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第3章综合能力评价
(满分：120分　时间：120分钟)
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.下列各式中，计算正确的是(　 　)
A.a2＋a4=a6 B.a3·a3=2a3
C.(a3)2=a6 D.(－2xy)3=－6x3y3
2.下列计算正确的是(　 　)
A.(x＋2y)(x－2y)=x2－2y2 B.(x－y)(－x－y)=－x2－y2
C.(x－2y)2=x2－4xy＋4y2 D.(x＋y)2=x2＋y2
3.若3x=4，9y=7，则3x＋2y的值为(　 　)
A. B.
C.28 D.
4.若x－y=5，xy=－2，则x2＋y2的值为( )
A.11 B.21
C.29 D.49
5.化简的结果是( )
A.81x4＋ B.81x4－
C.81x4－x2＋ D.81x4＋x2＋
6. “白日不到处，青春恰自来。苔花如米小，也学牡丹开。”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值。苔花也被称为“坚韧之花”。袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的孢蒴，某孢子体的孢蒴直径约为0.000 008 4m，将数据0.000 008 4用科学记数法表示为8.4×10n，则n的值是(　 　)
A.6 B.－7
C.－5 D.－6
7.如图，根据长方形ABCD面积的计算方法，可以说明的等式为( )
A.(a＋b)2=a2＋2ab＋b2
B.(a－b)2=a2－2ab＋b2
C.(a＋b)(a－b)=a2－b2
D.a(a＋b)=a2＋ab
8.要使多项式(x2－px＋2)(x－q)不含x的二次项，则p与q的关系是(　 　)
A.互为相反数 B.互为倒数
C.相等 D.乘积为－1
9.“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图所示的“小熊幻圆”中，使得每个大圆圈上的四个数字的和都等于14，若每个大圆圈上的四个数字的平方和分别记A，B，且A＋B=116，则xy的值为(　 　)
A.7
B.12
C.14
D.25
10.如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一个长方形中，记图1中阴影部分周长为l1，面积为S1，图2中阴影部分周长为l2，面积为S2。若4(S2－S1)=(l1－l2)2，则c∶b的值为( )
A. B.
C. D.
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)计算：(－7)0= ，8－1= 。
12.(3分)计算：(1) (1.5分)= ；
(2)(1.5分)(－6a2＋3a)÷(3a)－1= 。
13.(3分)已知关于x的多项式ax＋b与3x2－x－2的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项的系数为－7，则ab的值为 。
14.(3分)定义新运算“※”：A※B=A2＋AB。例如(－2)※5=(－2)2＋(－2)×5=－6。按照这种运算法则，若(x＋2)※(2－x)=20，则x= 。
15.(3分)已知x2＋x－10=0，则(2x－1)2－(3x＋1)(x－2)－1的值为 。
16.(3分)如图，一窗框的形状由一个长方形和一个半圆组成，若要把窗框设计成一个新的长方形形状，面积保持不变，且窗底长仍为a，则高度应为
。
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)计算：
