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四川省泸州市泸县2025年中考一模数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置）
1．（2025·泸县模拟）把一元二次方程化成一般式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，且a≠0)，一般式的特点是：等号左边是一个关于未知数的二次整式，等号右边是0，据此将方程左边利用平方差公式展开，然后将方程右边的项移到方程的左边，并将左边的多项式按x作降幂排列即可得出答案.
2．（2025·泸县模拟）下列图形中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、此选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．（2025·泸县模拟）从，0，，这四个数中任取一个数，取到无理数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式；无理数的概念
【解析】【解答】解：观察得一共有4个数，其中的无理数有，，共2个，
∵每个数被取到的概率相同，
∴从这4个数中任取一个数，取到无理数的概率是，
故答案为：A．
【分析】直接用无理数的个数除以数的总个数即可得到答案．
4．（2025·泸县模拟）点关于原点的对称点是　　
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点P(4，﹣3)关于原点的对称点是(﹣4，3)．
故答案为：C．
【分析】关于原点对称的两个点的横、纵坐标都互为相反数，即P(x，y)关于原点O的对称点是P'(﹣x，﹣y)．
5．（2025·泸县模拟）如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么这两个三角形的对应中线的比为（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，
∴两个相似三角形的相似比为1：4，
∴这两个三角形的对应中线的比为1：4．
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的性质可得答案。
6．（2025·泸县模拟）如图，正六边形内接于，，则的长为（　　）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解： ∵是正六边形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
故答案为：C．
【分析】由正n边形的中心角为“”可求得，从而根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△AOB为等边三角形，最后根据等边三角形的三边相等可得AB的长.
7．（2025·泸县模拟）对于抛物线的说法不正确的是（　　）
A．开口向上 B．图象经过第一、二、三象限
C．函数最小值是2 D．当时，随的增大而减小
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数，，
该函数的图象开口向上，图象经过第一、二象限，对称轴是轴，顶点坐标为，有最小值2，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；
故选项A、C、D说法正确，选项B说法错误.
故答案为：B．
【分析】二次函数y=a(x-h)2+k中，顶点坐标为(h，k)，对称轴直线为x=h；当a＞0时，抛物线开口向上，当x=h时函数有最小值k，当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大；当a＜0时，抛物线开口向下，当x=h时函数有最大值k，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，据此即可分析函数y=5x2+2的开口方向、经过的象限，顶点坐标、函数最值及增减性，从而逐一判断得出答案.
8．（2025·泸县模拟）如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据圆周角定理可得，利用垂直的定义可得，再利用直角三角形的两个锐角互余解题即可．
9．（2025·泸县模拟）已知一个圆锥的母线长为是30，底面半径为10，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（　　）
A．90° B．100° C．120° D．150°
【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
根据题意得2π×10＝，
解得n＝120，
即这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°．
故答案为：C．
【分析】根据弧长公式“”，结合圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形得弧长建立方程，求解即可.
10．（2025·泸县模拟）已知中，， ，第三边的长为一元二次方程的一个根，则三角形的周长为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：，
(x-2)(x-5)=0，
解得：或，
，
，
，，
，
三角形的周长为：
，
故答案为：D．
【分析】先利用因式分解法解一元二次方程求出方程的根，然后根据三角形三边之间的关系“ 三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ”确定第三边BC的长，最后根据三角形周长计算公式求出三角形的周长即可．
11．（2025·泸县模拟）如图，在中，，，，是的内切圆，则的半径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；切线的性质；三角形的内切圆与内心；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，设△ABC三边内切于点D、E、F，连接OD、OE、OF、OA、OB、OC，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
设的半径为，
，，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：A ．
【分析】由圆的切线垂直经过切点的半径得OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，由同圆半径相等可得OD=OE=OF=r，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出BC的长，然后根据S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，结合三角形面积公式建立方程，求解可得r的值，从而得出答案.
