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辽宁省名校联盟 2026 年高考模拟卷(调研卷) 数学(一)
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目 要求的。
1. 若数据 的平均数为 2,则数据 的平均数为
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
2. 若 ,则
A. B. C. D. 2-2i
3. 不等式 的解集为
A. B. C. D.
4. 已知集合 ,若 ,则 的取值不可能为
A. -4 B. -3 C. -2 D. -1
5. 如图，某旅游景点两个山顶 ， 之间架有一条长 的索道，在山顶 处测得山顶 的仰角为 ，其中 ，在地面上一点 处测得山顶 ， 的仰角均为 ，且 ，则山顶 相对于地面的高度约为
A. B. C. D.
6. 现有一笔简，其形状可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，该笔筒最细处直径为 4 cm，上、下口直径均为 ，笔筒高 ，则对应双曲线的离心率为
A. B. 2 C. D.
7. 若两个等差数列 的前 项和分别为 与 是关于 的方程 的两根,则
A. B. C. D.
8. 已知 ,则
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全 部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知数列 是等比数列,若 ,则
A.
B. 与 的等比中项为 5
C. 的最小值为 10
D. 数列 是等比数列
10. 已知函数 是 上的奇函数,当 时, ,则下列说法正确的是
A. 当 时,
B. 曲线 在 处的切线方程为
C. 对任意 ,都有
D. 若 的解集为 ,则
11. 已知圆 和椭圆 ，直线 与圆 相切于点 ，与 交于 ， 两点，且 为线段 的中点，则下列说法正确的是
A. 存在 ，使圆 和 有 4 个公共点
B. 若圆 与 有 2 个公共点,则 或
C. 若 ,则直线 的斜率不存在
D. 若点 的横坐标为 ,则
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知向量 ，则 在 上的投影向量的模长为_____.
13. 已知 是函数 的极大值点，则 的极小值为_____.
14. 已知三棱锥 的底面是边长为 的等边三角形,侧棱 与底面 所成角为 ，侧棱 PC 与底面 所成角为 ,则三棱锥 体积的最小值为_____ ; 假如恰有一块这样的三棱锥宝石(体积最小时对应的三棱锥)，则此块宝石_____(填 “能”或 “不能”)打磨出一个半径为 的球形饰品.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
已知函数 图象上的一个最高点为 ,该最高点与相邻的最低点之间的距离为 .
(1)求 的解析式;
(2)若方程 在区间 上有 6 个根,求 的取值范围.
16.(15分)
已知点 在抛物线 上， 为 的焦点，过点 的直线 交 于 ， 两点( 在第一象限), .
(1)求直线 的方程；
(2) 为 上一点(介于点 ， 之间)，线段 与线段 交于点 ， 的面积与 的面积相等,求点 的坐标.
17. (15 分)
如图①，在以 为直径的半圆 中， ， 为弧 的两个三等分点，将扇形 沿 折起到扇形 的位置，连接 ， ， ，如图②所示.
(1)设平面 与平面 的交线为 ，求证: 平面 ；
(2)若 ，平面 平面 ，求平面 与平面 夹角的正弦值.
①
②
18.(17 分)
已知函数 .
(1)当 时，判断 的单调性;
(2)若 有极值点,求 的取值范围；
(3)若 有三个零点,求 的取值范围.
19.(17 分)
某人参加趣味射击比赛，比赛按轮进行，每轮比赛中需射击固定目标或移动目标一次. 其中每轮中出现固定目标的概率为 ，此人击中固定目标的概率为 ，出现移动目标的概率为 ，此人击中移动目标的概率为 ，每轮是否击中目标互不影响. 若此人连续两轮射击均未击中目标，则被淘汰出局. 设 为此人第 轮射击后,未被淘汰出局的概率.
(1)求此人在一轮射击中击中目标的概率；
(2)求 ；
(3)当 时,不等式 恒成立，求 的取值范围.