(1)(2分)(－1)2 026＋＋(3.14－π)0；
(2)(2分)412－2×41＋1；
(3)(2分)(4x2y－8x3)÷(－2x)2；
(4)(2分)(2x＋1)(2x－1)－4x(x－1)。
18.(8分)解方程：3(x＋5)2－2(x－3)2－(x＋9)(x－9)=180。
19.(8分)在化简(1－3x)2－(－3x－1)(1－3x)的过程中，小明有以下两种方法：
解法一：原式=1－6x＋9x2－9x2－1(第一步)
=－6x；(第二步)
解法二：原式=1－9x2－(9x2－1)(第一步)
=1－9x2－9x2＋1(第二步)
=2－18x2。(第三步)
小明发现两种解法的结果不同，请你帮小明判断上述解法是否正确，如果错误，请指出小明是从哪一步开始出现错误的。若两种解法都错误，请你写出正确的解答过程。
20.(8分)先化简，再求值：[(x＋2y)2－(x＋y)(x－y)]÷(2y)，其中x=1，y=4。
21.(8分)已知代数式(ax＋5)(3x＋2)－x2－b化简后不含x2的项和常数项，求a，b的值。
22.(10分)(1)(4分)已知a＋b=5，ab=－，求下列各式的值：
①(2分)a2＋b2；
②(2分)(a－b)2。
(2)(6分)若x＋y－2z＋1=0，求9x·27y÷81z的值。
23.(10分)小晓在化简整式(x＋2y)2＋(2x－y)(2x＋y)＋x(〇x－3y)－2y2时，得到的结果是x2＋y2＋xy。
【发现】(1)(2分)由题意得，“〇”表示的数为 。小晓观察计算结果x2＋y2＋xy，发现这个多项式是两数的平方和加上两数的积，她把具有这种结构特征的多项式称为“对称多项式”，例如：a2＋b2＋ab，4a2＋9b2＋6ab，…，请你再写出一个“对称多项式”(用含a，b的代数式表示)： 。
【探究】(2)(4分)规定x※y=x2＋y2＋xy，若x和y是两个连续的奇数时，x※y称为这个对称多项式的“对称奇值”，小晓进一步研究，对称奇值减去1，结果都是12的倍数，例如32＋52＋3×5－1=48，52＋72＋5×7－1=108，试说明理由。
【应用】(3)(4分)在(2)的条件下，已知m－n=2，mn=3，求(m＋1)※(n－1)的值。
24.(12分)探究与实践
(1)(2分)【探索发现】
用四个长为a，宽为b的长方形拼成如图1所示的正方形，由此得到(a＋b)2，(a－b)2，ab的等量关系是 。
(2)(5分)【解决问题】
①(2分)若x－2y=4，xy=，则x＋2y= 。
②(3分)当(x－2 025)(2 000－x)=100时，求(2x－4 025)2的值。
(3)(5分)【拓展提升】
如图2，某小区物业准备在小区内规划设计一块休闲娱乐区，其中BE，CF为两条互相垂直的道路，两条路相交于点G，且BG=CG，EG=FG，BG＜EG，四边形ABGF与四边形CDEG为长方形，现计划在两个三角形区域种植花草，两个长方形区域铺设塑胶地面，按规划要求，道路BE的长度为80米，若种植花草每平方米需要100元，铺设塑胶地面每平方米需要30元，物业为本次修建休闲娱乐区筹集的26万元刚好用完，求GE－BG的值。(道路的宽度均不计)第3章综合能力评价
(满分：120分　时间：120分钟)
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.下列各式中，计算正确的是(　C　)
A.a2＋a4=a6 B.a3·a3=2a3
C.(a3)2=a6 D.(－2xy)3=－6x3y3
2.下列计算正确的是(　C　)
A.(x＋2y)(x－2y)=x2－2y2 B.(x－y)(－x－y)=－x2－y2
C.(x－2y)2=x2－4xy＋4y2 D.(x＋y)2=x2＋y2
3.若3x=4，9y=7，则3x＋2y的值为(　C　)
A. B.
C.28 D.
