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Z20 名校联盟(浙江省名校新高考研究联盟)2026 届高三第二次联考 数学试题卷
考生须知:
1. 本卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
2. 答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方.
3. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效.
4. 考试结束后, 只需上交答题卷.
第 I 卷
一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知 为虚数单位,若复数 满足 ，则 在复平面内对应的点在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
3. 若 的最小正周期为 ,则
A. 0 B. 1 C. D. 2
4. 已知点 在圆 上,直线 的斜率为 ( 是原点),则
A. B. 1 C. D.
5. 桌面上有以下四种几何体，设点 是几何体表面上的一点，任意转动几何体(均与桌面接触)， 则点 到桌面的距离最大的几何体是
A. 棱长为 1 的正方体 B. 表面积为 的球
C. 轴截面是边长为 1 的正方形的圆柱 D. 体积为 且轴截面为直角三角形的圆锥
6. 已知 是定义在 上且周期为 3 的奇函数,当 时, ,则
A. B. C. D.
7. 已知点 是 的重心，点 是 所在平面内一点. 若 ，且 ,则
A. B.
C. D.
8. 已知曲线 分别是曲线 的左、右焦点,点 是曲线 与 在第一象限的交点,点 在 上的射影是点 . 若 ,则曲线 的离心率是
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分, 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若数列 的前 项和 满足 ,则
A. B.
C. 为等比数列 D.
10. 在三棱锥 中, ,顶点 在底面 上的射影为 在 内部, 不含边界),点 在 上,则下列说法正确的有
A. 为 的垂心 B. 若 ，则 是等边三角形
C. 可能是直角三角形 D. 直线 与直线 的夹角可能为
11. 已知曲线 ,点 在曲线 上,下列说法正确的有
A. 曲线 是中心对称图形
B. 若 ,则 有最大值,无最小值
C. 存在两个定点 ,使得 为定值
D. 若直线 与曲线 交于 两点,与 轴交于点 ,与直线 交于点 ,则
第 II 卷
三、填空题:本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 的展开式中， 的系数为_____▲_____.
13. 若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线,则 _____▲_____.
14．有 5 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，从中有放回地随机取 3 次，每次取 1 个球. 记 为标有数字 的球被取出的次数， ，则 _____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
在 中，角 对应边分别是 . 已知 成等差数列，且 .
(1)求 的值；
(2)若 的外接圆半径为 ，求 的面积.
16. (本小题满分 15 分)
某高新区对 7 家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下:
企业
研发投入 x (万元) 300 600 900 1200 2000 2800 4000
年度专利产出数 y(件) 3 5 7 6 9 10 11
(1)现从这 7 家企业中随机抽取 1 家.记事件 :抽到的企业“研发投入不超过 2000 万元”； 事件 : 抽到的企业 “专利产出数超过 8 件”.
(i) 求条件概率 的值;
(ii) 判断事件 与 是否相互独立，并说明理由；
(2)从这 7 家企业中随机抽取 3 家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于 6 件的企业数为随机变量 ,求 的分布列和数学期望 .
17. (本小题满分 15 分)
在四棱锥 中,底面 为菱形, , 是 的中点, .
(1)当 时，证明: 平面 ；
(2)若 与平面 所成角的正弦值为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. (本小题满分 17 分)
已知抛物线: 焦点为 ,直线 与抛物线有且只有一个交点.
(1)求抛物线的方程；
(2)设抛物线的准线与 轴交于点 ,过点 作直线 与抛物线交于 两点.
(i) 若 的面积为 4,求直线 的方程;
(ii) 设 内切圆的半径为 ,求 的最大值.
19. (本小题满分 17 分)
已知 .
(1)讨论 的单调性;
(2)设 .
(i) 证明: ;
(ii) 证明: .
Z20 名校联盟(浙江省名校新高考研究联盟)2026 届高三第二次联考 数学参考答案
一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.)
1 2 3 4 5 6 7 8
D C A B D A C B
6. A 解析: 由已知得 ,所以 令 ,得 ,而 ,所以 . 选 A.
8. 解析: 由 ,设 ,
则 (*)
又由 得 ,代入 (*) 式得 ,
. 选 B.
二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9 10 11
ABD AB ACD
11.
对 ,显然曲线关于 对称,所以 正确;
对 ,
当且仅当 时,取等号,所以 有最小值,无最大值,所以 错误;
对 ,对曲线 ,不论 取何实数,都表示双曲线,由双曲线的定义可知, 正确;
对 ,联立直线 与曲线 的方程得 ,所以 ,
; 由 得 ; 显然 ,
所以 ,所以 ,所以 D 正确. 故本题选 ACD.
三、填空题(本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.)
12. 20
13.
14. 依题意, 的可能取值为 ,总的选取可能数为 ,
所以 ,故答案为: .
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分.)
15. (1)由 成等差数列知 ，又 得 ，
于是 ,设 ,则 ,
所以 . 7 分
(2)由(1)知 ，
由 得 ,所以 ,
所以 的面积 . 13 分
16. (1) (i) ; 4 分
(ii) 事件 与 不相互独立. 理由如下:
方法 1. 利用条件概率:
,所以 不独立;
方法 2.利用独立性定义:
所以 不独立;
7 分
(2)这 7 家企业中，专利产出数大于 6 的企业有 4 家，所以 的所有可能取值为 0,1,2,3,
( 服从超几何分布, )
故 的分布列为:
0 1 2 3
1 12 35 18 4 35
故 的数学期望 . 15 分
17. ( 1 )设 相交于点 ，在平面 内，过点 作 交 于点 (如图 1)， 由已知得 ，所以 ，所以点 为 中点，点 为 中点； 又点 为 中点，所以 ，且 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . 6 分
(图 1)。
(2)因为 ，所以 平面 ，
建立空间直角坐标系(如图 2). 设 ，则
由 得 ,而平面 的一个法向量为 ,
.
所以 是 的中点. 11 分
所以 ,而 ,设平面 的一个法向量为 ,则
令 ,则 ,
,
所以平面 与平面 夹角的余弦值 . 15 分
(注: 其他解法参考给分)
18. 解: (1) 由 得 ,由已知可得 , 所以抛物线方程为 ； 3 分
(2)(i)由(1)得 ，设 ，代入 得， ，
设 则 .
,所以 ,
所以直线 的方程为: 或 ; 8 分
(ii) 由 (i) 得 ,
,
周长 ,
由 周长 得 ,
, 12 分
令 ,则 ,
设 ,则 ,
显然 关于 是增函数.
令 ,则 ,
两边平方,化简整理得 ,此时对应的 值满足题意.
由于 关于 是递增函数, ,
所以当 时, ,所以 . 17 分
19. (1) .
①当 时， ，函数 在 是增函数；
②当 时， 在 上递减，在 是递增；
③ 当 时， 的定义域为 ，
在 上递增,在 是递减. 5 分
(2)(i)由(1)可得当 时， 在 上递减，在 是递增，
所以 , 7 分
,
,
.(*)9 分
要证原式成立,只需要证: .
① 当 中至少有一个不小于 1 时，上式显然成立； 10 分
② 当 都小于 1 时，
在 (*) 式中,令 ,则 ,同理可得 .
两式相加得 ,
因此 ; 12 分
(ii) 由 (*) 式得 ,
令 ,则 , 14 分
在上式中,分别令 ,并左右两边分别相加得
所以 . 17 分
(注:用错位相减法求和过程略)

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