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2025-2026 学年初三年级寒假学习成果汇报 数学
试卷满分:100 分 时间:120 分钟
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分)符合题意的选项只有一个.
1. 如图是某个几何体的展开图, 该几何体是( )
A. 三棱柱 B. 四棱柱 C. 三棱锥 D. 四棱锥
2. 如图，直线 ，直线 与直线 分别交于点 ，点 在直线 上，且 . 若 ，则 的大小为( )
A. 32° B. 58° C 74° D. 106°
3. 实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图 1 所示，其轮廓是一个正八边形， 从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中. 图 2 是八角形窗户的示意图，它的一个外角 的大小为 ( )
A. 22.5° B. 45° C. 60° D. 135°
5. 据新华社报道:2024 年 9 月 25 日 8 时 44 分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射了一发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域. 此次导弹发射, 是火箭军年度军事训练例行性安排, 有效检验武器装备性能和部队训练水平，达到了预期目的. 此次发射的导弹的射程约为 12000 公里，最高时速可达20~25马赫约为每小时 30000 公里,把最高时速换算成米的话得每小时 米,则 的值为( )
A. B. C. D.
6. 不透明的袋子中装有两个红球和一个绿球，除颜色外三个小球无其他差别. 从中随机摸出一个小球, 放回并摇匀, 再从中随机摸出一个小球, 那么这两次摸到一个红球和一个绿球的概率是( )
A. B. C. D.
7. 综合实践课上，老师要求同学们用无刻度的直尺和圆规画出等腰三角形 ，两同学给出如下方案: 对于方案①和②，下列说法正确的是( )
如图，在 中， 是BC上一点.
方案① 57
以点C为圆心, AC为半径作圆弧，交BC于点D，连接AD. 分别以点 和点 为圆心,大于 的长为半径作圆弧, 两弧相交于点 ，作直线 交 于点 ，连接 .
A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 ① ①和②都错误 D. ①和②都正确
8. 如图，在平行四边形 中， ， ， ， 是对角线 上的动点，且BE = DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点. 下列四种说法:①存在无数个平行四边形MENF; ②存在无数个矩形MENF; ③存在无数个菱形MENF; ④存在无数个正方形 MENF. 其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题(本题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分)
9. 要使 有意义，则 的取值范围是_____.
10. 分解因式: _____.
11. 方程 的解为_____.
12. 在平面直角坐标系 中,若点 和 在函数 的图象上, 则 的值为_____.
13. 咖啡店自制了 300 袋黄油饼干，从中随机抽取了 10 袋检测了它们的质量(单位: g)，得到的数据如下:47，46，a，(50，49，49，48，50，62、49，这组数据的众数只有一个，恰好是 . 则从这 300 缎饼干中随机抽取一袋，抽到质量为_____g 的可能性最
大，并估计这批饼干中质量超过ag的饼干有_____袋。
14. 如图， ， 分别与 相切， ， 为直径，弦 ， ， 交于点 ，则 的面积为_____.
15. 在 中， 是 边上的高且满足 ，若 ，则 _____.
16. 实验室需要购买 三种型号的盒子存放材料，盒子容量和单价如下表所示:
盒子型号 A C
盒子容量(单位:升) 2 3 4
盒子单价(单位:元) 5 6 9
其中 型号盒子做促销活动: 购买 3 个及以上可一次性优惠 4 元. 现有 28 升材料需要存放, 要求每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个.
(1)若购买 ， 型号盒子的个数分别为 0，1，其余购买 型号盒子. 则总费用为_____元；
(2)一次性购买所需盒子总费用最少为_____元。
三、解答题(共 68 分，第 17-21、23 每题 5 分，第 22、24-26 题每题 6 分，第 27-28 题每题 7 分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17. 计算:
18. 解不等式组
19. 已知 ,求代数式 的值.
20. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口。温水的温度为30°C，流速为20ml/s；开水的温度为100°C，流速为15ml/s。整个接水的过程不计热量损失.
物理常识:
开水和温水混合时会发生热传递, 开水放出的热量等于温水吸收的热量, 可以转化为:
开水的体积 开水降低的温度 温水的体积 温水升高的温度.
(1)甲同学用空杯先接了6s温水，再接4s开水，接完后杯中共有水_____ml;
(2)乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯210ml温度为40°C的水 (不计热损失)，求乙同学分别接温水和开水的时间。
21. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象的一个交点的横坐标为 2 .
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)当 时，对于 的每一个值，反比例函数 的值大于一次函数 的值，直接写出 的取值范围_____.