数学(一)
一、选择题
1. C 由题意得 ,所以数据 , 的平均数为 0 . 故选 C 项.
2. B 由题意得 ,所以 . 故选 B 项.
3. A 因为 ,所以 ,所以原不等式可化为 ,解得 . 故选 A 项.
4. D 因为 ,所以 , 2),显然 . 若 解得 若 ,则不可能. 若 ,则①若方程 有两个相等的根 2,则 ② 若方程 的两根分别为1,2,则 故选 D 项.
5. C 如图,过 作 ,垂足为 ,设山顶 相对于地面的高度 , 在 Rt 中, ,所以 ,在等腰直角 中, ,在等腰直角 中, 150) ,在 中,由余弦定理得 ,因为 ,所以 ,解得 或 (舍). 故选 C 项.
6. B 不妨设对应双曲线的方程为 ,因为笔筒最细处直径为 ,所以 ,即 ,且点 在双曲线上,所以 ,解得 ,所以 ,所以 ,故 . 故选 B 项.
7. D 由题意得 , ,则 . 故选 D 项.
8. C 因为 ,所以 ,因为 ,所以 ,则 ,所以 ,所以 ,所以 ,又 ,所以 ,故 . 故选 C 项.
二、选择题
9. AC因为 ,所以 ,故 A 项正确; 与 的等比中项为 ,故 项错误; 因为 同号且 ,所以 ,所以 ,当且仅当 时取等号,故 项正确; 当 的公比 时, ,此时 不是等比数列,故 D 项错误. 故选 AC 项.
10. ABD 当 时, ,且 是奇函数，所以 ，所以当 时, ,设 ,则 ,所以 ,则 ,故 A 项正确; 当 时, ,所以 , 所以曲线 在 处的切线方程为 ,即 ,故 B 项正确; 当 时, , 所以 在区间 上单调递增,在区间 内单调递减,当 时, 0,且 时, ,因为 为奇函数，所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，所以 的值域为 ,则对任意 , ,有 ,且 ,故 项错误; 由 项知 在区间 上单调递增,当 时, ,所以 ,所以 ),所以 ,即 ,故 D 项正确. 故选 ABD 项.
11. ACD 当 趋向于 0 时,显然 与圆 有 4 个公共点,故 项正确. 若圆 与 有 2 个公共点,则方程组 有两组解,即 在区间 内有唯一解, 令 ,因为 ,所以 ,所以 的图象开口向下,又对称轴方程为 , ,所以由 ,得 ,解得 或 . 当 6,即 时,由 得 0,解得 ; 当 ,即 时,由 得 ,解得 . 故 B 项错误. 联立 因为
,所以方程无解,所以圆 与 无公共点,设直线 的斜率存在, , ),由 得 0,即 ①,又 ,所以 ②,由①②得 , 解得 ,又 ,得 , 矛盾,所以直线 的斜率不存在,故 项正确. 设 ,则 0,所以 ,解得 ,由图形的对称性求 时不妨取 ,由 ,即 ④, 由③④得 ，即 ，直线 的方程为 ,即 6,联立 得 0,所以 ,所以 或 ,不妨取 ,所以 ,故 D 项正确. 故选 ACD 项.
三、填空题
12. 因为 ,所以 0,因为 ,所以 ,故 在 上的投影向量的模长为 .
13.1 ,因为 是 的极大值点, 所以 ,所以 . 当 时, ,当 时, 单调递减，当 时， 单调递增,所以 是 的极小值点,不合题意; 当 时, ,当 时, , 单调递增,当 时, 单调递减,当 时, 单调递增,所以 是 的极大值点, 是 的极小值点, 的极小值为 .
14.4 不能.如图,过 作 平面 于点 ,连接 ,
则 ,在 Rt 中, ,在 Rt 中, ,所以 ,又 ,所以 ,所以 (当 三点共线时取等号),所以 ,所以三棱锥 体积的最小值为 4,此时点 在 上,如图所示:
,在 Rt 中, ,在 Rt 中, . 在 中,由余弦定理得 ,在 Rt 中, ,在 中, , ,所以 ,在 中, ,所以 ,设三棱锥 内切球的半径为 ,则 ,所以 ,则 ,所以此块宝石不能打磨出一个半径为 的球形饰品.