12．（2025·泸县模拟）抛物线过四个点，若四个数中有且只有一个大于零，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由题意，该抛物线的对称轴为直线，
∴两点关于对称轴x=1对称，即y1=y2，
∵四个数中有且只有一个大于零，
∴y1=y2≤0，
当a＜0时，抛物线开口向下，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，又1+＜3＜4，
∴y3、y4必小于0，不符合题意，
∴a＞0，则当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴y3≤0、y4＞0，
∴，
解得：，
故答案为：D．
【分析】根据该抛物线的解析式结合对称轴直线公式可求得对称轴为直线x=1，再根据抛物线的对称性及题意判断出y1=y2≤0；分a＜0和a＞0，根据二次函数增减性及四个数中有且只有一个大于零列出关于a的不等式组，求解即可.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（2025·泸县模拟）将抛物线向右平移个单位后，所得新抛物线的顶点坐标为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向右平移个单位后，所得新抛物线的解析式为：
，
其顶点坐标为，
故答案为：．
【分析】先根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”求出平移后的抛物线解析式，进而根据抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标为（h，k）可直接得出答案.
14．（2025·泸县模拟）已知⊙O的半径为6，圆心到直线AB距离5，直线AB与⊙O的位置关系是　 　．
【答案】相交
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：根据圆心到直线的距离5小于圆的半径6，则直线和圆相交．
故答案为：相交．
【分析】设圆的半径为r，直线到圆心的距离为d，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交，据此判断即可得出答案.
15．（2025·泸县模拟）三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张记为，将数字牌放回洗匀后，再随机抽取一张记为，则的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意，画出树状图如下：
一共有9种等可能结果，其中的有6种，
∴的概率是．
故答案为：．
【分析】此题是抽取放回类型，根据题意利用树状图列举出所有等可能的情况数，由图可得一共有9种等可能结果，其中a≤b的有6种，从而根据概率公式计算即可.
16．（2025·泸县模拟）如图，直线与轴、轴分别相交于，两点，是该直线上的任一点，过点向以为圆心，为半径的作两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】切线的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；切线长定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
当时，，当时，，
∴，，
∴，OA=OB，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∵过点向以P为圆心，为半径的作两条切线，切点分别为E、F，
∴，，
∵，，
∴，
∵A（-1，0），D（3，0）。
∴AD=4，
当时，最小，从而最小，此时，
∵的半径为，
∴，
∵四边形面积，
∴四边形面积的最小值为．
故答案为：．
【分析】连接，分别令y=x+1中的y=0与x=0算出对应的x与y的值，得出A，B的坐标，利用平面内两点间的距离公式求出AB的长，即可得出的半径；由切线长定理得DE=DF，从而利用“SSS”证△PED≌△PFD；根据垂线段最短得出当DP⊥AP时，DP最小，由∠BAO的正弦函数求出PD的长，然后根据勾股定理算出DE的长，根据图形得S四边形PEDF=2S△PED，进而根据三角形面积公式列式计算即可.
三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
17．（2025·泸县模拟）解方程：
【答案】解：
移项得：
提公因式得：
或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】把x-2看成一个整体，将方程右边整体移到方程左边，然后将方程左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可得出原方程的解.
18．（2025·泸县模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值．
【答案】（1）解：根据题意得Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0，
解得m≤；
（2）解：根据题意得x1+x2=1，x1x2=2m-4，∵（x1-3）（x2-3）=m2-1，
∴x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1，
∴2m-4-3×1+9=m2-1，
∴m2-2m-3=0，
解得m1=-1，m2=3（不合题意，舍去）．
故m的值是-1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用判别式得到Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0，解得m≤；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=2m-4，（x1-3）（x2-3）=m2-1变形得到x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1，代入得到关于m的方程，解得解得m1=-1，m2=3（不合题意，舍去）．
（1）解：根据题意得Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0，
解得m≤；
（2）根据题意得x1+x2=1，x1x2=2m-4，
∵（x1-3）（x2-3）=m2-1，
∴x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1，
∴2m-4-3×1+9=m2-1，
∴m2-2m-3=0，
解得m1=-1，m2=3（不合题意，舍去）．
故m的值是-1．
19．（2025·泸县模拟）如图，已知点在圆上，为的一条割线，．
（1）求证：；
（2）若，，求．
【答案】（1）证明：，，
；
（2）解：由（1）得：，
，
，
，
，，
，
．
【知识点】母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由有两组角相等的两个三角形相似得△PBC∽△PCA；
（2）由相似三角形对应边成比例得到，则，由线段之间的和差关系可得，然后代值计算即可得出PC的长.
