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8.3三角形的中位线 同步练习（提优）
一、单选题
1．下列命题中是真命题的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一个角为且一组邻边相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
D．顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形
2．如图，在中，，，，D，E，F分别是，，的中点，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，过点作的角平分线的垂线，垂足为，为的中点，连接，已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，点E、F分别是、的中点，若，则矩形的周长是（ ）
A．20 B．28 C．26 D．24
5．如图，在中，，分别是，的中点，交的延长线于点．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是的中位线，的平分线交于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，菱形的对角线，相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，，，，则线段的长为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，△ABC的面积是24，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
9．如图，在中，，，．H、G分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（ ）
A．4 B．6 C． D．
10．如图，在正方形中，点E，G分别在，边上，且，，连接、，平分，过点C作于点F，连接，若正方形的边长为4，则的长度是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，四边形各边中点分别是，若对角线，，则四边形的周长是 ．
12．如图，菱形中，对角线，相交于点O，点E为的中点，连接，若，则菱形的周长为 ．
13．如图，菱形的对角线，相交于点，点为中点，若，，则菱形的面积为 ．
14．如图，是的中线，是的中线，于点F．若，则长为 ．

15．如图，在中，，，．将绕点C按顺时针方向旋转后得，直线、相交于点F．取的中点G，连接，则长的最大值为 cm．
16．如图，矩形的边，E是上一点，，F是上一动点，P、Q分别是、的中点，则的最小值为 ．

17．如图是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则的周长为 ．
18．如图，菱形的边长为5，将一个直角的顶点放置在菱形的中心处，此时直角的两边分别交边，丁点，，当时，的长为2，则的长是 ．

19．如图，在中，，，以为斜边作，使，，点分别是的中点，连接，则的长为 ．
20．如图正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分∠ABO交AO于E点，CFBE于F点，交BO于G点，连接EG、OF，下列四个结论：①CE=CB；②AE=BG；③OF=CG；④AE=OE；⑤EG=AB，其中正确的结论有 （填序号）．
三、解答题
21．如图所示，点为内一点，平分，且交于点，点为边的中点，点在上，且．
(1)证明：四边形是平行四边形；
(2)请直接写出线段，，之间的数量关系：______．
22．如图，沿直线折叠 ，使得点A与点B重合．
(1)请利用无刻度的直尺和圆规作出折痕，使得折痕交于点D，交于点E(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在（1）的条件下，若E是中点，判断形状并说明理由．
23．如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，，求的度数．
24．如图，在中，平分于点E，点F是的中点，连接．
(1)如图（1），求证：；
(2)如图（2），若，求线段的长．
25．如图，在矩形中，，对角线交于点O，点E，F分别是延长线上的点，且，连接，点G为的中点．连接，交于点H，连接．
(1)猜想： H是 的中点吗？ 并加以证明；
(2)求的长．
26．定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．如图，四边形中，，四边形即为等垂四边形，其中相等的边称为腰，另两边称为底．
【提出问题】
(1)如图，与都是等腰直角三角形，，．求证：四边形是“等垂四边形”．
【拓展探究】
(2)如图，四边形是“等垂四边形”，，点分别是，的中点，连接．已知腰，求的长．
【综合运用】
(3)如图，四边形是“等垂四边形”，腰，底，则较短的底长的取值范围为 ．
试卷第8页，共8页
答案
1．D
解：A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项错误，不符合题意；
B．有一个角为且一组邻边相等的平行四边形是正方形，故选项错误，不符合题意；
C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故选项错误，不符合题意；
D．顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形，故选项正确，符合题意．
故选：D．
2．A
解：∵D，E，F分别是，，的中点，
则，，是的中位线，
∴，，，
又∵，，，
∴，，，
则的周长是，
故选：A．
3．B
解：如图，延长，交于点
，
∵平分，，
∴，，
∴，
∴，，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴．
故选．
4．B
解：∵点E、F分别是、的中点，，，
∴是的中位线，，
∴，
∵在矩形中，，，，
∴，
∴该矩形的周长为，
故选：B．
5．B
解：，是的中点，
是线段的垂直平分线，
，
，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
故选B．
6．B
解：∵是的中位线，，
∴，，点是的中点，
又∵的角平分线交于点，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
7．B
解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点F为的中点，，
∴为的中位线，
∴，
故选B．
8．A
∵点E是AD的中点，
∴，．
∵点D是BC的中点，
∴，
∴．
∵点F，G是BE，CE的中点，
∴，，
∴FG是△CBE的中位线，
∴，
∴．
故选：A．
9．D
解：如图，连接，过点作于点，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，
分别为的中点，
，
当时，有最小值，即有最小值，
当点与点重合时，的最小值为，
的最小值为，
故选：D．
10．C
解：如图：延长交于H，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
而，
∴，
∵，正方形的边长为4，
∴，，，
在中，，
在中，，
∴，
∴．
故选：C．
11．22
解：四边形各边中点分别是、、、，
、、、分别为、、、的中位线，
，，，，
四边形的周长为：，
故答案为：22．
12．28
解：∵四边形是菱形，
， ，
即O是的中点，
点是边的中点，，
是的中位线，
，
∴菱形的周长：，
故答案为：28．
13．96
解：四边形是菱形，且，
，
点为中点，且，
，
，
菱形的面积为，
故答案为：96．
14．3
解：∵是的中线，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
故答案为：3．
15．9
解：取的中点H，连接、，如图：
∵是由绕C点旋转得到，
∴，，，
设，则
在四边形中，
在中，，，，
在中，，
∵是中位线，
而，
∴当F、H、G在一条直线上时，最大，最大值为，
故答案为：9．
16．5
解：∵
∴
延长到，使，连接，

