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吉林省吉林市永吉县2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2025七上·永吉期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思为：今有两数若意义相反，则分别叫做正数与负数．如果温度上升，记作，那么温度下降，记作（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七上·永吉期末）已知，则代数式的值为（　　）
A．10 B． C．7 D．
3．（2025七上·永吉期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字是（　　）
A．我 B．中 C．国 D．梦
4．（2025七上·永吉期末）由方程变形得到，这种变形叫做（　　）
A．合并同类项 B．移项 C．乘法分配律 D．系数化为1
5．（2025七上·永吉期末）如图，小明将沿虚线剪去一个角得到四边形，设与四边形的周长分别为和，则与的大小关系是　 　．（填“＞”，“＜”，“＝”）
6．（2025七上·永吉期末）如图，点O为直线上一点，平分，下列结论正确的是（　　）
①与互为余角；②；③；④若，则．（　　）
A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（2025七上·永吉期末）的值为　 　．
8．（2025七上·永吉期末）水星的半径约为，将数据2440000用科学记数法表示为　 　．
9．（2025七上·永吉期末）在赛跑中，时间和速度成　 　比例．（填“正”或“反”）
10．（2025七上·永吉期末）鲁班锁是我国古代传统建筑的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩具（如图（1）），其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图（2），这个面的面积为　 　．
11．（2025七上·永吉期末）若式子与的值互为相反数，则　 　．
12．（2025七上·永吉期末）如图，，点M是的中点，点N在上靠近点B的四等分点处，则的长为　 　．
13．（2025七上·永吉期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个数学问题，其大意是：现有一根竹竿和一条绳索，用绳索去量竹竿，绳索比竹竿长5尺；若将绳索对折去量竹竿，绳索就比竹竿短5尺，若设竹竿长为x尺，则所列方程为　 　．
14．（2025七上·永吉期末）从n个不同元素中取出m个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．已知“！”是一种数学运算符号，且，…，若公式（，且为正整数），则　 　．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（2025七上·永吉期末）中国最北城市——漠河在某星期内的日最高、最低气温（单位：）如图所示，请根据图中信息回答下列问题．
（1）这星期的日最低气温是_______．
（2）在这星期内，哪天的日温差最大？并求出当天的日温差．
16．（2025七上·永吉期末）计算
17．（2025七上·永吉期末）计算：．
18．（2025七上·永吉期末）∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（2025七上·永吉期末）已知两个整式，其中整式B的x的系数■被污染．
（1）若■是，则_______．（用含x的式子表示）
（2）当时，的值为18．
①_______．
②若a的倒数等于它本身，则的值是多少？
20．（2025七上·永吉期末）如图①，在平整的地面上，用多个棱长均为的小正方体堆成一个几何体．
（1）在图①中，共有_______个小正方体．
（2）在图②，图③中分别画出这个几何体的主视图（从前面看）与俯视图（从上面看），并写出俯视图的面积．
（3）若现在你还有一些棱长均为的小正方体，要求保持俯视图（从上面看）与左视图（从左面看）的形状不变，最多可以再添加_______个小正方体．
21．（2025七上·永吉期末）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手捂住了部分多项式，形式如下：
（1）求所捂住的多项式．
（2）若，求所捂住的多项式的值．
22．（2025七上·永吉期末）如图，射线表示的方向是北偏东，射线表示的方向是北偏东，已知图中．
（1）求的度数．
（2）写出射线的方向．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（2025七上·永吉期末）环卫工人是城市的美容师，他们的辛勤劳动，为城市的整洁美丽做出了贡献．元旦前夕为感谢环卫工人的辛苦付出，某校七年级（1）班的“文化”和“智慧”两个小组一起计划做一批蛇年贺卡．如果每人做8张，那么比计划多23张；如果每人做5张，那么比计划少25张．求这两个小组一共多少人？计划做多少张蛇年贺卡？
这两个小组分别列出了如下尚不完整的方程，
“文化”小组的方程：．
“智慧”小组的方程：．
（1）“ ”内的运算符号是_______，“（　　）”内的数字是_______．
（2）未知数x表示的意义是_______，未知数y表示的意义是_______．
（3）试选择一种方法，将原题中的问题解答完成．
24．（2025七上·永吉期末）一根长的弹簧，一端是固定的，如果另一端挂上物体，那么在正常情况下物体的质量每增加，可使弹簧增长．
（1）正常情况下，当挂上的物体的质量为时，弹簧的长度是_______．
（2）正常情况下，当挂上的物体的质量为时，弹簧的长度是_______．（用含的式子表示）
（3）正常情况下，当弹簧的长度为时，所挂物体的质量是多少？
（4）若弹簧的长度超过了，弹簧就会失去弹性，则此弹簧能否挂上质量为的物体？为什么？
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（2025七上·永吉期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．通过研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图①，若数轴上点A，点B表示的数分别为，则两点之间的距离．
