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四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校2024-2025学年下学期九年级入学考试数学试题
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1．（2025九下·锦江开学考）如图所示几何体的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左边看是长方形，由几何体上边半圆凹槽底边看不见用虚线表示是C．
故答案为：C．
【分析】左视图是从几何体左边看得到的平面图形，能看见的轮廓线画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线，该结合体的左视图是一个矩形中有一条水平虚线，从而判断得出答案.
2．（2025九下·锦江开学考）为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村BA”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（　　）
A．53 B．55 C．58 D．64
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：把这组数据从小到大排列后为50、51、55、55、61、64，
∴这组数据的中位数为（55+55）÷2=55.
故答案为：B.
【分析】将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可.
3．（2025九下·锦江开学考）下列说法正确的个数是（　　）
①平分弦的直径，必垂直于这条弦； ②长度相等的弧叫做等弧；
③三点确定一个圆； ④同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【知识点】圆的相关概念；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径，必垂直于这条弦，故①不符合题意；
②能够互相重合的弧叫做等弧，故②不符合题意；
③不共线三点确定一个圆，故③不符合题意；
④同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等或互补，故④不符合题意，
故没有正确的．
故答案为：A.
【分析】根据垂径定理的推论“ 平分弦（不是直径）的直径，必垂直于这条弦 ”可判断①；根据等弧的定义“ 能够互相重合的弧叫做等弧 ”可判断②；根据u确定圆的条件“不在同一直线上的三点确定一个圆”可判断③；根据圆心角、弧、弦的关系“同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等或互补”可判断④.
4．（2025九下·锦江开学考）如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交 O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（　　）
A．40° B．55° C．70° D．110°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接OB，OC，
∵∠D＝70°，
∴∠BOC＝2∠D＝140°，
∵OA⊥BC，
∴∠COA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA（180°﹣70°）＝55°，
故答案为：B．
【分析】连接OB，OC，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得到∠BOC＝2∠D＝140°，根据等腰三角形的三线合一得到∠COA，根据等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠OAC的度数.
5．（2025九下·锦江开学考）如图，是⊙的直径，点C为圆上一点，的平分线交于点D，，则⊙的直径为（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图：过D作DE⊥AB，垂足为E
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵∠ABC的角平分线BD
∴DE=DC=1
在Rt△DEB和Rt△DCB中
DE=DC、BD=BD
∴Rt△DEB≌Rt△DCB（HL）
∴BE=BC
在Rt△ADE中，AD=AC-DC=3-1=2
AE=
设BE=BC=x，AB=AE+BE=x+
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2
则（x+）2=32+x2，解得x=
∴AB=+=2
故答案为：B
【分析】过D作DE⊥AB垂足为E，根据圆周角的性质和角平分线的性质得到DE=DC=1，再根据全等三角形判定定理可得Rt△DEB≌Rt△DCB，则BE=BC，再根据勾股定理可得AE，设BE=BC=x，AB=AE+BE=x+，最后根据勾股定理列出方程，解方程即可求出答案.
6．（2025九下·锦江开学考）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺寸），则圆柱形木材直径是（　　）
A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸
【答案】D
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：1尺寸．
根据题意可得（寸）．
设圆的半径为寸，
在中，的长为寸，
则，
∴，
，
这块圆柱形木材的直径是：（寸）．
故答案为：D．
【分析】 根据垂径定理得出（寸） ，设圆的半径为寸，则OD=(R-1)寸，在Rt△ADO中，根据勾股定理建立方程可求R的值，进而即可得到该圆形木材的直径.
7．（2025九下·锦江开学考）如图，四边形是的内接四边形，，，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；求特殊角的三角函数值；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】如图，延长AD，BC，二线交于点E，
∵∠B=90°，∠BCD=120°，
∴∠A=60°，∠E=30°，∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠EDC= 90°，
在Rt△CDE中，
tan30°=，
∴DE==，
在Rt△ABE中，
sin30°=，
∴AB==4，
∴AD=AE-DE=，
故答案为：C.
【分析】如图，延长AD，BC，二线交于点E，由圆内接四边形的对角互补求出∠A=60°，∠ADC=90°，由三角形的内角和定理可求得∠E=30°，在Rt△CDE中，利用∠E的正切函数及特殊锐角三角函数值可求出DE，在Rt△ABE中，利用∠E的正弦函数及特殊锐角三角函数值可算出AE，最后根据AD=AE-DE求解即可.
8．（2025九下·锦江开学考）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（　　）
A． B．
C．周长的最小值是 D．是的一个根
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；坐标系中的两点距离公式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：A、根据图象知，对称轴是直线x=-=1，则b=-2a，即2a+b=0，故A正确；
B、根据图象知，点A的坐标为(-1，0)，对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3，0)，
∴x=3时，y=9a+3b+3=0，
∴9a-6a+3=0，
∴3a+3=0，
∴a=-1
∴a>-，故B正确；
C、点A关于x=1对称的点是A (3，0)，即抛物线与x轴的另一个交点，
连接BA 与直线x=1的交点即为点P，
则△PAB的周长的最小值是(BA +AB)的长度，
∵A(-1，0)，B(0，3)，A (3，0)，
∴AB=，BA =，
即△PAB周长的最小值为+，故C错误；
D、根据图象知，点A的坐标为(-1，0)，对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(3，0)，所以是的一个根，故D正确．
故答案为：C．
【分析】根据对称轴直线方程“”求得a、b的数量关系即可判断A；根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(3，0)，将该点坐标代入抛物线解析式得到3a+3=0，从而将可判断B选项；根据抛物线的对称性可得点PA=PA'，则△PAB周长的最小值是BP+AP=BP+A'P，当P、A、B三点共线时，BP+AP最小等于A'P，利用两点间距离公式求出AB、A'P的长，求△PAB周长的最小值即可判断C；根据方程ax2+bx+3=0的解就是函数y=ax2+bx+3与x轴交点的横坐标，可判断D选项.
二、填空题（共5个小题，每小题4分，满分20分）
9．（2025九下·锦江开学考）分解因式：(x2﹣2x)2﹣(2x﹣x2)＝　 　．
【答案】x(x﹣2)(x﹣1)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：(x2 2x)2 (2x x2) =(x2 2x)2+(x2 2x) =(x2 2x)(x2 2x+1) =x(x 2)(x 1)2
故答案为：x(x﹣2)(x﹣1)2.
【分析】先提取公因式（x2-2x），然后将所得两个因式一个利用提取公因式法，另一个利用完全平方公式继续分解到每一个因式都不能再分解为止.
10．（2025九下·锦江开学考）若 ，则=　 　．
【答案】
【知识点】分母有理化；求特殊角的三角函数值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【解答】解：，
∴原式
．
故答案为：．
【分析】先代入特殊锐角三角函数值求出a的值；然后将括号内的整式“1”看成，利用那个同分母分式减法法则计算括号内的部分，并将除式的分子利用完全平方公式分解因式，同时根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法，约分化简，最后将a的值代入化简结果合并后，进行分母有理化即可.