则，，
当、F、E在同一直线上时，
最小，最小值为．
在中，
即最小为10，
∵P、Q分别是、的中点，
的最小值为．
17．
解：，矩形，
，，，
，
，
点和点分别是和的中点，
，，是的中位线，
，，
．
故答案为：．
18．
解：连接，则过点O，
，
，
在菱形中，，
是的中位线，
，
在中，．
故答案为：．
19．
解：、分别是、的中点，
，，
，
在中，为的中点，
，
，
，
，
，
故答案为：．
20．①②③④
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABO＝∠ACB＝∠CBO＝45°，AB＝BC，OA＝OB＝OC，BD⊥AC，
∵BE平分∠ABO，
∴∠OBE＝∠ABO＝22.5°，
∴∠CBE＝∠CBO＋∠EBO＝67.5°，
在△BCE中，∠CEB＝180° ∠BCO ∠CBE＝180° 45° 67.5°＝67.5°，
∴∠CEB＝∠CBE，
∴CE＝CB；
故①正确；
∵CF⊥BE，
∴∠ECG＝∠BCG＝∠BCO＝22.5°，EF＝BF，
∵∠ABE＝∠ABO＝22.5°，
∴∠ABE＝∠BCG，
∵AB＝BC，∠EAB＝∠GBC＝45°，
∴△ABE≌△BCG（ASA），
∴AE＝BG，BE＝CG，
故②正确；
∵∠AOB＝90°，EF＝BF，
∵BE＝CG，
∴OF＝BE＝CG．
故③正确；
∵OA＝OB，AE＝BG，
∴OE＝OG，
∵∠AOB＝90°，
∴△OEG是等腰直角三角形，
∴EG＝OE，
∵∠ECG＝∠BCG，EC＝BC，CG＝CG，
∴△ECG≌△BCG（SAS），
∴BG＝EG，
∴AE＝EG＝OE，
故④正确；
∴EG不是△AOB的中位线，
∴EG≠AB．故⑤错误；．
故正确的结论有①②③④．
故答案为：①②③④．
21．
（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
∴，
∵ 平分，
∴，
∴．
∴．
∵点为边的中点，
∴为的中位线，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）如图，由（1）得：．
∵D、E分别是、的中点，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
22．
（1）解：如图，即为所求；
；
（2）解：是直角三角形，
理由：由折叠得：是的垂直平分线，
∴，，
∵E是中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
23．
解：∵在四边形中，P是对角线的中点，E，F分别是、的中点，
∴，分别是与的中位线，
∴，，
∵，
∴，
故是等腰三角形，
∵，
∴．
24．
（1）证明：∵平分，
∴是的中线，
∴点为的中点，
∵点F是的中点，
∴是的中位线，
∴．
（2）解：延长交于点，
∵平分，
∴，，
∴，
∴，，
∵点F是的中点，
∴．
25．
（1）证明：H是 的中点；
取中点M，连接，如图，
∵四边形是矩形，对角线交于点O，
∴点O是的中点，
∵点M是的中点，
∴，，
∴
∵
∴，
∴，即H是 的中点；
（2）解：连接，如图，
∵点M是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点G是的中点，点H是的中点，
∴．
26．
（1）解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
延长交延长线于F，交于O，
又∵，
∴，
∴；
∴四边形是“等垂四边形”；
（2）解：连接，取的中点G，连接，延长交于点H，
∵四边形是“等垂四边形”，
∴，
∴，
∵点M，N，G分别是的中点，
∴， ，，
∴．
∴．
∴是等腰直角三角形．
∴；
（3）解：延长交于点P，分别取的中点M、N，连接，
∵，
∴， ，
由（2）知， ，
∵，即，
∴，即，
，
当点D与点P重合时，在中，由勾股定理得
此时，
，
故答案为：．

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