【问题情境】如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动4个单位长度到达点A，再向右移动5个单位长度到达点B，然后再向右移动6个单位长度到达点C．
【问题探究】根据以上信息，请你解答下列问题．
（1）请你在图②中表示出三点的位置．
（2）两点之间的距离_______．
（3）若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点M，点N从点B，点C分别以每秒2个单位长度，每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为t秒．
①在数轴上，点P表示的数为_______，点M表示的数为_______，点N表示的数为_______．（含t的式子表示）
②在点移动的过程中，求出的值．
26．（2025七上·永吉期末）【阅读材料】把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素（集合中的元素不能重复）．如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如：就是一个黄金集合．
【回答问题】根据以上信息，请你解答下列问题．
（1）集合_______黄金集合，集合_______黄金集合．（填“是”或“不是”）
（2）请你任意写出一个含有四个元素的黄金集合_______．
（3）已知集合是黄金合，b是方程的解，求的值．
（4）请你直接写出任意两个含有三个元素的黄金集合．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵温度上升，记作，
∴温度下降，记作，
故选：D．
【分析】本题考查了正负数表示相反意义的量，根据上升记为正，那么下降就记为负，即可作答.
2．【答案】A
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：将代入，可得，
故答案为：A．
【分析】将直接代入计算即可.
3．【答案】C
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：由正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴“的”字一面的相对面上的字是“国”，
故答案为：．
【分析】根据正方体展开图的性质写出即可.
4．【答案】B
【知识点】移项的概念及应用
【解析】【解答】解：由方程变形得到可知，这种变形叫做移项．
故答案为：B．
【分析】根据移项的定义：含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边，写出即可.
5．【答案】
【知识点】三角形三边关系；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
而x=，y=，
即x+ED＞y，
∵ED＞0，
∴，
故答案为∶．
【分析】本题先放到△AED中，根据三角形的“两边之和大于第三边”，得出，然后依据不等式的性质变形得到，此时结合x=，y=，得出x+ED＞y，进而可判断和的大小关系．
6．【答案】D
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①，∠AOB=180°
∴，①正确；
③平分，
；
，
成立，③正确，
∵，且，
∴，
∵平分，
，④正确；
根据题干条件无法得出，②错误；
正确．
故答案为：D.
【分析】根据平角的定义，求出即可判断①；根据角平分线的定义和可判断③；先根据互补求出∠AOE，再根据角平分线的定义得到∠COE即可判断④；条件不足无法判断②；
7．【答案】2025
【知识点】绝对值的非负性；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：，
故答案为：2025．
【分析】“负数的绝对值是它的相反数”，-2025的相反数的2025，据此即可得到答案．
8．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解∶，
故答案为∶.
【分析】根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数，写出即可．
9．【答案】反
【知识点】成反比例的量及其意义
【解析】【解答】解：依题意，时间×速度（一定），
∴在赛跑中，时间和速度成反比例，
故答案为：反．
【分析】根据路程=速度×时间（路程=100）和反比例的定义得出即可.
10．【答案】
【知识点】几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，
这个面的面积为，
故答案为：．
【分析】本题做辅助线后发现，由大长方形面积减去小长方形的面积，即为图形中的面积．
11．【答案】
【知识点】解一元一次方程；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：∵与的值互为相反数，
∴，
，
故答案为：．
【分析】根据互为相反数的两数之和为0，列出一元一次方程，求解即可.
12．【答案】14
【知识点】线段上的两点间的距离；线段的中点
【解析】【解答】解：，点M是的中点，
，
点N在上靠近点B的四等分点处，
，
，
故答案为：14.
【分析】先根据M是AB的中点求出MB，再根据四等分点求出MN即可.
13．【答案】
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：∵用索去量竿，索比竿长5尺，
∴索长为尺，
又∵将绳索对折去量竹竿，绳索就比竹竿短5尺，
∴．
故答案为：．
【分析】先根据题意得出绳索长为尺，再根据绳索和竹竿之间的关系列出一元一次方程即可．
14．【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；排列组合
【解析】【解答】解∶ （，且为正整数）
．
故答案为：．
【分析】根据新定义公式展开计算即可.