4.若x－y=5，xy=－2，则x2＋y2的值为(　B　)
A.11 B.21
C.29 D.49
【解析】 ∵x－y=5，xy=－2，
∴x2＋y2=(x－y)2＋2xy=52－2×2=21。
5.化简的结果是(　C　)
A.81x4＋ B.81x4－
C.81x4－x2＋ D.81x4＋x2＋
6. “白日不到处，青春恰自来。苔花如米小，也学牡丹开。”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值。苔花也被称为“坚韧之花”。袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的孢蒴，某孢子体的孢蒴直径约为0.000 008 4m，将数据0.000 008 4用科学记数法表示为8.4×10n，则n的值是(　D　)
A.6 B.－7
C.－5 D.－6
7.如图，根据长方形ABCD面积的计算方法，可以说明的等式为(　D　)
A.(a＋b)2=a2＋2ab＋b2
B.(a－b)2=a2－2ab＋b2
C.(a＋b)(a－b)=a2－b2
D.a(a＋b)=a2＋ab
8.要使多项式(x2－px＋2)(x－q)不含x的二次项，则p与q的关系是(　A　)
A.互为相反数 B.互为倒数
C.相等 D.乘积为－1
9.“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图所示的“小熊幻圆”中，使得每个大圆圈上的四个数字的和都等于14，若每个大圆圈上的四个数字的平方和分别记A，B，且A＋B=116，则xy的值为(　B　)
A.7
B.12
C.14
D.25
【解析】 ∵每个大圆圈上的四个数字的和都等于14，
∴2＋x＋y－2＋x＋y=14，x＋y＋1＋z=14，
∴x＋y=7，z=6。
∵每个大圆圈上的四个数字的平方和分别记A，B，
∴A=x2＋y2＋4＋25=x2＋y2＋29，B=1＋36＋x2＋y2=x2＋y2＋37。
∵A＋B=116，
∴x2＋y2＋29＋x2＋y2＋37=116，
整理得x2＋y2=25。
∵x＋y=7，
∴x2＋y2＋2xy=49，
∴2xy=24，
∴xy=12。
10.如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一个长方形中，记图1中阴影部分周长为l1，面积为S1，图2中阴影部分周长为l2，面积为S2。若4(S2－S1)=(l1－l2)2，则c∶b的值为(　B　)
A. B.
C. D.
【解析】 设大长方形的宽为d，∴由图2知，d=b－c＋a，
∴l1=2(a＋b＋c)＋(d－a)＋(d－c)＋(a－b)＋(b－c)=2a＋2b＋2d，
S1=d(a＋b＋c)－a2－b2－c2，
l2=a＋(b＋c)＋d＋(a＋c)＋(a－b)＋(b－c)=3a＋b＋c＋d，
S2=d(a＋b＋c)－a2－b2＋bc，
∴S2－S1=bc＋c2，l1－l2=b－c－a＋d=2b－2c。
∵4(S2－S1)=(l1－l2)2，
∴bc＋c2=，
∴bc＋c2=(b－c)2，
∴3bc=b2，∴b=3c，
∴c∶b的值为。
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)计算：(－7)0=　1　，8－1= 　。
12.(3分)计算：(1) (1.5分)= a6b3　；
(2)(1.5分)(－6a2＋3a)÷(3a)－1=　－2a　。
13.(3分)已知关于x的多项式ax＋b与3x2－x－2的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项的系数为－7，则ab的值为　3　。
【解析】 (ax＋b)·(3x2－x－2)
=3ax3－ax2－2ax＋3bx2－bx－2b
=3ax3＋(3b－a)x2＋(－2a－b)x－2b。
∵展开式中不含x的二次项，且一次项的系数为－7，
∴3b－a=0，－2a－b=－7，解得a=3，b=1，
