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上海市奉贤区2025年中考一模数学试卷
一、【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（2025·奉贤模拟）在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角，图中是俯角的角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意，是俯角的是．
故答案为：C．
【分析】俯角是从观察者的眼睛到水平线下方的视线与水平线之间的夹角，据此判断得出答案.
2．（2025·奉贤模拟）下列多项式中，是完全平方式的为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】A. = ，故符合题意
B. = ，故不符合题意
C. = ，故不符合题意
D. = ，故不符合题意
故答案为：A
【分析】利用配方法分别转化为完全平方式的形式即可求解．
3．（2025·奉贤模拟）已知函数，其中常数、，那么这个函数的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数，其中常数、，
∴其图象经过一、二、三象限，不经过第四象限，
故答案为：D．
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，据此解答即可.
4．（2025·奉贤模拟）下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵原始矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，
A、此选项中的矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似，此选项不符合题意；
B、 此选项中的矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形不相似，此选项符合题意；
C、 此选项中的矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似，此选项不符合题意；
D、 此选项中的矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似，此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】对应角相等，对应边成比例的多边形就是相似多边形，据此利用方格纸的特点，找出各个选项所给矩形的长宽之比是否与题干所给矩形的长宽之比一致，即可判断得出答案.
5．（2025·奉贤模拟）如图，E是平行四边形ABCD的BA边的延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中，错误的是(　　).
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，
∴==，
∴==，故B、C选项都正确，不符合题意；
∵AF∥BC，
∴△EAF∽△EBC
∴=，故D选项正确，不符合题意，A选项错误，符合题意.
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等得到AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，再根据平行线分线段成比例得到==，用AB等量代换CD，得==，据此可判断B、C选项，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得出△EAF∽△EBC，由相似三角形对应边成比例得=，由此可判断A、D选项．
6．（2025·奉贤模拟）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断；数形结合
【解析】【解答】解：当时，一次函数经过一、三象限，二次函数开口向上，顶点在y轴的负半轴，B不符合，C符合要求；
当时，一次函数经过二、四象限，二次函数开口向上，顶点在y轴的正半轴，A、D选项均不符合题意.
故答案为：C．
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0时，图象过一、三象限；当a<0时，图象过二、四象限；二次函数y=ax2+c中，当a＞0时图象开口向上，当a＜0时，图象开口向下，对称轴是y轴，当c＞0时，图象顶点在y轴的正半轴，当c＜0时，图象顶点在y轴的负半轴，据此逐一判断得出答案.
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（2025·奉贤模拟）已知，那么　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】由两内项之积等于两外项之积得出y=3x，然后将y=3x代入目标式子，分子合并同类项后再约分化简即可.
8．（2025·奉贤模拟）函数的定义域是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：要使分式有意义，则分母，
即，
∴函数的定义域是，
故答案为：．
【分析】根据分式有意义的条件是“分母不能为零”列出不等式，求解即可得出答案.
9．（2025·奉贤模拟）已知一个斜坡的坡角为，坡度为，那么　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求余弦值
【解析】【解答】解：∵坡度，
∴设斜坡的垂直高度为，则水平宽度为，
∴由勾股定理可得斜坡长度为，
∴，
故答案为：．
【分析】坡比等于坡面的垂直高度与水平距离的比值，据此结合题意可设斜坡的垂直高度为，则水平宽度为，由勾股定理可表示出斜坡长度，再由余弦函数的定义求解即可．
10．（2025·奉贤模拟）已知正比例函数，如果y的值随着x的增大而增大，那么m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数，y的值随着x的增大而增大，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】正比例函数，当时，y的值随着x的增大而增大，当时，y的值随着x的增大而减小，据此列出关于字母m的不等式，求解即可得出m的取值范围.
11．（2025·奉贤模拟）已知是单位向量，向量与的方向相反，且长度为，那么用表示是　 　．
【答案】
【知识点】实数与向量相乘运算法则
【解析】【解答】解：∵的长度为，向量是单位向量，
∴，
又∵向量与的方向相反，
∴，
故答案为：．
【分析】根据单位向量的定义可得=1，结合的长度为，可得，从而即可得出，然后根据向量既是有大小又是有方向的量，当两个向量方向相同时，它们之间的关系是正相关，当两个向量的方向相反时，它们之间的关系是负关系，据此即可得出答案.
12．（2025·奉贤模拟）在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与x轴正半轴的夹角为，如果，那么点P坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：如图，过点P作轴于点M，
∵，，
∴，
∴，
∴点．
故答案为：．
【分析】过点P作轴于点M，利用正弦函数的定义结合的正弦函数值列出方程，再代入OP=10可求出PM的长，进而利用勾股定理算出OM的长，即可得到点P的坐标.
13．（2025·奉贤模拟）如果点M把线段分割成和两段，其中是与的比例中项，那么的值为　 　．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：根据题意，，则，
∵是与的比例中项，
∴，
整理，得
解得
∴，（舍去），
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，据此列出比例式，求解用含AB的式子白实处AM，进而根据BM=AB-AM表示出BM，从而即可求出两条线段的比值.
