资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
人教版七下相交线与平行线章节培优题训练
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B D D D D D C
一．选择题（共8小题）
1．如图所示，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠BOE＝5：2，则∠AOF等于（　　）
A．140° B．130° C．120° D．110°
【分析】先设出∠BOE＝2α，再表示出∠DOE＝α，∠AOD＝5α，建立方程求出α，最用利用对顶角，角之间的和差即可．
【解答】解：设∠BOE＝2α，
∵∠AOD：∠BOE＝5：2，
∴∠AOD＝5α，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝∠BOE＝2α
∴∠AOD+∠DOE+∠BOE＝180°，
∴5α+2α+2α＝180°，
∴α＝20°，
∴∠AOD＝5α＝100°，
∴∠BOC＝∠AOD＝100°，
∵OF平分∠COB，
∴∠COF∠BOC＝50°，
∵∠AOC＝∠BOD＝4α＝80°，
∴∠AOF＝∠AOC+∠COF＝130°，
故选：B．
2．如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥AB，OG平分∠EOF，若∠BOC＝48°，则∠AOG等于（　　）
A．10° B．12° C．14° D．16°
【分析】根据角平分线的定义表示出∠COE和∠AOG，然后根据∠AOG＝∠EOG﹣∠AOE计算即可得解．
【解答】解：∵∠BOC＝48°，
∴∠AOC＝180°﹣48°＝132°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC∠AOC，
∵OF⊥AB，
∴∠BOF＝90°，
∴∠EOF＝360°﹣∠EOC﹣∠BOC﹣∠BOF
＝360°﹣66°﹣48°﹣90°
＝156°
∵OG平分∠EOF，
∴∠EOG＝∠FOG78°，
∴∠AOG＝∠EOG﹣∠AOE＝78°﹣66°＝12°，
故选：B．
3．如图，∠C+∠D＝180°，∠DAE＝3∠EBF，∠EBF＝27°，点G是AB上的一点，若∠AGF＝102°，∠BAF＝34°，下列结论错误的是（　　）
A．∠AFB＝81° B．∠E＝54° C．AD∥BC D．BE∥FG
【分析】根据题目中的条件和平行线的判定方法，可以推出各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：∵∠C+∠D＝180°，
∴AD∥BC，故选项C正确，不符合题意；
∴∠DAE＝∠CFE，
∵∠CFE＝∠EBF+∠BEF，∠DAE＝3∠EBF，∠EBF＝27°，
∴∠CFE＝3∠EBF＝81°，∠BEF＝54°，故选项B正确，不符合题意；
∴∠AFB＝∠CFE＝81°，故选项A正确，不符合题意；
∵∠AGF＝102°，∠BAF＝34°，
∴∠AFG＝44°，
∵∠E＝54°，
∴∠AFG≠∠E，
∴BE和FG不平行，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
4．如图，m∥n∥l，一块三角板按图所示摆放，则下列结论正确的有（　　）
①∠1+∠2＝90°；②∠3+∠4＝∠5；③∠5+∠6﹣∠1＝90°；④∠5+∠6＝∠2+2∠4．
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【分析】根据平行线的性质定理逐一分析判断即可．
【解答】解：如图，
由题意可知：∠3＝30°，∠6＝60°，∠4+∠7＝90°，
∵m∥n，
∴∠1＝∠4，
∵l∥n，
∴∠2＝∠7，
∵∠4+∠7＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，故①正确；
∵l∥n，
∴∠5＝∠8，
∵∠8＝∠3+∠4，
∴∠5＝∠3+∠4，故②正确；
∵∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝180°﹣∠2，
∴∠5+∠6﹣∠1＝90°，故③正确；
∵∠2＝∠7，∠4+∠7＝90°，
∴∠2+∠4＝90°，
∴2（∠2+∠4）＝180°，
∵∠5+∠6＝180°﹣∠2，
∴∠5+∠6＝2（∠2+∠4）﹣∠2，
即∠5+∠6＝∠2+2∠4，故④正确．
所以正确的结论有：①②③④．
故选：D．
5．如图，把一张长方形的纸片沿着EF折叠，点C、D分别落在M、N的位置，且∠MFB∠MFE．则∠EFM的度数为（　　）
A．30° B．36° C．45° D．72°
【分析】根据折叠的性质可知∠EFC＝∠EFM，且∠MFB∠MFE，由∠BFM+∠MFE+∠EFC＝180°即可求出∠EFM的度数．
【解答】解：根据折叠的性质可知∠EFC＝∠EFM，
∵∠MFB∠MFE，
又∵∠BFM+∠MFE+∠EFC＝180°，
∴∠MFE+∠MFE+∠EFM＝180°，
即∠EFM＝180°，
∴∠EFM＝72°，
故选：D．
6．如图，CD∥BE，则∠2+∠3﹣∠1的度数等于（　　）
A．90° B．120° C．150° D．180°
【分析】过点A作AF∥BE，利用平行线的性质可得∠BAF＝∠3，从而可得∠CAF＝∠3﹣∠1，然后利用平行于同一条直线的两条直线平行可得AF∥CD，从而可得∠CAF+∠2＝180°，进而可得∠3﹣∠1+∠2＝180°，即可解答．
【解答】解：过点A作AF∥BE，
∴∠BAF＝∠3，
∵∠CAF＝∠BAF﹣∠1，
∴∠CAF＝∠3﹣∠1，
∵CD∥BE，
∴AF∥CD，
∴∠CAF+∠2＝180°，
∴∠3﹣∠1+∠2＝180°，
即∠2+∠3﹣∠1＝180°，
故选：D．
7．如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1+∠2等于（　　）
A．40° B．35° C．36° D．30°
【分析】过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1，∠4＝∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB+∠ABD＝180°，然后计算即可得解．
【解答】解：如图，过点A作l1的平行线AC，过点B作l2的平行线BD，
则∠3＝∠1，∠4＝∠2，
∵l1∥l2，
∴AC∥BD，
∴∠CAB+∠ABD＝180°，
∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°，
∴∠1+∠2＝30°．
故选：D．
8．如图，将△ABC向右平移n个单位，得△DEF，已知△ABC的周长等于12，四边形ABFD的周长等于18，那么n的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平移的基本性质，即可得出四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝n+AB+BC+n+AC，再根据△ABC的周长等于12，即可得出答案．
【解答】解：根据题意，将周长为12的△ABC沿边BC向右平移n个单位得到△DEF，
∴AD＝n，BF＝BC+CF＝BC+n，DF＝AC；
又∵AB+BC+AC＝12，
∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝n+AB+BC+n+AC＝12+2n＝18．
∴n＝3，
故选：C．
二．填空题（共9小题）
9．如图，直线AB，CD交于点O，已知EO⊥AB于点O，OF平分∠BOC，若∠DOE＝3∠EOF+5°，则∠AOD的度数是 　74°　 ．
【分析】设∠BOF＝α，则∠BOC＝2∠BOF＝2α，∠EOF＝90°﹣∠BOF＝90°﹣α，∠EOC＝90°﹣∠BOC＝90°﹣2α，∠AOD＝∠BOC＝2α，∠DOE＝180°﹣∠EOC＝90°+2α，再根据∠DOE＝3∠EOF+5°得90°+2α＝3（90°﹣α）+5°，由此解出α即可得∠AOD的度数．
【解答】解：设∠BOF＝α，
∵OF平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠BOF＝2α，
∵EO⊥AB，
∴∠EOF＝90°﹣∠BOF＝90°﹣α，∠EOC＝90°﹣∠BOC＝90°﹣2α，
∵直线AB，CD交于点O，
∴∠AOD＝∠BOC＝2α，∠DOE＝180°﹣∠EOC＝180°﹣（90°﹣2α）＝90°+2α，
∵∠DOE＝3∠EOF+5°，
∴90°+2α＝3（90°﹣α）+5°，
解得：α＝37°，
∴∠AOD＝2α＝74°．
故答案为：74°．
10．如图，l1与l2是同一平面内的两条相交直线，它们有一个交点．如果在这个平面内，再画第三条直线l3，那么这三条直线最多可有　3　 个交点；如果在这个平面内再画第4条直线l4，那么这4条直线最多可有　6　 个交点．由此，我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有　15　 个交点，n（n为大于1的整数）条直线最多可有　　 个交点（用含n的代数式表示）．
【分析】要探讨直线的交点的最多个数，尽量让每两条直线相交，产生不同的交点．
