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第10章二元一次方程组章末测试卷-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024）
一、单选题
1．在，，，中，是二元一次方程组的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．把方程化成用含x的代数式表示y的形式，以下各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．创新意识 老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解方程组，规则是每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，过程如图所示，且其中有一位同学的解题步骤出现错误，则解题中出现错误的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．方程组的解是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．若关于a、b二元一次方程组的解是，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．我国民间流传这样一道数学名题：
数学原题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两缺7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两） 其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？
设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
7．已知三元一次方程组，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若是二元一次方程，则 ， ．
10．若方程组与的解相同，则 ， ．
11．已知关于的方程组，其中，则的取值范围是 ．
12．试写一个二元一次方程，使它的解是这个方程可以是 ．
13．方程组的解为则被遮盖的■表示的数为 ．
14．已知的周长是，最长边与最短边之差为，最长边与最短边之和为，各边的长分别为 ．
15．对于三个数、、，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．
（1）若，则的值为 ．
（2）若，则 ．
16．今有井不知深，先将绳折作三条入井汲水，绳长四尺，后将绳折作四条入井，亦长一尺．问井深及绳长各若干．（选自《算法统宗》）题目大意：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等份放入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等份放入井中，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则可列方程组为 ．
三、解答题
17．解下列二元一次方程组：
(1)
(2)
18．已知方程组的解使式子的值等于，求的值．
19．一个三位数的各数位数字之和等于，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，如果把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小，求原三位数．
20．已知关于x，y的方程组与的解相同．
(1)求a，b的值．
(2)求的值．
21．先阅读，然后解方程组．
解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”．
请用这样的方法解方程组：
22．某蔬菜种植基地计划用中型和大型两种货车运送蔬菜，两种货车的载货情况如下表所示：
中型车（满载） 大型车（满载） 运货总量
4辆 3辆 54t
2辆 5辆 62t
(1)求一辆中型车和一辆大型车分别满载时能运输蔬菜的吨数；
(2)现计划一次性运送80吨蔬菜，且每辆车都必须满载．
①请你为该基地设计所有可行的租车方案；
②若中型车每辆租金为800元/次，大型车每辆租金为1200元/次，请你为该基地计算最少租车费用，并说明此时的租车方案．
《第10章二元一次方程组章末测试卷-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C A B A C B
1．B
【分析】本题考查了二元一次方程组的判断，根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1）进行判断即可．
【详解】解：方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组；
