资源简介

1.5 向量的数量积
1.5.2 数量积的坐标表示及其计算
第1章 平面向量及其应用
湘教版A版数学必修第二册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
知识测评
05
高考模拟
课标要点
01
必备知识解读
02
知识点 数量积的坐标表示
1 数量积的坐标表示
两个向量????=????1,????1，????=????2,????2 的数量积的坐标表达式为
?????????=????1,????1?????2,????2=????1????2+????1????2 .
?
2 模（长度）的坐标表示
向量????=????,?????的模的公式为????=?????????=????2+????2 .
在平面直角坐标系中，如果????????1,????1，????????2,????2，则????????=(????2?????1,????2?????1) ，
因为????????=????2?????12+????2?????12 （实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运
算）.
?
. .
. .
. .
知识剖析
向量的模的坐标表示与两点间距离公式的联系
向量的模即向量的长度，其大小等于平面直角坐标系中两点间的距离，如
????=????,????,则在平面直角坐标系中，一定存在点????????,????，使得????????=????=????,???? ,所以
????????=????=????2+????2,即????为点????到原点????的距离.同样，若????????1,????1,????????2,????2 ，则
????????=????2?????1,????2?????1,故????????=????2?????12+????2?????12,即????????为????，???? 两点间的
距离.
与非零向量???? 同向的单位向量的坐标表示
若????=????,????,则????=????2+????2,所以与非零向量???? 同向的单位向量
????0=????????=1????2+????2????,????=????????2+????2,????????2+????2 .
?
3 夹角的坐标表示
根据两个非零向量????=????1,????1,????=????2,?????2 数量积的定义,可得计算两非零向量
夹角余弦值的公式为
cos?????,?????=?????????????????=????1????2+????1????2????12+????12????22+????22 .
知识延伸 1.当????1????2+????1????2<0时，?????,?????∈(π2,π];当????1????2+????1????2>0时，?????,?????∈[0,π2) ；
当????1????2+????1????2=0时，?????,?????=π2 .
2.由于向量????=????2,????2在向量????=????1,????1 方向上的投影为
????cos??????=?????????????
(???? 为????,????的夹角)，从而向量????在向量????方向上的投影的坐标表示为????1????2+????1????2????12+????12
（投影长为????1????2+????1????2????12+????12 ）.
?
. .
4 垂直的坐标表示
已知向量????=????1,????1，????=????2,????2，则????⊥??????????????=0? ????1????2+????1????2=0
（与向量共线的坐标表示对比记忆.）.（可简记为：横横纵纵积相反）
特别提醒 （1）两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段或直线是否垂
直的重要方法之一.
（2）设????????1,????1,????????2,????2,????????3,????3 为坐标平面内的三个点，则
????????⊥??????????????????????????=0?????3?????1????2?????1+????3?????1????2?????1=0 .
?
. .
学思用·典例详解
例1 [教材改编P39 T6]已知????=1,?1，????=2,4，则?????????+????= ( )
?
B
A.?1 B.0 C.1 D.2
?
【解析】?????????+????=1,?1?3,3=3?3=0 .
?
例2（1）已知向量????=1,1,????=(?2,3)，则?????2????= ( )
?
B
A.5 B.52 C.8 D.74
?
【解析】易知?????2????=5,?5，从而|?????2????|=52+?52=52 .
?
（2）已知????1,?2,?????3,4,则????,???? 两点间的距离是______.
?
????????????
?
【解析】 由两点间距离公式可得????????=1+32+?2?42=213 .
?
????????=(?3?1,4+2)=(?4,6),????????=?42+62=213 .
?
例3 (2025·山东省烟台市期末)已知向量????=1,3,????=3,1,则????与???? 夹角的大小为
__.
?
????????
?
【解析】由题意得????=1+3=2,????=3+1=2,?????????=1×3+3×1=23 .
设????与????的夹角为???? ，则cos?????=232×2=32 .
∵????∈[0,π],∴????=π6 .
?
例4 (2025·山东省聊城二中开学考试)向量????=0,1，????=2,?3，则????在???? 方向上的
投影为( )
?
D
A.2 B.?2 C.3 D.?3
?
【解析】????在????方向上的投影为?????????????=?3 .
?
例5 [教材改编P40 T8]已知向量????=1,2,????=????,?2,且????⊥????，则实数???? 等于( )
?
C
A.?7 B.9 C.4 D.?4
?
【解析】∵????=1,2,????=????,?2,且????⊥???? ,
∴?????????=1×????+2×?2=0 ，
即?????4=0,∴????=4 .
?
题型解析
03
题型1 数量积的坐标运算及其直接运用
例6（1）已知向量????,????满足????=1,????=2,?????????=(3,2),则2?????????= ( )
?
C
A.15 B.17 C.22 D.25
?
【解析】由已知得?????????2=????2?2?????????+????2=1?2?????????+4=5,∴?????????=0 ,
∴2?????????2=4????2?4?????????+????2=4?0+4=8 ,
∴2?????????=22 .
?
（2）已知向量????=1,2，????=(?2,?4),????=5，若??????????????=152，则????与???? 的夹
角为( )
?
C
A.30? B.60? C.120? D.150?