【解答】解：三条直线相交交点最多为：1+2＝3；
四条直线相交交点最多为：1+2+3＝6；
六条直线相交交点最多为：1+2+3+4+5＝15；
…；
n条直线相交交点最多为：1+2+3+…+n﹣1．
故答案为：3，6，15，．
11．我们常把复杂的数学问题分解为基本问题来研究，化繁为简是一种常见的数学解题思想．
（1）如图（1），直线l1，l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了　2　 对同旁内角．
（2）如图（2），平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A，B，C，图中一共有　6　 对同旁内角．
（3）平面内四条直线两两相交，最多可以形成　24　 对同旁内角．
（4）平面内n（n≥3且n为整数）条直线两两相交，最多可以形成n（n﹣1）（n﹣2）　 对同旁内角．
【分析】根据同旁内角的定义，结合图形确定同旁内角的对数．
【解答】解：因为两个交点可以形成2对同旁内角，而三个交点形成的同旁内角的对数为6对，
（1）直线l1，l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了2对同旁内角．
（2）平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A、B、C，图中一共有6＝3×2×1对同旁内角．
（3）平面内四条直线两两相交，交点最多为6个，由图可知任意不同的两条直线都可被另外的两条直线所截，所以任意不相同的两条直线可以形成4对同旁内角，4条直线共有6种两条直线被另两条直线所截的情况所以有24对同旁内角．24＝4×（4﹣1）×（4﹣2）对同旁内角．
（4）平面内n条直线两两相交，最多可以形成n（n﹣1）（n﹣2）对同旁内角
故答案为：（1）2；（2）6；（3）24；（4）n（n﹣1）（n﹣2）
12．如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝56°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF＝　62°或118°　 ．
【分析】分两种情况：①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°，根据平行线的判定与性质和角平分线定义即可求出∠PGF的度数．
【解答】解：如图，①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，
∵∠MFD＝∠BEF＝56°，
∴CD∥AB，
∴∠GEB＝∠FGE，
∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB＝∠GEF∠BEF＝28°，
∴∠FGE＝28°，
∴∠PGF＝∠PGE﹣∠FGE＝90°﹣28°＝62°；
②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°，
同理：∠P′GF＝∠PGE+∠FGE＝90°+28°＝118°．
则∠PGF的度数为62°或118°．
故答案为：62°或118°．
13．如图AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ之间的数量关系是 　α+β﹣γ＝90°　 ．
【分析】依据题意，分别过点C、点D作CG∥AB，DH∥AB，再由平行公理的推论可得AB∥CG∥DH∥EF，最后根据平行线的性质可得解．
【解答】解：如图，分别过点C、点D作CG∥AB，DH∥AB，
又∵AB∥EF，
∴AB∥CG∥DH∥EF．
∴α＝∠BCG，∠DCG＝∠CDH，∠HDE＝γ．
∵∠BCD＝90°，∠CDE＝∠CDH+∠HDE＝β，
∴α+∠DCG＝90°，∠CDH+γ＝β．
∴∠DCG＝90°﹣α，∠CDH＝β﹣γ．
又∠DCG＝∠CDH，
∴90°﹣α＝β﹣γ．
∴α+β﹣γ＝90°．
故答案为：α+β﹣γ＝90°．
14．把下列解题补充完整：
如图，已知：AB∥DE，∠B＝80°，∠D＝140°，求∠BCD的度数．
解：如解题图，过点C作GH∥DE
∴∠D+∠DCH＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　 ）
∴∠DCH＝180°﹣∠D＝180°﹣140°＝40°
又∵AB∥DE（已知）CH∥DE（辅助线作法）
∴AB ∥CH （　平行于同一条直线的两条直线平行　 ）
∴∠B＝∠BCH（　两直线平行，内错角相等　 ）
∵∠B＝80°（已知）∴∠BCH＝80°（　等量代换　 ）
∴∠BCD＝∠BCH ﹣∠DCH ＝　40　 °．
【分析】根据平行线的性质与判定解答即可．
【解答】解：如解题图，过点C作GH∥DE
∴∠D+∠DCH＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠DCH＝180°﹣∠D＝180°﹣140°＝40°
又∵AB∥DE（已知）CH∥DE（辅助线作法）
∴AB∥CH（ 平行于同一条直线的两条直线平行）
∴∠B＝∠BCH（两直线平行，内错角相等）
∵∠B＝80°（已知）∴∠BCH＝80°（等量代换）
∴∠BCD＝∠BCH﹣∠DCH＝40°．
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；AB；CH； 平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；BCH；DCH；40．
15．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠AEB＝70°，那么∠EFC′的度数为 　125　 度．
【分析】由∠AEB＝70°，可得∠DEB＝110°，由折叠的性质可得，，∠EFC′＝∠EFC，由AD∥BC，可得∠EFC＝180°﹣∠DEF，进而可求∠EFC′的度数．
【解答】解：∵∠AEB＝70°，
∴∠DEB＝110°，
由折叠的性质可得，，∠EFC′＝∠EFC，
∵AD∥BC，
∴∠EFC＝180°﹣∠DEF＝125°，
∴∠EFC′＝125°，
故答案为：125．
16．如图，AB∥CD，∠DBC＝2∠ABC，∠BCD的平分线CE交BD于E，连接AE，若∠BDC＝6∠BAE，则∠AEC的度数为　30°　 ．
【分析】过E作EF∥AB，可得∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠A+∠DCE，设∠DCE＝∠BCE＝α，则∠ABC＝2α，设∠BAE＝β，则∠BDC＝6∠BAE＝6β，依据三角形内角和定理，即可得到α+β＝30°，进而得出∠BAE+∠DCE＝30°，即∠AEC＝30°．
【解答】解：如图，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A＝∠AEF，∠DCE＝∠CEF，
∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠A+∠DCE，
∵∠BCD的平分线CE交BD于E，
∴可设∠DCE＝∠BCE＝α，则∠ABC＝2α，
∴∠DBC＝2∠ABC＝4α，
设∠BAE＝β，则∠BDC＝6∠BAE＝6β，
∵△BCD中，∠BCD+∠CDB+∠DBC＝180°，
∴2α+6β+4α＝180°，
∴α+β＝30°，
∴∠BAE+∠DCE＝30°，
∴∠AEC＝30°，
故答案为：30°．
17．如图，是一块长方形的场地，长AB＝52m，宽AD＝41m．从A，B两处入口的小路宽都为1m，两条小路汇合处宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为　2000　 m2．
【分析】本题要看图解答．从图中可以看出剩余部分的草坪正好可以拼成一个长方形，然后根据题意求出长和宽，最后可求出面积
【解答】解：由图片可看出，剩余部分的草坪正好可以拼成一个长方形，
且这个长方形的长为52﹣2＝50m，
这个长方形的宽为：41﹣1＝40m，
因此，草坪的面积＝50×40＝2000平方米．
故答案为：2000．
三．解答题（共21小题）
18．如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOC的平分线，如果∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：3：5．
求∠BOE的度数．
【分析】设∠BOC＝x°，则∠DOF＝3x°，∠AOC＝5x°，由邻补角的性质，求出x的值，再根据角平分线，计算出∠COE的度数，计算即可．
【解答】解：设∠BOC＝x°，则∠DOF＝3x°，∠AOC＝5x°，由题意得：
x+5x＝180，解得：x＝30，
∴∠BOC＝30°，∠DOF＝90°，∠AOC＝150°，
∵OE是∠BOC的平分线，
∴∠BOE＝∠COE∠BOC30°＝15°．
19．如图，AB、CD交于点O，∠AOE＝4∠DOE，∠AOE的余角比∠DOE小10°（题中所说的角均是小于平角的角）．
（1）求∠AOE的度数；
（2）请写出∠AOC在图中的所有补角；
（3）从点O向直线AB的右侧引出一条射线OP，当∠COP＝∠AOE+∠DOP时，求∠BOP的度数．
【分析】（1）设∠DOE＝x，则∠AOE＝4x，列方程即可得到结论；