四、解答题
15. 解:(1)因为 图象上的一个最高点为 ,
所以 , (1 分)
因为该最高点与相邻的最低点之间的距离为 ,设 的最小正周期为 , 所以 ,
解得 ,所以 . (3 分)
又点 在 的图象上,所以 ,所以 ,即 ,
又 ,所以 , (5 分)
所以 . (6 分)
(2)由 ,得 , (8 分)
因为 ,
所以 因为方程 在区间 上有 6 个根,
所以 ,
所以 ,
故 的取值范围是 . (13 分)
16. 解: (1) 因为点 在 上,所以 , (1 分)
所以 的方程为 (2 分) 由题意易知直线 的斜率不为 0,所以设直线 的方程为 , ,
联立 得 (4 分)
则 ,所以 ,解得 , (6 分)
所以 的方程为 ,
即 或 . (7 分)
(2)当 的方程为 时，由题意知线段 与线段 无交点，不符合题意， 故 的方程为 . (9 分)
因为 的面积与 的面积相等,
所以 的面积与 的面积相等, (10 分)
所以 两点到直线 的距离相等,
因为 介于点 之间,
所以 ,所以 , (12 分)
所以直线 的方程为 ,设 ,
联立 得 ,
所以 或 (舍),
所以 , (14 分)
由 ,得 ,
故 . (15 分)
17. ( 1 )证明:因为 为弧 的两个三等分点, 为圆 的直径,
所以在 Rt 中, .
又 ,所以 , (2 分)
因为 平面 平面 ,
所以 平面 . (3 分)
又 平面 ,平面 平面 , 所以 , (5 分)
因为 亡平面 平面 ,
所以 平面 . (6 分)
(2)解:取 的中点 ，连接 ， ， ，
因为 为等边三角形，
所以 ,
因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
所以 平面 ,
又 平面 ,所以 . (7 分) 以 为坐标原点,以 所在直线分别为 轴、 轴、 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 , ,
则 . (9 分)
设平面 的法向量为 ,
则 令 -1,则 ,所以 , 1). (11 分)
设平面 的法向量为 ,
则 令 ,
则 ,所以 设平面 与平面 的夹角为 ,
则
所以 ,
故平面 与平面 夹角的正弦值为 1 .
(15 分)
18. 解: (1) 当 时, (1 分)
设 ,
则 . (2 分)
当 时, 单调递增, 即 单调递增,当 时, 单调递减,即 单调递减,
所以 ,即 , (4 分)
所以 在区间 内单调递减.
(5 分)
(2)
若 有极值点,则 的图象穿过 轴,即 有变号零点.
(6 分)
由 ,得 ,
设 ,则 ,
当 时, 单调递增, 当 时, 单调递减,
所以 , (8 分)
当 时, ,当 时, ,结合单调性易知当 时, ,所以 的值域为 , 有变号零点等价于 ,
所以 ,
故 的取值范围是 . (10 分) (3) 有三个零点等价于 0 有三个根. (11 分)
设 ,
则 .
当 时, 在区间 , 内单调递增,不可能有三个零点.
(12 分)
当 时,设 ,
① 当 时， ，则 ，
所以 ， 在区间 内单调递减，不可能有三个零点；(13 分)
② 当 时， ， 有两个正根 ,
由 知 ,
当 时, 单调递减,当 时, , 单调递增,当 时, 单调递减,
注意到 ,且当 时, 单调递增,所以 , (15 分)
当 时, 单调递减,当 时, ,又 ,所以 在区间 内有唯一的零点 ,
同理当 时, 单调递减, 时, ,又 ,所以 在区间 内有唯一的零点 .
综上, 有三个零点分别为 , 所以 的取值范围是 . (17 分)
19. 解: (1) 设出现固定目标为事件 ,则出现移动目标为 ，击中目标为事件 ，
由题意
所以
所以此人在一轮射击中击中目标的概率为 . (4 分)
(2)设此人在第 轮击中目标为事件 ，
显然 ,
( 5 分)
(7 分)
(9 分)
(3)设此人第 轮比赛结束时，未被淘汰出局为事件 ,
当 时,第 轮比赛结束时,未被淘汰出局有两种情况:
情况一:第 轮击中目标，且第 轮结束时未被淘汰出局;
情况二:第 轮未击中目标，且第 轮击中目标，且第 轮结束时未被淘汰出局.
所以 (10 分) 所以 所以当 时, ,
(11 分)
即当 时, . (*)
设存在实数 ,使得 为等比数列,且公比为 ,
则 ,
所以 ,
与 式对照得
解得 或 (13 分)
当 时， ,
当 时,数列 是以 为首项, 为公比的等比数列,所以 ,①
当 时,数列 是以 为首项, 为公比的等比数列,所以 ,②
由 ① ② 得 , (15 分)
所以
(16 分) 当 为偶数时, , 当 为奇数时, ,
所以 ,所以 是递减数列,
所以当 时,不等式
故 的取值范围是 . (17 分)

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