（1）证明：，，
；
（2）解：由（1）得：，
，
，
，
，，
，
．
四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
20．（2025·泸县模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－1，1），B（－3，1），C（－1，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形；
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）
【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2BC2即为所求，
∵B（-3，1），C（-1，4），
∴，
∴线段BC旋转过程中所扫过得面积为．
【知识点】扇形面积的计算；关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）由坐标点关于y轴对称的规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变，得△A1B1C1各点的坐标，再画出三角形；
(2)根据旋转的性质得△A2BC2各点的坐标，再画出三角形，然后利用两点距离公式求出BC的值，最后利用扇形面积计算公式进行求解.
21．（2025·泸县模拟）已知二次函数．
（1）请直接写出该二次函数的顶点式：_____________；
（2）请你在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
（3）根据图像回答问题：当时，的取值范围是___________．
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
x ..． ﹣1 0 1 2 3 ..．
y ..． 0 3 4 3 0 ..．
描点、连线，如图所示：
（3）
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】（1）解：
，
该二次函数的顶点式为；
解：由函数图象可知，二次函数对称轴为，
当时，；
当时，；
当时，．
【分析】（1）根据配方法将二次函数一般式化为顶点式即可求出答案.
（2）根据描点法：列表、描点、连线即可得到二次函数图象。
（3）根据二次函数图象与性质，求出当时，；当时，；即可求出答案.
（1）解：
，
该二次函数的顶点式为；
（2）解：列表如下：
x ..． ﹣1 0 1 2 3 ..．
y ..． 0 3 4 3 0 ..．
描点、连线，如图所示：
（3）解：由函数图象可知，二次函数对称轴为，
当时，；
当时，；
当时，．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
22．（2025·泸县模拟）无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获节，某班同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考．
收集数据：
同学们从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示．
将所收集的样本数据进行如下分组：
组别 A B C D E
x
整理数据：
同学们绘制了甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下：
（1）求图1中的值；
（2）求甲园样本数据的中位数在哪一组？
（3）结合市场情况，将，两组的柑橘认定为二级，若乙园采摘的柑橘共2400个，请你估计乙园二级柑橘共有多少个？
【答案】（1）解：由题意得：
；
（2）解：且，
答：甲园样本数据的中位数在组；
（3）解：（个），
答：估计乙园二级柑橘共有约个．
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据直方图1提供的信息，由各组频数之和等于本次调查抽取总数据即可求出a的值；
（2）将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此结合图1提供的信息即可直接得出答案；
（3）利用样本估计总体思想，用乙园共采摘柑橘总个数乘以样本中乙园柑橘二级所占的百分比即可估计出乙园二级柑橘的总个数.
（1）解：由题意得：
；
（2）解：且，
答：甲园样本数据的中位数在组；
（3）解：（个），
答：估计乙园二级柑橘共有约个．
23．（2025·泸县模拟）某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元．
（1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率；
（2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【答案】解：（1）设这个降价率为，由题意得
；
解得：，（舍去）
答：这个降价率为10%
（2）设每千克水果应涨价元，
依题意得方程：，
整理，得，
解这个方程，得，．
要使顾客得到实惠，应取．
答：每千克水果应涨价5元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1) 设这个降价率为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案. (2)设每千克水果应涨价元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．（2025·泸县模拟）如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，．
（1）求证：是的切线；
（2）点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，， 求的长．
【答案】（1）证明：连接
，
，
，
，
∵是的直径，
，
，
，
是的切线，
（2）解：，，
，
，
设的半径为，
，
在 中，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
又
，
，
，
即
，
经检验是所列方程的解，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接OC，由等边对等角及已知可推出∠DCA=∠OCB，由直径所对的圆周角为直角得出，根据角的构成、等量代换推出，从而根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可证明是的切线；
（2）由有两组角相等的两个三角形相似证明，由相似三角形对应边成比例建立方程结合已知可求得圆的半径为8，在Rt△OCD中，利用勾股定理求得CD=6，由等角的余角相等及对顶角相等推出∠ECF=∠EFC，由等角对等边得出EC=EF，然后结合 可求出CE的长.