（2）根据补角的定义即可得到结论；
（3）如图，当OP在CD的上方时，当OP在CD的下方时，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）设∠DOE＝x°，则∠AOE＝4x°，
∵∠AOE的余角比∠DOE小10°，
∴90﹣4x＝x﹣10，
∴x＝20，
∴∠AOE＝80°；
（2）∠AOC在图中的所有补角是∠AOD，∠BOC，∠BOE；
（3）∵∠AOE＝80°，∠DOE＝20°，
∴∠AOD＝100°，
∴∠AOC＝80°，
如图，当OP在CD的上方时，
设∠AOP＝x°，
∴∠DOP＝100°﹣x°，
∵∠COP＝∠AOE+∠DOP，
∴80+x＝80+100﹣x，
∴x＝50°，
∴∠AOP＝∠DOP＝50°，
∵∠BOD＝∠AOC＝80°，
∴∠BOP＝80°+50°＝130°；
当OP在CD的下方时，
设∠DOP＝x°，
∴∠BOP＝80°﹣x°，
∵∠COP＝∠AOE+∠DOP，
∴180﹣x＝80+x，
∴x＝50°，
∴∠BOP＝30°，
综上所述，∠BOP的度数为130°或30°．
20．如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥CD．
（1）如图1，求证：∠BOE﹣∠AOC＝90°；
（2）如图2，将射线OB沿着直线CD翻折得到射线OF，即∠BOD＝∠FOD，求证：OE平分∠AOF；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点O作OG⊥AB，当∠FOG：∠AOE＝2：3时，求∠COG的度数．
【分析】（1）由垂直的定义及角度的和差计算可得；
（2）证明OE平分∠AOF，即证明∠AOE＝∠EOF，通过题目中角度的和差运算可得；
（3）设出∠FOG的度数，表示出∠AOE的度数，找到等量关系，列出等式，求出未知数的值，即可．
【解答】解：（1）如图，∵AB，CD相交于点O，
∴∠AOC＝∠BOD，
∵OE⊥OD，
∴∠DOE＝90°，
∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°，
∴∠BOE﹣∠AOC＝90°．
（2）如图，∵OE⊥OD，
∴∠DOE＝90°，
∴∠EOF+∠FOD＝90°，
∴2∠EOF+2∠FOD＝180°，
∵∠BOD＝∠FOD，
∴∠FOB＝2∠FOD，
∴2∠EOF＝180°﹣∠FOB＝∠AOF，
∴∠AOE＝∠EOF，
∴OE平分∠AOF．
（3）如图，
∵∠FOG：∠AOE＝2：3，
∴设∠FOG＝2α，则∠AOE＝3α，
∴∠EOG＝3α﹣2α＝α，
∵∠EOG+∠GOD＝90°，∠GOD+∠BOD＝90°，
∴∠EOG＝∠BOD＝α，
∴∠FOD＝∠BOD＝α，
∵A，O，B三点在一条直线上，
∴3α+α+2α+α+α＝180°，
解得α＝22.5°，
∴∠COG＝112.5°．
21．（1）三条直线相交，最少有　1　 个交点，最多有　3　 个交点，分别画出图形，并数出图中对顶角和邻补角的个数
（2）四条直线相交，最少有　1　 个交点，最多有　6　 个交点，分别画出图形，并数出图中对顶角和邻补角的个数
（3）依此类推，n条直线相交，最少有　1　 个交点，最多有　　 个交点，对顶角有n（n﹣1）　 对，邻补角有　2n（n﹣1）　 对．
【分析】当直线同交于一点时，只有一个交点；当直线两两相交，且不过同一点时，交点个数最多；根据对顶角与邻补角的定义找出即可．
【解答】解：（1）三条直线相交，最少有1个交点，最多有3个交点，如图：
对顶角：6对，邻补角：12对；
（2）四条直线相交，最少有1个交点，最多有6个交点，如图：
对顶角：12对，邻补角：24对；
（3）n条直线相交，最少有1个交点，最多有个交点，对顶角有n（n﹣1）对，邻补角有2n（n﹣1）对．
故答案为：（1）1，3；（2）1，6；（3）1，，n（n﹣1），2n（n﹣1）．
22．如图，三角形ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD、CE交于点O，F、G分别是AC、BC延长线上一点，且∠EOD+∠OBF＝180°，∠DBC＝∠G，指出图中两组平行线，并说明理由．
【分析】根据同角的补角相等，和平行线的判定定理即可作出判断．
【解答】解：EC∥BF，DG∥BF，DG∥EC．
理由：∵∠EOD+∠OBF＝180°，∠EOD+∠BOE＝180°，
∴∠BOE＝∠OBF，
∴EC∥BF；
∵∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠DBC＝∠ECB，
又∵EC∥BF，
∴∠ECB＝∠CBF，
∴∠DBC＝∠CBF，
又∵∠DBC＝∠G，
∴∠CBF＝∠G，
∴DG∥BF；
∵EC∥BF，DG∥BF，
∴DG∥EC．
23．如图，已知点E在BD上，AE⊥CE且EC平分∠DEF．
（1）求证：EA平分∠BEF；
（2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD．
【分析】（1）根据垂直的定义，角平分线的定义解答即可；
（2）根据平行线的判定解答即可．
【解答】证明：（1）∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠2+∠3＝90°且∠1+∠4＝90°，
又∵EC平分∠DEF，
∴∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2，
∴EA平分∠BEF；
（2）∵∠1＝∠A，∠4＝∠C，
∴∠1+∠A+∠4+∠C＝2（∠1+∠4）＝180°，
∴∠B+∠D＝（180°﹣2∠1）+（180°﹣2∠4）＝360°﹣2（∠1+∠4）＝180°，
∴AB∥CD．
24．已知，如图，O为直线AB上一点，OC⊥AB于点O．点P为射线OC上一点，从点P引两条射线分别交直线AB于点D，E（点D在点O左侧，点E在点O右侧），过点O作OF∥PD交PE于点F，G为线段PD上一点，过G作GM⊥AB于点M．
（1）①依题意补全图形；
②若∠DPO＝63°，求∠EOF的度数；
（2）直接写出表示∠EOF与∠PGM之间的数量关系的等式．
【分析】（1）①根据题意画出图形；②根据平行线的性质和垂线的定义解答即可；
（2）过点G作GN∥AB，交OC于点N，根据平行线的性质和垂线的定义可得∠PGM﹣∠EOF＝90°．
【解答】解：（1）①如图：
②∵OF∥PD，
∴∠1＝∠2，
∵∠2＝63°，
∴∠1＝63°．
∵OC⊥AB，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠EOF＝27°；
（2）如图，过点G作GN∥AB，交OC于点N，
∵GN∥AB，
∴∠4＝∠5，
∵OF∥PD，
∴∠3＝∠4，
∴∠3＝∠5，
∵GM⊥AB，GN∥AB，
∴GM⊥GN，
∴∠MGN＝90°，
∴∠PGM＝∠5+90°，
∴∠PGM＝∠3+90°，
∴∠PGM﹣∠3＝90°，
即∠PGM﹣∠EOF＝90°．
25．如图，AB∥CD，P为定点，E，F分别是AB，CD上的动点．
（1）如图1，求证：∠P＝∠BEP+∠PFD；
（2）如图2，若M为CD上一点，∠FMN＝∠BEP，且MN交PF于点N，请判断∠EPF与∠PNM的关系，并证明你的结论；
（3）如图3，移动E、F使得∠EPF＝90°，作∠PEG＝∠BEP，则∠AEG与∠PFD有什么数量关系，并说明理由．
【分析】（1）如图1，过点P作PG∥AB，根据平行线的性质进行证明；
（2）利用（1）中的结果和三角形外角的性质可以推知∠EPF＝∠PNM；
（3）利用（1）中的结论得到∠1+∠2＝90°，结合已知条件∠PEG＝∠BEP，即∠1＝∠3得到∠4＝180°﹣2∠1，易求∠AEG与∠PFD度数的数量关系．
【解答】解：（1）如图1，过点P作PG∥AB，则∠1＝∠BEP．
又∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠2＝∠PFD，
∴∠EPF＝∠1+∠2＝∠BEP+∠PFD，
即∠EPF＝∠BEP+∠PFD；
（2）∠EPF＝∠PNM．理由如下：
由（1）知，∠EPF＝∠BEP+∠PFD．
如图2，∵∠FMN＝∠BEP，
∴∠EPF＝∠FMN+∠PFD．
又∵∠PNM＝∠FMN+∠PFD．
∴∠EPF＝∠PNM；
（3）∠AEG＝2∠PFD．理由如下：
如图3，∵由（1）知∠1+∠2＝90°．
∴∠1＝90°﹣∠2．
又∵∠1＝∠3，
∴∠4＝180°﹣2∠1＝180°﹣2（90°﹣∠2）＝2∠2，
即∠AEG＝2∠PFD．
26．如图：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F．
（1）如图1，若∠E＝80°，求∠BFD的度数；
（2）如图2，若∠ABM∠ABF，∠CDM∠CDF，写出∠M与∠BED之间的数量关系，并说明理由；
（3）若∠ABM∠ABF，∠CDM∠CDF，设∠BED＝m°，直接写出用含m°，n的代数式表示∠M＝　　 ．
【分析】（1）根据角平分线定义得：∠EBF∠ABE，∠EDF∠CDE，由AB∥CD得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，再根据四边形的内角和可得结论；