11．（2025九下·锦江开学考）如图，分别以线段AB的两个端点A，B为圆心，大于AB为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，点C为直线MN上一点，连接CB，CA，以C为圆心，CB长为半径作弧，交AC的延长线于点D，连接BD．若∠BDC＝25°，则∠BAC的度数为 　 　．
【答案】65°
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由作图可得MN是线段AB的垂直平分线，且BC=CD
∴AC=BC=CD，
，
，
，
故答案为：．
【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等及同圆半径相等得CB=CD=CA，由等边对等角得∠D=∠CBD=25°，由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和求出，最后再根据等边对等角及三角形内角和定理可得求出 ∠ BAC的度数．
12．（2025九下·锦江开学考）如图，是圆O的直径，弦相交于点E，若，且点C是弧的中点，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：连接．
∵是圆O的直径，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵点C是弧的中点，
∴ ∠DAC=∠BDC=34°，
∴ ∠DCA=∠BEC-∠BDC=22°.
故答案为：22°.
【分析】连接AD，由直径所对的圆周角等于90°得∠ADB=90°，由直角三角形两锐角互余及对顶角相等得到∠DAC=34°，由等弧所对的圆周角相等得∠DAC=∠BDC=34°，最后根据三角形外角的性质即可求出∠DCA的度数.
13．（2025九下·锦江开学考）点A，B，C在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是　 　
【答案】或
【知识点】勾股定理的逆定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图设圆心为，连接、，
∵弦的长度等于圆半径的倍，
即，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
情况一点在的位置，
可得．
情况二点在的位置，
有，
∴，
故答案为：或．
【分析】设圆心为O，连接OA、OB，如图，先根据勾股定理的逆定理判断出△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB=90°； 因为不知道点C的位置，需要分点C在弦AB所对的劣弧与优弧上两种情况，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半及圆内接四边形的对角互补确定∠ACB的度数.
三、解答题（共5小题，满分48分）
14．（2025九下·锦江开学考）（1）计算：．
（2）解方程：
【答案】解：（1）
；
（2），
∴，
∴，
∴或，
解得：，；
【知识点】因式分解法解一元二次方程；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）代入特殊锐角三角函数值，同时根据负整数指数幂的法则“”、0指数幂的法则“a0=1(a≠0)”及绝对值性质分别化简，然后计算二次根式的乘法，最后计算实数的加减法运算即可得出答案；
（2）将方程右边提取公因式后整体移到方程的左边，然后方程左边再利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
15．（2025九下·锦江开学考）假期，六盘水市教育局组织部分教师分别到A．B．C．D四个地方进行新课程培训，教育局按定额购买了前往四地的车票．如图1是未制作完成的车票种类和数量的条形统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）若去C地的车票占全部车票的30%，则去C地的车票数量是 张，补全统计图．
（2）若教育局采用随机抽取的方式分发车票，每人一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么余老师抽到去B地的概率是多少？
（3）若有一张去A地的车票，张老师和李老师都想要，决定采取旋转转盘的方式来确定．其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9，如图2所示．具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给李老师，否则票给张老师（指针指在线上重转）．试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平．
【答案】解：（1）30，
补全统计图如下：
（2）余老师抽到去B地的概率是；
（3）根据题意列表如下：
　 1 2 3 4
7 8 9 10 11
8 9 10 11 12
9 10 11 12 13
∵两个数字之和是偶数时的概率是.
∴票给李老师的概率是.
∴这个规定对双方公平.
【知识点】条形统计图；游戏公平性；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）（20+40+10）÷（1-30%）=100，
100×30%=30张，
故答案为：30；
【分析】（1）根据统计图及题干提供的信息，用去A、B、D三地的车票总数除以所占的百分比求出本次参培教师的总数，再用本次参培教师的总数乘以去C地参培教师的人数所占比例即得去C地的车票数量，从而补全统计图；
（2）用去B地的车票数除以总的车票数即可求出余老师抽到去B地的概率；
（3）根据题意用列表法列举出转动两个转盘，两个指针指向的两个数字之和的所有情况，由表可知所有等可能的情况数有12种，其中指针指向的两个数字之和是偶数时的情况数有6种，然后根据概率公式求出两个数字之和是偶数时的概率，即可求出这个规定对双方是否公平.
16．（2025九下·锦江开学考）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，）
【答案】解：∵，杆子垂直于地面，长8尺．
∴，即，
∵，
∴，即，
∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．
∴春分和秋分时日影长度为．
答：春分和秋分时日影长度9.2尺．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】在Rt△ABC中，利用∠ACB的正切函数求出BC的长，在Rt△ABD中，利用∠D的正切函数求出BD的长，最后根据“春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数”求解即可.
17．（2025九下·锦江开学考）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的直径，过点A作AE⊥BD于点E，延长BD交AC延长线于点F．
（1）若AE＝4，AB＝5，求⊙O的半径；
（2）若BD＝2DF，求sin∠ACB的值．
【答案】（1）连接OA，
∵AE=4，AB=5，AE⊥BD，
∴，即，
∴BE=3，
设⊙O半径为，
在Rt△OAE中，OA=OB=，OE=，AE=4，
∴，即，
解得：，
∴⊙O半径为；
（2）连接CD，设OA交BC于点H，
∵AB=AC，
∴=，即点A为的中点，
∴OA垂直平分BC，
∴OA⊥BC，
∵BD为直径，
∴∠BCD=90°，
∵∠BHO=∠BCD=90°，BO=OD，
∴OH∥CD，CD =2OH，
设OH=，则CD=，
∵BD=2DF，
∴OD=DF，
∴CD =OA，
∴OA=，
则AH=，
在Rt△BOH中，OB=OA=，OH=，
∴，即，
∴，
在Rt△BAH中，，
∴，
∵AB=AC，
∴sin∠ACB=．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；求正弦值；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OA，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得BE的长，设半径为， 在Rt△OAE中，利用勾股定理构建方程即可求解；
（2）连接CD，设OA交BC于点H，先由垂径定理的凸轮证得OA⊥BC，由直径所对的圆周角为直角得出∠BCD=90°，由同位角相等两直线平行推出OH∥CD，设OH=，由三角形中位线定理推出CD=，OA=，则AH=，在Rt△BOH中，利用勾股定理求得，进而在Rt△BAH中，利用勾股定理求得，最后根据正弦函数的定义求解即可.
18．（2025九下·锦江开学考）如图①，已知点A在反比例函数（x＞0）的图象上，点B在经过点（－2，1）的反比例函数（x＜0）的图象上，连结OA，OB，AB.
（1）求k的值；
（2）若∠AOB＝90°，求∠OAB的度数；
（3）将反比例函数（x＞0）的图像绕坐标原点O逆时针旋转45°得到曲线l，过点E ，F的直线与曲线l相交于点M，N，如图②所示，求△OMN的面积.