15．【答案】（1）
（2）解：星期一的日温差：，
星期二的日温差：，
星期三的日温差：，
星期四的日温差：，
星期五的日温差：，
星期六的日温差：，
星期日的日温差：，
∴在这周内，日温差最大的星期五，当天日温差为
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的大小比较-直接比较法；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：（1）由图可得，日最低气温达到最小值是星期二，当天的日最低气温为，
故答案为：；
【分析】（1）根据图形折线图和正负数的实际意义写出即可；
（2）先作差求出每天的日温差，再比较大小即可.
（1）解：在这周内，日最低气温达到最小值是星期二，当天的日最低气温为，
故答案为：；
（2）解：星期一的日温差：，
星期二的日温差：，
星期三的日温差：，
星期四的日温差：，
星期五的日温差：，
星期六的日温差：，
星期日的日温差：，
所以在这周内，日温差最大的星期五，当天日温差为．
16．【答案】解：
=
=
=-85
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】先分别计算出乘方72=49、（-3）2=9、，然后进行乘除法运算，最后进行加减法运算即可．
17．【答案】解：
【知识点】整式的加减运算
【解析】【分析】先去括号，再合并同类项进行化简即可．
18．【答案】解：∵ ∠α的补角是它的3倍，
∴3∠α=180°－∠α
解得：∠α=45°.
∴ 为 45°．
【知识点】补角
【解析】【分析】根据“互为补角的两个角和为180°”表示出∠α的补角，再根据题意列方程并求解即可.
19．【答案】（1）
（2）解：①2；
②的倒数等于它本身，
或．
则，
当时，．
当时，．
当时，．
∴的值是3或1
【知识点】整式的加减运算；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，，
∴，
故答案为：．
（2）①由题意可得，，，
∴；
∴，
故答案为：2；
【分析】（1）将■是代入A+B，在进行化简即可；
（2）①将代入 ，再计算求解即可；
②先根据倒数的定义得或．再化简A-B，然后代入代入求解即可．
（1）解：依题意，，
∴，
故答案为：．
（2）解：①依题意，，，
∴；
∴，
故答案为：2；
②的倒数等于它本身，
或．
则，
当时，．
当时，．
当时，．
20．【答案】（1）9
（2）解：几何体的主视图（从前面看）与俯视图（从上面看），如图所示．
俯视图的面积为
（3）5
【知识点】作图﹣三视图；已知三视图进行几何体的相关计算；由三视图判断小正方体的个数；小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：（1）根据拼图可知，堆成如图所示的几何体需要9个小正方体，
故答案为：9；
（3）要求保持俯视图（从上面看）与左视图（从左面看）的形状不变，最多可以再添加5个小正方体，如图所示：
故答案为：5.
【分析】（1）根据拼图直接写出答案即可；
（2）先根据几何体的主视图（从前面看）与俯视图（从上面看），画出主视图、俯视图，再根据每个正方形的面积为1，求出俯视图的面积即可；
（3）根据三视图的特点，添加相应数量的正方体，直至最多即可.
（1）解：根据拼图可知，堆成如图所示的几何体需要9个小正方体，
故答案为：9；
（2）如图所示．
俯视图的面积为，
（3）要求保持俯视图（从上面看）与左视图（从左面看）的形状不变，最多可以再添加5个小正方体．
故答案为：5
21．【答案】（1）解：由题意可得：
（2）解：，，
∴原式
【知识点】利用整式的加减运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据整式的减法法则和合并同类项求解即可；
（2）先根据绝对值和偶次方的非负性求出a、b，再把的值代入求解即可.
（1）解：根据题意，得：
．
（2），
，
∴原式．
22．【答案】（1）解：射线表示的方向是北偏东，如图所示，
．
射线表示的方向是北偏东，
，
（2）解：，
．
∴射线的方向为北偏西
【知识点】角的运算；方位角
【解析】【分析】（1）先根据方向角求出∠MOA和∠MOB，再利用角的和差关系计算即可；
（2）根据角的和差关系计算求解出∠MOC，再利用方向角写出即可．
（1）解：如图，射线表示的方向是北偏东，
．
射线表示的方向是北偏东，
，
．
（2）解：，
．
∴射线的方向为北偏西．
23．【答案】（1）+；23
（2）这两个小组的总人数；计划做“蛇年贺卡”的个数.
（3）解：设该小组有x人，根据题意，得，
解得．
计划做“蛇年贺卡”的个数为个．
答：这两个小组共有16人，计划做105张蛇年贺卡
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：（1）根据如果每人做8张，那么比计划多23张，如果每人做5张，那么比计划少25张．
可补充“文化”小组的方程：．
可补充“智慧”小组的方程为：．
故答案为：+；23；
（2）由（1）中和可得未知数x表示的是这两个小组的总人数，未知数y表示的是计划做“蛇年贺卡”的个数；
故答案为：这两个小组的总人数；计划做“蛇年贺卡”的个数.
