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2025~2026学年度第一学期八年级期末学业质量监测数学试题
一、单选题
1．如皋是一座拥有1600多年建县历史的历史文化名城，以长寿文化著称，被列为世界长寿之乡．“如皋”一词由“如”和“皋”组成，“如”为动词，意为“前往”或“到”，“皋”指“水边的高地”，整体意为“前往水边的高地”．下列是“皋”的几种不同的字体，其中可看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．“祖冲之三号”是我国成功研制的105比特超导量子计算机，再次打破超导体系量子计算优越性世界纪录，处理“量子随机线路采样”问题的速度比国际最快的超级计算机快千万亿倍，量子相干时间达到0.000072秒．将数据0.000072用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．劳技课上，小明用同样长度的小木棒去搭建直角三角形，他搭建两条直角边分别用了3根和4根小木棒，那么他搭建斜边用的小木棒数量是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，点在一条直线上，，，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图是一个平分角的仪器，其中；将仪器上的点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，过点A，C画一条射线就是这个角的平分线．此仪器的工作原理依据的全等三角形的判定方法是（ ）
A．SSS B． C． D．
7．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和
第1个间隔 0
第2个间隔 2
第3个间隔 2
第4个间隔 0
根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
8．运用乘法公式计算时，下列变形中，最适合运用平方差公式的是（ ）
A． B．
C． D．
9．关于的方程有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
10．若关于的多项式的值与无关，且，则式子的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题
11．点关于x轴对称的点的坐标为 ．
12．已知长方形的长为，宽为，则该长方形的面积为 ．
13．下表给出了两数、以及的数据：
30 35 43 50 53 74
30 25 17 50 47 26
900 875 731 2500 2491 1924
若小红想用长的绳子围成一个长方形，长方形的最大面积是 ．
14．如图，图中的大长方形是由2块边长为的大正方形，2块边长为的小正方形，5块长为，宽为的相同的长方形拼接而成．观察图形，可以发现代数式因式分解的结果为 ．
15．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n．若小正方形面积为1，，则大正方形面积为 ．

16．如图，在中，，垂直平分，垂足为，交边于点，垂直平分，垂足为，交线段于点，连接，若，则度数为 ，若，，则 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，在中，，在边上作一点，使得．
(1)尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
(2)若，求证；
(3)在（2）的条件下，若的周长为，的周长为，则的长为___________（用含的式子表示）．
20．典故是中华传统文化的“浓缩载体”，它将复杂的道理、深厚的情感寄托于简短的历史故事或传说中，既便于流传又极具感染力．某中学八年级以“探典故源流，品华夏文脉”为主题开展比赛．比赛满分10分，得分均为整数，在比赛中，甲、乙两组（每组12人）学生成绩如下（单位：分）：
甲组：3 5 6 6 6 6 7 8 9 9 9 10
乙组：5 5 5 6 7 7 7 7 8 9 9 9
小嘉分析数据后列出统计表并画出箱线图．
组别 平均数 中位数 众数
甲组 a b 6
乙组 7 7 c
(1)根据上述信息填空：__________，__________，__________；
(2)乙组数据的第一四分位数__________；
(3)根据箱线图，比较两个组成绩的特点（写出一个即可）．
21．如图，，垂足分别为，连接．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
22．“苏超”期间，为保证供电安全，某电力公司投入了先进的无人机巡检系统对重点线路进行巡检，在巡检时，无人机需按固定航线完成往返作业（不计掉头时间），甲无人机负责段线路的巡检，乙无人机负责段线路的巡检，已知段线路单程长，段线路单程长，甲无人机与乙无人机的平均巡航速度比是．
(1)若乙无人机完成段线路往返巡检的时间比甲无人机完成段线路往返巡检的时间多，求甲、乙无人机的平均巡航速度；
(2)若两架无人机同时从起点出发，且完成往返巡检后同时回到起点，此时乙无人机的巡航速度较（1）中的速度提升了，甲无人机速度不变，求的值．
23．如图，在三角形支架中，，垂足为，为的中点，，为上一点，．
(1)求的长；
(2)若点为线段上一动点，则的最小值为__________．
24．【阅读发现】
人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，然后将因式码按从小到大的顺序排列，就可以形成密码．例如，多项式，将其分解因式为，取，则有．其中，12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然，也可取另外一些适当的数字，得出其它的密码．
【问题解决】
（1）已知多项式，当取时，用上述方法生成的密码是__________；
（2）已知多项式，用上述方法生成的密码是242526，若密码的每个因式码都是两位数，求的值；
【拓展延伸】
（3）国庆假期，小亮全家外出自驾游，在行驶途中小亮发现此时汽车仪表盘上的里程数比一个完全平方数大1，若再行驶后的里程数还是完全平方数，问此时汽车仪表盘上的里程数是多少？
25．如图，在中，，点为边上的一动点（不与点重合），，交于点，将沿折叠得，连接．
(1)求证；
(2)若为等腰三角形，求的长；
(3)过点作，交于点，连接，判断之间的数量关系并证明．
参考答案
1．D
解：A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