【答案】解：（1）∵把点（-2，1）代入反比例函数（x＜0），∴k=-2×1=-2，
（2）如图，过点B作BC⊥x轴，过点A作AD⊥x轴，
设点B（a，-），点A（b，）
∴CO=-a，BC=-，AD=，OD=b
∵∠AOB=90°，
∴∠BOC+∠AOD=90°，且∠BOC+∠CBO=90°，
∴∠AOD=∠CBO，且∠BCO=∠ADO=90°
∴△BCO∽△ODA
∴
∴
∴ab=-2
∴
∴tan∠BAO=
∴∠BAO=30°
（3）∵点E ，F
∴OE⊥OF
建立如图2新的坐标系，OF为x’轴，OE为y’轴，
在新的坐标系中，E（0，8），F（4，0）代入y’=kx’+b
求得直线EF的解析式为y’=-2x’+8
由
解得或
∴M（1，6），N（3，2）
∴S△OMN= S△OFM- S△OFN=
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）把点（-2，1）代入反比例函数即可求出k的值；
（2）过点B作BC⊥x轴，过点A作AD⊥x轴，根据反比例函数图象上点的坐标特点，设点B（a，-），点A（b，），则CO=-a，BC=-，AD=，OD=b，由直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等推出∠AOD=∠CBO，从而利用两组角相等的两个三角形相似得△BCO∽△ODA，由相似三角形对应边成比例得出ab=，则 ，进而根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值可求出∠BAO=30°；
得出ab=-2，求得 tan∠BAO=，故∠BAO=30°；
（3）由点的坐标与图形性质易得OE⊥OF，建立新的坐标系，OF为x'轴，OE为y'轴，在新坐标系中，E（0，8），F（4，0），利用待定系数法求得直线EF的解析式为y'=-2x'+8，联立直线EF与曲线l的解析式，求解得出M（1，6），N（3，2），然后根据 S△OMN= S△OFM- S△OFN 列式计算即可.
四、填空题（共5个小题，每个小题4分，满分20分）
19．（2025九下·锦江开学考）如果α、β是一元二次方程x2+3x-2=0的两个根，则=　 　．
【答案】2026
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2+3x-2=0的两个根，
∴α2+3α-2=0即α2+3α=2，a+β=-3，
∴α2+2α-β+2021=（α2+3α）-（α+β）+2021=2-（-3）+2021=2026，
故答案为：2026．
【分析】若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则有x1+x2=-，x1x2=，据此结合题意可求出a+β=-3，然后根据方程根的定义可得α2+3α=2，进而利用配方法举哀那个待求式子变形为（α2+3α）-（α+β）+2021，从而整体代入计算可得答案.
20．（2025九下·锦江开学考）从，0，1，2，3这7个数中任意选一个数作为m的值，使关于x的分式方程：的解是负数，且使关于x的函数图象在每个象限y随x的增大而增大的概率为　 　．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组；反比例函数的性质；概率公式
【解析】【解答】解：，
解得，，
∵方程的解是负数，
∴，
解得：且，
∵关于x的函数图象在每个象限y随x的增大而增大，
∴，
∴，
∴，且，
∴或0或1或2，有4种可能，
故概率为，
故答案为：．
【分析】将m作为系数，解分式方程，用含m的式子表示出x=-m-3，由该分式方程的解是负数，列出关于字母m的不等式组，求解得出m的取值范围；由反比例函数中，当k＞0时，图象两支分布在一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，图象两支分布在二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，据此结合题意列出不等式m-3＜0，求解得出m的取值范围，综上即可确定出符合题意的m的值，最后根据概率公式计算即可得出答案.
21．（2025九下·锦江开学考）如图，点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为，点D坐标为．若线段AB和线段CD间存在某种变换关系，即其中一条线段绕某点旋转一个角度后可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是　 　
【答案】或
【知识点】点的坐标；旋转的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图所示：
∵点A坐标为，点B坐标为，
∴点E的坐标为；
②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点N，如图所示：
∵点A坐标为，点B坐标为，
∴点N的坐标为，
综上所述：这个旋转中心的坐标为或；
故答案为：或．
【分析】分类讨论：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等可得旋转中心一定在线段AC与BD的垂直平分线上，故结合方格纸的特点，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心，然后结合点A的坐标写出点E的坐标即可；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，同理分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点N，点N即为旋转中心，然后结合点A的坐标写出点N的坐标即可.
22．（2025九下·锦江开学考）图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．
（1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为　 　；
（2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度　 　．
【答案】；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：（1）如图，以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，
设，则抛物线的表达式为，
∵，
∴点的横坐标为6，
∵，
∴，
∵，
∴点的纵坐标为，
∴设，
将点的坐标代入抛物线表达式得： ，
解得：，
∴抛物线的表达式为：，
∵点在第一象限，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，
∴旋转前与水平方向的夹角为，
设直线的解析式为，
将代入解析式，得，
∴，
∴直线的解析式为，
联立①②得：，
整理得：，
∴，，
∴，
∴，
由的表达式知，其和轴的夹角为，则，
故答案为：．
【分析】（1）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，设，则抛物线的表达式为，然后根据抛物线的对称性得，，利用待定系数法求出抛物线的表达式以及的值，最后求的值；
（2）根据题意，得旋转前与水平方向的夹角为，然后设直线的解析式为，利用待定系数法即可求出直线的解析式，接下来联立①②并整理得关于的一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系得，，结合完全平方公式得，即可求出的值.
23．（2025九下·锦江开学考）如图，将两块不同的等腰直角三角板和三角板放置在正方形中，直角顶点重合，点分别在边上，，若较小的斜边长为，则的长为 　 　，较长的斜边长为 　 　．
【答案】；
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，分别过作的平行线，作交于点，连接，
∵四边形是正方形，
，
，
∴四边形都是矩形，
，
由题意可知：，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，
，
，，
在中，根据勾股定理得：，
，
，
，
解得，
，
，
故答案为：．
【分析】分别过作的平行线，作交于点，连接，由正方形的对边平行及平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥CD∥RQ∥GP，AD∥BC∥OM，由有一个内角为直角的平行四边形是矩形得出四边形MBQO、四边形PCDG、四边形QPGR都是矩形，由矩形的对边相等得AB=BC=CD=GP=10，GD=PC，结合等腰直角三角形的性质，由“SAS”证明，由全等三角形的对应边相等得EC=FG；再利用“HL”再证明，由全等三角形的对应边相等可得，设，在Rt△BEF中，根据勾股定理得到，因为，得到，求出，最后根据勾股定理即可算出CG的长.