?
【解析】由?????????=?10，得??????????????=???????????????????=?????????+10=152,∴?????????=?52 .
设????与????的夹角为???? ，则cos?????=?????????????????=?525×5=?12，又0?≤????≤180? ,∴????=120? .
?
（3）(2025·山东省济宁市期中)已知????????=2,1,?????1,0，????4,5，则向量????????在???????? 方
向上的投影为( )
?
A
A.322 B.?35 C.?355 D.35
?
【解析】已知????????=2,1,?????1,0，????4,5 ，
可得????????=5,5，????????=52 ,
?????????????????=2×5+1×5=15 ,
则向量????????在????????方向上的投影为?????????????????????????=1552=322 .
?
（4）(2025·陕西省榆林市月考)已知向量????=?2,?1，????=????,1,且????与???? 的夹角为
钝角，则实数???? 的取值范围为_ ________________.
?
?????????,????∪????,+∞
?
【解析】∵????与????的夹角为钝角，∴?????????<0 ，
即(?2,?1)?????,1=?2?????1<0，∴????>?12 .
又当????与????反向时，夹角为180? ，即?????????=??????????（当????与????的夹角为180? 时,也
满足??????????<0 ,但不符合题意，应舍去），
则2????+1=5?????2+1，解得????=2 .
由于????与???? 的夹角为钝角，
故应排除????与????反向共线的情况，即排除????=2 ，
则实数???? 的取值范围为?12,2∪2,+∞ .
?
. .
易错警示? 依据两向量夹角???? 的取值情况，求向量的坐标中的参数时，需注意当夹
角为0? 时，cos?????=1>0;当夹角为180? 时，cos?????=?1<0 ,这是容易忽略的特殊
情况.
?
直接应用数量积的坐标表示解决问题的关键
直接应用平面向量数量积的坐标表示解决问题的关键在于熟记相关公式（向量数量
积的坐标表示、向量模的坐标表示、向量夹角的坐标表示等）.解题时，只需直接运
用这些公式进行计算即可.
【学会了吗丨变式题】
1.已知三点????2,?2，????5,1，????1,4，则∠???????????? 的余弦值为_ ____.
?
????????????????????
?
【解析】∵????????=5,1?2,?2=3,3 ，
????????=1,4?2,?2=?1,6 ，
∴?????????????????=3×?1+3×6=15 .
又????????=32+32=32，????????=?12+62=37 ，
∴cos∠????????????=?????????????????????????????????=1532×37=57474 .
?
题型2 向量垂直的坐标表示的应用
例7 设????,????∈????，向量????=????,1,????=1,????,????=2,?4,且????⊥????,????//????,则????+????=
( )
?
B
A.5 B.10 C.25 D.10
?
【解析】∵ 向量????=????,1,????=1,????,????=2,?4,且????⊥????,????//???? ,
∴2?????4=0,?4?2????=0,解得????=2,????=?2 ,
∴????+????=3,?1,∴????+????=32+?12=10 .
?
例8 在△????????????中，????????=3,4，????????=4,????，且△????????????的一个内角为直角，求???? 的值.
?
思路点拨? 在Rt△???????????? 中，利用两直角边所对应的两向量垂直，其数量积为零，列
方程求解.
?
【解析】（1）当角????为直角时，????????⊥????????（题中只给出△???????????? 为直角三角形，并没
有指出哪个角是直角，故本题应分三种情况进行讨论），
∴?????????????????=0，即12+4????=0,∴????=?3 .
?
. .
（2）当角????为直角时，????????⊥???????? ，
????????=?3,?4，????????=?????????????????=1,?????4 .
由?????????????????=0，得?3?4?????4=0,∴????=134 .
（3）当角????为直角时，????????⊥???????? ，
????????=?4,?????，????????=?????????????????=?1,4????? .
由?????????????????=0，得4?????4?????=0,即????2?4????+4=0，∴????=2 .
综上所述，????的值为?3或134 或2.
?
. .
. .
根据向量垂直求参数的值的基本思路
借助两向量垂直的条件求解某参数的值，具体做法就是借助
????⊥??????????????=0?????1????2+????1????2=0（其中????=????1,????1,????=????2,????2 ），列关于某
参数的方程（或方程组），然后解之即可.
?
【学会了吗丨变式题】
2.设????=3,3，????=1,?1，如果????+????????⊥?????????????，????>0，那么????= ( )
?
C
A.2 B.3 C.3 D.9
?
【解析】∵????=3,3，????=1,?1 ，
∴????+????????=3+????,3?????，?????????????=3?????,3+???? ，
又????+????????⊥?????????????，∴????+??????????????????????=0 ，
∴3+????3?????+3?????3+????=0 ，
∴18?2????2=0，又????>0，∴????=3 .
?
题型3 数量积的坐标运算与平面几何的交汇
1 求值
例9 (2025·广东省东莞市期末)如图1.5.2-1，在矩形????????????????中，????????=2,????????=2,???? 为
????????的中点，点????在边????????上，若?????????????????=2,则????????????????? 的值是____.
?
????
?