14．（2025·奉贤模拟）一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是　 　．
【答案】
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：原正方形面积为（平方厘米），
边长减少厘米后，新正方形边长为厘米，面积为平方厘米，
则，
故答案为：．
【分析】先根据正方形面积计算公式计算出原正方形的面积及正方形的面积，根据整式加减法运算法则求出原始面积与新的面积的差即可.
15．（2025·奉贤模拟）如图，点是的角平分线的中点，点、分别在、边上，线段过点，且，那么和的面积比是　 　．
【答案】
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：点是的中点，
，
是的角平分线，
，
又，即，
，
；
，，
，
，
和的面积比是，
故答案为：．
【分析】由有两组角对应相等的两个三角形相似证△DAM∽△CAT，由相似三角形对应边成比例得出，再由有两组角对应相等的两个三角形相似证 △ADE∽△ACB，最后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得出结论.
16．（2025·奉贤模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别为两腰上的中线，且BD⊥CE，则tan∠ABC=　 　．
【答案】3
【知识点】等腰梯形的性质；等腰梯形的判定；等腰直角三角形；三角形的中位线定理；求正切值
【解析】【解答】解：如图，连接DE，过E点作EF⊥BC，垂足为F，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
设DE=2x，
依题意，得DE为△ABC的中位线，
∴BC=4x，DE∥BC，
∴∠AED=∠B=∠ADE=∠ACB，
∴AE=AD，
∴AB-AD=AC-AD，即BE=DC，
∴四边形BCDE为等腰梯形，
∴BF= (BC DE)=x，则FC=3x，BD=CE，
∴△DBC≌△ECB
∴∠DBC=∠ECB
∵BD⊥CE，
∴△BCG为等腰直角三角形，
∵EF⊥BC，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴EF=CF=3x，
在Rt△BEF中，EF=3x，BF=x，
∴tan∠ABC===3.
故答案为：3.
【分析】连接DE，过E点作EF⊥BC于点F，设DE=2x，由三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半得出BC=4x，DE∥BC；由等边对等角及平行线的性质推出∠AED=∠B=∠ADE=∠ACB，再根据等角对等边得出AE=AD，推出BE=DC，故四边形BCDE为等腰梯形，根据等腰梯形的性质可知，BF=（BC-DE）=x，BD=CE，则FC=3x，从而用“SSS”证△DBC≌△ECB，由全等三角形的对应角相等得∠DBC=∠ECB，可得△BCG与△CEF都为等腰直角三角形，则EF=CF=3x，最后根据正切函数的定义可求出∠ABC的正切值.
17．（2025·奉贤模拟）二次函数的图象经过点，其中m、n为常数，那么的值为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵是抛物线图象上的点，
∴抛物线的对称轴为直线，，
∴，
∴抛物线变形为，
把代入得；
把代入，得，
∴．
故答案为：．
【分析】由抛物线的对称性结合B、D两点的纵坐标相同得抛物线的对称轴为直线，由点A的坐标可得，抛物线变形为，然后将B、C两点的坐标分别代入抛物线解析式用含a的式子表示出m、n，即可求出m、n的比值.
18．（2025·奉贤模拟）如图，和中，，点M在边上，点N在边上，分割所得的两个三角形分别与分割所得的两个三角形相似，那么线段的长是　 　．
【答案】4或
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；根据三角函数值（范围）判断锐角的大小；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
如图，分的两个三角形与分的两个三角形相似，
当时，有，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，，则有，
∴，即，
又，
∴；
同理，当分的两个三角形相似存在
当时，有，
∴，
同理，当时，，
∴，
又，
∴，
∴；
综上，的长是4或．
故答案为：4或．
【分析】由正切函数定义判断出∠C≠∠F，利用勾股定理算出BC=5；分类讨论：①当△ACM∽△FDN，△AMB∽△END时，由相似三角形对应边成比例求出CM=DN，BM=DN，然后由BC=CM+BM建立方程求出DN；②当△ACM∽△EDN1，△ABM∽△FDN1时，由相似三角形对应边成比例求出CM=DN1，BM=DN1，然后由BC=CM+BM建立方程求出DN1，综上即可得出答案.
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（2025·奉贤模拟）计算：
【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值，然后根据乘方运算法则、二次根式性质，绝对值性质、有理数乘法法则分别计算，再分母有理化，最后计算实数的加减法运算即可.