【分析】（1）根据“文化”小组做“感谢贺卡”的个数不变列出方程，进行补全“ ”；根据“智慧”小组的小组的人数不变列出方程，进行补全“（　　）”即可；
（2）根据（1）中“文化”小组做“感谢贺卡”的个数不变和“智慧”小组的小组的人数不变得到x，y的意义即可；
（3）根据“文化”小组的方程求解即可．
（1）根据如果每人做8张，那么比计划多23张，如果每人做5张，那么比计划少25张．
可补充“文化”小组的方程：．
可补充“智慧”小组的方程为：．
故答案为：+；23；
（2）未知数x表示的是这两个小组的总人数，未知数y表示的是计划做“蛇年贺卡”的个数；
（3）方法一：设该小组有x人，
根据题意，得，
解得．
计划做“蛇年贺卡”的个数为个．
答：这两个小组共有16人，计划做105张蛇年贺卡．
方法二：设计划做“蛇年贺卡”的个数为y个，
根据题意，得，
解得．
两个小组总人数为人．
答：这两个小组共有16人，计划做105张蛇年贺卡．
24．【答案】（1）
（2）
（3）解：∵弹簧的长度是，
∴，
解得：，
∴当弹簧的长度为时，所挂物体的质量是
（4）解：弹簧不能挂上质量为的物体，理由如下：
当弹簧挂上质量为的物体时，弹簧长度为，
∴弹簧会失去弹性，
∴弹簧不能挂上质量为的物体
【知识点】一元一次方程的其他应用；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）由题意得：弹簧的长度是，
故答案为：；
【分析】（）根据每增加，可使弹簧增长，计算原长度+两次增长量即可；
（）根据每增加，可使弹簧增长，列出代数式即可；
（）由（2）中的代数式计算求解即可；
（）先求出挂上质量为的物体时求出弹簧长度，与比较看是否失去弹性即可；
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：由题意得：弹簧的长度是，
故答案为：；
（3）解：当弹簧的长度是时，
∴，
解得：，
答：当弹簧的长度为时，所挂物体的质量是；
（4）解：弹簧不能挂上质量为的物体，理由：
当弹簧挂上质量为的物体时，
∴弹簧不能挂上质量为的物体．
25．【答案】（1）解：由题意可得：点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，
、、三点如图所示：
（2）11
（3）解：①，，；
② 由①得，，
，
∴
【知识点】整式的加减运算；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的动点往返运动模型；数形结合
【解析】【解答】解：（2）由（1）可得点A表示的数为，点C表示的数为，
∴．
故答案为：
（3）①点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴秒时，点表示的数为，
点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴秒时，点表示的数为，
点N从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴秒时，点表示的数为．
故答案为：；；；
【分析】（1）根据左减右加找出点A、B、C表示的数，再在数轴上画出即可；
（2）根据数轴上两点间距离公式计算即可；
（3）①根据点P、M、N的运动方向和运动速度计算出点、点、点的表示的数即可；
②根据两点之间的距离公式代入求解即可．
（1）解：一个点从数轴上的原点开始，先向左移动4个单位长度到达点A，再向右移动5个单位长度到达点B，然后再向右移动6个单位长度到达点C．
即：点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，
、、三点如图所示：
（2）由（1）可得点A表示的数为，点C表示的数为，
∴．
故答案为：
（3）①点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，可得秒时，点表示的数为，
点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．可得秒时，点表示的数为，
点N从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．可得秒时，点表示的数为．
②由①得，，
，
∴
26．【答案】（1）是，不是
（2）
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
集合是黄金集合，
，
（4）
【知识点】有理数的减法法则；解含分数系数的一元一次方程；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴集合是黄金集合．
∵，而集合中没有元素9，
∴不是黄金集合；
故答案为：是，不是；
（2），
是黄金集合，
故答案为：；
（4），
是黄金集合，
，
是黄金集合，
故答案为：.
【分析】（1）根据黄金集合的定义，逐项计算判断即可；
（2）根据黄金集合的定义成对出现的元素的和为8找出即可；
（3）先解方程求出b的值，再根据黄金集合的定义求出的值，最后代值计算即可；
（3）根据黄金集合的定义成对出现的元素的和为8找出即可．
（1）解：根据题意可得，，，
∴集合是黄金集合．
，而集合中没有元素9，故不是黄金集合；
故答案为：是，不是；
（2）解：，
是黄金集合，
故答案为：（答案不唯一）；
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
集合是黄金集合，
，
；
（4）解：，
是黄金集合，
，
是黄金集合，
1 / 1吉林省吉林市永吉县2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2025七上·永吉期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思为：今有两数若意义相反，则分别叫做正数与负数．如果温度上升，记作，那么温度下降，记作（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵温度上升，记作，
∴温度下降，记作，
故选：D．
【分析】本题考查了正负数表示相反意义的量，根据上升记为正，那么下降就记为负，即可作答.