图1.5.2-1
图1.5.2-2
【解析】以????为坐标原点，????????所在直线为????轴,????????所在直线为???? 轴
建立平面直角坐标系，如图1.5.2-2，则????0,0，????2,0 ，
????0,2,????2,2,????2,1 .
?
可设????????,2 ,
因为?????????????????=2,0?????,2=2????=2 ，
所以????=1，所以????1,2 ,
所以?????????????????=2,1?1?2,2=2 .
?
【学会了吗丨变式题】
图1.5.2-3
3.新情境 中国象棋 [多选题](2025·河北省保定市期末)中
国象棋是中国发明的一种古老的棋类游戏，大约有两千
年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物．如图
1.5.2-3，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“帅”“炮”
“马”“兵”分别位于????，????，????，???? 四点，“马”每步只能走
“日”字，图中的“马”走动一步到达点????1，则?????????????????1 的值
可能为( )
?
ACD
A.?10 B.?12 C.?11 D.?14
?
图D 1.5.2-1
【解析】如图D 1.5.2-1，建立以???? 为坐标原点的平面直角
坐标系，则????0,0，?????3,2，????3,0，?????2,3 ，由于“马”
每步只能走“日”字，故“马”走动一步到达点????1 的位置可能
为4,2，1,1，2,2，则????????=?2,3,????????1=7,0 或
????????1=4,?1或????????1=5,0 ,
则?????????????????1的值可能为?????????????????1=?2,3?7,0=?14 ,
?
或?????????????????1=?2,3?4,?1=?11 ,
或?????????????????1=?2,3?5,0=?10 ,
即?????????????????1的值可能为?10，?11，?14，故选ACD .
?
2 求最值
图1.5.2-4
例10 (2025·福建省福州文博中学期中)如图1.5.2-4，在四边形
????????????????中，????????⊥????????，????????⊥????????，∠????????????=π3，????????=????????=23．
若点????为边????????上的动点，则????????????????? 的最小值为( )
?
B
A.83 B.214 C.?114 D.?133
?
图1.5.2-5
【解析】如图1.5.2-5所示,以????为原点，以????????所在的直线为???? 轴，
以????????所在的直线为???? 轴,建立平面直角坐标系．
?
连接????????,过点????作????????⊥????轴，交????轴于点????，过点????作????????⊥???? 轴，
交????轴于点???? ．
∵????????⊥????????,????????⊥????????,????????=????????=23，∠????????????=π3 ,
∴????????平分∠????????????，即∠????????????=π6，∴????????=2 ,
?
∴????????=3，????????=?????????????????=23?3=3 ,
∴????0,0,????2,0,????0,23,????3,3 .
设????0,????0≤????≤23,则????????=?2,????,????????=?3,?????3 ，
故?????????????????=6+?????????3=(?????32)2+214≥214 .
?
例11 新情境 费马点 (2025·上海市川沙中学期中)17世纪法国数学家费马曾提出这样
一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证
明：在△????????????中，若三个内角均小于120? ，当点???? 满足
∠????????????=∠????????????=∠????????????=120? 时，则点????到三角形三个顶点的距离之和最小，点????
被人们称为费马点．根据以上性质，已知????为平面内任意一个向量，????和???? 是平面内
两个互相垂直的向量，????=2，????=1，则?????????+????+????+|?????????| 的最小值是
( )
?
B
A.2?3 B.2+3 C.3?1 D.3+1
?
【解析】设????=????,????,????=1,0,????=0,2 ,
则?????????+????+????+?????????=?????12+????2+????+12+????2+????2+?????22 ,
?
图1.5.2-6
即为点????????,????到????1,0，?????1,0和点????0,2 三个点的距离
之和，则△???????????? 为等腰三角形，如图1.5.2-6，
由费马点的性质可得:要保证∠????????????=120? ,则∠????????????=60? ,
因为????????=1,则????????=33,所以点????的坐标为0,33时，点???? 到
三个点的距离之和最小，为233+233+2?33=2+3 .
?
【学会了吗丨变式题】
4.(2025·湖南省长沙市期末)在长方形????????????????中，????????=2，????????=25，点????在边???????? 上
运动，点????在边????????上运动，且保持????????=2，则|????????+????????| 的最大值为( )
?
C
A.17 B.213 C.217 D.13
?
【解析】如图D 1.5.2-2，以????为原点，????????所在的直线为????轴，????????所在的直线为???? 轴，
建立平面直角坐标系，
∵????????=2,????????=25 ,
∴????????=????????2?????????2=20?4=4,则????0,0,????2,4,????0,4 .
?
图D 1.5.2-2
设∠????????????=???? ,则0≤????≤π2（????,????重合时，这里表示为????=π2 ），
则????????=2cos????? ,????????=2sin????? ,
∴????2cos?????,0,????0,2sin????? ,
∴????????=2,4?2sin?????,????????=2?2cos?????,4 ,
∴????????+????????=4?2cos?????,8?2sin????? ,
∴????????+????????2
=4?2cos?????2+8?2sin?????2
=84?16(2sin?????+cos?????)
=84?165sin????+???? ,
?
. .
其中tan?????=12<33=tan?π6,不妨令0∴0+????≤????+????≤π2+???? ,令????=????+???? ,则????∈[????,π2+????] ,
????=sin?????在[????,π2+????] 上的图象先增后减.