五、解答题（第24题满分8分，第25题满分10分，第26题满分12分）
24．（2025九下·锦江开学考）某书店以每本30元的价格购进一批图书进行销售，物价局根据市场行情规定这种图书的销售单价不低于42元且不高于62元．在销售中发现，该种图书每天的销售数量y（本）与销售单价x（元）之间存在某种函数关系，对应如表：
销售单价x（元） 43 45 47 49 …
销售数量y（本） 54 50 46 42 …
（1）用你所学过的函数知识，求出y与x之间的函数关系式；
（2）请问该种图书每天的销售利润w（元）的最大值是多少？
（3）如果该种图书每天的销售利润必须不少于600元，试确定该种图书销售单价x的范围．
【答案】（1）解：由表格可知：当销售单价每提高2元，则销售数量减少4件，故y与x之间存在一次函数的关系，
设其解析式为 ，
将x=43，y=54；x=45，y=50代入解析式得：
，
解得： ，
，
由题意得：，
（）；
（2）解：根据题意得∶ ，
整理得： ，
，
∴当x=50时，w有最大值为800元，
∴该种图书每天的销售利润的最大值是800元；
（3）解： 当w=600时，可得： ，
解得：（舍） ，
由二次函数的图象可得：
当 时，该种图书每天的销售利润不少于600元．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）由表格可知y与x之间存在一次函数的关系， 设其解析式为y=kx+b，然后将x=43，y=54；x=45，y=50分别代入 y=kx+b ，可得关于字母k、b的二元一次方程组，求解得出k、b的值，从而即可求出y关于x的函数解析式；
（2）根据总利润=每本图书的利润×每天的销售数量得出w和x之间的关系式，再利用二次函数求最值的方法求解即可；
（3）将w=600代入（2）所求函数解析式，算出对应的自变量x值，再根据二次函数的性质及自变量的取值范围求解即可．
（1）解：由表格可知：当销售单价每提高2元，则销售数量减少4件，故y与x之间存在一次函数的关系，设其解析式为： ，
将x=43，y=54；x=45，y=50代入解析式得：
，
解得： ，
，
由题意得：，
（）；
（2）根据题意得∶ ，
整理得： ，
，
∴当x=50时，w有最大值为800元，
∴该种图书每天的销售利润的最大值是800元；
（3）当w=600时，可得： ，
解得：（舍） ，
由二次函数的图象可得：
当 时，该种图书每天的销售利润不少于600元．
25．（2025九下·锦江开学考）如图，在平面直角坐标系，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点是直线上方的抛物线上一点，连接、、，与轴交于．
①点是轴上一动点，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，求出线段的长；
②点为轴左侧抛物线上一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，请直接写出点的坐标．
【答案】解：（1）将、、代入得，
解得：
抛物线的解析式为：；
（2）①将代入中，
得，
解得或（舍去）
，
、，
，，，
，
，
，
，
（I）当时，
与点重合，
（II）当时，
，
，
，
故：的长为或；
②或．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（2）②（I）过点作于点，过点作于点，
，
又，
，
，
，
，
，
，，
直线的解析式为，
，
，
，
，
，
，
又，
点的纵坐标为，代入中，得：或（舍去）
，
，，，
设，则，，
，
解得，，
点的横坐标为，代入，得：，
点的坐标为．
（II）过点作，过点作于点，过点作于点，
，
，
由（I）知：，则，
，
又，
，
，
，
由（I）知：
则，
设，则，
，，
，
，，又，
，代中，得，或（舍去）
，
点的横坐标为，代入，得，．
点的坐标为
综合以上可得点的坐标为或．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）①将点E（m，2）代入（1）所求抛物线解析式算出m的值，得到点E的坐标，利用两点间的距离公式得出AB，AE，BE长度，根据勾股定理的逆定理判断出∠AEB=90°，由直角三角形两锐角互余及同角的余角相等证得，然后分为与两种情况进行讨论即可；
② （I）过点作于点，过点作于点， 由平角的定义、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得出∠CHN=∠MGH，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得出HN∥AB，由二直线平行，同位角相等得∠CHN=∠APE=∠MGH；利用待定系数法求出直线CE的解析式，根据直线与x轴交点的坐标特点求出点P的坐标，利用两点间的距离公式求出PE=EB，由等边对等角及已知推出，由内错角相等，两直线平行得出GC∥PB，根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相同得出点G的纵坐标为3，将点G的纵坐标代入抛物线解析式算出对应的自变量x的值，即可得到MN的长；由等角的同名三角函数值相等得，结合正切函数的定义可设，则，，进而根据MN=MH+HN建立方程求解得出m的值，可得点H的横坐标，再将点H的横坐标代入直线CE的解析式算出对应的函数值，即可得到点H的坐标；（II）过点作，过点作于点，过点作于点，由二直线平行，内错角相等得，由（I）知：，则，由同角的余角相等得，结合已知推出，由等角的同名三角函数值性质结合正切函数的定义得，设，则，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△HMG∽△CNH，由相似三角形对应边成比例得出NH=2a，CN=4a，从而可得点，将点G的坐标代入抛物线解析式算出a的值，可得CN的长，即可得到点H的横坐标。将点H的横坐标代入直线CE的就是算出对应的函数值，即可得到点H的坐标，综上可得答案.
26．（2025九下·锦江开学考）已知四边形为矩形，对角线、相交于点，．点E、F为矩形边上的两个动点，且．
（1）如图1，当点E、F分别位于、边上时，若，求证：；
（2）如图2，当点E、F同时位于边上时，若，试说明与的数量关系；
（3）如图3，当点E、F同时在边上运动时，将沿所在直线翻折至，取线段的中点Q．连接，若，则当最短时，求之长．
【答案】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，∠DAB=90°，
∵AD=AO，
∴AD=AO=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠DOA=∠DAO=∠ADO=60°，
∴
（2）解：结论：AF=2BE．
理由：如图2中，将△OAF绕点O逆时针旋转120°得到△OBJ，连接JE．
由（1）得：
∵∠EOF=60°，
∴∠BOJ+∠BOE=∠AOF+∠BOE=60°，
∴∠EOJ=∠EOF，
∵OE=OE，
∴△EOF≌△EOJ（SAS），
∴∠OEF=∠OEJ，
∵∠OFB=75°，∠OBF=30°，
∴∠BOF=75°，
∴∠BOE=75°-60°=15°，
∴∠FEO=∠BOE+∠OBE=45°，
∴∠OEF=∠OEJ=45°，
∴∠JEB=∠JEF=90°，
∵∠OBJ=∠OAF=30°，∠OBE=30°，
∴∠EBJ=60°，
∴∠EJB=90°-60°=30°，
∴BJ=2BE，
∵AF=BJ，
∴AF=2BE．
（3）解：如图3中，连接BP．
由翻折可知：OF=OP，∠EOF=∠EOP=60°，
∴∠FOP=∠AOB=120°，
∴∠AOF=∠BOP，
∵OA=OB，
∴△OAF≌△OBP（SAS），
∴∠OBP=∠OAF=30°，AF=BP，
∵∠OBC=60°，
∴∠PBC=30°，
如图3-1中，当QP⊥PB时，PQ的值最小，作FH⊥OA于H，OM⊥PF于M．
在Rt△PQB中，
∵∠QPB=90°，∠PBQ=30°，，
∴
在Rt△AFH中，
∴
∴
∵
∴
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）如图1，由矩形性质得∠DAB=90°，OA=OD=OB，结合AD=AO，由三边相等的三角形是等边三角形得△OAD为等边三角形，由等边三角形每个内角都为60°得∠DOA=∠DAO=∠ADO=60°，由角的构成及等边对等角得∠OAB=∠OBA=30°，由三角形的内角和定理求出，从而根据等角对等边得出BO=BE，可得结论；
（2）将△OAF绕点O逆时针旋转120°得△OBJ，连接JE，由旋转性质得，易得∠EOJ=∠EOF，从而利“SAS”证△EOF≌△EOJ，由全等三角形的对应角相等得∠OEF=∠OEJ，然后根据三角形内角和定理、角的构成推出∠BOE=75°-60°=15°，根据三角形外角性质求出∠OEF=∠OEJ=45°，则∠JEB=90°，进而求出∠EJB=30°，根据含30°角直角三角形的性质可得，结合，从而可得结论；
（3）如图3中，连接BP，由翻折可知：OF=OP，∠EOF=∠EOP=60°，进而可推出∠AOF=∠BOP，用“SAS”证△OAF≌△OBP，由全等三角形的性质得∠OBP=∠OAF=30°，AF=BP，由角的构成推出∠PBC=30°；如图3-1中，当QP⊥PB时，PQ的值最小，作FH⊥OA于H，OM⊥PF于M，利用含的直角三角形的性质及勾股定理求得PB，AF， 再根据线段和差及勾股定理求出HF、AH、OH、OF，再根据等腰三角形的三线合一得出FP=2FM，由含30°角直角三角形的性质求出OM，最后再利用勾股定理求出FM即可．
1 / 1四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校2024-2025学年下学期九年级入学考试数学试题
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1．（2025九下·锦江开学考）如图所示几何体的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025九下·锦江开学考）为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村BA”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（　　）