2．（2025七上·永吉期末）已知，则代数式的值为（　　）
A．10 B． C．7 D．
【答案】A
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：将代入，可得，
故答案为：A．
【分析】将直接代入计算即可.
3．（2025七上·永吉期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字是（　　）
A．我 B．中 C．国 D．梦
【答案】C
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：由正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴“的”字一面的相对面上的字是“国”，
故答案为：．
【分析】根据正方体展开图的性质写出即可.
4．（2025七上·永吉期末）由方程变形得到，这种变形叫做（　　）
A．合并同类项 B．移项 C．乘法分配律 D．系数化为1
【答案】B
【知识点】移项的概念及应用
【解析】【解答】解：由方程变形得到可知，这种变形叫做移项．
故答案为：B．
【分析】根据移项的定义：含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边，写出即可.
5．（2025七上·永吉期末）如图，小明将沿虚线剪去一个角得到四边形，设与四边形的周长分别为和，则与的大小关系是　 　．（填“＞”，“＜”，“＝”）
【答案】
【知识点】三角形三边关系；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
而x=，y=，
即x+ED＞y，
∵ED＞0，
∴，
故答案为∶．
【分析】本题先放到△AED中，根据三角形的“两边之和大于第三边”，得出，然后依据不等式的性质变形得到，此时结合x=，y=，得出x+ED＞y，进而可判断和的大小关系．
6．（2025七上·永吉期末）如图，点O为直线上一点，平分，下列结论正确的是（　　）
①与互为余角；②；③；④若，则．（　　）
A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①，∠AOB=180°
∴，①正确；
③平分，
；
，
成立，③正确，
∵，且，
∴，
∵平分，
，④正确；
根据题干条件无法得出，②错误；
正确．
故答案为：D.
【分析】根据平角的定义，求出即可判断①；根据角平分线的定义和可判断③；先根据互补求出∠AOE，再根据角平分线的定义得到∠COE即可判断④；条件不足无法判断②；
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（2025七上·永吉期末）的值为　 　．
【答案】2025
【知识点】绝对值的非负性；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：，
故答案为：2025．
【分析】“负数的绝对值是它的相反数”，-2025的相反数的2025，据此即可得到答案．
8．（2025七上·永吉期末）水星的半径约为，将数据2440000用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解∶，
故答案为∶.
【分析】根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数，写出即可．
9．（2025七上·永吉期末）在赛跑中，时间和速度成　 　比例．（填“正”或“反”）
【答案】反
【知识点】成反比例的量及其意义
【解析】【解答】解：依题意，时间×速度（一定），
∴在赛跑中，时间和速度成反比例，
故答案为：反．
【分析】根据路程=速度×时间（路程=100）和反比例的定义得出即可.
10．（2025七上·永吉期末）鲁班锁是我国古代传统建筑的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩具（如图（1）），其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图（2），这个面的面积为　 　．
【答案】
【知识点】几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，
这个面的面积为，
故答案为：．
【分析】本题做辅助线后发现，由大长方形面积减去小长方形的面积，即为图形中的面积．
11．（2025七上·永吉期末）若式子与的值互为相反数，则　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次方程；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：∵与的值互为相反数，
∴，
，
故答案为：．
【分析】根据互为相反数的两数之和为0，列出一元一次方程，求解即可.
12．（2025七上·永吉期末）如图，，点M是的中点，点N在上靠近点B的四等分点处，则的长为　 　．
【答案】14
【知识点】线段上的两点间的距离；线段的中点
【解析】【解答】解：，点M是的中点，
，
点N在上靠近点B的四等分点处，
，
，
故答案为：14.
【分析】先根据M是AB的中点求出MB，再根据四等分点求出MN即可.