当????=0时，????????+????????2=68 ,
当????=π2时，|????????+????????|2=52 ,
∴ 当????=0时，????????+????????取得最大值，最大值为217 .
?
图D 1.5.2-3
本题也可以直接求解.如图D 1.5.2-3，取????????的中点????，在Rt△???????????? 中，
????????=12????????=1，点????的轨迹是以点???? 为圆心，半径为1的圆弧，
|????????+????????=????????+????????|=2???????? ，
当????为????????的中点时，????????max=42+12=17，所以????????+????????max=217 .
?
3 证明或判断图形形状
例12 在等腰直角三角形????????????中，????????⊥????????，????????=????????，????是????????的中点，????是???????? 上一
点，且????????=2????????．求证：????????⊥???????? ．
?
【解析】 （选择恰当的基将????????，????????线性表示，然后证明?????????????????=0 即可）
?
图1.5.2-7
如图1.5.2-7所示，
设????????=????，????????=????，则????=????且????⊥???? ．
∵????为???????? 的中点，
∴????????=12????????=12????，∴????????=?????????????????=12????????? .
?
∵????????=2????????，∴????????=13????????=13?????????????????=13????????? ，
∴????????=????????+????????=????+13?????????=13????+23???? .
∴?????????????????=12??????????13????+23????=16?????????+13????2?13????2?23?????????=
13????2?13????2=0 ,
∴????????⊥????????,∴????????⊥???????? .
?
图1.5.2-8
（建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解）
建立如图1.5.2-8所示的平面直角坐标系，设????????=????????=2 ，则
????2,0，????0,2，????0,0，设????????,???? .
?
∵????为????????的中点，∴????0,1 ．
∵????????=2????????，∴????????=23????????,∴?????2,????=23?2,2 ,
∴&?????2=?43,&????=43,∴&????=23,&????=43,∴????23,43 .
∴?????????????????=?2,1?23,43=?43+43=0 ,
∴????????⊥????????，∴????????⊥???????? ．
?
名师点评 利用向量证明垂直问题的关键就是利用数量积的性质：
????⊥??????????????=0 ．在几何问题的证明过程中，相关向量的线性表示要结合几何图
形的结构特征选择恰当的基或建立平面直角坐标系求解．本例方法一利用了基向量
法，方法二利用了坐标法，比较可知方法二更简捷．
?
【学会了吗丨变式题】
5.已知????1,2，????4,0，????8,6，????5,8 ，判断由此四点构成的四边形的形状.
?
【答案】因为????????=????,?????????,????=????,?????，????????=????,?????????,????=(????,?????) ，所以
????????=????????，故四边形????????????????是平行四边形.（需要进一步分析????????与???????? 是否垂直，以
及它们的模是否相等）
因为????????=????,?????????,????=????,???? ，
所以?????????????????=????×????+?????×????=???? ,
所以????????⊥????????，故四边形???????????????? 是矩形.
因为????????=????????,????????=????????????，????????≠???????? ,
所以四边形???????????????? 不是正方形.
综上，四边形???????????????? 是矩形.
?
题型4 数量积的坐标运算与三角函数的交汇
例13 设????1(1?sin?????,0)，????20,?cos?????，则|????????1?????????2| 的最大值是___.
?
2
【解析】因为????11?sin?????,0,????20,?cos????? ,
所以????????1?????????2=????2????1=1?sin?????,cos????? ,
????????1?????????22=1?sin?????2+cos2?????=2?2sin????? ,
当sin?????=?1时，????????1?????????22取得最大值,为2?2×?1=4 ,
所以????????1?????????2 的最大值是2.
?
例14 已知????=cos?????,sin?????，????=cos?????,sin?????，且????????+????|=3|?????????????????>0 ．
?
（1）用????表示数量积????????? ；
?
【解析】由????????+????=3?????????????，得????????+????2=3?????????????2 （将所给的向量的线
性组合的模平方是常见的解题方法），
∴????2????2+2?????????????+????2=3????2?6?????????????+3????2????2 ,
∴????2?3????2+8?????????????+1?3????2????2=0 .
又????=cos?????,sin?????,????=cos?????,sin?????，故????=????=1 ,
∴????2?3+8?????????????+1?3????2=0 ,
∴?????????=2????2+28????=????2+14???? .
?
. .
（2）求?????????的最小值，并求出此时????与???? 的夹角．
?
【解析】由（1）得?????????=????2+14????=14????+1????≥14×2?????1????=12,当且仅当????=1????,即????=1
时等号成立.∴?????????的最小值为12 .
设此时????与????的夹角为???? ,则cos?????=?????????????????=12 .
又????∈[0,π],∴????=π3 .
?
思路点拨? 本题是平面向量的数量积与三角函数的综合问题，由
????=cos?????,sin?????，????=cos?????,sin?????易知????=????=1 ，根据所给模的等式，两边平
方就可以解决问题．
?