20．（2025·奉贤模拟）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么称这个点为三倍点．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点，求二次函数的解析式．
【答案】解：设反比例函数解析式为 ，
∵经过点，
∴，
∴反比例函数为，
设三倍点坐标为，代入反比例函数得 ，
解得：或，
则三倍点为或，
把，，代入二次函数得：
解得，
∴二次函数解析式为：．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，然后根据三倍点的定义及反比例函数图象上点的坐标特点求出反比例函数图象上的三倍点，最后用待定系数法求出二次函数解析式．
21．（2025·奉贤模拟）如图，，与相交于点，点F在上，．
（1）求的长；
（2）设，用含的式子表示．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴．
，
∵与高相同，
∴．
∴
∴
又∵
∴
∴．
∴
（2）解：∵，，，
∴，
∵
∴
∴EF∥CD，
又∵CD∥AB，
∴
∴
又∵，则，
∴
∴，
∴
【知识点】向量的线性运算；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△ABE∽△CDE，由相似三角形对应边成本比例得出；根据同高三角形的面积之比等于对应底之比求出，从而由两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似得出，进而根据相似三角形的对应边成比例建立方程即可求出EF的长.
（2）根据（1）可得，则，根据相似三角形的对应角相等得出∠AEF=∠ACD，由同位角相等，两直线平行推出EF∥DC，进而根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出EF∥AB，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得出△DEF∽△DBA，由相似三角形对应边成比例得出，可得，结合平面向量的加减运算即可得出结论即可求得答案．
（1）解：∵，
∴，
∴．
，
∵与高相同，
∴．
∴
∴
又∵
∴
∴．
∴
（2）∵，，，
∴，
∵
∴
∴
∴
又∵，则，
∴
∴，
∴
22．（2025·奉贤模拟）桔槔是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度．
如图所示，线段代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段是无弹力、固定长度的麻绳，绳长米，木质杠杆米．
（1）当水桶C的位置低于地面米（如图1所示），支架与绳子之间的距离是米，且，求这个桔槔支架的高度；
（2）向上提水桶C上升到地面上方米（如图2所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度．
【答案】（1）解：如图1，过点A作于点N，
∵，，
∴（米），
∴（米），
∴，
∵，米，
∴，米，
∴米，
设与地面的交点为G，
则米，四边形是矩形，
∴，
∵米，
∴米，
∴米．
（2）解：如图2，过点A作于点Q，过点C作于点P，过点O作于点K，
则米，四边形是矩形，
∴米，
∵米，
∴米，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴米，
根据（1）得（米），
∴此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度为米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点A作于点N，根据余切函数定义结合 ∠ B的余切函数值可求出BH的长，然后根据勾股定理算出OB的长，根据二直线平行，同位角相等得出∠AON=∠B，由等角的同名三角函数值相等结合余弦函数的定义求出ON的长，易得四边形AGMN是矩形，由矩形对边相等得出MN=AG，最后根据OM=ON+MN可算出答案；
（2）如图2，过点A作于点Q，过点C作于点P，过点O作于点K，易得四边形ACPQ是矩形，由矩形对边相等得出PQ=AC=3米，然后根据OQ=OM-PQ-MP算出OQ的长，由根据二直线平行，同位角相等得出∠AOQ=∠B，由等角的同名三角函数值相等结合余弦函数的定义求出BK的长，结合（1）的结论即可求出答案.
（1）解：如图1，过点A作于点N，
∵，，
∴（米），
∴（米），
∴，
∵，米，
∴，米，
∴米，
设与地面的交点为G，
则米，四边形是矩形，
∴，
∵米，
∴米，
∴米．
（2）解：如图2，过点A作于点Q，过点C作于点P，
过点O作于点K，
则米，四边形是矩形，
∴米，
∵米，
∴米，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴米，
根据（1）得（米），
∴此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度为米．
23．（2025·奉贤模拟）已知，如图，在中，点D在边上，点M、N在边上，是线段与的比例中项，分别交于点E、F．
（1）求证：；
（2）若点O为边的中点，连接，且，求证：．
【答案】（1）证明：∵是线段与的比例中项，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：在上截取，连接，
∵点O为边的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
【知识点】三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得，由相似三角形对应边成比例且对应角相等得到，，结合，由有两组角相等的两个三角形相似得，由相似三角形的性质得到，，由邻补角及等角的补角相等得，结合，再用有两组角相等的两个三角形相似证明，由相似三角形对应边成比例得出，等量代换即可得出结论；
（2）在上截取，连接，由三角形的中位线平行第三边得出，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得△ABD∽△ACB，由相似三角形对应角相等得出∠ABD=∠ACB，由等量代换得出∠ABD=∠BDQ，从而根据内错角相等，两直线平行线得出DQ∥AB，最后根据平行同一直线的两条直线互相平行得出ON∥AB.