（1）证明：连接
，
，
，
，
而是的直径，
，
，
，
是的切线，
（2），，
，
，
设的半径为，
，
在 中，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
又
，
，
，
即
，
经检验是所列方程的解，
．
25．（2025·泸县模拟）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．
（1）求b的值；
（2）点在抛物线上，点在抛物线上．
（ⅰ）若，且，，求h的值；
（ⅱ）若，求h的最大值．
【答案】（1）解：∵ 抛物线（b为常数）的顶点横坐标为x=， 抛物线顶点横坐标为x=1
∴-1=1，
解得b=4.
（2）∵ 点在抛物线上 ，
∴，
∵点在抛物线上 ，
∴，
∴，
整理得h=-t2-2x1t+2x1+4t，
（ⅰ） 若 ，则3t=-t2-2x1t+2x1+4t，
整理t(t+2x1)=t+2x1，
∵，，
∴t+2x1＞0，
∴t=1，
∴h=3t=3.
（ⅱ）把 代入h=-t2-2x1t+2x1+4t中得h=-3t2+8t-2=-3（t-）2+
∵-3＜0，
∴当t=时，h取最大值，最大值为.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）分别求出各抛物线的顶点的横坐标，再利用1抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1，建立关于b的等式并解之即可；
（2） 把点点分别代入各函数解析式中，从而求出h=-t2-2x1t+2x1+4t，（ⅰ） 若，即得3t=-t2-2x1t+2x1+4t，解之即可；
（ⅱ）把 代入h=-t2-2x1t+2x1+4t中得h=-3t2+8t-2=-3（t-）2+，利用二次函数的性质求解即可.
1 / 1四川省泸州市泸县2025年中考一模数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置）
1．（2025·泸县模拟）把一元二次方程化成一般式为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·泸县模拟）下列图形中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·泸县模拟）从，0，，这四个数中任取一个数，取到无理数的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·泸县模拟）点关于原点的对称点是　　
A． B． C． D．
5．（2025·泸县模拟）如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么这两个三角形的对应中线的比为（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
6．（2025·泸县模拟）如图，正六边形内接于，，则的长为（　　）
A．2 B． C．1 D．
7．（2025·泸县模拟）对于抛物线的说法不正确的是（　　）
A．开口向上 B．图象经过第一、二、三象限
C．函数最小值是2 D．当时，随的增大而减小
8．（2025·泸县模拟）如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·泸县模拟）已知一个圆锥的母线长为是30，底面半径为10，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（　　）
A．90° B．100° C．120° D．150°
10．（2025·泸县模拟）已知中，， ，第三边的长为一元二次方程的一个根，则三角形的周长为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
11．（2025·泸县模拟）如图，在中，，，，是的内切圆，则的半径为（　　）
A． B． C． D．
12．（2025·泸县模拟）抛物线过四个点，若四个数中有且只有一个大于零，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（2025·泸县模拟）将抛物线向右平移个单位后，所得新抛物线的顶点坐标为　 　．
14．（2025·泸县模拟）已知⊙O的半径为6，圆心到直线AB距离5，直线AB与⊙O的位置关系是　 　．
15．（2025·泸县模拟）三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张记为，将数字牌放回洗匀后，再随机抽取一张记为，则的概率是　 　．
16．（2025·泸县模拟）如图，直线与轴、轴分别相交于，两点，是该直线上的任一点，过点向以为圆心，为半径的作两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
17．（2025·泸县模拟）解方程：
18．（2025·泸县模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值．
19．（2025·泸县模拟）如图，已知点在圆上，为的一条割线，．
（1）求证：；
（2）若，，求．
四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
20．（2025·泸县模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－1，1），B（－3，1），C（－1，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形；
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）
21．（2025·泸县模拟）已知二次函数．
（1）请直接写出该二次函数的顶点式：_____________；
（2）请你在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
（3）根据图像回答问题：当时，的取值范围是___________．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
22．（2025·泸县模拟）无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获节，某班同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考．
收集数据：
同学们从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示．
将所收集的样本数据进行如下分组：
组别 A B C D E
x
整理数据：
同学们绘制了甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下：