2．B
解：将数据0.000072用科学记数法表示为，
故选：B．
3．A
解：对于选项A，的被开方数5是整数，且5不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式的定义；
对于选项B， ，被开方数含分母，不符合最简二次根式的定义；
对于选项C，，被开方数含能开得尽方的因数4，不符合最简二次根式的定义；
对于选项D，的被开方数含分母，且4是能开得尽方的因数，不符合最简二次根式的定义；
故选：A．
4．C
解：∵两直角边分别用了3根、4根长度相同的小木棒，
∴由勾股定理，得到斜边需要：（根），
故选：C．
5．C
解：∵，
∴，
即，
∴，
∵，
故选：C．
6．A
解：在和中，
，
∴．
∴；
故选：A
7．B
解：根据组内离差平方和最小原则，选取第2个间隔，
A. 的平均数为7，离差平方和为，
的平均数为，
离差平方和为，
组内离差平方和为；
B. 的平均数为，离差平方和为，
的平均数为，
离差平方和为，
组内离差平方和为；
C. 的平均数为，
离差平方和为，
的平均数为，
离差平方和为，
组内离差平方和为；
D. 的平均数为，
离差平方和为，
的平均数是15，离差平方和为，
组内离差平方和为；
根据组内离差平方和最小原则，可知B符合题意，其余均不符合题意，
故选：B．
8．D
解：
故选：D．
9．D
解：∵，
∴方程两边同乘（且），得，
整理得：，
∵分式方程有解，
∴，
由得，
由得，
由得，即，恒成立，
∴且，
故选：D．
10．A
解：
∵多项式的值与无关，
∴，
整理得，
∴，则两式相减得，
∵
当时，取最小值，最小值为3，
故选：A．
11．
解：因为点关于x轴对称，
所以横坐标不变，为1；纵坐标互为相反数，为2；
因此对称点的坐标为；
故答案为．
12．
解：．
故答案为：．
13．9
解：设长方形的长为米，宽为米，
则周长为，即，
面积，
∵，
∴当时，取得最大值．
故答案为：9．
14．
解：大长方形面积为，
故答案为：．
15．5
解：根据题意，得，，
∴，，
∴．
故答案为：5．
16． /
【详解】①连接，如图所示：
∵垂直平分，，
∴，则 ，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴
∴；
②过点作，交的延长线于点，如图所示：
∴和都是直角三角形，
∵垂直平分，
∴和都是直角三角形，在中，，
∴，
由勾股定理得：，
在中，， ，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
设，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
17．(1)5
(2)
（1）解：
；
（2）解：
18．，．
解：
，
当时，原式．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)
（1）解：如图，点D即为所求．
（2）解：∵，，
∴，
由作图知，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵的周长为，
∴，
∵的周长为，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
20．(1)7；；7
(2)
(3)见解析
（1）解：
甲组位于正中间的两个数均为6和7，
∴；
乙组数据中出现次数最多的是7，
∴；
故答案为：7；；7；
（2）解：乙组数据共12个，从小到大排列为：5，5，5，6，7，7，7，7，8，9，9，9，
第一四分位数是下半部分（前6个数）的中位数，
下半部分数据为：5，5，5，6，7，7，其中位数为第3和第4个数的平均数，即，
因此，乙组的第一四分位数为，
故答案为：；
（3）解：从箱线图可知，乙组数据比较集中，比较稳定，比较整齐．
21．(1)见解析
(2)10
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即四边形的面积为10．
22．(1)甲无人机的平均巡航速度为，乙无人机的平均巡航速度为
(2)25
（1）解：设甲无人机的平均巡航速度为，乙无人机的平均巡航速度为，，根据题意得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，并符合题意，
∴，，
∴甲无人机的平均巡航速度为，乙无人机的平均巡航速度为；
（2）解：乙无人机的平均巡航速度为，
∴
解得，
经检验，是原分式方程的解，并符合题意，
∴的值为25．
23．(1)1.6
(2)
（1）解：∵ ， ，．
∴，
∴．
（2）解：如图，连接交于点，连接，此时的值最小，最小值为的长．
取的中点，连接．
∵ ，，
∴，，
∵，
∴，
∴ ，
∴ ．
24．（1）816160；（2），或，或，；（3）此时汽车仪表盘上的里程数是．
（1）解：
，
当，时，
，，，
将160、16、8按从小到大排列得8、16、160，故生成的密码是816160．
故答案为：816160；
（2）解：，
∵生成的密码是242526，密码的每个因式码都是两位数，
∴三个因式码为24、25、26，
即三个因式的值分别为24、25、26，
分三种情况：
①当时，另外两个因式的值为25、26，即，，
则，
可知，；
②当时，另外两个因式的值为24、26，即，，
则，
可知，；
③当时，另外两个因式的值为24、25，即，，
则，
可知，；
综上所述，，或，或，；
（3）解：设此时汽车仪表盘上的里程数为（为正整数，且）
根据题意得（，为正整数，且）
将代入得
即
因式分解得
将91分解为正整数因数对：、，
当时，
解得，
此时里程数，符合题意；
当时，
解得，
此时里程数，不符合题意，舍去．
故此时汽车仪表盘上的里程数是．
25．(1)见解析
(2)或2
(3)，见解析
（1）证明：连接，根据折叠的性质，得，
故直线是线段的垂直平分线，
故．
（2）解：，
，，
当时，过点E作于点H，过点D作于点Q，
，
，
，
，
，
，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
当时，
，
，，
，
当时， 点E与点B重合，点D与点C重合，不符合题意；
综上所述，的长为或2．
（3）解：之间的数量关系为．理由如下：
过点A作于点A，且，连接，
则，，
根据折叠的性质，得，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
．

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