解决数量积的坐标表示与三角函数交汇问题的基本思路
先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识（平面向量数量积的坐标表示、平面
向量模与夹角的坐标表示、平面向量平行与垂直的坐标表示等）将问题转化为与三
角函数有关的问题（如化简、求值、证明等），再利用三角函数的相关知识求解即
可.解决这类问题时应注意充分挖掘题目中的隐含条件，使问题得到快速解决，如在
例15中，注意到????=????=1 ,可以简化运算.
?
【学会了吗丨变式题】
6.(2025·湖北省武汉市期中)已知????为坐标原点，向量????????=3sin?????,cos????? ，
????????=(2sin?????，5sin??????4cos?????)，????∈3π2,2π，且????????⊥????????，则tan????? 的值为
( )
?
A
A.?43 B.?45 C.45 D.34
?
【解析】由题意知6sin2????+cos??????5sin??????4cos?????=0 ，
即6sin2????+5sin?????cos??????4cos2????=0 ，
等式两边同时除以cos2???? ，得6tan2????+5tan??????4=0 ，
由于????∈3π2,2π，所以tan?????<0，解得tan?????=?43 .
?
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
本节以向量数量积的坐标表示为基础，考查向量的模、夹角、垂直等.高考中常以选
择题、填空题的形式出现,试题难度为低、中档.
核心素养：数学运算（坐标运算、求参数、求模及夹角等），直观想象（画图建系）.
考向1 坐标下向量数量积的简单运算
例15 (北京高考题)已知????=2,1，????=2,?1，????=0,1，则????+?????????= ___；
?????????= ___．
?
0
3
【解析】由题意得，????+?????????=4,0?0,1=4×0+0×1=0 ，
?????????=2,1?2,?1=2×2+1×?1=3 .
?
例16 (全国Ⅱ卷)已知????????=2,3,????????=3,????,????????=1,则?????????????????= ( )
?
C
A.?3 B.?2 C.2 D.3
?
【解析】因为????????=?????????????????=1,?????3，所以????????=1+?????32=1 ，解得
????=3，所以????????=1,0，所以?????????????????=2×1+3×0=2 ．
?
考向2 用坐标运算刻画垂直关系
例17（1）(2024· 新课标Ⅰ卷)已知向量????=0,1,????=2,????,若????⊥?????4????，则????=
( )
?
D
A.?2 B.?1 C.1 D.2
?
【解析】 因为????=0,1,????=2,????,所以?????4????=2,?????4 ，又
????⊥?????4????，所以?????(?????4????)=2×2+?????????4=?????22=0，解得????=2 .
?
??????????4????=????2?4?????????=4+????2?40×2+1×????=?????22=0 ，
解得????=2 .
?
（2）(2023· 新课标Ⅰ卷)已知向量????=1,1，????=1,?1.若????+????????⊥????+???????? ，则
( )
?
D
A.????+????=1 B.????+????=?1 C.????????=1 D.????????=?1
?
【解析】因为????=1,1,????=1,?1，所以????+????????=1+????,1????? ，
????+????????=1+????,1?????，因为????+????????⊥????+????????，所以????+?????????????+????????=0 ，
所以1+????1+????+1??????(1?????)=0，整理得????????=?1 .
?
（3）(2025· 全国二卷)已知平面向量????=????,1,????=?????1,2????,若????⊥????????? ，则
????= ____.
?
????
?
【解析】?????????=1,1?2????，由????⊥????????? ，得
??????????????=????+1?2????=1?????=0，所以????=1，所以????=2 .
?
（4）(2022·全国甲卷)已知向量????=????,3,????=1,????+1.若????⊥????，则????= _ ___.
?
?????????
?
【解析】∵????⊥????，∴?????????=????+3????+1=4????+3=0,解得????=?34 .
?
考向3 坐标下向量的模、夹角
例18 (2022·全国乙卷)已知向量????=2,1，????=?2,4,则?????????= ( )
?
D
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】由题意知?????????=2,1??2,4=4,?3 ，
所以?????????=42+?32=5 .
?
例19（1）(2023·全国甲卷)已知向量????=3,1，????=2,2，则cos?????+????，??????????=
( )
?
B
A.117 B.1717 C.55 D.255
?
【解析】由题意知，????+????=5,3，?????????=1,?1，所以cos?????+???? ，
??????????=????+??????????????????+?????????????=5×1+3×?134×2=2217=1717 .
?
（2）(2022·新高考全国Ⅱ卷)已知向量????=3,4,????=1,0,????=????+????????,若?????,?????=?????,????? ,
则????= ( )
?
C
A.?6 B.?5 C.5 D.6
?
【解析】由题意，得????=????+????????=3+????,4 ，
所以?????????=3×3+????+4×4=25+3???? ，
?????????=1×3+????+0×4=3+???? ．
因为?????,?????=?????,?????，所以cos?????,?????=cos?????,????? ，
即?????????????????=?????????????????，即25+3????5=3+????，解得????=5 ．
?
考向4 建系，利用数量积的坐标表示解决几何问题
例20 (全国Ⅱ卷)已知△????????????是边长为2的等边三角形，????为平面???????????? 内一点，则
?????????????????+???????? 的最小值是( )
?
B
A.?2 B.?32 C.?43 D.?1
?