（2）设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，根据（1）和四边形内角和得等式可得结论；
（3）同（2）将3倍换为n倍，同理可得结论．
【解答】解：（1）如图1，过点E作EN∥AB，
∵BF、DF分别是∠ABE和∠CDE的平分线，
∴∠EBF∠ABE，∠EDF∠CDE，
∵AB∥CD，
∴∠ABE+∠BEN＝180°，
∵AB∥CD，AB∥NE，
∴NE∥CD，
∴∠CDE+∠NED＝180°，
∴∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∵∠E＝80°，
∴∠ABE+∠CDE＝280°，
∴∠EBF+∠EDF＝140°，
∴∠BFD＝360°﹣80°﹣140°＝140°；
（2）结论：∠E+6∠M＝360°，理由是：
∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，
由（1）得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∴6x+6y+∠E＝360°，
∠E＝60﹣x﹣y，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，
∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，
∴∠M＝x+y，
∴∠E+6∠M＝360°；
（3）结论：∠M；
理由：∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝（n﹣1）x，∠EBF＝nx，∠FDM＝（n﹣1）y，∠EDF＝ny，
由（1）可得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∴2nx+2ny+∠E＝360°，
∴x+y，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，
∴2nx+2ny+∠E＝∠M+（2n﹣1）x+（2n﹣1）y+∠E，
∴∠M；
故答案为：．
27．完成下列推理过程
如图，M、F两点在直线CD上，AB∥CD，CB∥DE，BM、DN分别是∠ABC、∠EDF的平分线，求证：BM∥DN．
证明：∵BM、DN分别是∠ABC、∠EDF的平分线，
∠1∠ABC，∠3＝　∠EDF （ 　角平分线的定义　 ），
∵AB∥CD（已知），
∴∠1＝∠2，∠ABC＝　∠BCD （ 　两直线平行，内错角相等　 ），
∵CB∥DE（已知），
∴∠BCD＝　∠EDF （ 　两直线平行，同位角相等　 ），
∴∠ABC＝　∠EDF （ 　等量代换　 ），
∴∠2＝　∠3　 （ 　等量代换　 ），
∴BM∥DN （ 　同位角相等，两直线平行　 ）．
【分析】根据角平分线的定义，平行线的性质和判定解决问题．
【解答】证明：∵BM、DN 分别是∠ABC、∠EDF 的平分线．
∴∠1∠ABC，∠3（角平分线的定义），
∵AB∥CD（已知），
∴∠1＝∠2，∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∵CB∥DE（已知），
∴∠BCD＝∠EDF（两直线平行，同位角相等），
∴∠ABC＝∠EDF（等量代换），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴BM∥DN（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：；角平分线的定义；∠BCD；两直线平行，内错角相等；∠EDF；两直线平行，同位角相等；∠EDF；等量代换；∠3；等量代换；同位角相等，两直线平行．
28．有一长方形纸带，E、F分别是边AD，BC上一点，∠DEF＝α度（0＜α＜90），将纸带沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2．
（1）如图1，当α＝30度时，∠GFC′＝　120　 度；
（2）如图2，若∠GFN＝4∠GFE，求α的值；
（3）作GP平分∠MGF交直线EF与点P，请直接写出∠GEP与∠GPE的数量关系　∠GPE＝2∠GEP或2∠GEP﹣∠GPE＝180°　 ．
【分析】（1）由长方形的对边是平行的，得到∠BFE＝∠DEF＝30°，根据三角形外角的性质得到∠EGB＝∠BFE+∠DEF＝60°，由对顶角的性质得到∠FGD′＝∠EGB＝60°，即可得到∠GFC′＝180°﹣∠FGD′＝120°；
（2）由折叠可得∠GEF＝∠DEF＝α°，∠GFC′＝∠GFN，由长方形的对边是平行的，得∠GFE＝∠DEF＝α°，由此可以求得∠FGD′＝∠EGB＝2α°，∠GFN＝4α°，由∠GFC′+∠FGD′＝180°可以求出α°，即可以得到α的值；
（3）①如图3中，结论：∠GPE＝2∠GEP．利用翻折不变性以及三角形的内角和定理解决问题即可．
②如图4中，结论：2∠GEP﹣∠GPE＝180°．利用翻折不变性以及三角形的内角和定理解决问题即可．
【解答】解：（1）由折叠可得∠GEF＝∠DEF，
∵长方形的对边是平行的，
∴∠BFE＝∠DEF＝30°，
∴∠EGB＝∠BFE+∠DEF＝60°，
∴∠FGD′＝∠EGB＝60°，
∴∠GFC′＝180°﹣∠FGD′＝120°；
∴当α＝30度时，∠GFC′的度数是120°．
故答案为：120；
（2）由折叠可得∠GEF＝∠DEF＝α°，∠GFC′＝∠GFN，
∵长方形的对边是平行的，
∴∠GFE＝∠DEF＝α°，
∴∠EGB＝∠GFE+∠DEF＝2α°，∠GFN＝4∠GFE＝4α°，
∴∠FGD′＝∠EGB＝2α°，
∵∠GFC′+∠FGD′＝180°，
∴4α°+2α°＝180°
∴α°＝30°．
∴α的值是30；
（3）①如图3中，结论：∠GPE＝2∠GEP．
理由：∵∠MGF＝∠D'GF＝180°﹣∠EGF＝180°﹣（180°﹣∠DEG）＝∠DEG＝2α
又GP平分∠MGF，
∴∠PGF＝α
∴∠GPE＝∠PGE+∠PFG＝α+α＝2α＝2∠GEP；
②如图4中，结论：2∠GEP﹣∠GPE＝180°．
理由：∵2∠GEP＝2（180°﹣α），∠GPE＝180°﹣∠PGF﹣∠PFG＝180°﹣2α，
∴2∠GEP﹣∠GPE＝2（180°﹣α）﹣（180°﹣α﹣α）＝180°．
故答案为：∠GPE＝2∠GEP或2∠GEP﹣∠GPE＝180°．
29．如图所示，CD∥EF，∠1+∠2＝∠ABC．求证：AB∥GF．
【分析】过点B作BM∥CD，交GF于点M，在MB的延长线上取一点H，利用平行线的性质定理和判定定理解答即可．
【解答】证明：如图，过点B作BM∥CD，交GF于点M，在MB的延长线上取一点H．
∵BM∥CD，
∴∠2＝∠CBH，
∵∠ABC＝∠CBH+∠ABH，
∴∠ABC＝∠2+∠ABH，
∵∠ABC＝∠1+∠2，
∴∠1＝∠ABH，
∵CD∥EF，
∴BM∥EF，
∴∠BMG＝∠1，
∴∠ABH＝∠BMG，
∴AB∥GF．
30．（1）如图1，已知AB∥CD，求证：∠BED＝∠1+∠2．
（2）如图2，已知AB∥CD，写出∠1、∠EGH与∠2、∠BEG之间数量关系，并加以证明．
（3）如图3，已知AB∥CD，直接写出∠1、∠3、∠5、与∠2、∠4、∠6之间的关系．
【分析】（1）过点E作EF∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠3+∠4＝∠1+∠2，进而得出∠BED＝∠1+∠2；
（2）分别过点E、G作EF∥AB，GH∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠1+∠5+∠6＝∠3+∠4+∠2，进而得到∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG；
（3）分别过平行线间的折点作AB的平行线，依据平行线的性质，即可得到∠1、∠3、∠5与∠2、∠4、∠6之间的关系．
【解答】解：（1）证明：如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠3＝∠1，∠4＝∠2，
∴∠3+∠4＝∠1+∠2，
即∠BED＝∠1+∠2；
（2）∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG，
理由如下：如图，分别过点E、G作EF∥AB，GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥GH∥CD，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠2，
∴∠1+∠5+∠6＝∠3+∠4+∠2，
即∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG；
（3）由题可得，向左的角度数之和与向右的角度数之和相等，
∴∠1、∠3、∠5与∠2、∠4、∠6之间的关系为：
∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4+∠6．
31．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上的两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