（1）证明：∵是线段与的比例中项，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：在上截取，连接，
∵点O为边的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
24．（2025·奉贤模拟）在直角坐标平面中，直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，抛物线与y轴交于点B．
（1）求点C的坐标；
（2）点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当时，求点M的坐标；
（3）将原抛物线顶点C平移到直线上，记作点，新抛物线与y轴的交点记作点，当时，求的长．
【答案】（1）解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴点的横坐标为，
将直线向下平移5个单位后得到的解析式为，
∵直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，
∴在中，当时，，即；
（2）解：在中，令，则，即：，
∵点M在抛物线对称轴上，
∴点的横坐标为，
如图，作轴于，轴于，
则，，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点的纵坐标为，即：点的纵坐标为，
∴；
（3）解：将代入，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
设，则新抛物线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴，
如图，点在直线上，作轴于，
则，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得：或，
当时，，
当时，，
综上所述，的长为或．
【知识点】等腰直角三角形；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换；二次函数图象的平移变换；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【分析】（1）先根据抛物线对称轴直线公式求出点的横坐标为-4，再根据直线平移规律“左移加右移减，上移加下移减”求出直线平移后的解析式，然后将x=-4代入计算出对应的函数值，即可求出点C的坐标；
（2）令抛物线y=ax2+8ax+2中的x=0算出对应的函数值可得点B的坐标；根据点的坐标与图形性质可得点的横坐标为-4；作轴于，轴于，可得MD、CE、BE及OE的长，从而可证得△BCE为等腰直角三角形，则，进而根据角的构成及等式性质证得，由等角同名三角函数值相等可得，结合正切函数定义建立方程求出，进而得出点的纵坐标为，从而即可得到点M的坐标；
（3）将点C的坐标代入y=ax2+8ax+2求出，得到抛物线的解析式，根据点的坐标与图形性质设，则新抛物线的解析式为，根据抛物线与y轴交点坐标特点表示出点B1的坐标，由两点间的距离公式表示出BB1；作轴于，再根据两点间的距离公式表示出B1G，，可证得为等腰直角三角形，于是可得，据此建立方程，求解得出m的值，即可求出BB1的长.
（1）解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴点的横坐标为，
将直线向下平移5个单位后得到的解析式为，
∵直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，
∴在中，当时，，即；
（2）解：在中，令，则，即：，
∵点M在抛物线对称轴上，
∴点的横坐标为，
如图，作轴于，轴于，
则，，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点的纵坐标为，即：点的纵坐标为，
∴；
（3）解：将代入，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
设，则新抛物线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴，
如图，点在直线上，作轴于，
则，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得：或，
当时，，
当时，，
综上所述，的长为或．
25．（2025·奉贤模拟）如图，矩形中，，点E在射线上，点F在射线上，且，射线与对角线交于点G，与射线交于点M．
（1）当点E在线段上时，求的正切值；
（2）当G是中点时，求的值；
（3）当，且与相似时，直接写出的长．
【答案】（1）解：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，，，
由（1）得，
∴点四点共圆，
∴，
∵G是中点，
∴点是矩形的中心，
∴点三点共线，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，即，
∴平行四边形是菱形，
∴，
设，则，
再设，则，
在中，，即，
解得，
∴；
（3）解：当，且与相似时，的长为或．
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【解答】（3）解：∵，
∴，当点E在线段上时，
∵，
∴当时，，
∵点四点共圆，
∴，
∴，
设，
由（1）得，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，
解得，
∴；
当点E在延长线上时，
∵，
∴当时，，
同理点四点共圆，
∴，
∵，
∴，，
设，
同理得，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，
解得，
∴；
综上，当，且与相似时，的长为或．
【分析】（1）根据矩形的性质、角的构成及同角的余角相等推出∠ADE=∠CDF，从而由有两组角相等的两个三角形相似得出△ADE∽△CDF，由相似三角形对应边成比例推出得到，再根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可证明，由相似三角形对应角相等得到，由等角的同名三角函数值相等，再利用正切函数的定义即可求解；
（2）证明根据确定圆的条件判断出点四点共圆，由同弧所对的圆周角相等得出，易得点是矩形的中心，故B、G、D三点共线，由矩形对角线互相平分得出DG=BG；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得出△EAG∽△MCG，由相似三角形对应边成比例求出EG=MG，从而根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得出四边形BMDE是菱形，由菱形四边相等得出BE=BM=DM；设，则，再设，则，在中，利用勾股定理求得，据此求解即可；
（3）①当点E在线段BA上时，当时，，由同弧所对的圆周角相等得出； 设，则，由两组角对应相等的两个三角形相似证明，推出；再由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似证明，利用相似三角形的对应边成比例式计算可求得的长；②当点E在延长线上时， 当时，， 由同弧所对的圆周角相等得， 由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得出，利用相似三角形的对应边成比例列式计算可求得的长．
（1）解：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，，，
由（1）得，
∴点四点共圆，
∴，
∵G是中点，
∴点是矩形的中心，
∴点三点共线，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，即，
∴平行四边形是菱形，
∴，
设，则，
再设，则，
在中，，即，
解得，
∴；
（3）解：∵，
∴，当点E在线段上时，
∵，
∴当时，，
∵点四点共圆，
∴，
∴，
设，
由（1）得，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，
解得，
∴；
当点E在延长线上时，
∵，
∴当时，，
同理点四点共圆，
∴，
∵，
∴，，
设，
同理得，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，
解得，
∴；
综上，当，且与相似时，的长为或．
1 / 1上海市奉贤区2025年中考一模数学试卷
一、【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（2025·奉贤模拟）在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角，图中是俯角的角是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·奉贤模拟）下列多项式中，是完全平方式的为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·奉贤模拟）已知函数，其中常数、，那么这个函数的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2025·奉贤模拟）下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·奉贤模拟）如图，E是平行四边形ABCD的BA边的延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中，错误的是(　　).
