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6.4.3　余弦定理、正弦定理
第1课时　余弦定理
课标定位
素养阐释
1.借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系.
2.能用向量方法发现和证明余弦定理.
3.掌握余弦定理及其推论.
4.知道余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.
5.会用余弦定理及推论解三角形.
6.提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
自主预习·新知导学
一、余弦定理
1.已知一个三角形的两条边及其夹角,这个三角形的大小、形状能完全确定吗
提示:根据三角形全等的判断方法可知,这个三角形的大小、形状是完全确定的.
3.(1)文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
(2)符号语言:
a2= b2+c2-2bccos A ,
b2= a2+c2-2accos B ,
c2= a2+b2-2abcos C .
4.在△ABC中,AB=1,BC=2,B=60°,则AC=　　　　　.
二、余弦定理的推论
1.在△ABC中,三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知三条边,如何求出其三个内角
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a=6,b=8, c=5,则角B为(　　)
A.锐角 B.直角
C.钝角 D.不确定
答案:C
三、解三角形
(1)一般地,三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素.
(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)在三角形中,勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例.( √ )
(2)已知三角形的三边求三个内角时,解是唯一的.( √ )
(3)在△ABC中,若b2+c2>a2,则△ABC是锐角三角形.( × )
(4)在△ABC中,若b2+c2合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一 已知两边及一角解三角形
【例1】 在△ABC中,三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,c= ,A=30°,求a.
分析:已知两边及其夹角,利用余弦定理求a.
1.本例中将条件“A=30°”改为“B=30°”,其他条件不变,求a.
2.本例中将条件“A=30°”改为“C=60°”,其他条件不变,求a.
已知三角形的两边及一角解三角形的方法:
已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出两边的夹角,还是其中一边的对角.若是给出两边的夹角,则可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,则可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三条边.
答案:(1)A　(2)5
探究二 已知三边解三角形
已知三边解三角形的步骤:
(1)用余弦定理的推论求出两个角;
(2)用三角形内角和定理求出第三个角.　　　　
【变式训练2】 已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则角C的大小为
(　　)
解析:∵p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),且p∥q,
∴(a+c)(c-a)=b(b-a),即c2-a2=b2-ab,
答案:B
探究三 判断三角形的形状
【例3】 在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos Bsin A=sin C,试判断此三角形的形状.
1.要判断三角形的形状,必须深入研究边与边的大小关系:是否两边相等,是否三边相等,是否符合勾股定理的逆定理;还要研究角与角的大小关系:是否两个角相等,是否三个角相等,有无直角或钝角.
2.解此类题的思想方法:从条件出发,利用余弦定理、两角和与差的正弦公式等进行代换、转化、化简、运算,发现边与边的关系或角与角的关系,从而作出正确判断.
3.判断三角形形状时,还经常用到以下结论:在 △ABC中,设a>b>c,
若a2=b2+c2,则△ABC为直角三角形;
若a2>b2+c2,则△ABC为钝角三角形;
若a2【变式训练3】 在△ABC中,若(a-ccos B)·b=(b-ccos A)a,试判断△ABC的形状.
易 错 辨 析
忽视构成三角形的条件致错
【典例】 在钝角三角形ABC中,a=1,b=2,c=t,且C是最大角,求t的取值范围.
错解:∵△ABC是钝角三角形,且C是最大角,
∴C>90°,∴cos C<0,
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:错解忽略了构成三角形的条件:两边之和大于第三边,即a+b>c这个隐含条件,导致t的取值范围变大.
正解:∵a,b,c是△ABC的三边,∴b-a∴2-1又△ABC是钝角三角形,且C是最大角,
∴90°∴cos C<0,
在三角形中,当解决边和角的范围问题时,首先要考虑到三角形中的隐含条件,即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.
【变式训练】 设2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范围.
随 堂 练 习
解析:由余弦定理,
得b2=a2+c2-2accos B=32+52-2×3×5cos 120°=49,得b=7.
答案:C
答案:B
3.在△ABC中,若B=60°,b2=ac,则△ABC的形状是(　　)
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
解析:∵b2=ac,B=60°,
由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,
得a2+c2-ac=ac,即(a-c)2=0,∴a=c.
又B=60°,∴△ABC为等边三角形.
答案:D

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