（1）如图①，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图②，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝35°，求∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图③，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．
【分析】（1）过G作GH∥AB，依据两直线平行，内错角相等，即可得到∠AMG+∠CNG的度数；
（2）过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得∠MGN＝35°+a，∠MPN＝70°﹣a，即可求解；
（3）过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，∠MGN＝x+y，再根据2∠MEN+∠MGN＝105°，可得，解方程求出x即可求解．
【解答】解：（1）如图1，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，
∵MG⊥NG，
∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°；
（2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，
∵GK∥AB，AB∥CD，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝α，
∵GK∥AB，∠BMG＝35°，
∴∠MGK＝∠BMG＝35°，
∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，
∴∠GMP＝∠BMG＝35°，
∴∠BMP＝70°，
∵PQ∥AB，
∴∠MPQ＝∠BMP＝70°，
∵ND平分∠GNP，
∴∠DNP＝∠GND＝α，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠QPN＝∠DNP＝α，
∴∠MGN＝35°+α，∠MPN＝70°﹣α，
∴∠MGN+∠MPN＝35°+α+70°﹣α＝105°；
（3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，
∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，
∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，
∴∠AME＝2x，
∵GK∥AB，
∴∠MGK＝∠BMG＝x，
∵ET∥AB，
∴∠TEM＝∠EMA＝2x，
∵AB∥CD，GK∥AB，
∴CD∥GK，
∴∠KGN＝∠GND＝y，
∴∠MGN＝x+y，
∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，
∴∠CNG＝180°﹣y，，
∵AB∥CD，ET∥AB，
∴ET∥CD，
∴，
∴，∠MGN＝x+y，
∵2∠MEN+∠G＝105°，
∴，
∴x＝25°，
∴∠AME＝2x＝50°．
32．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交AB，CD于点E，点F，EG平分∠BEF交CD于点G，且∠FEG＝∠FGE．
（1）判断直线AB与直线CF是否平行，并说明理由．
（2）如图2，点M是射线GF上一动点（不与点G，F重合），EN平分∠FEM交CD于点N，过点N作NH⊥EG 于点H，设∠ENH＝α，∠EMF＝β．
（温馨提示：在三角形ENH中，∠ENH+∠EHN+∠NEH＝180°）
①当点M在点F的左侧时，若α＝32°，求β的度数．
②当点M在运动过程中α和β之间有怎样的关系？写出你的猜想，并加以证明．
【分析】（1）根据角平分线的性质及等量代换得出∠BEG＝∠FGE，在利用平分线的判定即可证明．
（2）①根据三角形内角和定理得出∠HEN＝58°，根据角平分线的定义∠HEN∠MEF∠FEB∠MEB＝58°，得出∠MEB＝116°，利用平行线的性质求出β的度数．
②结论：αβ．α＝90°β．根据三角形内角和定理得出∠HEN＝90°﹣α，根据角平分线的定义∠HEN∠MEF∠FEB∠MEB＝90°﹣α，得出∠MEB＝2（90°﹣α），利用平行线的性质求出β的度数．
【解答】解：（1）结论：AB∥CD．
理由：如图1，
∵EG平分∠BEF交CD于点G，
∴∠BEG＝∠FEG，
∵∠FEG＝∠FGE．
∴∠BEG＝∠FGE．
∴AB∥CD．
（2）①如图2，
∵HN⊥EG，
∴∠NHE＝90°，
∵α＝32°，
∴∠NEH＝90°﹣∠HNE＝90°﹣32°．
∴∠HEN＝58°，
∵EG平分∠BEF交CD于点G，
∴∠FEG＝∠BEG，
∵EN平分∠FEM交CD于点N，
∵∠NEM＝∠NEF，∠HEN∠MEF∠FEB∠MEB＝58°，
∴∠MEB＝116°
∵AB∥CD，
∴∠EMF+∠MEB＝180°，
∴∠EMF＝β＝64°；
②猜想：或
理由：（1）当点M在F的左侧时，如图2，
∵HN⊥EG，
∴∠NHE＝90°，
∴∠NEH＝90°﹣α，
∴∠HEN＝58°，
∵EG平分∠BEF交CD于点G，
∴∠FEG＝∠BEG，
∵EN平分∠FEM交CD于点N，
∵∠NEM＝∠NEF，∠HEN∠MEF∠FEB∠MEB，
∴∠MEB＝2∠NEH＝2（90°﹣α），
∵AB∥CD，
∴∠EMF+∠MEB＝180°，
∴β+∠MEB＝180°，
∴β+2（90°﹣α）＝180°，
∴βα．
（2）当点M在F的右侧时，
∵AB∥CD，
∴∠BEM＝∠EMF＝β，
∵EG平分∠BEF交CD于点G
∴∠FEG＝∠BEG，
∵EN平分∠FEM交CD于点N
∵∠FEN＝∠MEN，
∴∠HEN＝∠GEF﹣∠FEN∠BEF∠FEM∠β
∵HN⊥EM，
∴∠NHE＝90°，
∴α＝∠ENH＝90°﹣∠HEN＝90°β
综上所述，或．
33．已知直线AB∥CD，点E、G分别为直线AB、CD上的点，点F是AB与CD之间任意一点，连接EF、GF．过直线AB上的另一点M作直线MN∥FG，直线MN交直线CD于点N．
（1）如图①，若∠FGD＝120°，求∠BMN的度数；
（2）如图①，求证：∠EFG＝∠BMN+∠MEF；
（3）如图②，点R是AB与CD之间除了点F外的任意一点，，，过点F作FG的垂线交CD于点H，连接MH，，∠FHD﹣∠AEF＝30°，求∠HMN的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质依次求出∠MND和∠BMN即可；
（2）过F作FH∥AB，根据平行线的性质求证即可；
（3）先根据三角形内角和求出∠MEF+∠FGH，然后根据补角的性质以及给出的两个倍角关系，得出∠BER+∠RGD，过R作RT∥AB，根据平行线的性质求出∠ERD，然后根据倍角关系求出∠HMN即可．
【解答】（1）解：∵MN∥FG，
∴∠MND＝∠FGD＝120°，
∵AB∥CD，
∴∠BMN＝180°﹣∠MND＝60°；
（2）证明：过F作FH∥AB，如图：
∴FH∥CD，
∴∠MEF＝∠EFH，∠HFG＝∠FGN，
∵MN∥FG，
∴∠MND+∠FGN＝180°，
∵∠BMN+∠MND＝180°，
∴∠BMN＝∠FGN＝∠HFG，
∴∠EFG＝∠EFH+∠GFH＝∠MEF+∠BMN；
（3）解：∵FH⊥FG，
∴∠FHD＝90°﹣∠FGH，
∵∠FHD﹣∠AEF＝30°，
∴90°﹣∠FGH﹣∠AEF＝30°，
∴∠FGH+∠AEF＝60°，
∵∠BEF＝180°﹣∠AEF，∠FGD＝180°﹣∠FGH，
∴∠BEF+∠FGD＝360°﹣（∠AEF+∠FGH）＝300°，
∵∠BER∠FER，∠RGD∠FGD，
∴∠BER+∠RGD（∠BEF+∠FGD）＝100°，
过R作RT∥AB，如图：
∴RT∥CD，
∴∠BER＝∠ERT，∠RGD＝∠TRG，
∴∠ERG＝∠ERT+∠TRG＝∠BER+∠RGD＝100°，
∴∠HMN∠ERG＝20°．
34．已知，如图1，射线PE分别与直线AB、CD相交于E、F两点，∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设∠PFM＝α，∠EMF＝β，且．
（1）α＝ 　30　 °，β＝ 　30　 °；直线AB与CD的位置关系是 AB∥CD ；
（2）如图2若点G在点M的左侧，点H是射线FM上一点，且∠MGH＝∠PNF，试找出∠FMN与∠GHF之间存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3），分别与AB、CD相交于点M′和N′时，作∠PM′B的角平分线M′Q与射线FM相交于点Q，问在旋转的过程中的值是否变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
【分析】（1）根据非负数的性质得60﹣2α＝0，β﹣30＝0，则α＝30°，β＝30°，根据FM平分∠PFD得∠DFM＝∠PFM＝α，由此得∠EMF＝∠DFM＝30°，据此可得出线AB与CD的位置关系；
（2）由（1）可知AB∥CD，则∠PMG＝∠PNF，再根据∠MGH＝∠PNF得∠PMG＝∠MGH，则GH∥PN，进而得∠GHM＝∠FMN，再根据∠GHM+∠GHF＝180°即可得出∠FMN与∠GHF之间存在的数量关系；