A． B． C． D．
6．（2025·奉贤模拟）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（2025·奉贤模拟）已知，那么　 　．
8．（2025·奉贤模拟）函数的定义域是　 　．
9．（2025·奉贤模拟）已知一个斜坡的坡角为，坡度为，那么　 　．
10．（2025·奉贤模拟）已知正比例函数，如果y的值随着x的增大而增大，那么m的取值范围是　 　．
11．（2025·奉贤模拟）已知是单位向量，向量与的方向相反，且长度为，那么用表示是　 　．
12．（2025·奉贤模拟）在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与x轴正半轴的夹角为，如果，那么点P坐标为　 　．
13．（2025·奉贤模拟）如果点M把线段分割成和两段，其中是与的比例中项，那么的值为　 　．
14．（2025·奉贤模拟）一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是　 　．
15．（2025·奉贤模拟）如图，点是的角平分线的中点，点、分别在、边上，线段过点，且，那么和的面积比是　 　．
16．（2025·奉贤模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别为两腰上的中线，且BD⊥CE，则tan∠ABC=　 　．
17．（2025·奉贤模拟）二次函数的图象经过点，其中m、n为常数，那么的值为　 　．
18．（2025·奉贤模拟）如图，和中，，点M在边上，点N在边上，分割所得的两个三角形分别与分割所得的两个三角形相似，那么线段的长是　 　．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（2025·奉贤模拟）计算：
20．（2025·奉贤模拟）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么称这个点为三倍点．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点，求二次函数的解析式．
21．（2025·奉贤模拟）如图，，与相交于点，点F在上，．
（1）求的长；
（2）设，用含的式子表示．
22．（2025·奉贤模拟）桔槔是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度．
如图所示，线段代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段是无弹力、固定长度的麻绳，绳长米，木质杠杆米．
（1）当水桶C的位置低于地面米（如图1所示），支架与绳子之间的距离是米，且，求这个桔槔支架的高度；
（2）向上提水桶C上升到地面上方米（如图2所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度．
23．（2025·奉贤模拟）已知，如图，在中，点D在边上，点M、N在边上，是线段与的比例中项，分别交于点E、F．
（1）求证：；
（2）若点O为边的中点，连接，且，求证：．
24．（2025·奉贤模拟）在直角坐标平面中，直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，抛物线与y轴交于点B．
（1）求点C的坐标；
（2）点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当时，求点M的坐标；
（3）将原抛物线顶点C平移到直线上，记作点，新抛物线与y轴的交点记作点，当时，求的长．
25．（2025·奉贤模拟）如图，矩形中，，点E在射线上，点F在射线上，且，射线与对角线交于点G，与射线交于点M．
（1）当点E在线段上时，求的正切值；
（2）当G是中点时，求的值；
（3）当，且与相似时，直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意，是俯角的是．
故答案为：C．
【分析】俯角是从观察者的眼睛到水平线下方的视线与水平线之间的夹角，据此判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】A. = ，故符合题意
B. = ，故不符合题意
C. = ，故不符合题意
D. = ，故不符合题意
故答案为：A
【分析】利用配方法分别转化为完全平方式的形式即可求解．
3．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数，其中常数、，
∴其图象经过一、二、三象限，不经过第四象限，
故答案为：D．
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，据此解答即可.
4．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵原始矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，
A、此选项中的矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似，此选项不符合题意；
B、 此选项中的矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形不相似，此选项符合题意；
C、 此选项中的矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似，此选项不符合题意；
D、 此选项中的矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似，此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】对应角相等，对应边成比例的多边形就是相似多边形，据此利用方格纸的特点，找出各个选项所给矩形的长宽之比是否与题干所给矩形的长宽之比一致，即可判断得出答案.
5．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，
∴==，
∴==，故B、C选项都正确，不符合题意；
∵AF∥BC，
∴△EAF∽△EBC
∴=，故D选项正确，不符合题意，A选项错误，符合题意.
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等得到AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，再根据平行线分线段成比例得到==，用AB等量代换CD，得==，据此可判断B、C选项，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得出△EAF∽△EBC，由相似三角形对应边成比例得=，由此可判断A、D选项．
6．【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断；数形结合
【解析】【解答】解：当时，一次函数经过一、三象限，二次函数开口向上，顶点在y轴的负半轴，B不符合，C符合要求；
当时，一次函数经过二、四象限，二次函数开口向上，顶点在y轴的正半轴，A、D选项均不符合题意.
故答案为：C．
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0时，图象过一、三象限；当a<0时，图象过二、四象限；二次函数y=ax2+c中，当a＞0时图象开口向上，当a＜0时，图象开口向下，对称轴是y轴，当c＞0时，图象顶点在y轴的正半轴，当c＜0时，图象顶点在y轴的负半轴，据此逐一判断得出答案.