13．（2025七上·永吉期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个数学问题，其大意是：现有一根竹竿和一条绳索，用绳索去量竹竿，绳索比竹竿长5尺；若将绳索对折去量竹竿，绳索就比竹竿短5尺，若设竹竿长为x尺，则所列方程为　 　．
【答案】
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：∵用索去量竿，索比竿长5尺，
∴索长为尺，
又∵将绳索对折去量竹竿，绳索就比竹竿短5尺，
∴．
故答案为：．
【分析】先根据题意得出绳索长为尺，再根据绳索和竹竿之间的关系列出一元一次方程即可．
14．（2025七上·永吉期末）从n个不同元素中取出m个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．已知“！”是一种数学运算符号，且，…，若公式（，且为正整数），则　 　．
【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；排列组合
【解析】【解答】解∶ （，且为正整数）
．
故答案为：．
【分析】根据新定义公式展开计算即可.
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（2025七上·永吉期末）中国最北城市——漠河在某星期内的日最高、最低气温（单位：）如图所示，请根据图中信息回答下列问题．
（1）这星期的日最低气温是_______．
（2）在这星期内，哪天的日温差最大？并求出当天的日温差．
【答案】（1）
（2）解：星期一的日温差：，
星期二的日温差：，
星期三的日温差：，
星期四的日温差：，
星期五的日温差：，
星期六的日温差：，
星期日的日温差：，
∴在这周内，日温差最大的星期五，当天日温差为
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的大小比较-直接比较法；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：（1）由图可得，日最低气温达到最小值是星期二，当天的日最低气温为，
故答案为：；
【分析】（1）根据图形折线图和正负数的实际意义写出即可；
（2）先作差求出每天的日温差，再比较大小即可.
（1）解：在这周内，日最低气温达到最小值是星期二，当天的日最低气温为，
故答案为：；
（2）解：星期一的日温差：，
星期二的日温差：，
星期三的日温差：，
星期四的日温差：，
星期五的日温差：，
星期六的日温差：，
星期日的日温差：，
所以在这周内，日温差最大的星期五，当天日温差为．
16．（2025七上·永吉期末）计算
【答案】解：
=
=
=-85
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】先分别计算出乘方72=49、（-3）2=9、，然后进行乘除法运算，最后进行加减法运算即可．
17．（2025七上·永吉期末）计算：．
【答案】解：
【知识点】整式的加减运算
【解析】【分析】先去括号，再合并同类项进行化简即可．
18．（2025七上·永吉期末）∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度
【答案】解：∵ ∠α的补角是它的3倍，
∴3∠α=180°－∠α
解得：∠α=45°.
∴ 为 45°．
【知识点】补角
【解析】【分析】根据“互为补角的两个角和为180°”表示出∠α的补角，再根据题意列方程并求解即可.
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（2025七上·永吉期末）已知两个整式，其中整式B的x的系数■被污染．
（1）若■是，则_______．（用含x的式子表示）
（2）当时，的值为18．
①_______．
②若a的倒数等于它本身，则的值是多少？
【答案】（1）
（2）解：①2；
②的倒数等于它本身，
或．
则，
当时，．
当时，．
当时，．
∴的值是3或1
【知识点】整式的加减运算；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，，
∴，
故答案为：．
（2）①由题意可得，，，
∴；
∴，
故答案为：2；
【分析】（1）将■是代入A+B，在进行化简即可；
（2）①将代入 ，再计算求解即可；
②先根据倒数的定义得或．再化简A-B，然后代入代入求解即可．
（1）解：依题意，，
∴，
故答案为：．
（2）解：①依题意，，，
∴；
∴，
故答案为：2；
②的倒数等于它本身，
或．
则，
当时，．
当时，．
当时，．
20．（2025七上·永吉期末）如图①，在平整的地面上，用多个棱长均为的小正方体堆成一个几何体．
（1）在图①中，共有_______个小正方体．
（2）在图②，图③中分别画出这个几何体的主视图（从前面看）与俯视图（从上面看），并写出俯视图的面积．
（3）若现在你还有一些棱长均为的小正方体，要求保持俯视图（从上面看）与左视图（从左面看）的形状不变，最多可以再添加_______个小正方体．
【答案】（1）9
（2）解：几何体的主视图（从前面看）与俯视图（从上面看），如图所示．
俯视图的面积为
（3）5
【知识点】作图﹣三视图；已知三视图进行几何体的相关计算；由三视图判断小正方体的个数；小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：（1）根据拼图可知，堆成如图所示的几何体需要9个小正方体，
故答案为：9；
（3）要求保持俯视图（从上面看）与左视图（从左面看）的形状不变，最多可以再添加5个小正方体，如图所示：
故答案为：5.
【分析】（1）根据拼图直接写出答案即可；
（2）先根据几何体的主视图（从前面看）与俯视图（从上面看），画出主视图、俯视图，再根据每个正方形的面积为1，求出俯视图的面积即可；
（3）根据三视图的特点，添加相应数量的正方体，直至最多即可.
