得第 3 名； : 第一轮比赛中甲队获胜；
则 , .2 分
6 分
所以 ,
所以在第一轮比赛中甲队获胜的条件下,乙队获得第三名的概率为 , . 8 分
评分说明: 18.(1) ,求得 及 即两种情况各 2
(2)随机变量 的可能取值为1,2,3,4， .9 分
13 分 (每求对一个概率值给 1 分)
所以 的分布列为:
1 2 3 4
40 81 1 9
15 分
的数学期望 . 17 分
19.(1)由题可知 ,不妨设 ,
则 ,即 ①, 1 分
又 ②,
由①②解得 ,
所以抛物线 的方程为 3 分
(2)(i)由题，直线 的斜率不可能为 0，
设直线 ,
联立方程 ,得 ,
则 , .4 分
可得直线 ,
与抛物线 的方程联立消去 得: ,
则 ,即 , .6 分
因为 ,可得 ,同理可得: , .7 分
( 同理可得: ,给出 给 3 分
则 ,
8 分
因为 ，所以 ，即 ，
整理得 ,
由题可知点 不可能在直线 上,所以 ,
所以 ,即 , 10 分所以直线 的斜率 . 11 分
(ii) 是,直线 与 的交于定点 . 12 分
由 (i) 知 ,所以可设 中点 ,
因为 ,得 ,所以可设 中点 ,
所以直线 , 14 分
因为 ,所以直线 与 的交点即为直线 与 的交点,
因为 ,
所以直线 , 15 分
令 得
,
所以直线 与 的交于定点 . 17 分
求出定点在直线 RT:
2 分
由极点极线定点在直线 3 分 (过程无扣 2 分)
求出两直线交点即定点 1 分

展开更多......

收起↑