方程组 中，第二个方程中的次数为2，不是一次方程，故不是二元一次方程组；
方程组 中，含有3个未知数，故不是二元一次方程组；
方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组；
∴ 是二元一次方程组的有2个．
故选：B．
2．C
【分析】本题主要考查二元一次方程，把看作未知数，看作已知数即可求出．
【详解】解：∵，
∴两边同乘3去分母，得，
∴移项，得，
∴合并同类项，得，
∴系数化为1，得，即．
故选：C．
3．C
【分析】本题考查解二元一次方程组，根据等式的性质和四位同学的求解过程逐步检查即可．
【详解】解：由①得，显然甲同学正确
将③代入②得，显然乙同学正确
去分母得，显然丙同学错误，
由解得，代入③，得，显然丁同学正确，
故解题中出现错误的同学是丙，
故选：C．
4．A
【分析】本题考查解三元一次方程组，掌握解三元一次方程组的方法和步骤是解题关键．
根据加减消元法求解即可．
【详解】解：，
由，得，
解得：．
把代入，得，
解得：．
把，代入，得，
解得：．
故原方程组的解为．
故选：A．
5．B
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解是满足方程组中每个方程未知数的值是解题的关键．
将已知的a、b值代入方程组得到关于x、y的方程组，再通过方程变形求出的值．
【详解】解：∵关于a、b二元一次方程组的解是，
∴，化简得：，
得：，
去括号得：，
合并同类项得．
∴的值为3．
故选B．
6．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
根据“每人7两还缺7两，每人半斤多半斤”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设有个人，共分两银子，
根据题意，得．
故选：A．
7．C
【分析】本题考查三元一次方程组的简便求解，核心是运用整体思想，无需单独求解、、的具体值，通过将三个方程左右两边分别相加，可快速得到的值．
【详解】解：已知三元一次方程组，
将三个方程左右两边分别相加，得：，
即，
两边同时除以2，得：；
故选：C．
8．B
【分析】本题利用绝对值与平方的非负性，几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，由此列出三元一次方程组，通过解方程组求出x、y、z的值，再匹配选项即可．
【详解】解：
∵ 绝对值和平方数均为非负数，即，，
又∵
∴ 可得方程组：
① 解由(1)(2)组成的二元一次方程组：
给(2)式两边同乘3得： (4)，
(1)+(4)得：，
解得，
将代入(2)式得：，
解得，
② 将，代入(3)式得：，
解得，
∴ 方程组的解为，
故选：B．
9． 1 1
【分析】本题考查二元一次方程的定义，核心是明确二元一次方程需满足：含有两个未知数，且每个含未知数的项的次数均为1．先根据的项的次数为1列出关于的方程，求解得到的值；再将的值代入的项的次数为1的方程中，求解得到的值．
【详解】解：∵是二元一次方程，
∴，即，解得；
且，即，解得；
故答案为：，．
10．
【分析】本题考查同解方程组的求解，核心是利用“同解方程组的解相同”这一关键条件．解题思路：先解不含参数的方程组得到公共解、，再将、代入含参数的方程组，转化为关于、的二元一次方程组，最后求解该方程组得到、的值．
【详解】解：解方程组，得，
∵两个方程组的解相同，
∴将，代入，得，
解得，
故答案为：，．
11．
【分析】本题考查已知二元一次方程组的解的情况求参数．
通过将两个方程相减，得到的表达式，再根据，即可得的取值范围．
【详解】解：，
得，
∴，
∵
∴
∴
故答案为：．
12．（答案不唯一）
【分析】本题考查了二元一次方程的解的概念，掌握将已知解代入方程的一般形式，通过赋值构造方程是解题的关键．
根据二元一次方程的解，构造一个以，为解的方程即可．
【详解】解：设二元一次方程为，其中，，为常数，且和不为．
将，代入，得．
取，，则，因此方程可为．
经验证，当，时，成立．
故答案为：（答案不唯一）
13．
【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，关键是利用方程组的解满足每个方程的性质，通过设未知数建立等式求解．观察题目结构，假设第二个方程右边的被遮盖数与解中的被遮盖数为同一个数，先代入第二个方程求出的值，再将和代入第一个方程即可求出■表示的数．
【详解】解：设第二个方程右边的数和解中的值均为，
∵方程组的解为，
∴将，代入第二个方程，
得，解得；
将，代入第一个方程，
得；
故答案为：．
14．，，
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意，设的最长边为a，最短边为c，利用差与和的关系求出a和c，再通过周长求出第三边b．
【详解】解：设的最长边为a，最短边为c，第三边为b
则，