7．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】由两内项之积等于两外项之积得出y=3x，然后将y=3x代入目标式子，分子合并同类项后再约分化简即可.
8．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：要使分式有意义，则分母，
即，
∴函数的定义域是，
故答案为：．
【分析】根据分式有意义的条件是“分母不能为零”列出不等式，求解即可得出答案.
9．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求余弦值
【解析】【解答】解：∵坡度，
∴设斜坡的垂直高度为，则水平宽度为，
∴由勾股定理可得斜坡长度为，
∴，
故答案为：．
【分析】坡比等于坡面的垂直高度与水平距离的比值，据此结合题意可设斜坡的垂直高度为，则水平宽度为，由勾股定理可表示出斜坡长度，再由余弦函数的定义求解即可．
10．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数，y的值随着x的增大而增大，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】正比例函数，当时，y的值随着x的增大而增大，当时，y的值随着x的增大而减小，据此列出关于字母m的不等式，求解即可得出m的取值范围.
11．【答案】
【知识点】实数与向量相乘运算法则
【解析】【解答】解：∵的长度为，向量是单位向量，
∴，
又∵向量与的方向相反，
∴，
故答案为：．
【分析】根据单位向量的定义可得=1，结合的长度为，可得，从而即可得出，然后根据向量既是有大小又是有方向的量，当两个向量方向相同时，它们之间的关系是正相关，当两个向量的方向相反时，它们之间的关系是负关系，据此即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】点的坐标；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：如图，过点P作轴于点M，
∵，，
∴，
∴，
∴点．
故答案为：．
【分析】过点P作轴于点M，利用正弦函数的定义结合的正弦函数值列出方程，再代入OP=10可求出PM的长，进而利用勾股定理算出OM的长，即可得到点P的坐标.
13．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：根据题意，，则，
∵是与的比例中项，
∴，
整理，得
解得
∴，（舍去），
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，据此列出比例式，求解用含AB的式子白实处AM，进而根据BM=AB-AM表示出BM，从而即可求出两条线段的比值.
14．【答案】
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：原正方形面积为（平方厘米），
边长减少厘米后，新正方形边长为厘米，面积为平方厘米，
则，
故答案为：．
【分析】先根据正方形面积计算公式计算出原正方形的面积及正方形的面积，根据整式加减法运算法则求出原始面积与新的面积的差即可.
15．【答案】
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：点是的中点，
，
是的角平分线，
，
又，即，
，
；
，，
，
，
和的面积比是，
故答案为：．
【分析】由有两组角对应相等的两个三角形相似证△DAM∽△CAT，由相似三角形对应边成比例得出，再由有两组角对应相等的两个三角形相似证 △ADE∽△ACB，最后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得出结论.
16．【答案】3
【知识点】等腰梯形的性质；等腰梯形的判定；等腰直角三角形；三角形的中位线定理；求正切值
【解析】【解答】解：如图，连接DE，过E点作EF⊥BC，垂足为F，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
设DE=2x，
依题意，得DE为△ABC的中位线，
∴BC=4x，DE∥BC，
∴∠AED=∠B=∠ADE=∠ACB，
∴AE=AD，
∴AB-AD=AC-AD，即BE=DC，
∴四边形BCDE为等腰梯形，
∴BF= (BC DE)=x，则FC=3x，BD=CE，
∴△DBC≌△ECB
∴∠DBC=∠ECB
∵BD⊥CE，
∴△BCG为等腰直角三角形，
∵EF⊥BC，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴EF=CF=3x，
在Rt△BEF中，EF=3x，BF=x，
∴tan∠ABC===3.
故答案为：3.
【分析】连接DE，过E点作EF⊥BC于点F，设DE=2x，由三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半得出BC=4x，DE∥BC；由等边对等角及平行线的性质推出∠AED=∠B=∠ADE=∠ACB，再根据等角对等边得出AE=AD，推出BE=DC，故四边形BCDE为等腰梯形，根据等腰梯形的性质可知，BF=（BC-DE）=x，BD=CE，则FC=3x，从而用“SSS”证△DBC≌△ECB，由全等三角形的对应角相等得∠DBC=∠ECB，可得△BCG与△CEF都为等腰直角三角形，则EF=CF=3x，最后根据正切函数的定义可求出∠ABC的正切值.
17．【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵是抛物线图象上的点，
∴抛物线的对称轴为直线，，
∴，
∴抛物线变形为，
把代入得；
把代入，得，
∴．
故答案为：．
【分析】由抛物线的对称性结合B、D两点的纵坐标相同得抛物线的对称轴为直线，由点A的坐标可得，抛物线变形为，然后将B、C两点的坐标分别代入抛物线解析式用含a的式子表示出m、n，即可求出m、n的比值.