（1）解：根据拼图可知，堆成如图所示的几何体需要9个小正方体，
故答案为：9；
（2）如图所示．
俯视图的面积为，
（3）要求保持俯视图（从上面看）与左视图（从左面看）的形状不变，最多可以再添加5个小正方体．
故答案为：5
21．（2025七上·永吉期末）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手捂住了部分多项式，形式如下：
（1）求所捂住的多项式．
（2）若，求所捂住的多项式的值．
【答案】（1）解：由题意可得：
（2）解：，，
∴原式
【知识点】利用整式的加减运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据整式的减法法则和合并同类项求解即可；
（2）先根据绝对值和偶次方的非负性求出a、b，再把的值代入求解即可.
（1）解：根据题意，得：
．
（2），
，
∴原式．
22．（2025七上·永吉期末）如图，射线表示的方向是北偏东，射线表示的方向是北偏东，已知图中．
（1）求的度数．
（2）写出射线的方向．
【答案】（1）解：射线表示的方向是北偏东，如图所示，
．
射线表示的方向是北偏东，
，
（2）解：，
．
∴射线的方向为北偏西
【知识点】角的运算；方位角
【解析】【分析】（1）先根据方向角求出∠MOA和∠MOB，再利用角的和差关系计算即可；
（2）根据角的和差关系计算求解出∠MOC，再利用方向角写出即可．
（1）解：如图，射线表示的方向是北偏东，
．
射线表示的方向是北偏东，
，
．
（2）解：，
．
∴射线的方向为北偏西．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（2025七上·永吉期末）环卫工人是城市的美容师，他们的辛勤劳动，为城市的整洁美丽做出了贡献．元旦前夕为感谢环卫工人的辛苦付出，某校七年级（1）班的“文化”和“智慧”两个小组一起计划做一批蛇年贺卡．如果每人做8张，那么比计划多23张；如果每人做5张，那么比计划少25张．求这两个小组一共多少人？计划做多少张蛇年贺卡？
这两个小组分别列出了如下尚不完整的方程，
“文化”小组的方程：．
“智慧”小组的方程：．
（1）“ ”内的运算符号是_______，“（　　）”内的数字是_______．
（2）未知数x表示的意义是_______，未知数y表示的意义是_______．
（3）试选择一种方法，将原题中的问题解答完成．
【答案】（1）+；23
（2）这两个小组的总人数；计划做“蛇年贺卡”的个数.
（3）解：设该小组有x人，根据题意，得，
解得．
计划做“蛇年贺卡”的个数为个．
答：这两个小组共有16人，计划做105张蛇年贺卡
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：（1）根据如果每人做8张，那么比计划多23张，如果每人做5张，那么比计划少25张．
可补充“文化”小组的方程：．
可补充“智慧”小组的方程为：．
故答案为：+；23；
（2）由（1）中和可得未知数x表示的是这两个小组的总人数，未知数y表示的是计划做“蛇年贺卡”的个数；
故答案为：这两个小组的总人数；计划做“蛇年贺卡”的个数.
【分析】（1）根据“文化”小组做“感谢贺卡”的个数不变列出方程，进行补全“ ”；根据“智慧”小组的小组的人数不变列出方程，进行补全“（　　）”即可；
（2）根据（1）中“文化”小组做“感谢贺卡”的个数不变和“智慧”小组的小组的人数不变得到x，y的意义即可；
（3）根据“文化”小组的方程求解即可．
（1）根据如果每人做8张，那么比计划多23张，如果每人做5张，那么比计划少25张．
可补充“文化”小组的方程：．
可补充“智慧”小组的方程为：．
故答案为：+；23；
（2）未知数x表示的是这两个小组的总人数，未知数y表示的是计划做“蛇年贺卡”的个数；
（3）方法一：设该小组有x人，
根据题意，得，
解得．
计划做“蛇年贺卡”的个数为个．
答：这两个小组共有16人，计划做105张蛇年贺卡．
方法二：设计划做“蛇年贺卡”的个数为y个，
根据题意，得，
解得．
两个小组总人数为人．
答：这两个小组共有16人，计划做105张蛇年贺卡．
24．（2025七上·永吉期末）一根长的弹簧，一端是固定的，如果另一端挂上物体，那么在正常情况下物体的质量每增加，可使弹簧增长．
（1）正常情况下，当挂上的物体的质量为时，弹簧的长度是_______．
（2）正常情况下，当挂上的物体的质量为时，弹簧的长度是_______．（用含的式子表示）
（3）正常情况下，当弹簧的长度为时，所挂物体的质量是多少？
（4）若弹簧的长度超过了，弹簧就会失去弹性，则此弹簧能否挂上质量为的物体？为什么？
【答案】（1）
（2）
（3）解：∵弹簧的长度是，
∴，
解得：，
∴当弹簧的长度为时，所挂物体的质量是
（4）解：弹簧不能挂上质量为的物体，理由如下：
当弹簧挂上质量为的物体时，弹簧长度为，
∴弹簧会失去弹性，
∴弹簧不能挂上质量为的物体
【知识点】一元一次方程的其他应用；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）由题意得：弹簧的长度是，
故答案为：；
【分析】（）根据每增加，可使弹簧增长，计算原长度+两次增长量即可；
（）根据每增加，可使弹簧增长，列出代数式即可；
（）由（2）中的代数式计算求解即可；
（）先求出挂上质量为的物体时求出弹簧长度，与比较看是否失去弹性即可；
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：由题意得：弹簧的长度是，
故答案为：；
（3）解：当弹簧的长度是时，
∴，
解得：，
答：当弹簧的长度为时，所挂物体的质量是；
（4）解：弹簧不能挂上质量为的物体，理由：