A．53 B．55 C．58 D．64
3．（2025九下·锦江开学考）下列说法正确的个数是（　　）
①平分弦的直径，必垂直于这条弦； ②长度相等的弧叫做等弧；
③三点确定一个圆； ④同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（2025九下·锦江开学考）如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交 O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（　　）
A．40° B．55° C．70° D．110°
5．（2025九下·锦江开学考）如图，是⊙的直径，点C为圆上一点，的平分线交于点D，，则⊙的直径为（　　）
A． B． C．1 D．2
6．（2025九下·锦江开学考）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺寸），则圆柱形木材直径是（　　）
A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸
7．（2025九下·锦江开学考）如图，四边形是的内接四边形，，，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．2
8．（2025九下·锦江开学考）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（　　）
A． B．
C．周长的最小值是 D．是的一个根
二、填空题（共5个小题，每小题4分，满分20分）
9．（2025九下·锦江开学考）分解因式：(x2﹣2x)2﹣(2x﹣x2)＝　 　．
10．（2025九下·锦江开学考）若 ，则=　 　．
11．（2025九下·锦江开学考）如图，分别以线段AB的两个端点A，B为圆心，大于AB为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，点C为直线MN上一点，连接CB，CA，以C为圆心，CB长为半径作弧，交AC的延长线于点D，连接BD．若∠BDC＝25°，则∠BAC的度数为 　 　．
12．（2025九下·锦江开学考）如图，是圆O的直径，弦相交于点E，若，且点C是弧的中点，则　 　．
13．（2025九下·锦江开学考）点A，B，C在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是　 　
三、解答题（共5小题，满分48分）
14．（2025九下·锦江开学考）（1）计算：．
（2）解方程：
15．（2025九下·锦江开学考）假期，六盘水市教育局组织部分教师分别到A．B．C．D四个地方进行新课程培训，教育局按定额购买了前往四地的车票．如图1是未制作完成的车票种类和数量的条形统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）若去C地的车票占全部车票的30%，则去C地的车票数量是 张，补全统计图．
（2）若教育局采用随机抽取的方式分发车票，每人一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么余老师抽到去B地的概率是多少？
（3）若有一张去A地的车票，张老师和李老师都想要，决定采取旋转转盘的方式来确定．其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9，如图2所示．具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给李老师，否则票给张老师（指针指在线上重转）．试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平．
16．（2025九下·锦江开学考）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，）
17．（2025九下·锦江开学考）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的直径，过点A作AE⊥BD于点E，延长BD交AC延长线于点F．
（1）若AE＝4，AB＝5，求⊙O的半径；
（2）若BD＝2DF，求sin∠ACB的值．
18．（2025九下·锦江开学考）如图①，已知点A在反比例函数（x＞0）的图象上，点B在经过点（－2，1）的反比例函数（x＜0）的图象上，连结OA，OB，AB.
（1）求k的值；
（2）若∠AOB＝90°，求∠OAB的度数；
（3）将反比例函数（x＞0）的图像绕坐标原点O逆时针旋转45°得到曲线l，过点E ，F的直线与曲线l相交于点M，N，如图②所示，求△OMN的面积.
四、填空题（共5个小题，每个小题4分，满分20分）
19．（2025九下·锦江开学考）如果α、β是一元二次方程x2+3x-2=0的两个根，则=　 　．
20．（2025九下·锦江开学考）从，0，1，2，3这7个数中任意选一个数作为m的值，使关于x的分式方程：的解是负数，且使关于x的函数图象在每个象限y随x的增大而增大的概率为　 　．
21．（2025九下·锦江开学考）如图，点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为，点D坐标为．若线段AB和线段CD间存在某种变换关系，即其中一条线段绕某点旋转一个角度后可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是　 　
22．（2025九下·锦江开学考）图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．
（1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为　 　；
（2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度　 　．
23．（2025九下·锦江开学考）如图，将两块不同的等腰直角三角板和三角板放置在正方形中，直角顶点重合，点分别在边上，，若较小的斜边长为，则的长为 　 　，较长的斜边长为 　 　．
五、解答题（第24题满分8分，第25题满分10分，第26题满分12分）
24．（2025九下·锦江开学考）某书店以每本30元的价格购进一批图书进行销售，物价局根据市场行情规定这种图书的销售单价不低于42元且不高于62元．在销售中发现，该种图书每天的销售数量y（本）与销售单价x（元）之间存在某种函数关系，对应如表：
销售单价x（元） 43 45 47 49 …
销售数量y（本） 54 50 46 42 …
（1）用你所学过的函数知识，求出y与x之间的函数关系式；
（2）请问该种图书每天的销售利润w（元）的最大值是多少？
（3）如果该种图书每天的销售利润必须不少于600元，试确定该种图书销售单价x的范围．
25．（2025九下·锦江开学考）如图，在平面直角坐标系，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点是直线上方的抛物线上一点，连接、、，与轴交于．
①点是轴上一动点，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，求出线段的长；
②点为轴左侧抛物线上一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，请直接写出点的坐标．
26．（2025九下·锦江开学考）已知四边形为矩形，对角线、相交于点，．点E、F为矩形边上的两个动点，且．
（1）如图1，当点E、F分别位于、边上时，若，求证：；
（2）如图2，当点E、F同时位于边上时，若，试说明与的数量关系；
（3）如图3，当点E、F同时在边上运动时，将沿所在直线翻折至，取线段的中点Q．连接，若，则当最短时，求之长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左边看是长方形，由几何体上边半圆凹槽底边看不见用虚线表示是C．
故答案为：C．
【分析】左视图是从几何体左边看得到的平面图形，能看见的轮廓线画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线，该结合体的左视图是一个矩形中有一条水平虚线，从而判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：把这组数据从小到大排列后为50、51、55、55、61、64，
∴这组数据的中位数为（55+55）÷2=55.
故答案为：B.
【分析】将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可.
3．【答案】A
【知识点】圆的相关概念；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径，必垂直于这条弦，故①不符合题意；
②能够互相重合的弧叫做等弧，故②不符合题意；
③不共线三点确定一个圆，故③不符合题意；
④同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等或互补，故④不符合题意，
故没有正确的．
故答案为：A.
【分析】根据垂径定理的推论“ 平分弦（不是直径）的直径，必垂直于这条弦 ”可判断①；根据等弧的定义“ 能够互相重合的弧叫做等弧 ”可判断②；根据u确定圆的条件“不在同一直线上的三点确定一个圆”可判断③；根据圆心角、弧、弦的关系“同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等或互补”可判断④.
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接OB，OC，
∵∠D＝70°，
∴∠BOC＝2∠D＝140°，
∵OA⊥BC，
∴∠COA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA（180°﹣70°）＝55°，
故答案为：B．
【分析】连接OB，OC，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得到∠BOC＝2∠D＝140°，根据等腰三角形的三线合一得到∠COA，根据等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠OAC的度数.
5．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图：过D作DE⊥AB，垂足为E
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵∠ABC的角平分线BD
∴DE=DC=1
在Rt△DEB和Rt△DCB中
DE=DC、BD=BD
∴Rt△DEB≌Rt△DCB（HL）
∴BE=BC
在Rt△ADE中，AD=AC-DC=3-1=2
AE=
设BE=BC=x，AB=AE+BE=x+
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2
则（x+）2=32+x2，解得x=
∴AB=+=2
故答案为：B
【分析】过D作DE⊥AB垂足为E，根据圆周角的性质和角平分线的性质得到DE=DC=1，再根据全等三角形判定定理可得Rt△DEB≌Rt△DCB，则BE=BC，再根据勾股定理可得AE，设BE=BC=x，AB=AE+BE=x+，最后根据勾股定理列出方程，解方程即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：1尺寸．
根据题意可得（寸）．
设圆的半径为寸，
在中，的长为寸，
则，
∴，
，
这块圆柱形木材的直径是：（寸）．
故答案为：D．
【分析】 根据垂径定理得出（寸） ，设圆的半径为寸，则OD=(R-1)寸，在Rt△ADO中，根据勾股定理建立方程可求R的值，进而即可得到该圆形木材的直径.
7．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；求特殊角的三角函数值；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】如图，延长AD，BC，二线交于点E，
∵∠B=90°，∠BCD=120°，
∴∠A=60°，∠E=30°，∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠EDC= 90°，
在Rt△CDE中，
tan30°=，
∴DE==，
在Rt△ABE中，
sin30°=，
∴AB==4，
∴AD=AE-DE=，
故答案为：C.
【分析】如图，延长AD，BC，二线交于点E，由圆内接四边形的对角互补求出∠A=60°，∠ADC=90°，由三角形的内角和定理可求得∠E=30°，在Rt△CDE中，利用∠E的正切函数及特殊锐角三角函数值可求出DE，在Rt△ABE中，利用∠E的正弦函数及特殊锐角三角函数值可算出AE，最后根据AD=AE-DE求解即可.
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；坐标系中的两点距离公式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：A、根据图象知，对称轴是直线x=-=1，则b=-2a，即2a+b=0，故A正确；
B、根据图象知，点A的坐标为(-1，0)，对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3，0)，
∴x=3时，y=9a+3b+3=0，
∴9a-6a+3=0，
∴3a+3=0，
∴a=-1
∴a>-，故B正确；
C、点A关于x=1对称的点是A (3，0)，即抛物线与x轴的另一个交点，
连接BA 与直线x=1的交点即为点P，
则△PAB的周长的最小值是(BA +AB)的长度，
∵A(-1，0)，B(0，3)，A (3，0)，
∴AB=，BA =，
即△PAB周长的最小值为+，故C错误；
D、根据图象知，点A的坐标为(-1，0)，对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(3，0)，所以是的一个根，故D正确．
故答案为：C．
【分析】根据对称轴直线方程“”求得a、b的数量关系即可判断A；根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(3，0)，将该点坐标代入抛物线解析式得到3a+3=0，从而将可判断B选项；根据抛物线的对称性可得点PA=PA'，则△PAB周长的最小值是BP+AP=BP+A'P，当P、A、B三点共线时，BP+AP最小等于A'P，利用两点间距离公式求出AB、A'P的长，求△PAB周长的最小值即可判断C；根据方程ax2+bx+3=0的解就是函数y=ax2+bx+3与x轴交点的横坐标，可判断D选项.
9．【答案】x(x﹣2)(x﹣1)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：(x2 2x)2 (2x x2) =(x2 2x)2+(x2 2x) =(x2 2x)(x2 2x+1) =x(x 2)(x 1)2
故答案为：x(x﹣2)(x﹣1)2.
【分析】先提取公因式（x2-2x），然后将所得两个因式一个利用提取公因式法，另一个利用完全平方公式继续分解到每一个因式都不能再分解为止.
10．【答案】
【知识点】分母有理化；求特殊角的三角函数值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【解答】解：，
∴原式
．
故答案为：．
【分析】先代入特殊锐角三角函数值求出a的值；然后将括号内的整式“1”看成，利用那个同分母分式减法法则计算括号内的部分，并将除式的分子利用完全平方公式分解因式，同时根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法，约分化简，最后将a的值代入化简结果合并后，进行分母有理化即可.
11．【答案】65°
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由作图可得MN是线段AB的垂直平分线，且BC=CD
∴AC=BC=CD，
，
，
，
故答案为：．
【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等及同圆半径相等得CB=CD=CA，由等边对等角得∠D=∠CBD=25°，由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和求出，最后再根据等边对等角及三角形内角和定理可得求出 ∠ BAC的度数．
12．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：连接．
∵是圆O的直径，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵点C是弧的中点，
∴ ∠DAC=∠BDC=34°，
∴ ∠DCA=∠BEC-∠BDC=22°.
故答案为：22°.
【分析】连接AD，由直径所对的圆周角等于90°得∠ADB=90°，由直角三角形两锐角互余及对顶角相等得到∠DAC=34°，由等弧所对的圆周角相等得∠DAC=∠BDC=34°，最后根据三角形外角的性质即可求出∠DCA的度数.
13．【答案】或
【知识点】勾股定理的逆定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图设圆心为，连接、，
∵弦的长度等于圆半径的倍，
即，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
情况一点在的位置，
可得．
情况二点在的位置，
有，
∴，
故答案为：或．
【分析】设圆心为O，连接OA、OB，如图，先根据勾股定理的逆定理判断出△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB=90°； 因为不知道点C的位置，需要分点C在弦AB所对的劣弧与优弧上两种情况，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半及圆内接四边形的对角互补确定∠ACB的度数.
14．【答案】解：（1）
；
（2），
∴，
∴，
∴或，
解得：，；
【知识点】因式分解法解一元二次方程；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）代入特殊锐角三角函数值，同时根据负整数指数幂的法则“”、0指数幂的法则“a0=1(a≠0)”及绝对值性质分别化简，然后计算二次根式的乘法，最后计算实数的加减法运算即可得出答案；
（2）将方程右边提取公因式后整体移到方程的左边，然后方程左边再利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
15．【答案】解：（1）30，
补全统计图如下：
（2）余老师抽到去B地的概率是；
（3）根据题意列表如下：
　 1 2 3 4
7 8 9 10 11
8 9 10 11 12
9 10 11 12 13
∵两个数字之和是偶数时的概率是.
∴票给李老师的概率是.
∴这个规定对双方公平.
【知识点】条形统计图；游戏公平性；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）（20+40+10）÷（1-30%）=100，
100×30%=30张，
故答案为：30；
【分析】（1）根据统计图及题干提供的信息，用去A、B、D三地的车票总数除以所占的百分比求出本次参培教师的总数，再用本次参培教师的总数乘以去C地参培教师的人数所占比例即得去C地的车票数量，从而补全统计图；
（2）用去B地的车票数除以总的车票数即可求出余老师抽到去B地的概率；
（3）根据题意用列表法列举出转动两个转盘，两个指针指向的两个数字之和的所有情况，由表可知所有等可能的情况数有12种，其中指针指向的两个数字之和是偶数时的情况数有6种，然后根据概率公式求出两个数字之和是偶数时的概率，即可求出这个规定对双方是否公平.
16．【答案】解：∵，杆子垂直于地面，长8尺．
∴，即，
∵，
∴，即，
∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．
∴春分和秋分时日影长度为．
答：春分和秋分时日影长度9.2尺．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】在Rt△ABC中，利用∠ACB的正切函数求出BC的长，在Rt△ABD中，利用∠D的正切函数求出BD的长，最后根据“春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数”求解即可.