（3）过点P作PK∥CD，过点Q作QT∥AB，根据M′Q平分∠PM′B，设∠PM'Q＝∠BM'Q＝θ，则∠PM′B＝2θ，∠PM'M＝180°﹣2θ，由（1）可知AB∥CD，∠EMF＝∠DFM＝30°，则∠PFN＝60°，证明PK∥AB∥CD，则∠FPK+∠PFN＝180°，∠M'PK＝∠PM'M＝180°﹣2θ，由此得∠FPK＝120°，∠FPN'＝∠FPK﹣∠M'PK＝2θ﹣60°，再证明QT∥AB∥CD，则∠MQT+∠DFM＝180°，∠M'QT+∠BM'Q＝180°，由此得∠MQT＝150°，∠M'QT＝180°﹣θ，进而得∠M'QM＝∠MQT﹣∠M'QT＝θ﹣30°，据此可得出的值．
【解答】解：（1）∵0，|β﹣30|≥0
又∵，
∴60﹣2α＝0，β﹣30＝0，
∴α＝30°，β＝30°，
∵FM平分∠PFD，∠PFM＝α，
∴∠DFM＝∠PFM＝α，
∵∠EMF＝β，α＝30°，β＝30°，
∴∠EMF＝∠DFM＝30°，
∴AB∥CD，
故答案为：30°；30°；AB∥CD；
（2）∠FMN与∠GHF之间的数量关系是：∠FMN+∠GHF＝180°，证明如下：
由（1）可知：AB∥CD，
∴∠PMG＝∠PNF，
∵∠MGH＝∠PNF，
∴∠PMG＝∠MGH，
∴GH∥PN，
∴∠GHM＝∠FMN，
∵∠GHM+∠GHF＝180°，
∴∠FMN+∠GHF＝180°，
（3）在旋转的过程中的值不发生变化，始终等于2，理由如下：
过点P作PK∥CD，过点Q作QT∥AB，如图3所示：
∵M′Q平分∠PM′B，
∴设∠PM'Q＝∠BM'Q＝θ，
∴∠PM′B＝2θ，
∴∠PM'M＝180°﹣∠PM′B＝180°﹣2θ，
由（1）可知：AB∥CD，∠EMF＝∠DFM＝30°，
∴∠PFN＝∠EMF+∠DFM＝60°，
∵PK∥CD，
∴PK∥AB∥CD，
∴∠FPK+∠PFN＝180°，∠M'PK＝∠PM'M＝180°﹣2θ，
∴∠FPK＝180°﹣∠PFN＝180°﹣60°＝120°，
∴∠FPN'＝∠FPK﹣∠M'PK＝120°﹣（180°﹣2θ）＝2θ﹣60°，
∵QT∥AB，AB∥CD，
∴QT∥AB∥CD，
∴∠MQT+∠DFM＝180°，∠M'QT+∠BM'Q＝180°，
∴∠MQT＝180°﹣∠DFM＝180°﹣30°＝150°，∠M'QT＝180°﹣∠BM'Q＝180°﹣θ，
∴∠M'QM＝∠MQT﹣∠M'QT＝150°﹣（180°﹣θ）＝θ﹣30°，
∵2．
35．如图，已知AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N．点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MA，NC上，连接PE，QE．
（1）如图1，若∠MNC＝70°，∠MPE＝30°，∠EQN＝50°，则∠AMN＝　110　 °，∠PEQ＝　80　 °；
（2）如图2，∠MPE的角平分线与∠CQE的角平分线相交于点F，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在第（2）问的条件下，当PE⊥QE时，若∠APE＝150°，∠MND＝110°，过点P作PH⊥QF交QF的延长线于点H．将直线MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为M′N，同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△F′PH′，当直线MN首次落到CD上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线M′N恰好平行于△F′PH′的PH′边或PF′边，请直接写出所有满足条件的t的值．
【分析】（1）根据平行线的性质和判定求解即可；
（2）延长PE交CD于点G，设PE、FQ交于点T，设∠BPE＝2α，则，根据AB∥CD可表示出∠PGQ，进而根据三角形内角和推论表示出∠EQC，进而表示出∠EQT，然后结合△EQT和△PFT内角和得出关系式，进一步得出结果；
（3）分四种情况，分别画出图形，表示出各角，然后利用平行线的性质列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵∠MNC＝70°，AB∥CD，
∴∠AMN＝180°﹣∠MNC＝110°；
如图，过点E作EF∥AB，
∴∠PEF＝∠MPE＝30°，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FEQ＝∠EQN＝50°，
∴∠PEQ＝∠PEF+∠FEQ＝80°，
故答案为：110，80；
（2）2∠PFQ﹣∠PEQ＝180°，理由如下：
如图，延长PE交CD于点G，设PE、FQ交于点T，
设∠BPE＝2α，则，
∵AB∥CD，
∴∠PGQ＝∠BPE＝2α，
∵∠GEQ＝180°﹣∠PEQ，
∴∠EQC＝∠QEG+∠PGQ＝180°﹣∠PEQ+2α，
∴，
在△EQT和△PFT中，
∵∠FPT+∠FTP+∠PFT＝180°，∠PTF＝∠ETQ，∠PEQ+∠TQE+∠ETQ＝180°，
∴∠PEQ+∠TQE＝∠FPT+∠PFT，即，
∴2∠PFQ﹣∠PEQ＝180°；
（3）∵PH⊥HQ，PE⊥QE，
∴PEQ＝∠H＝90°，
由（2）可知2∠PFQ﹣∠PEQ＝180°，
∴∠PFQ＝135°，
∵∠APE＝150°，
∴∠BPE＝180°﹣∠APE＝30°，
∵PF平分∠BPE，
∴，则∠PFT＝180°﹣∠FPE﹣∠PFQ＝30°
∴∠TPH＝60°，∠HPB＝30°，
由题意可知∠H′PH＝∠F′PF＝10t，∠PM′N＝∠M′ND＝110°﹣5t，
如图，当M′N∥PH′时，∠PM′N＝∠H′PM′＝30°+10t，
110°﹣5t＝30°+10t，
∴，
如图，当NM′∥PF′时，∠PM′N＝∠F′PM′＝10t﹣15°，
110°﹣5t＝10t﹣15°，
∴，
如图，当M′N∥PH′时，∠PM′N+∠H′PM′＝180°
360°﹣30°﹣10t+110°﹣5t＝180°，
∴，
如图，当NM′∥PF′时，∠PM′N+∠F′PM′＝180°，
360°﹣10t+15°+110°﹣5t＝180°，
∴；
综上所述，或或或．
36．如图所示，已知射线CB∥OA，AB∥OC，∠C＝∠OAB＝100°．点E、F在射线CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化，找出变化规律，若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据OB平分∠AOF，OE平分∠COF，即可得出∠EOB＝∠EOF+∠FOB∠COA，从而得出答案；
（2）根据平行线的性质，即可得出∠OBC＝∠BOA，∠OFC＝∠FOA，再根据∠FOA＝∠FOB+∠AOB＝2∠AOB，即可得出∠OBC：∠OFC的值为1：2；
（3）根据（2）解答即可．
【解答】解：（1）∵∠FOB＝∠AOB，
∴OB平分∠AOF，
又∵OE平分∠COF，
∴∠EOB＝∠EOF+∠FOB∠COA80°＝40°；
故∠EOB的度数为：40°；
（2）不变，
∵CB∥OA，则∠OBC＝∠BOA，∠OFC＝∠FOA，
则∠OBC：∠OFC＝∠AOB：∠FOA，
又∵∠FOA＝∠FOB+∠AOB＝2∠AOB，
∴∠OBC：∠OFC＝∠AOB：∠FOA＝∠AOB：2∠AOB；
（3）∵CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，
∴∠AOC＝∠ABC＝80°，
则四边形AOCB为平行四边形，
则∠OEC＝∠EOB+∠AOB，∠OBA＝∠BOC＝∠COE+∠EOB，
又∵∠OEC＝∠OBA，
则∠AOB＝∠COE，
则∠COE＝∠EOF＝∠FOB＝∠AOB＝80°÷4＝20°，
则∠EOB＝2×20°＝40°，
此时∠OBA＝∠OEC＝40°+20°＝60°．
37．如图1，已知AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝110°．
（1）若∠E＝50°，请直接写出∠EFD的度数；
（2）探索∠BEF与∠EFD之间满足的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，FG的反向延长线交EP于点P．求∠P的度数．
【分析】（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，根据平行线的性质得到∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，∠D+∠DFN＝180°，代入数据即可得到结论；
（2）如图1，根据平行线的性质得到∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，由AB∥CD，AB∥FN，得到CD∥FN，根据平行线的性质得到∠D+∠DFN＝180°，于是得到结论；
（3）如图2，过点F作FH∥EP，设∠BEF＝2x，则∠EFD＝2x+50°，根据角平分线的定义得到∠PEF∠BEF＝x°，∠EFG∠EFD＝x+25°，根据平行线的性质得到∠PEF＝∠EFH＝x，∠P＝∠HFG，于是得到结论．