∴ab=3。
14.(3分)定义新运算“※”：A※B=A2＋AB。例如(－2)※5=(－2)2＋(－2)×5=－6。按照这种运算法则，若(x＋2)※(2－x)=20，则x=　3　。
【解析】 由题意，得(x＋2)2＋(x＋2)(2－x)=20，
∴x2＋4x＋4＋4－x2=20，即4x＋8=20，解得x=3。
15.(3分)已知x2＋x－10=0，则(2x－1)2－(3x＋1)(x－2)－1的值为　12　。
【解析】 原式=4x2－4x＋1－3x2＋6x－x＋2－1=x2＋x＋2。
∵x2＋x－10=0，∴x2＋x=10，
∴原式=10＋2=12。
16.(3分)如图，一窗框的形状由一个长方形和一个半圆组成，若要把窗框设计成一个新的长方形形状，面积保持不变，且窗底长仍为a，则高度应为
　b＋a　。
【解析】 原窗框的面积为ab＋a2=ab＋a2。
∵面积保持不变，
∴h=÷a=b＋a。
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)计算：
(1)(2分)(－1)2 026＋＋(3.14－π)0；
(2)(2分)412－2×41＋1；
(3)(2分)(4x2y－8x3)÷(－2x)2；
(4)(2分)(2x＋1)(2x－1)－4x(x－1)。
解：(1)原式=1＋4＋1
=6。
(2)原式=(41－1)2
=402
=1 600。
(3)原式=(4x2y－8x3)÷4x2
=4x2y÷4x2－8x3÷4x2
=y－2x。
(4)原式=4x2－1－4x2＋4x
=4x－1。
18.(8分)解方程：3(x＋5)2－2(x－3)2－(x＋9)(x－9)=180。
解：去括号，得3x2＋30x＋75－2x2＋12x－18－x2＋81=180。
移项、合并同类项，得42x=42。
两边同除以42，得x=1。
19.(8分)在化简(1－3x)2－(－3x－1)(1－3x)的过程中，小明有以下两种方法：
解法一：原式=1－6x＋9x2－9x2－1(第一步)
=－6x；(第二步)
解法二：原式=1－9x2－(9x2－1)(第一步)
=1－9x2－9x2＋1(第二步)
=2－18x2。(第三步)
小明发现两种解法的结果不同，请你帮小明判断上述解法是否正确，如果错误，请指出小明是从哪一步开始出现错误的。若两种解法都错误，请你写出正确的解答过程。
解：解法一错误：第一步出错，
解法二错误：第一步出错，
原式=1－6x＋9x2－(9x2－1)
=1－6x＋9x2－9x2＋1
=2－6x。
20.(8分)先化简，再求值：[(x＋2y)2－(x＋y)(x－y)]÷(2y)，其中x=1，y=4。
解：[(x＋2y)2－(x＋y)(x－y)]÷(2y)
=(x2＋4xy＋4y2－x2＋y2)÷(2y)
=(4xy＋5y2)÷(2y)
=2x＋y。
当x=1，y=4时，
原式=2×1＋×4=12。
21.(8分)已知代数式(ax＋5)(3x＋2)－x2－b化简后不含x2的项和常数项，求a，b的值。
解：(ax＋5)(3x＋2)－x2－b
=3ax2＋2ax＋15x＋10－x2－b
=(3a－1)x2＋(2a＋15)x＋(10－b)。
∵化简后不含x2的项和常数项，
∴3a－1=0，10－b=0，
解得a=，b=10。
22.(10分)(1)(4分)已知a＋b=5，ab=－，求下列各式的值：
①(2分)a2＋b2；
②(2分)(a－b)2。
(2)(6分)若x＋y－2z＋1=0，求9x·27y÷81z的值。
解：(1)①a2＋b2=(a＋b)2－2ab=25＋=25。
②(a－b)2=(a＋b)2－4ab=25＋1=26。
(2)∵x＋y－2z＋1=0，
∴2x＋3y－4z=－2，
∴9x·27y÷81z=(32)x·(33)y÷(34)z=32x·33y÷34z=32x＋3y－4z=3－2=。
23.(10分)小晓在化简整式(x＋2y)2＋(2x－y)(2x＋y)＋x(〇x－3y)－2y2时，得到的结果是x2＋y2＋xy。