17．【答案】（1）连接OA，
∵AE=4，AB=5，AE⊥BD，
∴，即，
∴BE=3，
设⊙O半径为，
在Rt△OAE中，OA=OB=，OE=，AE=4，
∴，即，
解得：，
∴⊙O半径为；
（2）连接CD，设OA交BC于点H，
∵AB=AC，
∴=，即点A为的中点，
∴OA垂直平分BC，
∴OA⊥BC，
∵BD为直径，
∴∠BCD=90°，
∵∠BHO=∠BCD=90°，BO=OD，
∴OH∥CD，CD =2OH，
设OH=，则CD=，
∵BD=2DF，
∴OD=DF，
∴CD =OA，
∴OA=，
则AH=，
在Rt△BOH中，OB=OA=，OH=，
∴，即，
∴，
在Rt△BAH中，，
∴，
∵AB=AC，
∴sin∠ACB=．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；求正弦值；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OA，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得BE的长，设半径为， 在Rt△OAE中，利用勾股定理构建方程即可求解；
（2）连接CD，设OA交BC于点H，先由垂径定理的凸轮证得OA⊥BC，由直径所对的圆周角为直角得出∠BCD=90°，由同位角相等两直线平行推出OH∥CD，设OH=，由三角形中位线定理推出CD=，OA=，则AH=，在Rt△BOH中，利用勾股定理求得，进而在Rt△BAH中，利用勾股定理求得，最后根据正弦函数的定义求解即可.
18．【答案】解：（1）∵把点（-2，1）代入反比例函数（x＜0），∴k=-2×1=-2，
（2）如图，过点B作BC⊥x轴，过点A作AD⊥x轴，
设点B（a，-），点A（b，）
∴CO=-a，BC=-，AD=，OD=b
∵∠AOB=90°，
∴∠BOC+∠AOD=90°，且∠BOC+∠CBO=90°，
∴∠AOD=∠CBO，且∠BCO=∠ADO=90°
∴△BCO∽△ODA
∴
∴
∴ab=-2
∴
∴tan∠BAO=
∴∠BAO=30°
（3）∵点E ，F
∴OE⊥OF
建立如图2新的坐标系，OF为x’轴，OE为y’轴，
在新的坐标系中，E（0，8），F（4，0）代入y’=kx’+b
求得直线EF的解析式为y’=-2x’+8
由
解得或
∴M（1，6），N（3，2）
∴S△OMN= S△OFM- S△OFN=
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）把点（-2，1）代入反比例函数即可求出k的值；
（2）过点B作BC⊥x轴，过点A作AD⊥x轴，根据反比例函数图象上点的坐标特点，设点B（a，-），点A（b，），则CO=-a，BC=-，AD=，OD=b，由直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等推出∠AOD=∠CBO，从而利用两组角相等的两个三角形相似得△BCO∽△ODA，由相似三角形对应边成比例得出ab=，则 ，进而根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值可求出∠BAO=30°；
得出ab=-2，求得 tan∠BAO=，故∠BAO=30°；
（3）由点的坐标与图形性质易得OE⊥OF，建立新的坐标系，OF为x'轴，OE为y'轴，在新坐标系中，E（0，8），F（4，0），利用待定系数法求得直线EF的解析式为y'=-2x'+8，联立直线EF与曲线l的解析式，求解得出M（1，6），N（3，2），然后根据 S△OMN= S△OFM- S△OFN 列式计算即可.
19．【答案】2026
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2+3x-2=0的两个根，
∴α2+3α-2=0即α2+3α=2，a+β=-3，
∴α2+2α-β+2021=（α2+3α）-（α+β）+2021=2-（-3）+2021=2026，
故答案为：2026．
【分析】若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则有x1+x2=-，x1x2=，据此结合题意可求出a+β=-3，然后根据方程根的定义可得α2+3α=2，进而利用配方法举哀那个待求式子变形为（α2+3α）-（α+β）+2021，从而整体代入计算可得答案.
20．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组；反比例函数的性质；概率公式
【解析】【解答】解：，
解得，，
∵方程的解是负数，
∴，
解得：且，
∵关于x的函数图象在每个象限y随x的增大而增大，
∴，
∴，
∴，且，
∴或0或1或2，有4种可能，
故概率为，
故答案为：．
【分析】将m作为系数，解分式方程，用含m的式子表示出x=-m-3，由该分式方程的解是负数，列出关于字母m的不等式组，求解得出m的取值范围；由反比例函数中，当k＞0时，图象两支分布在一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，图象两支分布在二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，据此结合题意列出不等式m-3＜0，求解得出m的取值范围，综上即可确定出符合题意的m的值，最后根据概率公式计算即可得出答案.
21．【答案】或
【知识点】点的坐标；旋转的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图所示：
∵点A坐标为，点B坐标为，
∴点E的坐标为；
②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点N，如图所示：
∵点A坐标为，点B坐标为，
∴点N的坐标为，
综上所述：这个旋转中心的坐标为或；
故答案为：或．
【分析】分类讨论：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等可得旋转中心一定在线段AC与BD的垂直平分线上，故结合方格纸的特点，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心，然后结合点A的坐标写出点E的坐标即可；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，同理分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点N，点N即为旋转中心，然后结合点A的坐标写出点N的坐标即可.
22．【答案】；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：（1）如图，以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，
设，则抛物线的表达式为，
∵，
∴点的横坐标为6，
∵，
∴，
∵，
∴点的纵坐标为，
∴设，
将点的坐标代入抛物线表达式得： ，
解得：，
∴抛物线的表达式为：，
∵点在第一象限，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，
∴旋转前与水平方向的夹角为，
设直线的解析式为，
将代入解析式，得，
∴，
∴直线的解析式为，
联立①②得：，
整理得：，
∴，，
∴，
∴，
由的表达式知，其和轴的夹角为，则，
故答案为：．
【分析】（1）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，设，则抛物线的表达式为，然后根据抛物线的对称性得，，利用待定系数法求出抛物线的表达式以及的值，最后求的值；
（2）根据题意，得旋转前与水平方向的夹角为，然后设直线的解析式为，利用待定系数法即可求出直线的解析式，接下来联立①②并整理得关于的一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系得，，结合完全平方公式得，即可求出的值.
23．【答案】；
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，分别过作的平行线，作交于点，连接，
∵四边形是正方形，
，
，
∴四边形都是矩形，
，
由题意可知：，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，
，
，，
在中，根据勾股定理得：，
，
，
，
解得，
，
，
故答案为：．
【分析】分别过作的平行线，作交于点，连接，由正方形的对边平行及平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥CD∥RQ∥GP，AD∥BC∥OM，由有一个内角为直角的平行四边形是矩形得出四边形MBQO、四边形PCDG、四边形QPGR都是矩形，由矩形的对边相等得AB=BC=CD=GP=10，GD=PC，结合等腰直角三角形的性质，由“SAS”证明，由全等三角形的对应边相等得EC=FG；再利用“HL”再证明，由全等三角形的对应边相等可得，设，在Rt△BEF中，根据勾股定理得到，因为，得到，求出，最后根据勾股定理即可算出CG的长.
