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第一章三角函数
1.7.1正切函数的定义
&1.7.2正切函数的诱导公式
1.理解任意角的正切函数的定义.
2.掌握正切函数的诱导公式.
情境：“滑梯坡度的数学密码”
如图，有三个不同坡度的滑梯.其中滑梯 A 高度 1 米，水平长度 6 米，
滑梯 B 垂直高度 2 米，水平长度 5 米，滑梯 C 垂直高度 3 米，水平长度 3 米.
说说“哪个滑梯最陡？有没有一个数学工具能精准衡量滑梯的陡峭程度？”
α
邻边
对边
比值越大，滑梯越陡
问题1：类比前面正 (余) 弦函数的定义，结合初中所学说说正切函数的定义.
根据函数的定义，比值 是 x 的函数，称为 x 的正切函数，记作 y = tanx，其中定义域为{x∈R | x ≠ + kπ，k∈Z}.
当 时，上述定义与初中时所学正切函数的定义是一致的.
在 Rt△ABC 中，∠C为直角，∠A为锐角，我们把 ∠A 的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作 tan A，即 tan A = ；
tan 作用：描述角度的陡峭程度.
α
邻边
对边
A
B
C
探究1：正切函数的定义
问题2：如图在角 α 的终边上任取一点 Q (x，y) (x ≠ 0)，思考如何求角 α 的正切函数值
解：设|OQ| = r，因为x≠0，所以角α的终边不在y轴上.
x
y
O
Q
α
总结：若在角 α 的终边上任取一点 Q (x，y) (x≠0)，则
问题3：根据正切函数的定义说说正切值在各象限的符号？
x
y
O
＋
＋
－
－
sin α：
x
y
O
＋
－
－
＋
cos α：
x
y
O
＋
－
＋
－
tan α：
一，三为正 ；
二，四为负 .
例1：求下列角 α 的正切函数值.
（1） ； （2）
所以
（2）因为
解：（1）因为
所以
分析：根据定义可知 ，故分别求出 sin α，cos α 即可.
1.若角 α 的终边上有一点是 A (0，1)，则 tan α 的值是 (　　)
A.1 B.-1 C.0 D.不存在
D
A
2.若角 α 的终边上有一点是 P (3x-3，3)，且 ，则 x 的值为 (　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
问题4：由正弦函数、余弦函数的诱导公式，试着推导 tan (x + kπ) 的值.
探究2：正切函数的诱导公式
，k 为奇数
，k 为偶数
，k ∈Z
即 tan (x + kπ) = tan x，其中 x∈R，x ≠ + kπ，k∈Z.
所以 kπ (k∈Z，k ≠ 0) 是正弦函数的周期，π 是它的最小正周期.
问题5：请利用正弦函数、余弦函数的诱导公式推导下列正切函数的诱导公式.
sin(-x) = - sin x
sin(π - x) = sin x
cos(-x) = cos x
cos(π - x) = - cos x
tan(-x) = - tan x
tan(π - x) = -tan x
tan (x＋kπ) ＝ tan x (k∈Z)
tan (-x) ＝ -tan x
tan (π - x) ＝ -tan x
总结归纳：
对任意角 x ( )，下列关系式均成立 (其中k∈Z ).
（2）
（3）
解：（1）
或者
例2：求值：
（1） ； （2） ； （3）
3. 求值：（1） ； （2） ； （3）tan ( -675°) .
解：（1） ；
（2） .
（3） tan ( -675°) = tan ( -675°+ 4×180°) = tan 45°= 1.
根据今天所学，回顾下列知识点：
（1）正切函数的定义；（2）正切函数 y = tan x 的诱导公式.
tan (x＋kπ) ＝ tan x (k∈Z)
tan (-x) ＝ -tan x
tan (π - x) ＝ -tan x
对任意角 x ( )，下列关系式均成立 (其中k∈Z ).

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