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2025-2026学年福建省福州市五校联考九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）下列车标图案中，可以看作由“基本图案”经过旋转得到的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是（　　）
A．x B．x C．x D．x
3．（4分）如果将抛物线y＝x2﹣1，向下平移1个单位长度，那么所得的抛物线的解析式是（　　）
A．y＝x2 B．y＝x2﹣2
C．y＝x2+1 D．y＝（x+1）2+1
4．（4分）已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则⊙O的半径可能为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（4分）若关于x的方程（m﹣2）x|m|+x＝1是关于x的一元二次方程，则m的值是（　　）
A．m＝2 B．m＝﹣2 C．m＝±2 D．m≠2
6．（4分）某款手机连续两次降价，售价由原来的1185元降到580元．设平均每次降价的百分率为x，则下面列出的方程中正确的是（　　）
A．1185x2＝580 B．1185（1﹣x）2＝580
C．1185（1﹣x2）＝580 D．580（1+x）2＝1185
7．（4分）如图，在平面直角坐标系中， MNEF的两条对角线ME，NF交于原点O，MF平行x轴，点M的坐标是（m，2），点F的坐标是（3，n），则点N的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣4，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣4，﹣2）
8．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连接AE，则阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．4 C．6 D．6
9．（4分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论：
①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC；
其中一定正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
10．（4分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（　　）
A．a＞0 B．（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0
C．x1＜x0＜x2 D．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）已知x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是 　 　 ．
12．（4分）如果抛物线y＝（m﹣1）x2+4x+7有最低点，那么m的取值范围为　 　 ．
13．（4分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为　 　 ．
14．（4分）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆．若AB＝3，则⊙O的半径是　 　 ．
15．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c自变量和对应函数值的部分对应值如下表所示，则关于x的不等式ax2+bx+c﹣5≤0的解集为 　 　 .
x ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2
y 13 8 5 4 5 8 13
16．（4分）如图，在△ACB中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AC＝12，点D是边BC上的一动点，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转75°得到线段AE，连接CE，则线段CE长度的最小值是 　 　 ．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（9分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
18．（9分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，4）．
（1）把△ABC向下平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）以原点O为对称中心，画出与△A1B1C1关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
19．（9分）如图，在⊙O中，于D，CE⊥OB于E，求证：OD＝OE．
20．（9分）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且12，求m的值．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF＝CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若OB＝2，求BD的长．
22．（10分）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，实心球从出手到着陆的过程中，它的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0），小明进行了两次掷实心球训练．
（1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6
竖直高度y/m 2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2
根据上述数据，
①实心球竖直高度的最大值是 　 　 m；
②求出函数解析式；
（2）第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.09（x﹣4）2+3.6，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为d1，第二次训练实心球的着陆点的水平距离为d2，则d1　 　 d2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
23．（10分）已知实数a，m，n满足m（m+a）＝n（n+1）．
（1）若a＝1，求m，n的数量关系；
（2）若m，n为正整数，则a的值能否等于3？请说明理由．
24．（10分）已知抛物线y＝x2﹣4mx+4m2﹣1．
（1）求此抛物线的顶点的坐标；