【解答】解：（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，
∴EM∥AB∥FN，
∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，
又∵AB∥CD，AB∥FN，
∴CD∥FN，
∴∠D+∠DFN＝180°，
又∵∠D＝110°，
∴∠DFN＝70°，
∴∠BEF＝∠MEF+20°，∠EFD＝∠EFN+70°，
∴∠EFD＝∠MEF+70°，
∵∠BEF＝50°，
∴∠EFD＝∠BEF+50°＝100°；
（2）∠EFD＝∠BEF+50°，理由如下：
如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，
∴EM∥AB∥FN，
∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，
又∵AB∥CD，AB∥FN，
∴CD∥FN，
∴∠D+∠DFN＝180°，
又∵∠D＝110°，
∴∠DFN＝70°，
∴∠BEF＝∠MEF+20°，∠EFD＝∠EFN+70°，
∴∠EFD＝∠MEF+70°，
∴∠EFD＝∠BEF+50°；
（3）如图2，过点F作FH∥EP，
由（2）知，∠EFD＝∠BEF+50°，
设∠BEF＝2x，则∠EFD＝2x+50°，
∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，
∴∠PEF∠BEF＝x，∠EFG∠EFD＝x+25°，
∵FH∥EP，
∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，
∵∠HFG＝∠EFG﹣∠EFH＝25°，
∴∠P＝25°．
38．如图，AB∥CD，点A，E，B，C不在同一条直线上．
（1）如图1，求证：∠E+∠C﹣∠A＝180°
（2）如图2．直线FA，CP交于点P，且∠BAF∠BAE，∠DCP∠DCE．
①试探究∠E与∠P的数量关系：
②如图3，延长CE交PA于点Q，若AE∥PC，∠BAQ＝α（0°＜α＜22.5°），则∠PQC的度数为　180°﹣8α　 （用含α的式子表示）
【分析】（1）如图1，过E作EF∥AB，根据平行线的性质即可得到结论；
（2）①设∠BAF＝x，∠BAE＝3x，∠DCP＝y，∠DCE＝3y，由（1）知，∠E＝180°﹣∠C+∠A＝180°﹣3（y﹣x），如图2，过P作PG∥CD，根据平行线的性质即可得到结论；
②如图3，过P作PG∥CD，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠AEF＝∠A，∠C+∠FEC＝180°，
∴∠E＝∠AEF+∠FEC＝∠A+180°﹣∠C，
即∠E+∠C﹣∠A＝180°；
（2）①∵∠BAF∠BAE，∠DCP∠DCE，
∴设∠BAF＝x，∠BAE＝3x，∠DCP＝y，∠DCE＝3y，
由（1）知，∠E＝180°﹣∠C+∠A＝180°﹣3（y﹣x），
如图2，过P作PG∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥PG，
∴∠GPA＝∠BAF＝x，∠GPC＝∠PCD＝y，
∴∠APC＝y﹣x，
即∠E＝180°﹣3∠P；
②如图3，过P作PG∥CD，
∵∠BAQ＝α，
∴∠QAE＝2α，
∵AE∥PC，
∴∠QAE＝∠APC＝2α，
由①知，∠AEC＝180°﹣3∠APC＝180°﹣6α，
∴∠PQC＝∠AEC﹣∠QAE＝180°﹣6α﹣2α＝180°﹣8α，
故答案为：180°﹣8α．中小学教育资源及组卷应用平台
人教版七下相交线与平行线章节培优题训练
一．选择题（共8小题）
1．如图所示，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠BOE＝5：2，则∠AOF等于（　　）
A．140° B．130° C．120° D．110°
2．如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥AB，OG平分∠EOF，若∠BOC＝48°，则∠AOG等于（　　）
A．10° B．12° C．14° D．16°
3．如图，∠C+∠D＝180°，∠DAE＝3∠EBF，∠EBF＝27°，点G是AB上的一点，若∠AGF＝102°，∠BAF＝34°，下列结论错误的是（　　）
A．∠AFB＝81° B．∠E＝54° C．AD∥BC D．BE∥FG
4．如图，m∥n∥l，一块三角板按图所示摆放，则下列结论正确的有（　　）
①∠1+∠2＝90°；②∠3+∠4＝∠5；③∠5+∠6﹣∠1＝90°；④∠5+∠6＝∠2+2∠4．
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
5．如图，把一张长方形的纸片沿着EF折叠，点C、D分别落在M、N的位置，且∠MFB∠MFE．则∠EFM的度数为（　　）
A．30° B．36° C．45° D．72°
6．如图，CD∥BE，则∠2+∠3﹣∠1的度数等于（　　）
A．90° B．120° C．150° D．180°
7．如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1+∠2等于（　　）
A．40° B．35° C．36° D．30°
8．如图，将△ABC向右平移n个单位，得△DEF，已知△ABC的周长等于12，四边形ABFD的周长等于18，那么n的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共9小题）
9．如图，直线AB，CD交于点O，已知EO⊥AB于点O，OF平分∠BOC，若∠DOE＝3∠EOF+5°，则∠AOD的度数是 　 　 ．
10．如图，l1与l2是同一平面内的两条相交直线，它们有一个交点．如果在这个平面内，再画第三条直线l3，那么这三条直线最多可有　 　 个交点；如果在这个平面内再画第4条直线l4，那么这4条直线最多可有　 　 个交点．由此，我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有　 　 个交点，n（n为大于1的整数）条直线最多可有　 　 个交点（用含n的代数式表示）．
11．我们常把复杂的数学问题分解为基本问题来研究，化繁为简是一种常见的数学解题思想．
（1）如图（1），直线l1，l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了　 　 对同旁内角．
（2）如图（2），平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A，B，C，图中一共有　 　 对同旁内角．
（3）平面内四条直线两两相交，最多可以形成　 　 对同旁内角．
（4）平面内n（n≥3且n为整数）条直线两两相交，最多可以形成　 　 对同旁内角．
12．如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝56°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF＝　 　 ．
13．如图AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ之间的数量关系是 　 　 ．
14．把下列解题补充完整：
如图，已知：AB∥DE，∠B＝80°，∠D＝140°，求∠BCD的度数．
解：如解题图，过点C作GH∥DE
∴∠D+∠DCH＝180°（　 　 ）
∴∠DCH＝180°﹣∠D＝180°﹣140°＝40°
又∵AB∥DE（已知）CH∥DE（辅助线作法）
∴　 　 ∥　 　 （　 　 ）
∴∠B＝∠BCH（　 　 ）
∵∠B＝80°（已知）∴∠BCH＝80°（　 　 ）
∴∠BCD＝∠　 　 ﹣∠　 　 ＝　 　 °．
15．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠AEB＝70°，那么∠EFC′的度数为 　 　 度．
16．如图，AB∥CD，∠DBC＝2∠ABC，∠BCD的平分线CE交BD于E，连接AE，若∠BDC＝6∠BAE，则∠AEC的度数为　 　 ．
17．如图，是一块长方形的场地，长AB＝52m，宽AD＝41m．从A，B两处入口的小路宽都为1m，两条小路汇合处宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为　 　 m2．
三．解答题（共21小题）
18．如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOC的平分线，如果∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：3：5．
求∠BOE的度数．
19．如图，AB、CD交于点O，∠AOE＝4∠DOE，∠AOE的余角比∠DOE小10°（题中所说的角均是小于平角的角）．
（1）求∠AOE的度数；
（2）请写出∠AOC在图中的所有补角；
（3）从点O向直线AB的右侧引出一条射线OP，当∠COP＝∠AOE+∠DOP时，求∠BOP的度数．
20．如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥CD．
（1）如图1，求证：∠BOE﹣∠AOC＝90°；
（2）如图2，将射线OB沿着直线CD翻折得到射线OF，即∠BOD＝∠FOD，求证：OE平分∠AOF；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点O作OG⊥AB，当∠FOG：∠AOE＝2：3时，求∠COG的度数．
21．（1）三条直线相交，最少有　 　 个交点，最多有　 　 个交点，分别画出图形，并数出图中对顶角和邻补角的个数
（2）四条直线相交，最少有　 　 个交点，最多有　 　 个交点，分别画出图形，并数出图中对顶角和邻补角的个数
（3）依此类推，n条直线相交，最少有　 　 个交点，最多有　 　 个交点，对顶角有　 　 对，邻补角有　 　 对．
22．如图，三角形ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD、CE交于点O，F、G分别是AC、BC延长线上一点，且∠EOD+∠OBF＝180°，∠DBC＝∠G，指出图中两组平行线，并说明理由．
23．如图，已知点E在BD上，AE⊥CE且EC平分∠DEF．
（1）求证：EA平分∠BEF；
（2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD．
24．已知，如图，O为直线AB上一点，OC⊥AB于点O．点P为射线OC上一点，从点P引两条射线分别交直线AB于点D，E（点D在点O左侧，点E在点O右侧），过点O作OF∥PD交PE于点F，G为线段PD上一点，过G作GM⊥AB于点M．
（1）①依题意补全图形；
②若∠DPO＝63°，求∠EOF的度数；
（2）直接写出表示∠EOF与∠PGM之间的数量关系的等式．
25．如图，AB∥CD，P为定点，E，F分别是AB，CD上的动点．
（1）如图1，求证：∠P＝∠BEP+∠PFD；
（2）如图2，若M为CD上一点，∠FMN＝∠BEP，且MN交PF于点N，请判断∠EPF与∠PNM的关系，并证明你的结论；
（3）如图3，移动E、F使得∠EPF＝90°，作∠PEG＝∠BEP，则∠AEG与∠PFD有什么数量关系，并说明理由．
26．如图：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F．
（1）如图1，若∠E＝80°，求∠BFD的度数；
（2）如图2，若∠ABM∠ABF，∠CDM∠CDF，写出∠M与∠BED之间的数量关系，并说明理由；
（3）若∠ABM∠ABF，∠CDM∠CDF，设∠BED＝m°，直接写出用含m°，n的代数式表示∠M＝　 　 ．
27．完成下列推理过程
如图，M、F两点在直线CD上，AB∥CD，CB∥DE，BM、DN分别是∠ABC、∠EDF的平分线，求证：BM∥DN．
证明：∵BM、DN分别是∠ABC、∠EDF的平分线，
∠1∠ABC，∠3＝　 　 （ 　 　 ），
∵AB∥CD（已知），
∴∠1＝∠2，∠ABC＝　 　 （ 　 　 ），
∵CB∥DE（已知），
∴∠BCD＝　 　 （ 　 　 ），
∴∠ABC＝　 　 （ 　 　 ），
∴∠2＝　 　 （ 　 　 ），
∴BM∥DN （ 　 　 ）．
28．有一长方形纸带，E、F分别是边AD，BC上一点，∠DEF＝α度（0＜α＜90），将纸带沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2．
（1）如图1，当α＝30度时，∠GFC′＝　 　 度；
（2）如图2，若∠GFN＝4∠GFE，求α的值；
（3）作GP平分∠MGF交直线EF与点P，请直接写出∠GEP与∠GPE的数量关系　 　 ．
29．如图所示，CD∥EF，∠1+∠2＝∠ABC．求证：AB∥GF．
30．（1）如图1，已知AB∥CD，求证：∠BED＝∠1+∠2．
（2）如图2，已知AB∥CD，写出∠1、∠EGH与∠2、∠BEG之间数量关系，并加以证明．
（3）如图3，已知AB∥CD，直接写出∠1、∠3、∠5、与∠2、∠4、∠6之间的关系．
31．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上的两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
（1）如图①，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图②，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝35°，求∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图③，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．
32．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交AB，CD于点E，点F，EG平分∠BEF交CD于点G，且∠FEG＝∠FGE．
（1）判断直线AB与直线CF是否平行，并说明理由．
（2）如图2，点M是射线GF上一动点（不与点G，F重合），EN平分∠FEM交CD于点N，过点N作NH⊥EG 于点H，设∠ENH＝α，∠EMF＝β．
（温馨提示：在三角形ENH中，∠ENH+∠EHN+∠NEH＝180°）
①当点M在点F的左侧时，若α＝32°，求β的度数．
②当点M在运动过程中α和β之间有怎样的关系？写出你的猜想，并加以证明．
33．已知直线AB∥CD，点E、G分别为直线AB、CD上的点，点F是AB与CD之间任意一点，连接EF、GF．过直线AB上的另一点M作直线MN∥FG，直线MN交直线CD于点N．
（1）如图①，若∠FGD＝120°，求∠BMN的度数；
（2）如图①，求证：∠EFG＝∠BMN+∠MEF；
（3）如图②，点R是AB与CD之间除了点F外的任意一点，，，过点F作FG的垂线交CD于点H，连接MH，，∠FHD﹣∠AEF＝30°，求∠HMN的度数．
34．已知，如图1，射线PE分别与直线AB、CD相交于E、F两点，∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设∠PFM＝α，∠EMF＝β，且．
（1）α＝ 　 　 °，β＝ 　 　 °；直线AB与CD的位置关系是 　 　 ；
（2）如图2若点G在点M的左侧，点H是射线FM上一点，且∠MGH＝∠PNF，试找出∠FMN与∠GHF之间存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3），分别与AB、CD相交于点M′和N′时，作∠PM′B的角平分线M′Q与射线FM相交于点Q，问在旋转的过程中的值是否变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
35．如图，已知AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N．点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MA，NC上，连接PE，QE．
（1）如图1，若∠MNC＝70°，∠MPE＝30°，∠EQN＝50°，则∠AMN＝　 　 °，∠PEQ＝　 　 °；
（2）如图2，∠MPE的角平分线与∠CQE的角平分线相交于点F，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在第（2）问的条件下，当PE⊥QE时，若∠APE＝150°，∠MND＝110°，过点P作PH⊥QF交QF的延长线于点H．将直线MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为M′N，同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△F′PH′，当直线MN首次落到CD上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线M′N恰好平行于△F′PH′的PH′边或PF′边，请直接写出所有满足条件的t的值．
36．如图所示，已知射线CB∥OA，AB∥OC，∠C＝∠OAB＝100°．点E、F在射线CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化，找出变化规律，若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数，若不存在，请说明理由．
37．如图1，已知AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝110°．
（1）若∠E＝50°，请直接写出∠EFD的度数；
（2）探索∠BEF与∠EFD之间满足的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，FG的反向延长线交EP于点P．求∠P的度数．
38．如图，AB∥CD，点A，E，B，C不在同一条直线上．
（1）如图1，求证：∠E+∠C﹣∠A＝180°
（2）如图2．直线FA，CP交于点P，且∠BAF∠BAE，∠DCP∠DCE．
①试探究∠E与∠P的数量关系：
②如图3，延长CE交PA于点Q，若AE∥PC，∠BAQ＝α（0°＜α＜22.5°），则∠PQC的度数为　 　 （用含α的式子表示）

展开更多......

收起↑