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北京市第一六六中学 2025-2026 学年度第二学期开学练习 初三 数学
(考试时长:120 分钟)
班级:_____ 姓名:_____
一、选择题(本题共 16 分，每小题 2 分)
第 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1. 大兴国际机场，成为北京建设国际化大都市的重要标志. 全球唯一一座 “双进双出” 的航站楼, 世界施工技术难度最高的航站楼, 走进航站楼内部, 室内色调主要以白色为主, 为了让阳光洒满整个机场, 航站楼一共使用了 12800 块玻璃, 白天室内几乎不需要照明灯光. 将 12800 用科学记数法表示为
A. B. C. D.
2. 实数 在数轴上的对应点的位置如图所示, 这四个数中, 绝对值最大的是
D.
A. B. C.
3. 一个不透明的盒子中装有 3 个红球, 2 个黄球和 1 个绿球, 这些球除了颜色外无其他差别, 从中随机摸出一个小球, 恰好是黄球的概率为
A. B. C. D.
4. 剪纸是我国传统的民间艺术, 下列剪纸作品中, 是轴对称图形的为
5. 如图，直线 ， ， 交于一点，直线 ，若 ,则 的度数为
A. 26° B.
C. 46° D. 56°
6. 如图，公路 ， 互相垂直，公路 的中点 与点 被湖隔开. 若测得 的长为 ，则 两点间的距离为
A. B.
C. D.
7. 下面是小彤设计的 “作 中 边上的高” 的尺规作图方法.
①如图，以点 为圆心， 的长为半径作弧，以点 为圆心， 的长为半径作弧，两弧在 下方交于点 ；
②连接 交 于点 .
所以线段 是 中 边上的高.
上述方法通过判定 垂直平分线段 ,得到线段 是 中 边上的高. 其中，判定 垂直平分线段 的依据是
A. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合
B. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线是这条线段的垂直平分线
C. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
D. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
8. 在正方形 中，点 在边 上运动，连接 ，过点 作 ， ,连接 . 以下结论正确的是
A. 点 与点 重合时,线段 的长取得最大值
B. 点 与线段 的中点重合时,线段 的长取得最大值
C. 点 与点 重合时,线段 的长取得最大值
D. 点 运动的过程中，线段 的长不发生变化
二、填空题(本题共 16 分，每小题 2 分)
9. 函数 中自变量 的取值范围是_____.
10. 右图是某几何体的三视图, 该几何体是_____
11. 分解因式:
12. 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根, 写出一组满足条件的实数 的值: _____.
13. 如图是由射线 , 组成的平面图形,则 _____
14. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架. 它的代数成就主要包括开方术，正负术和方程术. 其中， 方程术是《九章算术》最高的数学成就.
《九章算术》中记载: “今有牛五、羊二, 直金十两; 牛二、羊五,
直金八两. 问: 牛、羊各直金几何 ”
译文:“假设有 5 头牛、 2 只羊，值金 10 两；2 头牛、 5 只羊，值金 8 两. 问:每头牛、每只羊各值金多少两？” 没每头牛值金 两，每只羊值金 两，可列方程组为_____.
15. 如图，在 中， 为 延长线上一点， 为 上一点， ，
若 ，则 的长是_____.
16. 下图是某剧场第一排座位分布图.
甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2,3,4,5. 每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小. 如果按“甲、乙、丙、
丁”的先后顺序购票, 那么甲购买 1,2 号座位的票, 乙购买 3,5,7 号座位的票
丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票. 若丙第一个购票，要使其他三人
都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序_____ .
三、解答题(本题共 68 分，第 17 ~21 题，每小题 5 分，第 22 ~26 题，每小题 7 分, 第 27 题 8 分)
17. 计算: .
18. 解不等式组:
19. 已知 ,求代数式 的值.
20. 如果 ,求代数式 的值.
21. 关于 的一元二次方程 .
(1)求证:方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于 1，求 的取值范围.
22. 如图，在菱形 中，对角线 ， 交于点 ，过点 作 于点 ，延长 到点 ，使 ，连接 .
(1)求证:四边形 AEFD 是矩形;
(2)连接 ，若 ，求 的长.
23. 在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 的一个交点为 ,与 轴, 轴分别交于点 .
(1)求 的值；
2) 若 ,求 的值.
24. 如图， 是 的直径， 是 上的一点，连接 ， ， 是 上的一点，过点 作 的垂线，与线段 交于点 ，点 在线段 的延长线上，且满足 .
(1)求直线 与 的公共点个数；
(2)当点 恰为 中点时,若 的半径为 5, ，求线段 的长.
25. 为了增强学生体质, 某校初三年级举办了小型运动会. 其中男子立定跳远项目初赛成绩前 10 名的学生直接进入决赛. 现将进入决赛的 10 名学生的立定跳远成绩 (单位:厘米) 数据整理如下:
a. 10 名学生立定跳远成绩:
b. 10 名学生立定跳远成绩的平均数、中位数、众数:
平均数 中位数 众数
239.5 m
(1)写出表中 的值；
(2)现有甲、乙、丙三名未进入决赛的学生，要通过复活赛进入决赛. 在复活赛中每人要进行 5 次测试，每人的 5 次测试成绩同时满足以下两个条件方可进入决赛；
i. 平均成绩高于已进入决赛的 10 名学生中一半学生的成绩;
ii. 成绩最稳定.
①若甲学生前 4 次复活赛测试成绩为 236, 238, 240, 237，要满足条件 i ， 则第 5 次测试成绩至少为_____(结果取整数)；
②若甲、乙、丙三名学生的 5 次复活赛测试成绩如下表:
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲 236 238 240 237 237
乙 237 239 240 0 244 235
丙 237 242 237 239 240
则可以进入决赛的学生为_____(填“甲”“乙”或“丙”).
26. 在平面直角坐标系 中,已知二次函数 的图象与 轴交于点 ( 在 的左侧),与 轴交于点 .
(1)直接写出点 的坐标 (用含有 的代数式表示)；
(2)记 的面积为(S，判断说法:“当 时， 与 满足正比例函数关系” 的正误，并说明理由;
(3)已知点 ， ， 如果抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数图象,求 的取值范围.
27. 如图，在 中， ， ，作射线 ， . 点 在射线 上，连接 ， 是 的中点，点 关于点 的对称点为 ， 连接 .
备用图
(1)依题意补全图形；
(2)判断 与 的数量关系并证明；
(3)平面内一点 ，使得 ，求 的值.
28. 在平面直角坐标系 中,对于图形 及过定点 的直线 ,有如下定义: 过图形 上任意一点 作 于点 ，若 有最大值，那么称这个最大值为图形 关于直线 的最佳射影距离,记作 ,此时点 称为图形 关于直线 的最佳射影点.
(1)如图 1，已知 ， ，写出线段 关于 轴的最佳射影距离 ( 轴) =
(2)已知点 ， 的半径为 ，求 关于 轴的最佳射影距离 ( 轴),并写出此时 关于 轴的最佳射影点 的坐标;
(3)直接写出点 关于直线 的最佳射影距离 (点 )的最大值.
图 1
备用图

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