（2）若点P（2m+1，y1），M（xB，y1）均在抛物线上，求线段PM的长度；
（3）若这条抛物线经过点P（2m+1，y1），Q（2m﹣t，y2），且y1＜y2，求t的取值范围．
25．（10分）如图，⊙O为Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝4，点D是⊙O上的动点，且点C、D分别位于AB的两侧．
（1）求⊙O的半径；
（2）当CD＝4时，求∠ACD的度数；
（3）设AD的中点为M，在点D的运动过程中，线段CM是否存在最大值？若存在，求出CM的最大值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B D B B A A C D
二、填空题（本大题共6小题）
11．x＝﹣2．
12．m＞1．
13．3．
14．．
15．﹣2≤x≤0．
16．66．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0
x﹣3＝0或x+1＝0
∴x1＝3，x2＝﹣1．
18．解：（1）把△ABC向下平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，如图1即为所求；
点C1的坐标为（4，﹣1）；
（2）与△A1B1C1关于原点O对称的△A2B2C2，如图2即为所求；
点C2的坐标为（﹣4，1）．
19．证明：∵，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO＝∠CEO＝90°．
在△CDO与△CEO中，
，
∴△CDO≌△CEO（AAS），
∴OD＝OE．
20．解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，
解得m≤0．
故m的取值范围是m≤0；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵（x1+x2）2﹣2x1 x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，
解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．
故m的值为﹣2．
21．（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，，
∴∠BOC＝90°，
∵E是OB的中点，
∴OE＝BE，
在△OCE和△BFE中，
∵，
∴△OCE≌△BFE（SAS），
∴∠OBF＝∠COE＝90°，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：∵OB＝OC＝2，
由（1）得：△OCE≌△BFE，
∴BF＝OC＝2，
∴AF2，
∴S△ABF，
4×2＝2 BD，
∴BD．
22．解：（1）①根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（4，3.6），
∴实心球竖直高度的最大值是3.6m，
故答案为：3.6；
②∵抛物线的顶点坐标为：（4，3.6），
∴抛物线的解析式可表示为：y＝a（x﹣4）2+3.6，
∵当x＝0时，y＝2.0，
∴2.0＝a（0﹣4）2+3.6，
解得a＝﹣0.1，
∴函数解析式为：y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6；
（2）d1＜d2．理由如下：
在y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6中，
令y＝0得：0＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6，
解得x1＝10，x2＝﹣2＜0（舍去），
∴d1＝10m；
在y＝﹣0.09（x﹣4）2+3.6中，
令y＝0得：﹣0.09（x﹣4）2+3.6＝0，
解得x1＝24，x2＝﹣24＜0（舍去），
∴d2＝（24）m，
∵10＜24，
∴d1＜d2．
故答案为：＜．
23．解：（1）当a＝1时，
m（m+1）＝n（n+1），
m2+m＝n2+n，
m2﹣n2+m﹣n＝0，
（m+n）（m﹣n）+（m﹣n）＝0，
（m+n+1）（m﹣n）＝0，
∴m﹣n＝0或m+n+1＝0，
∴m＝n或m+n＝﹣1；
（2）a的值不能等于3，理由如下：
假设a＝3，
把a＝3代入m（m+a）＝n（n+1）中，
∴m（m+3）＝n（n+1），
展开得到：m2+3m＝n2+n，
移项可得：m2+3m﹣n2﹣n＝0，
将其看作关于m的一元二次方程m2+3m﹣（n2+n）＝0，
a＝1，b＝3，c＝﹣（n2+n），
∴Δ＝9﹣4×1×[﹣（n2+n）]＝9+4n2+4n，
∴，
∵m，n为正整数，
∴；
而要使得m为正整数，则9+4（n2+n）必须是一个奇数的完全平方数，
∴设9+4（n2+n）＝（2k﹣1）2（k为正整数），
整理得：k2﹣n2﹣k﹣n＝2，
即（k+n）（k﹣n﹣1）＝2；
∵k，n均为正整数，且2为素数，
∴k+n≥2，
∴，
解得：，
这与n为正整数矛盾，
∴a的值不能等于3．
24．解：（1）∵y＝x2﹣4mx+4m2﹣1＝（x﹣2m）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标是（2m，﹣1）；
（2）∵点P（2m+1，y1）和点M（xB，y1）的纵坐标相等，
∴点P（2m+1，y1）与M（xB，y1）关于对称轴对称，
∵点P到对称轴的距离是2m+1﹣2m＝1，
∴点M到对称轴的距离也是1，
∴PM＝1+1＝2；
（3）∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵y＝（x﹣2m）2﹣1，
∴抛物线的对称轴是直线x＝2m，
∵点P的坐标为（2m+1，y1），
∴点P关于x＝2m的对称点的坐标是（2m﹣1，y1），
当点Q（2m﹣t，y2），在对称轴左侧时，
若y1＜y2，则2m﹣t＜2m﹣1，
解得：t＞1；
当点Q（2m﹣t，y2），在对称轴右侧时，
若y1＜y2，则2m﹣t＞2m+1，
解得：t＜﹣1；
综上所述，若y1＜y2，则t＞1或t＜﹣1．
25．解：（1）如图1中，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝4，BC＝4，
∴AB8，
∴⊙O的半径为4．
（2）如图1中，连接OC，OD．
∵CD＝4，OC＝OD＝4，
∴CD2＝OC2+OD2，
∴∠COD＝90°，
∴∠OCD＝45°，
∵AC＝OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO＝60°，
∴∠ACD＝∠ACO﹣∠DCO＝60°﹣45°＝15°．
（3）如图2中，连接OM，OC．
∵AM＝MD，
∴OM⊥AD，
∴点M的运动轨迹以AO为直径的⊙J，
连接CJ，JM．
∵△AOC是等边三角形，AJ＝OJ，
∴CJ⊥OA，
∴CJ2，
∵CM≤CJ+JM＝22，
∴CM的最大值为22．

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