说明? 在1.5.1节中我们用极化恒等式对本题进行了求解，将变动的问题转化为不动
的问题.下面我们运用坐标运算来处理本题，求解方向非常明确，思路也很清晰，将
几何问题转化为代数下的最小值问题，充分体现了向量坐标工具性的特征.
?
图1.5.2-9
【解析】如图1.5.2-9，以等边三角形????????????的底边????????的中点???? 为坐
标原点，????????所在直线为????轴，????????的垂直平分线为???? 轴建立平面直
角坐标系，则????0,3,?????1,0,????1,0 .
设????????,????，则????????=(?????,3?????),????????=?1?????,????? ,
?
????????=(1?????,?????),所以?????????(????????+????????)?=?????,3???????2????,?2????=2????2+2(?????32)2?32，易知当????=0，????=32 时，
?
?????????(????????+????????)取得最小值，最小值为?32 .
?
例21 (2023·全国乙卷)正方形????????????????的边长是2，????是????????的中点，则?????????????????= ( )
?
B
A.5 B.3 C.25 D.5
?
【解析】 由题意知，????????=????????+????????=12????????+???????? ，
????????=????????+????????=?12????????+???????? ，所以
?????????????????=12????????+??????????12????????+????????=????????2?14????????2 ，由题意知
????????=????????=2，所以?????????????????=4?1=3 .
?
以点????为坐标原点，????????,????????的方向分别为????,???? 轴的正方向建立平面直角坐标
系，则????1,0，????2,2，????0,2，则????????=1,2，????????=?1,2 ，
?????????????????=?1+4=3 .
?
素养探源
素养
考查途径
数学运算
向量的数乘运算与数量积运算.
直观想象
根据几何特征构建平面直角坐标系.
变式探源
(北京高考题)已知正方形????????????????的边长为2，点????满足????????=12????????+????????，则????????=
____；?????????????????= ____.
?
????
?
?????
?
图1.5.2-10
【解析】 如图1.5.2-10，由题意及平面向量的平行四边
形法则可知，点????为????????的中点，在三角形???????????? 中，
????????=5.cos∠????????????=?cos∠????????????=?15 ,
∴?????????????????=?????????|????????|?cos∠????????????=1×5×?15=?1 .
?
图1.5.2-11
以????为坐标原点，????????,????????所在直线分别为????轴,???? 轴，
建立如图1.5.2-11所示的平面直角坐标系，则????0,0,????2,0 ,
????2,2,????0,2 ,
?
∴????????=12(????????+????????)=2,1,∴????2,1 ，
∴????????=?2,1,????????=0,?1 ,
∴????????=5，?????????????????=0,?1?(?2,1)=?1 ．
?
高考新题型专练
1.[多选题](2025·湖南省长沙市期中)已知向量????=1,2，????=?2,2，????=4,???? ，则
下列说法正确的是( )
?
AC
A.????与????能作为平面的一组基 B.若????+????⊥????，则????=?2
C.????在????方向上的投影为22 D.若????+????//????，则????=1
?
【解析】因为1×2?2×?2≠0，所以????与????不共线，故????与???? 能作为平面的一组基，
A正确；
????+????=?1,4，因为????+????⊥????，所以?1×4+4×????=0，解得????=1 ，故B错误；
????在????方向上的投影为?????????????=28=22 ，故C正确；
????+????=?1,4，由????+????//????，得?1×?????4×4=0，得????=?16 ，故D错误．故
选AC ．
?
2.新定义 向量叉积 [多选题](2025·河南省濮阳外国语学校期中)已知向量????，???? 的数量
积（又称向量的点积或内积）：?????????=????????cos＜????，????＞，其中＜????，????＞ 表示向量
????，????的夹角.定义向量????，???? 的向量积（又称向量的叉积或外积）
：????×????=?????????sin＜????，????＞，其中＜????，????＞表示向量????，???? 的夹角.则下列说法
正确的是( )
?
ABC
A.若????，????为非零向量，且????×????=0，则????//????
B.若????，????为非零向量，且????×????=?????????，则＜????，????＞=π4
C.若????×????=3?????????=3，则????+2????的最小值为23
D.已知点????3,0，????1,1为坐标原点，则????????×????????=23
?
【解析】对于A，因为????，????为非零向量，且????×????=????????sin＜????，????＞=0 ，所以
＜????，????＞=0或π ，所以????//???? ，故A正确；
对于B，若????，????为非零向量，且????×????=?????????，即????????sin＜???? ，
????＞=????????cos＜????，????＞，则sin＜????，????＞=cos＜????，????＞,则＜????，????＞=π4 ，故B正
确；
对于C，由????×????=3?????????，得????????sin＜????，????＞=3????????cos＜????，????＞ ，则
tan＜????，????＞=3，则＜????，????＞=π3，又?????????=?????????cos＜????，????＞=1 ，所以
????????=2，则????+2????=????2+2????2+4?????????≥4+2????2????=4+8=23 ，
当且仅当????=2????=2 时，等号成立，故C正确；
?
对于D，????????×????????=????????????????sin＜???????? ，
?
????????＞=?????????????????1?cos2＜????????,????????＞=????????????????1??????????????????????????????????2=????????????????1??????????????????????????????????2=????????????????2??????????????????2=6?3=3 ，故D错误.
