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第一章 三角函数
1.6.3 探究A对 y = Asin(ωx + φ)的图象的影响
1.了解A对y = Asin(ωx + φ)的图象的影响，掌握由y = sin x出发，利用图象变换得到y = Asin(ωx + φ)的方法和步骤.
2.掌握探究y = Asin(ωx + φ)性质的方法和步骤.
φ 的作用：使正弦函数的左右平移，图像形状、大小完全不变；
ω 的作用：使正弦函数的周期发生变化，图像形状横向拉长或缩短.
回顾：说说 ω，φ 对函数 y = sin (ωx + φ) 的影响.
在函数 y = sin (ωx + φ) (ω > 0) 中，ω 决定了函数的周期，φ 决定了x = 0 时的函数值，φ为初相，ωx + φ为相位， 是函数的最小正周期.
问题1：在坐标系中，画出函数 与 的图象，仔细观察，说说两个函数之间有什么联系.
两个函数：① 周期相同，都是 π ； ② 所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍.
参数 A 对 y = Asin(ωx + φ) 图象的影响：
y = Asin (ωx + φ) (A > 0) 的图象是将 y = sin (ωx + φ) 的图象上的每个点的纵坐标伸长 (当 A > 1 时) 或缩短 (当 0 < A < 1 时) 到原来的 A 倍 (横坐标不变) 得到的.
A 决定了函数 y = Asin (ωx + φ) 的值域以及函数的最大值和最小值，通常称 A 为振幅.
A 的作用：值域变化，图像形状纵向拉长或缩短.
问题2：说说函数 y = sin x 的图象如何变换到 y = Asin ( x + ) .
y = sin( x + )
y = sin x
y = sin(x + )
纵坐标变为原来的A倍
y = Asin( x + )
向左 >0 (向右 <0)
平移| |个单位
纵坐标不变
横坐标不变
横坐标变为原来的 倍
① 先平移后伸缩
② 先伸缩后平移
y = sin x
y = sin x
纵坐标变为原来的A倍
y = Asin( x + )
向左 >0 (向右 <0)
平移 个单位
纵坐标不变
横坐标不变
横坐标变为原来的 倍
y = sin( x + )
问题3：讨论函数 的单调区间、最大(小)值和值域.
在区间 ，k∈Z上都单调递增；
在区间 ，k∈Z上都单调递减；
当 ，k∈Z 时，ymax = 2；当 ，k∈Z时，ymin = -2.
值域为[-2，2].
探究函数 y = Asin (ωx + φ) 性质的一般方法和步骤：
第1步，确定周期 ；
第2步，在y = sin x五个关键点的基础上确定函数y = Asin (ωx + φ)的五个关键点；
第3步，用光滑曲线顺次连接五个关键点，即可画出函数 y = Asin (ωx + φ) 在一个周期上的图象，再利用周期性把图象延拓到 R，就可以得到它在 R 上的图象；
第4步，借助图象讨论性质.
函数 y = Asin (ωx + φ) (A > 0，ω > 0) 性质
定义域
值 域
周期性
奇偶性
单调性
最大(小)值
R
[－A，A]
φ＝kπ(k∈Z)时，偶函数； (k∈Z)时，奇函数
单调递增区间可由 (k∈Z)得到
单调递减区间可由 (k∈Z)得到
当x＝2kπ＋ (k∈Z)时，最大值为A
当x＝2kπ＋ (k∈Z)时，最小值为－A
例1：画出函数 的图象，并讨论其基本性质.
分析：(方法1) 直接运用 y = Asin (ωx + φ) 的结果.
先变形， ，再用一般方法来研究.
(方法2) 使用类似 y = Asin (ωx + φ) 的研究方法.
(1) 周期：由 y = cos x 的周期可知：
所以 是周期函数，T = 4π；
(2) 图象：刻画函数 y = cos x 在区间 [0，2π] 上的图象基本形状的五个关键点为
得到刻画函数 在区间[0，4π]上的图象基本形状的五个关键点为 (0，1)，(π，0)，(2π，-1)，(3π，0)，(4π，1)；
画图，根据周期性把图象向左、右延拓得到在 R 上的图象(如图).
(3) 其他性质：
单调性：单调增区间是[4kπ-2π，4kπ]，k∈Z；
单调减区间是[4kπ，4kπ+2π]，k∈Z；
最大、最小值：当x = 4kπ，k∈Z 时，函数取得最大值 1；
当x = 4kπ + 2π，k∈Z 时，函数取得最小值 -1；
值域：[-1，1].
练习1：将函数 y = sin 3x 的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 倍 (横坐标不变) 可得到函数（ ）的图象.
A. y = sin 3x B. y = sin x C. y = 3sin 3x D. y = sin 3x
D
练习2：要得到函数 y = sin (x + 3) 的图象，只需要将函数 y = sin x 的图象( )
A.向左平移 3 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度
C.向上平移 3 个单位长度 D.向下平移 3 个单位长度
A
练习3：函数 y = sin x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的 2倍，得到图象的解析式为 y = sin ωx，则 ω 的值为( )
A.2 B. C.4 D.
B
参数 变换情况 对函数 y = Asin (ωx + φ) 图像的影响
A 纵向伸缩变换 值域变化，图像形状纵向拉长或缩短
φ 相位变换 左右平移，图像形状、大小完全不变
ω 横向伸缩变换 T = ，周期变化，图像形状横向拉长或缩短
根据今天所学，说说三个参数 A、ω、φ 对函数 y = Asin (ωx + φ) 图象的分别有什么影响？

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