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第七章 相交线与平行线
7.1 相交线
7.1.2 两条直线垂直
学习目标
1.了解垂直、垂线的概念，掌握垂线的基本事实“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线(重点).
2.掌握垂线的性质“垂线段最短”，掌握点到直线的距离的概念，会度量点到直线的距离(重点).
3.会利用垂线的性质进行简单的推理.（难点）
情境引入
观察下列图片，你能找出相交的直线吗？
观察与发现
取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b.
a
b
（1）在木条b的转动过程中，什么也随着改变？
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
a与b所成的角也随之发生改变
（2）木条b与a成90°的位置有几个？此时，木条b与a所在的直线有什么位置关系？
a与b垂直
观察与发现
归纳总结
1.垂直定义：
两条直线AB、CD相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直. 其中一条直线是另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
O
A
B
C
D
2.垂直的表示：
通常用符号 “⊥”来表示，读作“垂直于”.
如图所示：直线AB垂直于直线CD，记作“AB⊥CD”，垂足为O.
注意：
（1）两条线段（或射线）互相垂直是指这两条线段（或射线）所在的直线互相垂直.
（2）垂直是相交的特殊情形.
（3）画图时，通常在垂足处标上“ ”.
3.垂线的基本性质与判定：
O
A
B
C
D
如图，直线AB与CD相交于O点，
几何语言：
∴ AB⊥CD.（垂直的定义）
①判定：
∵ ∠AOD=90°,（已知）
∴ ∠AOD=90° .（垂直的定义）
②性质：
∵ AB⊥CD ,（已知）
特别地，垂直的定义可以作为垂线的性质和判定.
归纳总结
例 (1)如图1，若直线m、n相交于点O,∠1＝90°,则 ；
(2)若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，那么∠BOD =______；
(3)如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，那么 ∠COA＝____,∠BOC的补角为 .
O
m
n
1
B
C
A
O
m⊥n
90°
72°
162°
典例精析
图1
图2
例2 如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，
若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．
解：∵∠BOE＝∠NOE，且∠EON＝20°
　　∴∠BON＝2∠EON＝40°，
　　∵∠CON+∠BON＝180°
　　∴∠CON＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°，
　 ∴∠MOC＝∠BON＝40°.
　又∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，
　　∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°.
　　即∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.
典例精析
O
A
B
N
C
E
M
用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线．
（1）用三角尺或量角器画已知直线l 的垂线，这样的垂线能画出几条？
l
无数条
问题探究
用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线．
（2）经过直线 l 上的一点A画直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？
l
画垂线的步骤：
一“贴”：
将三角板的一条直角边贴在已知直线上；
二“移”：
移动三角板，使三角板的另一条直角边经过已知点；
三“画”：
沿着经过已知点的直角边画直线；
只能画一条
问题探究
用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线．
（3）经过直线 l 外的一点A画直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？
l
只能画一条
问题探究
垂线的基本事实：
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意：
（1）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；
（2）“有且只有”中，“有”指存在性，“只有”指唯一性.
归纳总结
A
B
例2.过点P画出射线AB或线段AB的垂线．
P
A
B
P
（1）
（2）
A
B
P
（3）
典例精析
画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线.
1.过点P向线段AB所在直线画垂线，正确的是（ ）
C
试一试
A
B
P
A
B
P
A
B
P
O
A
B
P
O
(A)
(B)
(C)
(D)
2.如图,已知三角形ABC，根据要求画图：
① 过点A作BC的垂线，垂足为D；
② 过点C作AB的垂线CE，垂足为E.
解：如图
A
C
B
D
E
试一试
思考
如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何让挖渠能使渠道最短？
你能将这个实际问题转化成数学问题吗？
问题探究
在直线上有无数个点，试着取几个点与点P 相连，比较一下线段的长短．你有什么发现？
如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，A1,A2,A3,…，其中PO⊥l （我们称PO为点P到直线l的垂线段）.比较线段PO，PA1,PA2,
PA3,…的长短，这些线段中，哪一条最短？
思考：
（1）你能猜想一下最短的位置会在哪儿？它唯一吗？为什么？
（2）你能用一句话总结出观察得出的结论吗？
l
P
A1
A2
A3
A4
A5
A6
...