（1）求图1中的值；
（2）求甲园样本数据的中位数在哪一组？
（3）结合市场情况，将，两组的柑橘认定为二级，若乙园采摘的柑橘共2400个，请你估计乙园二级柑橘共有多少个？
23．（2025·泸县模拟）某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元．
（1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率；
（2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．（2025·泸县模拟）如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，．
（1）求证：是的切线；
（2）点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，， 求的长．
25．（2025·泸县模拟）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．
（1）求b的值；
（2）点在抛物线上，点在抛物线上．
（ⅰ）若，且，，求h的值；
（ⅱ）若，求h的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，且a≠0)，一般式的特点是：等号左边是一个关于未知数的二次整式，等号右边是0，据此将方程左边利用平方差公式展开，然后将方程右边的项移到方程的左边，并将左边的多项式按x作降幂排列即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、此选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．【答案】A
【知识点】概率公式；无理数的概念
【解析】【解答】解：观察得一共有4个数，其中的无理数有，，共2个，
∵每个数被取到的概率相同，
∴从这4个数中任取一个数，取到无理数的概率是，
故答案为：A．
【分析】直接用无理数的个数除以数的总个数即可得到答案．
4．【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点P(4，﹣3)关于原点的对称点是(﹣4，3)．
故答案为：C．
【分析】关于原点对称的两个点的横、纵坐标都互为相反数，即P(x，y)关于原点O的对称点是P'(﹣x，﹣y)．
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，
∴两个相似三角形的相似比为1：4，
∴这两个三角形的对应中线的比为1：4．
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的性质可得答案。
6．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解： ∵是正六边形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
故答案为：C．
【分析】由正n边形的中心角为“”可求得，从而根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△AOB为等边三角形，最后根据等边三角形的三边相等可得AB的长.
7．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数，，
该函数的图象开口向上，图象经过第一、二象限，对称轴是轴，顶点坐标为，有最小值2，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；
故选项A、C、D说法正确，选项B说法错误.
故答案为：B．
【分析】二次函数y=a(x-h)2+k中，顶点坐标为(h，k)，对称轴直线为x=h；当a＞0时，抛物线开口向上，当x=h时函数有最小值k，当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大；当a＜0时，抛物线开口向下，当x=h时函数有最大值k，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，据此即可分析函数y=5x2+2的开口方向、经过的象限，顶点坐标、函数最值及增减性，从而逐一判断得出答案.
8．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据圆周角定理可得，利用垂直的定义可得，再利用直角三角形的两个锐角互余解题即可．
9．【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
根据题意得2π×10＝，
解得n＝120，
即这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°．
故答案为：C．
【分析】根据弧长公式“”，结合圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形得弧长建立方程，求解即可.
10．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：，
(x-2)(x-5)=0，
解得：或，
，
，
，，
，
三角形的周长为：
，
故答案为：D．
【分析】先利用因式分解法解一元二次方程求出方程的根，然后根据三角形三边之间的关系“ 三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ”确定第三边BC的长，最后根据三角形周长计算公式求出三角形的周长即可．
11．【答案】A
【知识点】三角形的面积；切线的性质；三角形的内切圆与内心；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，设△ABC三边内切于点D、E、F，连接OD、OE、OF、OA、OB、OC，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
设的半径为，
，，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：A ．
【分析】由圆的切线垂直经过切点的半径得OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，由同圆半径相等可得OD=OE=OF=r，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出BC的长，然后根据S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，结合三角形面积公式建立方程，求解可得r的值，从而得出答案.