?
故选ABC .
?
3.[多选题](2025·福建省泉州市期末)在边长为4的正方形????????????????中，???? 在正方形（含边）
内，满足????????=????????????+???????????? ，则下列结论正确的是( )
?
AD
A.若点????在????????上时，则????+????=1
B.????+????的取值范围为[1,4]
C.若点????在????????上时，则????????+????????=2????????????+2????????????
D.当????在线段????????上时，????2+????23的最小值为16
?
图D 1.5.2-4
【解析】如图D 1.5.2-4，以????为坐标原点，????????所在直线为???? 轴，
????????所在直线为????轴，建立平面直角坐标系，则????0,0，????4,0 ，
????4,4，????0,4 .
?
设????????,????，????,????∈[0,4]，∵????????=????????????+???????????? ，
∴????,????=????4,0+????0,4，∴&????=4????,&????=4????.
?
对于A，由题意可得线段????????的方程为????′+????′=4，????′∈[0,4]，∵
点????在????????上，∴????+????=4 ，
∵&????=4????,&????=4????,∴????+????=4(????+????)=4，∴????+????=1 ，故A正确.
?
对于B，∵&????=4????,&????=4????,∴????+????=4????+????，∴????+????=????+????4 ，
∵????,????∈[0,4]，∴????+????∈[0,8]，∴????+????∈[0,2] ，故B错误.
对于C，∵????????=????,????，????????=4,4，∴????????+????????=????+4,????+4 ，
∵2????????????+2????????????=2????4,0+2????0,4=8????,8???? ，
∵&????=4????,&????=4????,∴2????????????→+2????????????→=2????,2????，假设????????+????????=2????????????+2???????????? ，则
&????+4=2????,&????+4=2????,∴&????=4,&????=4.∵????+????=4 ，
∴&????=4,&????=4不成立，∴????????+????????=2????????????+2???????????? 不成立，故C错误.
对于D，????2+????23=????+????2?2????????3=1?2????????3≥1?2×????+????223=16，当且仅当????=????=12 时取等号，
∴ 当????在线段????????上时，????2+????23的最小值为16，故D正确．故选AD ．
?
知识测评
04
1.(2025·八省联考)已知向量????=0,1,????=1,0，则??????????????= ( )
?
B
A.2 B.1 C.0 D.?1
?
【解析】因为????=0,1,????=1,0,则?????????=?1,1 ,所以
??????????????=0,1??1,1=0×?1+1×1=1 .
?
2.(2025·江苏省南京市第一中学月考)已知点????1,3，????4,?1，则与向量???????? 方向相同
的单位向量为( )
?
A
A.35,?45 B.45,?35 C.(?35，45) D.(?45，35)
?
【解析】????????=3,?4，则与其方向相同的单位向量????=????????????????=15(3,?4)=35,?45 .
?
3.已知向量????=2,1，????=????,3，若?????????=????，则???? 的值为( )
?
D
A.?2 B.?4或0 C.?2 或0 D.0
?
【解析】由?????????=????得，2????+3=????2+32，解得????=0或????=?4 ，
当????=?4时，2????+3=????2+32 ,没有意义，舍去，
当????=0时，等式成立，∴????=0 ．
?
4.［多选题］(2025·广东省肇庆市模拟)已知向量????=1,3，????=2,?4 ，则( )
?
BD
A.?????????=10 B.向量????，????的夹角为3π4
C.????+12????=7 D.向量?1,?3是与???? 共线的向量
?
【解析】?????????=1×2+3×?4=?10 ，故A错误；
向量????，????夹角的余弦值cos＜????，????＞=?????????????????=?1010×25=?22，又＜????，????＞∈[0,π] ，
所以＜????，????＞=3π4 ，故B正确；
又????+12????=1,3+122,?4=2,1=22+12=5 ，故C错误；
向量?1,?3=?1,3=?????，所以向量?1,?3是与???? 共线的向量，故D正确．故
选BD ．
?
5.［多选题］(2025·四川省泸县第五中学开学考试)已知向量????=2,1，????=?3,1 ，
则( )
?
AC
A.????+????⊥????
B.向量????在向量????上的投影是102
C.????+2????=5
D.与向量????共线的单位向量是(255，55)
?
【解析】对于A，????+????=?1,2，所以????+?????????=2×?1+2×1=0 ，所以
????+????⊥???? ，故A正确；
对于B，向量????在向量????上的投影是?????????????=?5?32+1=?102 ，故B错误；
对于C，????+2????=?4,3，所以????+2????=?42+32=5 ，故C正确；
对于D，与????共线的单位向量是±????????，即(255，55)或(?255,?55) ，故D错误．
?
6.(2026·湖北省荆州市开学考试)已知正方形????????????????的边长为2,????为???????? 的中点,则
?????????????????= ___.
?
2
【解析】以???????? 的中点为坐标原点，建立如图D 1.5.2-1所示的平面直角坐标系,则
????(?1,0),????1,0,?????1,2,????0,2，则????????=?2,2,????????=1,2 ，于是
?????????????????=1×?2+2×2=2 .
?