O
1.垂线的性质：
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
简单说成：垂线段最短．
2.点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
垂线段是线段，是一个图形.而垂线是一条直线，点到直线的距离是数量.
注意：
归纳总结
如图所示，过直线外一点P作已知直线的l垂线，垂足为O,则PO就是已知直线l的垂线段.垂线段PO的长就是点P到直线l的距离.
l
例3 如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，
①过点B作△ABC的AC边上的高BD，过D点作△ABD的AB边上的高DE.
②点A到直线BC的距离是线段____的长度
点B到直线AC的距离是线段____的长度
点D到直线AB的距离是线段____的长度
线段AD的长度是点____到直线____的距离
A
B
C
D
E
AB
BD
DE
A
BD
解：①高BD、DE如图所示
典例精析
试一试
如图所示，
（1）点B到直线AD的距离是线段____的长度；点D到直线AB的距离是线段____的长度.
(2)在线段DA，DB，DC中， 最短；在线段BA，BE，BD中 最短.
A
B
C
D
E
BE
CD
DC
BE
1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是( )
A. 有两个角相等 B.有两对角相等
C. 有三个角相等 D.有四对邻补角
C
当堂练习
2. 如图所示，直线AB⊥CD于点O ，直线EF经过点O ，若∠1= 26°，则∠2 的度数是（ ）
A. 26° B. 64°
C. 54° D. 以上答案都不对
B
A
B
C
F
E
O
D
(
(
2
1
3. 点到直线的距离是指（ ）
A. 直线外一点到这条直线上一点之间的距离
B. 直线外或直线上一点到直线的垂线段的长度
C. 直线外一点到这条直线的垂线的长度
D. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度
4. P 是直线 AB 外一点，过点P作PO⊥AB ，垂足为O ，若C 为直线AB上任意一点，则线段PC与线段PO的大小关系是（ ）
A. PC ＞ PO B. PC ＜ PO C. PC ≥ PO D. PC ≤ PO
当堂练习
D
C
5.若点P是直线m外一点，点A，B，C分别是直线m上不同的三点，且PA＝5，PB＝6，PC＝7，则点P到直线m的距离不可能是 ( )
A. 3　 B. 4 　 C. 5 　 D. 6
6.如图,AB⊥CD,∠ACB=90 ,线段AC、BC、CD中最短的是（ )
A. AC B. BC
C. CD D. 不能确定
D
A
B
C
当堂练习
D
C
7. 如图所示，若 AB ⊥ CD 于点 O ，则∠AOD = _____；
若∠BOD = 90°，则 AB _____ CD.
90°
⊥
第3题图
第4题图
8.如图所示，已知直线AB、CD都经过O 点，OE为射线，若∠1＝35°,∠2＝ 55°，则OE与AB的位置关系是 .
垂直
当堂练习
A
B
C
O
D
A
B
C
D
E
O
(
(
2
1
9.如图，平原上有A，B，C，D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备修建一个蓄水池.
（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据.
（1）分别连接AD、BC,则AD、BC的交点H就是蓄水池位置.
解：如图所示：
（2）过点H作EF的垂线，垂足为点G，则垂线段HG就是最短的路径.
根据是：垂线段最短 .
拓展练习
E
F
A
B
C
D
H
G
10.如图，点P，Q分别代表两个村庄，直线l代表两个村庄之间的一条公路.根据居民出行的需要，计划在公路l上的某处设置一个公交车站.
（1）若考虑到村庄P居住的老年人较多，计划建一个离村庄P最近的车站，请在公路上画出车站的位置（用点M表示），依据是 .
（2）若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄P和村庄Q的的距离之和最小，请在公路上画出车站的位置（用点N表示），依据是 .
垂线段最短
两点之间线段最短
拓展练习
l
11.如图，直线AB，CD相交于O点，OM⊥AB于O .
（1）若∠1=∠2，求∠NOD；
（2）若∠BOC = 4∠1，求∠AOC与∠MOD.
拓展练习
A
B
C
N
M
O
D
(
(
2
1
一、贴；二、移；三、画 .
课堂小结
1.垂直的定义：一般地，当两条直线a，b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说a与b相互垂直，记作“a⊥b”.
2.垂线的定义：两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.
4.垂线的性质
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
（2）垂线段最短.
5.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度.
3.垂线的画法：

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