24．【答案】（1）解：由表格可知：当销售单价每提高2元，则销售数量减少4件，故y与x之间存在一次函数的关系，
设其解析式为 ，
将x=43，y=54；x=45，y=50代入解析式得：
，
解得： ，
，
由题意得：，
（）；
（2）解：根据题意得∶ ，
整理得： ，
，
∴当x=50时，w有最大值为800元，
∴该种图书每天的销售利润的最大值是800元；
（3）解： 当w=600时，可得： ，
解得：（舍） ，
由二次函数的图象可得：
当 时，该种图书每天的销售利润不少于600元．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）由表格可知y与x之间存在一次函数的关系， 设其解析式为y=kx+b，然后将x=43，y=54；x=45，y=50分别代入 y=kx+b ，可得关于字母k、b的二元一次方程组，求解得出k、b的值，从而即可求出y关于x的函数解析式；
（2）根据总利润=每本图书的利润×每天的销售数量得出w和x之间的关系式，再利用二次函数求最值的方法求解即可；
（3）将w=600代入（2）所求函数解析式，算出对应的自变量x值，再根据二次函数的性质及自变量的取值范围求解即可．
（1）解：由表格可知：当销售单价每提高2元，则销售数量减少4件，故y与x之间存在一次函数的关系，设其解析式为： ，
将x=43，y=54；x=45，y=50代入解析式得：
，
解得： ，
，
由题意得：，
（）；
（2）根据题意得∶ ，
整理得： ，
，
∴当x=50时，w有最大值为800元，
∴该种图书每天的销售利润的最大值是800元；
（3）当w=600时，可得： ，
解得：（舍） ，
由二次函数的图象可得：
当 时，该种图书每天的销售利润不少于600元．
25．【答案】解：（1）将、、代入得，
解得：
抛物线的解析式为：；
（2）①将代入中，
得，
解得或（舍去）
，
、，
，，，
，
，
，
，
（I）当时，
与点重合，
（II）当时，
，
，
，
故：的长为或；
②或．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（2）②（I）过点作于点，过点作于点，
，
又，
，
，
，
，
，
，，
直线的解析式为，
，
，
，
，
，
，
又，
点的纵坐标为，代入中，得：或（舍去）
，
，，，
设，则，，
，
解得，，
点的横坐标为，代入，得：，
点的坐标为．
（II）过点作，过点作于点，过点作于点，
，
，
由（I）知：，则，
，
又，
，
，
，
由（I）知：
则，
设，则，
，，
，
，，又，
，代中，得，或（舍去）
，
点的横坐标为，代入，得，．
点的坐标为
综合以上可得点的坐标为或．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）①将点E（m，2）代入（1）所求抛物线解析式算出m的值，得到点E的坐标，利用两点间的距离公式得出AB，AE，BE长度，根据勾股定理的逆定理判断出∠AEB=90°，由直角三角形两锐角互余及同角的余角相等证得，然后分为与两种情况进行讨论即可；
② （I）过点作于点，过点作于点， 由平角的定义、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得出∠CHN=∠MGH，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得出HN∥AB，由二直线平行，同位角相等得∠CHN=∠APE=∠MGH；利用待定系数法求出直线CE的解析式，根据直线与x轴交点的坐标特点求出点P的坐标，利用两点间的距离公式求出PE=EB，由等边对等角及已知推出，由内错角相等，两直线平行得出GC∥PB，根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相同得出点G的纵坐标为3，将点G的纵坐标代入抛物线解析式算出对应的自变量x的值，即可得到MN的长；由等角的同名三角函数值相等得，结合正切函数的定义可设，则，，进而根据MN=MH+HN建立方程求解得出m的值，可得点H的横坐标，再将点H的横坐标代入直线CE的解析式算出对应的函数值，即可得到点H的坐标；（II）过点作，过点作于点，过点作于点，由二直线平行，内错角相等得，由（I）知：，则，由同角的余角相等得，结合已知推出，由等角的同名三角函数值性质结合正切函数的定义得，设，则，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△HMG∽△CNH，由相似三角形对应边成比例得出NH=2a，CN=4a，从而可得点，将点G的坐标代入抛物线解析式算出a的值，可得CN的长，即可得到点H的横坐标。将点H的横坐标代入直线CE的就是算出对应的函数值，即可得到点H的坐标，综上可得答案.
26．【答案】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，∠DAB=90°，
∵AD=AO，
∴AD=AO=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠DOA=∠DAO=∠ADO=60°，
∴
（2）解：结论：AF=2BE．
理由：如图2中，将△OAF绕点O逆时针旋转120°得到△OBJ，连接JE．
由（1）得：
∵∠EOF=60°，
∴∠BOJ+∠BOE=∠AOF+∠BOE=60°，
∴∠EOJ=∠EOF，
∵OE=OE，
∴△EOF≌△EOJ（SAS），
∴∠OEF=∠OEJ，
∵∠OFB=75°，∠OBF=30°，
∴∠BOF=75°，
∴∠BOE=75°-60°=15°，
∴∠FEO=∠BOE+∠OBE=45°，
∴∠OEF=∠OEJ=45°，
∴∠JEB=∠JEF=90°，
∵∠OBJ=∠OAF=30°，∠OBE=30°，
∴∠EBJ=60°，
∴∠EJB=90°-60°=30°，
∴BJ=2BE，
∵AF=BJ，
∴AF=2BE．
（3）解：如图3中，连接BP．
由翻折可知：OF=OP，∠EOF=∠EOP=60°，
∴∠FOP=∠AOB=120°，
∴∠AOF=∠BOP，
∵OA=OB，
∴△OAF≌△OBP（SAS），
∴∠OBP=∠OAF=30°，AF=BP，
∵∠OBC=60°，
∴∠PBC=30°，
如图3-1中，当QP⊥PB时，PQ的值最小，作FH⊥OA于H，OM⊥PF于M．
在Rt△PQB中，
∵∠QPB=90°，∠PBQ=30°，，
∴
在Rt△AFH中，
∴
∴
∵
∴
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）如图1，由矩形性质得∠DAB=90°，OA=OD=OB，结合AD=AO，由三边相等的三角形是等边三角形得△OAD为等边三角形，由等边三角形每个内角都为60°得∠DOA=∠DAO=∠ADO=60°，由角的构成及等边对等角得∠OAB=∠OBA=30°，由三角形的内角和定理求出，从而根据等角对等边得出BO=BE，可得结论；
（2）将△OAF绕点O逆时针旋转120°得△OBJ，连接JE，由旋转性质得，易得∠EOJ=∠EOF，从而利“SAS”证△EOF≌△EOJ，由全等三角形的对应角相等得∠OEF=∠OEJ，然后根据三角形内角和定理、角的构成推出∠BOE=75°-60°=15°，根据三角形外角性质求出∠OEF=∠OEJ=45°，则∠JEB=90°，进而求出∠EJB=30°，根据含30°角直角三角形的性质可得，结合，从而可得结论；
（3）如图3中，连接BP，由翻折可知：OF=OP，∠EOF=∠EOP=60°，进而可推出∠AOF=∠BOP，用“SAS”证△OAF≌△OBP，由全等三角形的性质得∠OBP=∠OAF=30°，AF=BP，由角的构成推出∠PBC=30°；如图3-1中，当QP⊥PB时，PQ的值最小，作FH⊥OA于H，OM⊥PF于M，利用含的直角三角形的性质及勾股定理求得PB，AF， 再根据线段和差及勾股定理求出HF、AH、OH、OF，再根据等腰三角形的三线合一得出FP=2FM，由含30°角直角三角形的性质求出OM，最后再利用勾股定理求出FM即可．
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