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第一章 三角函数
1.5.2 余弦函数的图象与性质再认识
1.会用五点法画余弦函数的图象，理解正弦曲线与余弦曲线的关系.
2.掌握余弦函数的性质，并能应用余弦函数的性质与图象解决相关问题.
O
y
x
回顾：结合正弦函数的图象，回顾图象的绘制步骤：
先通过描点作图，画出 y = sin x 在 [0，2π] 的图象，
再利用其周期性进行平移，就可以得到 y = sin x，x∈R 的图象.
探究一：余弦函数的图象
问题1：类比正弦函数图象的画法，画出余弦函数 y = cos x 的图象.
（1）填写下表：
x 0 π 2π
cos x
（2）利用表格中数据，该如何画出正弦函数 y = cos x 在区间 [0，2π] 上的图象？
0
-1
0
1
1
① 描点连线，如图所示.
② 左、右平移 (每次平移 2π 个单位长度)
问题2：仔细观察余弦函数 y = cos x 在区间 [0，2π] 的图象，说说要确定函数图象的形状应抓住哪些关键点？
五点 (画图) 法
零点
最大值点
最小值点
最大值点
问题3：观察正弦函数 y = sin x 和余弦函数 y = cos x 的图象，结合诱导公式
，说说两个函数图象间有什么联系.
① 由诱导公式可知，y = cos x 的图象就是 y = sin (x + ) 的图象；
② y = cos x 的图象可通过将 y = sin x 的图象向左平移 个单位长度得到.
“左加”
例1：画出函数 y = cos (x - π) 在一个周期上的图象.
x-π 0 π 2π
x π 2π 3π
y = cos(x-π) 1 0 -1 0 1
解：（1）按五个关键点列表：
得到函数 y = cos (x-π) 在区间[π，3π]上的五个关键点：
（2）描点连线，画出图象.
“右减”
① 由诱导公式可知，y = -cos x 的图象就是 y = cos (x - π) 的图象；
② y = cos (x - π) 的图象可通过将 y = cos x 的图象向右平移 π 个单位长度得到.
练一练1：画出函数 y = 2 + cos x 在区间 [0，2π] 上的图象.
x 0 π 2π
y = cos x 1 0 -1 0 1
y = cos x + 2 3 2 1 2 3
解：① 按五个关键点列表：
② 描点连线，画出图象.
“上加”
③ 由图可知，y = 2 + cos x 的图象即是将 y = cos x 的图象整体向上平移 2 个单位长度所得.
练一练2：画出函数 y = cos x - 1 在区间 [0，2π] 上的图象.
x 0 π 2π
y = cos x 1 0 -1 0 1
y = cos x - 1 0 -1 -2 -1 0
解：① 按五个关键点列表：
② 描点连线，画出图象.
“下减”
③ 由图可知，y = cos x - 1 的图象即是将 y = cos x 的图象整体向下平移 1 个单位长度所得.
函数图像的平移规律
向上平移
b 个单位
y = f ( x )
f ( x ) – b
f ( x ) + b
向下平移
b 个单位
向左平移
a 个单位
向右平移
a 个单位
f ( x + a )
f ( x – a )
“左加右减”
“上加下减”
探究二：余弦函数性质的再认识
问题4：类比对正弦函数性质再认识的学习方式，通过观察图象得到余弦函数 y＝cos x 在 x∈R 上的主要性质.
定义域
值 域
周期性
奇偶性
单调性
最大(小)值
R
[－1，1]
周期函数，周期是2π
偶函数 (关于 y 轴对称）
单调递增区间：[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)
单调递减区间：[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)
当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为1
当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，最小值为－1
例2：观察函数 y = cos x - 1 在区间 [0，2π] 上的图象，并根据图象讨论函数的性质.
定义域
值 域
周期性
奇偶性
单调性
最大(小)值
R
[-2，0]
周期函数，周期是2π
偶函数
单调递增区间：[(2k-1)π，2kπ](k∈Z)
单调递减区间：[2kπ，(2k+1)π](k∈Z)
当x = 2kπ (k∈Z)时，最大值为 0
当x = (2k + 1)π (k∈Z)时，最小值为-2
练一练 3：借助余弦函数 y = cos x 的图象，求满足 的 x 的取值范围.
取值范围为[2kπ - ，2kπ + ](k∈Z)
根据今天所学，回顾下列知识点：
（1）余弦函数 y = cos x 的图象；（2）余弦函数的性质；

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