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北京市东直门中学 2025-2026 学年度第二学期综合练习
九年级数学 2026.02
一、选择题
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
2. 中国邮政定于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票1套2枚，计划发行套票26680000套， 将 26680000 用科学记数法表示应为
A. B. C. D.
3. 实数 在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是
A. B. C. D.
4. 一个不透明的袋子中仅有 3 个红球、2 个黄球和 1 个白球, 这些球除颜色外无其他差别. 从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是
A. B. c. D.
5. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为
A. -4 B. -1 C. 1 D. 4
6. 在 Rt 中, 于点 ,则 的长为
A. B. 4 C. 5 D.
7. 如图， 是 的角平分线. 按以下步骤作图:
①以点 为圆心，适当长为半径画弧，与边 相交于点 ，与边 相交于点 ；
②以点 为圆心， 长为半径画弧，与边 相交于点 ；
③以点 为圆心， 长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点
④作射线 ，与 相交于点 ，与边 相交于点 .
则下列结论一定正确的是
A. B. C. D.
8. 在半径为 的 中,点 为弦 的中点,点 是平面内一点,且 . 下列说法正确的是
A. 若 ，则 长的取值范围是
B. 若 ，则 的长可以是
C. 若 ，则 长的最小值是
D. 若 ，则 长的最大值是
二、填空题
9. 若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是_____.
10. 分解因式: _____.
11. 方程 的解为_____.
12. 在平面直角坐标系 中,若函数 的图象经过点 和 ,则 的值为_____.
13. 某地区七年级共有 2000 名男生. 为了解这些男生的体重指数(BMI)分布情况，从中随机抽取了 100 名男生，测得他们的BMI数据(单位: )，并根据七年级男生体质健康标准整理如下:
等级 低体重 正常 超重 肥胖
BMI ≤15.4 15.5~22.1 22.2~24.9 ≥25.0
人数 6 75 15 4
根据以上信息，估计该地区七年级 2000 名男生中 BMI 等级为正常的人数是_____.
14. 如图，直线 ， 交于点 ， ，若 ， ， ，则 的值为_____.
15. 如图， 是 的半径, 是 的弦, 于点 , 是 的切线, 交 的延长线于点 . 若 ，则线段 的长为_____.
16. 某种文物的修复工作共三道工序，依次为清洁去污、结构修复与加固、画面修补与全色，同一件文物的三道工序必须依次进行，不能调换顺序，一道工序只能由一人完成，此工序完成后该人才能进行其它工序. 现有甲、乙和丙三位文物修复师修复此种文物共五件, 每件文物各道工序所需时间如下:
修复师 清洁去污 结构修复与加固 画面修补与全色
甲 60天 30 天 120 天
乙 60 天 20 天) 90 天
丙 80 天 20 天 80 天
在不考虑其他因素的前提下, 三位文物修复师通力合作, 最短_____ 天可以修复一件文物; 最短_____ 天可以完成全部文物的修复工作.
三、解答题
17. 计算: .
18. 解不等式组: .
19. 已知 ,求代数式 的值.
20. 已知 ,求代数式 的值.
21. 学校开展“健康小达人”主题活动，活动分为“耐力挑战”和“技巧闯关”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖. 评奖规则为:
奖项 获奖条件(满足多个获奖条件时仅颁发最高奖)
卓越奖 参加两个项目的得分之和不低于 100 分，且至少一个项目的得分达到 60 分。
优秀奖 参加两个项目的得分之和不低于 100 分.
参与奖 完成全部两个项目的活动.
在参加活动时, 在正式计分之前可以先体验一次. 小明在体验时, “耐力挑战”得分与“技巧闯关” 得分比为5:4; 在正式计分时, “耐力挑战”得分比体验时提高了 10 分, “技巧闯关”得分比体验时增加了 10%，最后共得 104 分. 请利用所学的一元一次方程知识，为小明颁发合适的奖项，并说明理由.
22. 在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象过点 .
(1)求 的值；
(2)当 时，函数 的值都小于函数 的值，结合函数图象，直接写出 的取值范围.
23. 已知关于 的一元二次方程 .
(1)求证:方程总有两个实数根；
(2)若 是正整数，方程的两个实数根都是整数，求 的值.
24. 如图，在 Rt 中， ，点 在 上，以 为半径的 与 相切于点 ，分别交 于点 ，连接 .
(1)求证: 平分 ；
(2)连接 交 于点 . 若 ，求 的长.
25. 某高效记忆训练营对新学员开展提升记忆力的培训. 在完成有关记忆方法的理论学习后，新学员先接受为期 日 可取 0,1 或 2)的记忆强化训练，然后开始每日记忆测试. 测试内容为: 1 分钟内观看并记忆一组无序数字并立即默写. 记一名新学员在测试阶段的第 日每分钟正确默写的数字量为 . 根据测试经验,对于给定的 ,可以认为 是 的函数. 当 和 时,部分数据如下:
时 的值
时 的值
时，从测试阶段的第 2 日起，一名新学员每日比前一日多记忆的数字量(即:日增长量)逐渐减少或保持不变.
对于给定的 ,在平面直角坐标系 中描出该 值下各数对 所对应的点,并根据变化趋势用平滑曲线连接. 得到曲线 . 当 时,曲线 如图所示.
(1)观察曲线 ，当整数 的值为_____时， 的值首次超过 20；
(2)写出表中 的值，并在给出的平面直角坐标系中画出 时的曲线。 ；
(3)完成理论学习后，为调动新学员培训的积极性，该训练营在强化训练和记忆测试阶段组织了竞赛比拼. 小明和小雯也积极参与到活动之中.
①若新学员单日每分钟至少记忆 30 个数字可获得 “记忆达人” 称号，根据上述函数关系，小明最早在完成理论学习后的第_____日可获得 “记忆达人” 证书；
②竞赛规定新学员在完成理论学习后的 3 日内记忆数字个数的总数最多可获得 “最佳学员” 称号， 若小雯希望获得此称号，根据上述函数关系，在这 3 日中小雯应先进行_____日的强化训练。
26. 在平面直角坐标系 中,已知抛物线 .
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若 ，点 和 在该抛物线上，且 ，则 的取值范围是_____；
(3)已知点 ，过点 作 轴的垂线，交抛物线于点 ，交直线 于点 .
当 时，线段 的长随 的增大而减小，求 的取值范围.
27. 在 中， ， 为平面内一点，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ,连接 . 若 为 中点，连接 ， .
(1)如图 1，若点 在线段 上， 在 上，直接写出 的度数并求 的大小；
(2)如图 2，若点 在直线 的下方，直接写出 的大小，并证明.
图 1
图 2
28. 在平面直角坐标系 中，对于 及其外部一点 ，给出如下定义:过点 作 的一条切线，将点 绕这条切线与 的切点旋转 90° 得到点 ，若点 可以落在以此切点为端点的 的直径上， 则称点 为 关于切点的 “径上点”.
(1)已知 的半径为 1 .
①在点 中， 关于切点的 “径上点” 是_____，
②点 在直线 上，且点 是 关于切点的 “径上点”，求点 横坐标 的取值范围；
(2)已知点 ， 的半径为 2，直线 与 轴、 轴分别交于 ， 两点. 若线段 上所有的点都是 关于切点的 “径上点”,直接写出 的取值范围.

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