18．【答案】4或
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；根据三角函数值（范围）判断锐角的大小；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
如图，分的两个三角形与分的两个三角形相似，
当时，有，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，，则有，
∴，即，
又，
∴；
同理，当分的两个三角形相似存在
当时，有，
∴，
同理，当时，，
∴，
又，
∴，
∴；
综上，的长是4或．
故答案为：4或．
【分析】由正切函数定义判断出∠C≠∠F，利用勾股定理算出BC=5；分类讨论：①当△ACM∽△FDN，△AMB∽△END时，由相似三角形对应边成比例求出CM=DN，BM=DN，然后由BC=CM+BM建立方程求出DN；②当△ACM∽△EDN1，△ABM∽△FDN1时，由相似三角形对应边成比例求出CM=DN1，BM=DN1，然后由BC=CM+BM建立方程求出DN1，综上即可得出答案.
19．【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值，然后根据乘方运算法则、二次根式性质，绝对值性质、有理数乘法法则分别计算，再分母有理化，最后计算实数的加减法运算即可.
20．【答案】解：设反比例函数解析式为 ，
∵经过点，
∴，
∴反比例函数为，
设三倍点坐标为，代入反比例函数得 ，
解得：或，
则三倍点为或，
把，，代入二次函数得：
解得，
∴二次函数解析式为：．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，然后根据三倍点的定义及反比例函数图象上点的坐标特点求出反比例函数图象上的三倍点，最后用待定系数法求出二次函数解析式．
21．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴．
，
∵与高相同，
∴．
∴
∴
又∵
∴
∴．
∴
（2）解：∵，，，
∴，
∵
∴
∴EF∥CD，
又∵CD∥AB，
∴
∴
又∵，则，
∴
∴，
∴
【知识点】向量的线性运算；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△ABE∽△CDE，由相似三角形对应边成本比例得出；根据同高三角形的面积之比等于对应底之比求出，从而由两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似得出，进而根据相似三角形的对应边成比例建立方程即可求出EF的长.
（2）根据（1）可得，则，根据相似三角形的对应角相等得出∠AEF=∠ACD，由同位角相等，两直线平行推出EF∥DC，进而根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出EF∥AB，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得出△DEF∽△DBA，由相似三角形对应边成比例得出，可得，结合平面向量的加减运算即可得出结论即可求得答案．
（1）解：∵，
∴，
∴．
，
∵与高相同，
∴．
∴
∴
又∵
∴
∴．
∴
（2）∵，，，
∴，
∵
∴
∴
∴
又∵，则，
∴
∴，
∴
22．【答案】（1）解：如图1，过点A作于点N，
∵，，
∴（米），
∴（米），
∴，
∵，米，
∴，米，
∴米，
设与地面的交点为G，
则米，四边形是矩形，
∴，
∵米，
∴米，
∴米．
（2）解：如图2，过点A作于点Q，过点C作于点P，过点O作于点K，
则米，四边形是矩形，
∴米，
∵米，
∴米，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴米，
根据（1）得（米），
∴此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度为米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点A作于点N，根据余切函数定义结合 ∠ B的余切函数值可求出BH的长，然后根据勾股定理算出OB的长，根据二直线平行，同位角相等得出∠AON=∠B，由等角的同名三角函数值相等结合余弦函数的定义求出ON的长，易得四边形AGMN是矩形，由矩形对边相等得出MN=AG，最后根据OM=ON+MN可算出答案；
（2）如图2，过点A作于点Q，过点C作于点P，过点O作于点K，易得四边形ACPQ是矩形，由矩形对边相等得出PQ=AC=3米，然后根据OQ=OM-PQ-MP算出OQ的长，由根据二直线平行，同位角相等得出∠AOQ=∠B，由等角的同名三角函数值相等结合余弦函数的定义求出BK的长，结合（1）的结论即可求出答案.
（1）解：如图1，过点A作于点N，
∵，，
∴（米），
∴（米），
∴，
∵，米，
∴，米，
∴米，
设与地面的交点为G，
则米，四边形是矩形，
∴，
∵米，
∴米，
∴米．
（2）解：如图2，过点A作于点Q，过点C作于点P，
过点O作于点K，
则米，四边形是矩形，
∴米，
∵米，
∴米，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴米，
根据（1）得（米），
∴此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度为米．
23．【答案】（1）证明：∵是线段与的比例中项，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：在上截取，连接，
∵点O为边的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
【知识点】三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得，由相似三角形对应边成比例且对应角相等得到，，结合，由有两组角相等的两个三角形相似得，由相似三角形的性质得到，，由邻补角及等角的补角相等得，结合，再用有两组角相等的两个三角形相似证明，由相似三角形对应边成比例得出，等量代换即可得出结论；
（2）在上截取，连接，由三角形的中位线平行第三边得出，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得△ABD∽△ACB，由相似三角形对应角相等得出∠ABD=∠ACB，由等量代换得出∠ABD=∠BDQ，从而根据内错角相等，两直线平行线得出DQ∥AB，最后根据平行同一直线的两条直线互相平行得出ON∥AB.