当弹簧挂上质量为的物体时，
∴弹簧不能挂上质量为的物体．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（2025七上·永吉期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．通过研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图①，若数轴上点A，点B表示的数分别为，则两点之间的距离．
【问题情境】如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动4个单位长度到达点A，再向右移动5个单位长度到达点B，然后再向右移动6个单位长度到达点C．
【问题探究】根据以上信息，请你解答下列问题．
（1）请你在图②中表示出三点的位置．
（2）两点之间的距离_______．
（3）若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点M，点N从点B，点C分别以每秒2个单位长度，每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为t秒．
①在数轴上，点P表示的数为_______，点M表示的数为_______，点N表示的数为_______．（含t的式子表示）
②在点移动的过程中，求出的值．
【答案】（1）解：由题意可得：点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，
、、三点如图所示：
（2）11
（3）解：①，，；
② 由①得，，
，
∴
【知识点】整式的加减运算；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的动点往返运动模型；数形结合
【解析】【解答】解：（2）由（1）可得点A表示的数为，点C表示的数为，
∴．
故答案为：
（3）①点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴秒时，点表示的数为，
点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴秒时，点表示的数为，
点N从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴秒时，点表示的数为．
故答案为：；；；
【分析】（1）根据左减右加找出点A、B、C表示的数，再在数轴上画出即可；
（2）根据数轴上两点间距离公式计算即可；
（3）①根据点P、M、N的运动方向和运动速度计算出点、点、点的表示的数即可；
②根据两点之间的距离公式代入求解即可．
（1）解：一个点从数轴上的原点开始，先向左移动4个单位长度到达点A，再向右移动5个单位长度到达点B，然后再向右移动6个单位长度到达点C．
即：点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，
、、三点如图所示：
（2）由（1）可得点A表示的数为，点C表示的数为，
∴．
故答案为：
（3）①点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，可得秒时，点表示的数为，
点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．可得秒时，点表示的数为，
点N从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．可得秒时，点表示的数为．
②由①得，，
，
∴
26．（2025七上·永吉期末）【阅读材料】把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素（集合中的元素不能重复）．如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如：就是一个黄金集合．
【回答问题】根据以上信息，请你解答下列问题．
（1）集合_______黄金集合，集合_______黄金集合．（填“是”或“不是”）
（2）请你任意写出一个含有四个元素的黄金集合_______．
（3）已知集合是黄金合，b是方程的解，求的值．
（4）请你直接写出任意两个含有三个元素的黄金集合．
【答案】（1）是，不是
（2）
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
集合是黄金集合，
，
（4）
【知识点】有理数的减法法则；解含分数系数的一元一次方程；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴集合是黄金集合．
∵，而集合中没有元素9，
∴不是黄金集合；
故答案为：是，不是；
（2），
是黄金集合，
故答案为：；
（4），
是黄金集合，
，
是黄金集合，
故答案为：.
【分析】（1）根据黄金集合的定义，逐项计算判断即可；
（2）根据黄金集合的定义成对出现的元素的和为8找出即可；
（3）先解方程求出b的值，再根据黄金集合的定义求出的值，最后代值计算即可；
（3）根据黄金集合的定义成对出现的元素的和为8找出即可．
（1）解：根据题意可得，，，
∴集合是黄金集合．
，而集合中没有元素9，故不是黄金集合；
故答案为：是，不是；
（2）解：，
是黄金集合，
故答案为：（答案不唯一）；
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
集合是黄金集合，
，
；
（4）解：，
是黄金集合，
，
是黄金集合，
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