【发现】(1)(2分)由题意得，“〇”表示的数为　－4　。小晓观察计算结果x2＋y2＋xy，发现这个多项式是两数的平方和加上两数的积，她把具有这种结构特征的多项式称为“对称多项式”，例如：a2＋b2＋ab，4a2＋9b2＋6ab，…，请你再写出一个“对称多项式”(用含a，b的代数式表示)：　a2＋4b2＋2ab(答案不唯一)　。
【探究】(2)(4分)规定x※y=x2＋y2＋xy，若x和y是两个连续的奇数时，x※y称为这个对称多项式的“对称奇值”，小晓进一步研究，对称奇值减去1，结果都是12的倍数，例如32＋52＋3×5－1=48，52＋72＋5×7－1=108，试说明理由。
【应用】(3)(4分)在(2)的条件下，已知m－n=2，mn=3，求(m＋1)※(n－1)的值。
解：(1)(x＋2y)2＋(2x－y)(2x＋y)＋x(〇x－3y)－2y2
=x2＋4xy＋4y2＋4x2－y2＋〇x2－3xy－2y2
=(5＋〇)x2＋y2＋xy。
∵化简的结果是x2＋y2＋xy，
∴“〇”表示的数为－4。
设这两个数为a，2b，对称多项式为a2＋4b2＋2ab，
故答案为：a2＋4b2＋2ab(答案不唯一)。
(2)对称奇值减去1，结果都是12的倍数。理由如下：
设这两个连续的奇数为 2n－1 和 2n＋1(n为整数)，
∴(2n－1)※(2n＋1)－1=(2n－1)2＋(2n＋1)2＋(2n－1)(2n＋1)－1=12n2。
∵n为正整数，∴12n2为12的倍数，
∴对称奇值减去1，结果都是12的倍数。
(3)(m＋1)※(n－1)
=(m＋1)2＋(n－1)2＋(m＋1)(n－1)
=m2＋2m＋1＋n2－2n＋1＋mn－m＋n－1
=m2＋n2＋mn＋m－n＋1
=(m－n)2＋3mn＋(m－n)＋1。
∵m－n=2，mn=3，
∴原式=22＋3×3＋2＋1=16。
24.(12分)探究与实践
(1)(2分)【探索发现】
用四个长为a，宽为b的长方形拼成如图1所示的正方形，由此得到(a＋b)2，(a－b)2，ab的等量关系是　(a＋b)2－(a－b)2=4ab　。
(2)(5分)【解决问题】
①(2分)若x－2y=4，xy=，则x＋2y=　±5　。
②(3分)当(x－2 025)(2 000－x)=100时，求(2x－4 025)2的值。
(3)(5分)【拓展提升】
如图2，某小区物业准备在小区内规划设计一块休闲娱乐区，其中BE，CF为两条互相垂直的道路，两条路相交于点G，且BG=CG，EG=FG，BG＜EG，四边形ABGF与四边形CDEG为长方形，现计划在两个三角形区域种植花草，两个长方形区域铺设塑胶地面，按规划要求，道路BE的长度为80米，若种植花草每平方米需要100元，铺设塑胶地面每平方米需要30元，物业为本次修建休闲娱乐区筹集的26万元刚好用完，求GE－BG的值。(道路的宽度均不计)
解：(2)①由(1)中结论，得(x＋2y)2=(x－2y)2＋4x·2y=42＋8×=16＋9=25，
∴x＋2y=5或x＋2y=－5。
②(2x－4 025)2=[(x－2 025)－(2 000－x)]2
=[(x－2 025)＋(2 000－x)]2－4(x－2 025)(2 000－x)
=625－400
=225，
即(2x－4 025)2的值为225。
(3)设GE=a，BG=b(a＞b)，
由题意，得BG=CG=b，EG=FG=a，BE=CF=a＋b=80。
∵S三角形BGC=b2，S三角形EFG=a2，长方形ABGF与长方形CDEG的面积均为ab，
∴100·＋30×2ab=260 000，
即5(a2＋b2)＋6ab=26 000。
∵a2＋b2＋2ab=(a＋b)2=6 400，
∴5(6 400－2ab)＋6ab=26 000，
解得4ab=6 000，
∴(a－b)2=(a＋b)2－4ab=6 400－6 000=400。
∵a＞b，
∴a－b=20，
即GE－BG的值为20。

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