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第一章 三角函数
1.6.2 探究 φ 对 y＝sin(x＋φ) 的图象的影响
1.了解 φ 对 y = sin (x + φ) 的图象的影响.
2.掌握 y = sin x 与 y = sin (ωx + φ) 图象间的变换关系.
回顾：说说函数 y = sin x 的图象通过怎样的变换可得到余弦函数 y = cos x 的图象间有什么联系.
y = cos x 的图象就是 y = sin (x + ) 的图象；
y = cos x 的图象可通过将 y = sin x 的图象向左平移 个单位长度得到.
问题 1：怎样通过平移函数 y = sin x 的图象得到 的图象？
函数 的图象是将函数 y = sin x 的图象上的所有的点向右平移 个单位长度得到的.
问题 2：画出函数 的图象，说说函数的性质.
函数
图象
周期性
单调性
单调递增区间 ，k∈Z；单调递减区间 ，k∈Z
定义域： R； 值域： [-1，1]； 最大值：1； 最小值：-1
2π （平移不改变函数的周期）
参数 φ 对 y = sin (x + φ) 图象的影响
函数 y = sin(x + φ) 与函数 y = sin x 的周期相同，由 x + φ = 0 得 x = -φ，即函数 y = sin x 图象上的点 (0，0) 平移到了点 (-φ，0).
φ 的作用：使正弦函数的左右平移，图像形状、大小完全不变；
y = sinx
y = sin(x + )
向左 > 0 (向右 < 0)
平移 | | 个单位
例1：画出函数 的图象，并探究其性质.
解：由 y = sin x 的周期可知： ；
根据周期函数的定义， 是周期函数，π 是它的最小周期；
列表，确定五个关键点：
则函数在区间 上的五个关键点为：
画出 在一个周期上的图象，由该函数的周期性，把图象向左、右延拓得到在 R 上的图象(如图).
函数
图象
周期性
单调性
单调递增区间 ，k∈Z；单调递减区间 ，k∈Z
定义域： R；
值 域： [-1，1]；
最大值：1；
最小值：-1
π（与函数 y = sin 2x 的周期下相同）
思考：结合图象，说说下面两个式子中为什么同样都是“+”，但向左平移的单位长度却不一样？
y = sin x
向左平移 个单位长度
y = sin 2x
向左平移 个单位长度
注意：自变量是 x，而不是 2x，所以要将 2 提出来.
函数 y = sin 2x 的图象向左平移 个单位长度得到 y = sin (2x + ) 的图象.
问题3：根据前面所研究的图象伸缩、平移变换，如何由 y = sin x 的图象变换到
的图象？
y = sin x
纵坐标不变
横坐标变为原来的 倍
y = sin 2x
① 先收缩后平移
② 先平移后收缩
y = sin x
向左平移 个单位
纵坐标不变
横坐标变为原来的 倍
向左平移 个单位
函数y = sin(ωx + φ) 与函数 y = sin ωx 有相同的周期，由 ωx + φ = 0，
得 ，即函数 y = sin ωx 图象上的点 (0，0) 平移到了点
伸缩变换规律
① 先伸缩后平移
y = sin x
y = sin x
y = sin(ωx+ )
纵坐标不变
横坐标变为原来的 倍
平移 个单位长度
向左 > 0 (向右 < 0)
在函数 y = sin (ωx + φ) 中，φ 决定了x = 0 时的函数值，通常称 φ 为初相，ωx + φ 为相位.
y = sin ( x + )
y = sin x
y = sin (x+ )
向左 > 0 (向右 < 0)
平移 | | 个单位
纵坐标不变
横坐标变为原来的 倍
② 先平移后伸缩
1.把函数 的图象向 平移 个单位长度得到 y = sin 2x 的图象.
左
2. 函数 的相位是________、初相是______.
分析：根据诱导公式可得
注意：确认函数相位时，一般默认将函数化为 ω > 0 的标准形式.
回顾：根据今天所学，说说 y = sin x 与 y = sin(ωx + φ) 图象间如何变换？
① 先伸缩后平移
y = sin x
y = sin x
y = sin(ωx+ )
纵坐标不变
横坐标变为原来的 倍
平移 个单位长度
向左 > 0 (向右 < 0)
y = sin ( x + )
y = sin x
y = sin (x+ )
向左 > 0 (向右 < 0)
平移 | | 个单位
纵坐标不变
横坐标变为原来的 倍
② 先平移后伸缩

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