12．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由题意，该抛物线的对称轴为直线，
∴两点关于对称轴x=1对称，即y1=y2，
∵四个数中有且只有一个大于零，
∴y1=y2≤0，
当a＜0时，抛物线开口向下，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，又1+＜3＜4，
∴y3、y4必小于0，不符合题意，
∴a＞0，则当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴y3≤0、y4＞0，
∴，
解得：，
故答案为：D．
【分析】根据该抛物线的解析式结合对称轴直线公式可求得对称轴为直线x=1，再根据抛物线的对称性及题意判断出y1=y2≤0；分a＜0和a＞0，根据二次函数增减性及四个数中有且只有一个大于零列出关于a的不等式组，求解即可.
13．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向右平移个单位后，所得新抛物线的解析式为：
，
其顶点坐标为，
故答案为：．
【分析】先根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”求出平移后的抛物线解析式，进而根据抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标为（h，k）可直接得出答案.
14．【答案】相交
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：根据圆心到直线的距离5小于圆的半径6，则直线和圆相交．
故答案为：相交．
【分析】设圆的半径为r，直线到圆心的距离为d，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交，据此判断即可得出答案.
15．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意，画出树状图如下：
一共有9种等可能结果，其中的有6种，
∴的概率是．
故答案为：．
【分析】此题是抽取放回类型，根据题意利用树状图列举出所有等可能的情况数，由图可得一共有9种等可能结果，其中a≤b的有6种，从而根据概率公式计算即可.
16．【答案】
【知识点】切线的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；切线长定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
当时，，当时，，
∴，，
∴，OA=OB，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∵过点向以P为圆心，为半径的作两条切线，切点分别为E、F，
∴，，
∵，，
∴，
∵A（-1，0），D（3，0）。
∴AD=4，
当时，最小，从而最小，此时，
∵的半径为，
∴，
∵四边形面积，
∴四边形面积的最小值为．
故答案为：．
【分析】连接，分别令y=x+1中的y=0与x=0算出对应的x与y的值，得出A，B的坐标，利用平面内两点间的距离公式求出AB的长，即可得出的半径；由切线长定理得DE=DF，从而利用“SSS”证△PED≌△PFD；根据垂线段最短得出当DP⊥AP时，DP最小，由∠BAO的正弦函数求出PD的长，然后根据勾股定理算出DE的长，根据图形得S四边形PEDF=2S△PED，进而根据三角形面积公式列式计算即可.
17．【答案】解：
移项得：
提公因式得：
或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】把x-2看成一个整体，将方程右边整体移到方程左边，然后将方程左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可得出原方程的解.
18．【答案】（1）解：根据题意得Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0，
解得m≤；
（2）解：根据题意得x1+x2=1，x1x2=2m-4，∵（x1-3）（x2-3）=m2-1，
∴x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1，
∴2m-4-3×1+9=m2-1，
∴m2-2m-3=0，
解得m1=-1，m2=3（不合题意，舍去）．
故m的值是-1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用判别式得到Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0，解得m≤；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=2m-4，（x1-3）（x2-3）=m2-1变形得到x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1，代入得到关于m的方程，解得解得m1=-1，m2=3（不合题意，舍去）．
（1）解：根据题意得Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0，
解得m≤；
（2）根据题意得x1+x2=1，x1x2=2m-4，
∵（x1-3）（x2-3）=m2-1，
∴x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1，
∴2m-4-3×1+9=m2-1，
∴m2-2m-3=0，
解得m1=-1，m2=3（不合题意，舍去）．
故m的值是-1．
19．【答案】（1）证明：，，
；
（2）解：由（1）得：，
，
，
，
，，
，
．
【知识点】母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由有两组角相等的两个三角形相似得△PBC∽△PCA；
（2）由相似三角形对应边成比例得到，则，由线段之间的和差关系可得，然后代值计算即可得出PC的长.
（1）证明：，，
；
（2）解：由（1）得：，
，
，
，
，，
，
．
20．【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2BC2即为所求，
∵B（-3，1），C（-1，4），
∴，
∴线段BC旋转过程中所扫过得面积为．
【知识点】扇形面积的计算；关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）由坐标点关于y轴对称的规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变，得△A1B1C1各点的坐标，再画出三角形；
(2)根据旋转的性质得△A2BC2各点的坐标，再画出三角形，然后利用两点距离公式求出BC的值，最后利用扇形面积计算公式进行求解.