（1）证明：∵是线段与的比例中项，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：在上截取，连接，
∵点O为边的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
24．【答案】（1）解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴点的横坐标为，
将直线向下平移5个单位后得到的解析式为，
∵直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，
∴在中，当时，，即；
（2）解：在中，令，则，即：，
∵点M在抛物线对称轴上，
∴点的横坐标为，
如图，作轴于，轴于，
则，，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点的纵坐标为，即：点的纵坐标为，
∴；
（3）解：将代入，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
设，则新抛物线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴，
如图，点在直线上，作轴于，
则，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得：或，
当时，，
当时，，
综上所述，的长为或．
【知识点】等腰直角三角形；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换；二次函数图象的平移变换；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【分析】（1）先根据抛物线对称轴直线公式求出点的横坐标为-4，再根据直线平移规律“左移加右移减，上移加下移减”求出直线平移后的解析式，然后将x=-4代入计算出对应的函数值，即可求出点C的坐标；
（2）令抛物线y=ax2+8ax+2中的x=0算出对应的函数值可得点B的坐标；根据点的坐标与图形性质可得点的横坐标为-4；作轴于，轴于，可得MD、CE、BE及OE的长，从而可证得△BCE为等腰直角三角形，则，进而根据角的构成及等式性质证得，由等角同名三角函数值相等可得，结合正切函数定义建立方程求出，进而得出点的纵坐标为，从而即可得到点M的坐标；
（3）将点C的坐标代入y=ax2+8ax+2求出，得到抛物线的解析式，根据点的坐标与图形性质设，则新抛物线的解析式为，根据抛物线与y轴交点坐标特点表示出点B1的坐标，由两点间的距离公式表示出BB1；作轴于，再根据两点间的距离公式表示出B1G，，可证得为等腰直角三角形，于是可得，据此建立方程，求解得出m的值，即可求出BB1的长.
（1）解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴点的横坐标为，
将直线向下平移5个单位后得到的解析式为，
∵直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，
∴在中，当时，，即；
（2）解：在中，令，则，即：，
∵点M在抛物线对称轴上，
∴点的横坐标为，
如图，作轴于，轴于，
则，，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点的纵坐标为，即：点的纵坐标为，
∴；
（3）解：将代入，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
设，则新抛物线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴，
如图，点在直线上，作轴于，
则，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得：或，
当时，，
当时，，
综上所述，的长为或．
25．【答案】（1）解：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，，，
由（1）得，
∴点四点共圆，
∴，
∵G是中点，
∴点是矩形的中心，
∴点三点共线，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，即，
∴平行四边形是菱形，
∴，
设，则，
再设，则，
在中，，即，
解得，
∴；
（3）解：当，且与相似时，的长为或．
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【解答】（3）解：∵，
∴，当点E在线段上时，
∵，
∴当时，，
∵点四点共圆，
∴，
∴，
设，
由（1）得，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，
解得，
∴；
当点E在延长线上时，
∵，
∴当时，，
同理点四点共圆，
∴，
∵，
∴，，
设，
同理得，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，
解得，
∴；
综上，当，且与相似时，的长为或．
【分析】（1）根据矩形的性质、角的构成及同角的余角相等推出∠ADE=∠CDF，从而由有两组角相等的两个三角形相似得出△ADE∽△CDF，由相似三角形对应边成比例推出得到，再根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可证明，由相似三角形对应角相等得到，由等角的同名三角函数值相等，再利用正切函数的定义即可求解；
（2）证明根据确定圆的条件判断出点四点共圆，由同弧所对的圆周角相等得出，易得点是矩形的中心，故B、G、D三点共线，由矩形对角线互相平分得出DG=BG；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得出△EAG∽△MCG，由相似三角形对应边成比例求出EG=MG，从而根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得出四边形BMDE是菱形，由菱形四边相等得出BE=BM=DM；设，则，再设，则，在中，利用勾股定理求得，据此求解即可；
（3）①当点E在线段BA上时，当时，，由同弧所对的圆周角相等得出； 设，则，由两组角对应相等的两个三角形相似证明，推出；再由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似证明，利用相似三角形的对应边成比例式计算可求得的长；②当点E在延长线上时， 当时，， 由同弧所对的圆周角相等得， 由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得出，利用相似三角形的对应边成比例列式计算可求得的长．
（1）解：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，，，
由（1）得，
∴点四点共圆，
∴，
∵G是中点，
∴点是矩形的中心，
∴点三点共线，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，即，
∴平行四边形是菱形，
∴，
设，则，
再设，则，
在中，，即，
解得，
∴；
（3）解：∵，
∴，当点E在线段上时，
∵，
∴当时，，
∵点四点共圆，
∴，
∴，
设，
由（1）得，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，
解得，
∴；
当点E在延长线上时，
∵，
∴当时，，
同理点四点共圆，
∴，
∵，
∴，，
设，
同理得，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，
解得，
∴；
综上，当，且与相似时，的长为或．
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