得，
解得；
得，
解得．
由周长，得，
解得．
故答案为：，，．
15． /
【分析】本题主要考查一元一次方程与二元一次方程组的解法，解题的关键是理解题意；
（1）分和两种情况进行讨论求解即可；
（2）设，根据，推出，即：，整理得到，即可得解．
【详解】解：（1）当时，则：，此时，满足题意；
当时，则：，解得：，
，
不符合题意；
；
故答案为：；
（2）设，
由题意知：，
，
当时，则：，
，
，
，
只有时，；
，
同理当：或时：，
当时，
，
即：，整理，得：，
，得：，
；
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了列二元一次方程组．
根据题意，绳子折成三等份时，每份绳长等于井深加4尺；折成四等份时，每份绳长等于井深加1尺，据此列出方程组即可．
【详解】解：设绳长为尺，井深为尺．
将绳子折成三等份，每份绳长为尺，根据题意，每份绳长比井深多4尺，因此，
将绳子折成四等份，每份绳长为尺，根据题意，每份绳长比井深多1尺，因此，
故列方程组为．
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法和代入消元法是解题的关键．
（1）利用代入消元法解答，即可求解；
（2）利用加减消元法解答，即可求解．
【详解】（1）解：，
由②得③，
将③代入①，得，
解得，
将代入③，得，
则方程组的解为；
（2）解：，
②①得，
解得，
将代入①，得，
则方程组的解为．
18．
【分析】本题考查三元一次方程组的求解与代数式求值，核心思路是先通过方程组消元，将、、用含的代数式表示，再代入给定的等式构建关于的一元一次方程，进而求出的值．
【详解】解：已知方程组，
①+②+③，得：，即④，
④-②，得；
④-③，得；
④-①，得；
∴，解得．
19．
【分析】本题考查三元一次方程组在数字问题中的应用，核心是掌握三位数的代数表示方法：原三位数可表示为(其中为百位数字，为十位数字，为个位数字)，并根据题目给出的三个等量关系构建方程组求解．首先设出三个数位的数字，根据“各数位数字和为”“个位与十位数字和比百位大2”“对调百位与十位后的新数比原数小”分别列出方程；接着化简第三个方程得到，再将第二个方程代入第一个方程求出的值；然后代入求出的值，最后代入第二个方程求出的值，进而组合得到原三位数．
【详解】解：设原三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为．
根据题意，列出方程组：，
化简得，
将②代入①，得：，解得：；
把代入③，得：，解得；
把，代入②，得：，解得；
原三位数为；
答：原三位数为．
20．(1)
(2)1
【分析】本题考查同解方程组．解题的关键是将不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，再进行求解．
（1）根据同解方程组，得到方程组 的解即是它们的公共解，求解后，再代入原方程组，得到 ，解方程组即可；
（2）将（1）中的结果代入计算即可．
【详解】（1）解：由于两个方程组的解相同，则有方程组
解得
把代入方程与中，
得
解得
（2）解：由（1）得
21．
【分析】本题考查二元一次方程的求解，解题的关键是根据题意掌握“整体代入法”；
由题意可知先对①移项得，再将其整体代入②中，即可得到答案．
【详解】解：由①，得③，
把③代入②，得，解得，
把代入③，得，解得，
故原方程组的解为．
22．(1)一辆中型车载货6吨，一辆大型车载货10吨
(2)①方案一：租用中型车0辆，大型车8辆；方案二：租用中型车5辆，大型车5辆；方案三：租用中型车10辆，大型车2辆；②最少费用9600元，方案为租中型车0辆，租用大型车8辆
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，有理数混合计算的应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设一辆中型车载货吨，一辆大型车载货吨，根据题意，列出方程组，即可求解；
（2）①设租用中型车辆，大型车辆，，根据题意，列出方程，结合，为非负整数，即可求解；②求出①中三种方案的租车费用，即可求解．
【详解】（1）解：设一辆中型车载货吨，一辆大型车载货吨，根据题意得：
，
解得，
答：一辆中型车载货6吨，一辆大型车载货10吨．
（2）解：①设租用中型车辆，大型车辆，根据题意得：
，
即，
∵，为非负整数，
∴，，中型车不租，大型车8辆；
，，租用中型车5辆，大型车5辆；
，，租用中型车10辆，大型车2辆；
综上所述，方案一：中型车0辆，租用大型车8辆；方案二：租用中型车5辆，大型车5辆；方案三：租用中型车10辆，大型车2辆；
②根据题意得：租车费用为元
方案一：（元）；
方案二：（元）；
方案三：（元）；
∵，
∴最少费用9600元，此时租车方案为租中型车0辆，租用大型车8辆．
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