21．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
x ..． ﹣1 0 1 2 3 ..．
y ..． 0 3 4 3 0 ..．
描点、连线，如图所示：
（3）
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】（1）解：
，
该二次函数的顶点式为；
解：由函数图象可知，二次函数对称轴为，
当时，；
当时，；
当时，．
【分析】（1）根据配方法将二次函数一般式化为顶点式即可求出答案.
（2）根据描点法：列表、描点、连线即可得到二次函数图象。
（3）根据二次函数图象与性质，求出当时，；当时，；即可求出答案.
（1）解：
，
该二次函数的顶点式为；
（2）解：列表如下：
x ..． ﹣1 0 1 2 3 ..．
y ..． 0 3 4 3 0 ..．
描点、连线，如图所示：
（3）解：由函数图象可知，二次函数对称轴为，
当时，；
当时，；
当时，．
22．【答案】（1）解：由题意得：
；
（2）解：且，
答：甲园样本数据的中位数在组；
（3）解：（个），
答：估计乙园二级柑橘共有约个．
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据直方图1提供的信息，由各组频数之和等于本次调查抽取总数据即可求出a的值；
（2）将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此结合图1提供的信息即可直接得出答案；
（3）利用样本估计总体思想，用乙园共采摘柑橘总个数乘以样本中乙园柑橘二级所占的百分比即可估计出乙园二级柑橘的总个数.
（1）解：由题意得：
；
（2）解：且，
答：甲园样本数据的中位数在组；
（3）解：（个），
答：估计乙园二级柑橘共有约个．
23．【答案】解：（1）设这个降价率为，由题意得
；
解得：，（舍去）
答：这个降价率为10%
（2）设每千克水果应涨价元，
依题意得方程：，
整理，得，
解这个方程，得，．
要使顾客得到实惠，应取．
答：每千克水果应涨价5元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1) 设这个降价率为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案. (2)设每千克水果应涨价元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
24．【答案】（1）证明：连接
，
，
，
，
∵是的直径，
，
，
，
是的切线，
（2）解：，，
，
，
设的半径为，
，
在 中，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
又
，
，
，
即
，
经检验是所列方程的解，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接OC，由等边对等角及已知可推出∠DCA=∠OCB，由直径所对的圆周角为直角得出，根据角的构成、等量代换推出，从而根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可证明是的切线；
（2）由有两组角相等的两个三角形相似证明，由相似三角形对应边成比例建立方程结合已知可求得圆的半径为8，在Rt△OCD中，利用勾股定理求得CD=6，由等角的余角相等及对顶角相等推出∠ECF=∠EFC，由等角对等边得出EC=EF，然后结合 可求出CE的长.
（1）证明：连接
，
，
，
，
而是的直径，
，
，
，
是的切线，
（2），，
，
，
设的半径为，
，
在 中，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
又
，
，
，
即
，
经检验是所列方程的解，
．
25．【答案】（1）解：∵ 抛物线（b为常数）的顶点横坐标为x=， 抛物线顶点横坐标为x=1
∴-1=1，
解得b=4.
（2）∵ 点在抛物线上 ，
∴，
∵点在抛物线上 ，
∴，
∴，
整理得h=-t2-2x1t+2x1+4t，
（ⅰ） 若 ，则3t=-t2-2x1t+2x1+4t，
整理t(t+2x1)=t+2x1，
∵，，
∴t+2x1＞0，
∴t=1，
∴h=3t=3.
（ⅱ）把 代入h=-t2-2x1t+2x1+4t中得h=-3t2+8t-2=-3（t-）2+
∵-3＜0，
∴当t=时，h取最大值，最大值为.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）分别求出各抛物线的顶点的横坐标，再利用1抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1，建立关于b的等式并解之即可；
（2） 把点点分别代入各函数解析式中，从而求出h=-t2-2x1t+2x1+4t，（ⅰ） 若，即得3t=-t2-2x1t+2x1+4t，解之即可；
（ⅱ）把 代入h=-t2-2x1t+2x1+4t中得h=-3t2+8t-2=-3（t-）2+，利用二次函数的性质求解即可.
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