22. 如图，在平行四边形 中， ，点 是 边的中点，过点 作 ， 垂足为 ,交 的延长线于点 .
(1)求证:四边形 是矩形；
(2)若 平分 ，求 的值.
23. 为了解甲、乙两款AI软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取 20 名, 记录使用者对两款软件的相关评价, 并进行整理、描述和分析如下:
a. 信息处理速度得分统计图
b. 信息识别准确度得分统计图
c. 信息处理速度和信息识别准确度得分统计表
AI软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分
平均数 中位数 众数 平均数
甲 7.3 7 6 5.6
乙 7.65 7 4.9
根据以上信息，解答下列问题:
(1)表格中 的值为_____； 的值为_____；
(2)若用户对该软件评分大于 6 分视为高分，否则视为低分.
①从这 20 名用户任取 1 人，该用户对甲AI软件的信息处理速度和信息识别准确度均评为高分的概率最大为_____；
②甲AI软件的开发公司计划加大研发投入来提升用户对信息识别准确度的满意度. 该公司邀请这 20 名用户做进一步的测试，该公司准备了两套优化方案. 方案一:面向全体用户优化识别准确率，所有用户对信息识别准确度的评分将提升 1 分；方案二:针对低分组用户定向提升准确度，低分组每位用户的评分将提升 2 分，高分组不变. 为最大程度提升信息识别准确度评分的平均数，该公司应该选用方案_____(填 “一” 或 “二”)。 采用该方案后，用户对信息识别准确度评分数据的方差将_____(填“增大”、“减小” 或“不变”)
24. 如图， 内接于以 为直径的 ，过点 作 的切线，与 的延长线相交于点 ，在 上截取 ，连接 并延长，交 于点 ，连接 .
(1)求证: ；
(2)若 ，求 的长.
25. 中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统. 某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间. 部分内容如下:
a. 探究活动在同一社团活动室进行，室温25°C；
b. 经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关. 某种普洱茶用95°C的水冲泡，等茶水温度降至60°C饮用，口感最佳；某种绿茶用85°C的水冲泡，等茶水温度降至 60℃饮用，口感最佳；
c. 同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为 (单位: )，普洱茶茶水的温度为 (单位: ),绿茶茶水的温度为 (单位: ). 记录的部分数据如下:
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
95.0 88.5 82.6 77.2 72.4 68.0 64.0 - 60.3 57.1 54.1 51.4
85.0 79.5 74.5 70.0 65.8 62.0 58.6 55.5 52.7 50.2 47.9
对以上数据进行分析，补充完成以下内容.
(1)可以用函数刻画 与 、 与 之间的关系，在同一平面直角坐标系 中，已经画出 与 的函数图象，请画出 与 的函数图象；
(2)探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为_____ 时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为_____℃ (结果保留小数点后一位)；
(3)探究活动中，当普洱茶茶水的温度为90°C时，再继续放置 6 min，测得其温度为 ，则 _____60 (填“>” “=”或“<”).
26. 在平面直角坐标系 中,抛物线 与直线 相交于点 和点 .
(1)求 ， 的值；
(2) 为 轴上两点， 为线段 上一动点，过点 作 轴的垂线，交抛物线于点 ，交直线 于点 (点 不重合)
①当 时，求 的长:
②已知在点 从点 运动到点 的过程中，线段 的长随 的值增大而增大，求 的取值范围.
27. 如图，在 中， ， ，D，E分别为BC上两动点，BD . 过点E作EF//AD交AC于F，以 为斜边，在 的下方作等腰 Rt ，连接 .
图1
图2
(1)如图1，当点D与点B重合时，点E、C、F重合，连接DG，若 ，求DG的长
(2)如图2，点D与点B不重合，且 时，用等式表示AD、EF，CG的数量关系, 并证明.
28. 对于平面直角坐标系 中的定点 和图形 ,给出如下定义: 若在图形 上存在一点 ，使得点 ，点 关于直线 对称，则称点 是点 关于图形 的定向对称点.
(1)如图， ， ， ，
① 点 关于点 的定向对称点的坐标是_____；
②在点 ， ， 中，_____是点 关于线段 的定向对称点.
(2)直线 分别与 轴 轴交于点 是以点 为圆心， 为半径的圆.
①当 时，若 上存在点 ，使得它关于线段 的定向对称点在线段 上，求 的取值范围;
②对于 ，当 时，若线段 上存在点 ，使得它关于 的定向对称点在 上，直接写出 的取值范围.

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