图D 1.5.2-1
7.(2025·四川省成都市期末)已知平面向量????=1,2，向量????=????,?2 ，且
????⊥?????????，若向量?????????????与2????+????平行，则???? 的值为_ ___.
?
?????????
?
【解析】由????=1,2，????=????,?2可得，?????????=1?????,4 ，
则由????⊥?????????可得??????????????=1?????+8=0，解得????=9 ，
故????=9,?2，?????????????=1,2?????9,?2=1?9????,2+2???? ，
2????+????=21,2+9,?2=11,2 ，
由向量?????????????与2????+????平行可得21?9????=112+2????，解得????=?12 .
?
8.新考法 结构不良 已知平面向量????=2,2，????=????,?1????>0 ．从下列条件①，
条件②中选出一个作为已知条件，解答下列问题：
?
（1）求???? 的值；
?
【答案】选择①.若????⊥?????????????，则??????????????????=??????????????????????=???? ，
即?????????(?????????????)=?????????????????=????，解得????=???? .
选择②.根据题意，????+????=????+????,???? ，
若????+????=????????，则????+????????+????=????????，解得????=????或????? ，
又????>????，则????=???? .
?
（2）求向量????，???? 夹角的余弦值．
条件①：????⊥?????2????；条件②：????+????=26 ．
?
【答案】选择①.设向量????，????的夹角为???? ，
由（1）知????=????，则????=????,????? ，
则有????=????+????=????????，????=????+????=????????，?????????=?????????=???? ，
则?????????????????=?????????????????=????????????×????????=???????? ．
选择②.同选①.
?
高考模拟
05
9.在平面直角坐标系????????????中，????1,1，????0,?2，点????满足?????????????????=2，????????//???????? ，则
点???? 的坐标为( )
?
A
A.(12，32) B.(23，43) C.?23,?43 D.?12,?32
?
【解析】在平面直角坐标系????????????中，????1,1,????0,?2 ,
设????????,????,∴????????=????,????,????????=1,1,????????=?1,?3 ,
又?????????????????=2,????????//???????? ,
∴&????+????=2,&????=3????,∴&????=12,&????=32.∴ 点????的坐标为12,32 .
?
10.(2025·河北省邯郸市期末)在平面直角坐标系中，原点????0,0，已知????12,32 ，
????1,0，????是线段????????上的动点（含端点），且????为????????的中点，则????????????????? 的取值范围
是( )
?
A
A.[?34,?2364] B.[?34,?12] C.[?25,?15] D.[?35,?12]
?
【解析】如图D 1.5.2-2，设????????=????????????0≤????≤1 ，
?
图D 1.5.2-2
则????????=????????+????????=????????+????????????=1,0+????(?12,32)=1?????2,3????2 ，
?
又????为????????的中点，所以????????=12????????=14,34 ，
所以????????=?????????????????=14,34?1?????2,3????2=?34+????2,34?3????2 .
?
?????????????????=1?????2,3????2??34+????2,34?3????2=?????2+54?????34=??????582?23640≤????≤1 ，
?
所以当????=0时，?????????????????取得最小值，最小值为?34；当????=58时，????????????????? 取得最大
值，最大值为?2364 .
所以?????????????????∈[?34,?2364] .
?
11.新考法 新定义题 (2025·安徽省合肥市期中)已知向量????与????的夹角为???? ，定义
????×????为????与????的“向量积”，且????×????是一个向量，它的长度????×????=????????sin????? ,若
????=2,0,?????????=1,?3,则????×????+????= ( )
?
D
A.43 B.3 C.6 D.23
?
【解析】由题意得????=??????????????=1,3,则????+????=3,3 ,
∴?????????+????=6,????+????=32+32=23 ,
又????=2，∴cos?????,????+?????=?????????+????????????+????=62×23=32 .
∴sin?????,????+?????=12,由定义知????×????+????=????|????+????|?sin????? ,
????+?????=2×23×12=23 .
?
12.新定义 斜坐标系 (2025·江西省宜春市宜丰中学月考)如图1.5.2-1，设????∈0,π ，
且????≠π2，当∠????????????=???? 时，定义平面坐标系????????????为???? 的斜坐标系.在???? 的斜坐标系中，
任意一点????的斜坐标这样定义：设????1，????2是分别与????轴，???? 轴正方向相同的单位向量，
若????????=????????1+????????2，则????????,???? ，则下列结论中正确的是( )
?
C
图1.5.2-1
A.设非零向量????，????,????=????,????，????=????,????，若????⊥???? ，则
????????+????????=0
B.设非零向量????=????,????，则????=????2+????2
C.设非零向量????,????,????=????,????，????=????,????，若????//???? ，则
?????????????????=0
D.设????=1,2，????=2,1，若????与????的夹角为π3，则????=π3
?
【解析】对于A，因为????=????,????，????=????,????，所以????=????????1+????????2，????=????????1+????????2 ，
又????⊥????，所以?????????=0 ，即
?
????????1+????????2?????????1+????????2=????????????12+????????+????????????1?????2+????????????22=????????+????????+????????+????????cos?????=0，所以cos?????=?????????+????????????????+????????，因为????≠π2，所以????????+????????≠0 ，故A错误；
?
对于B，因为????=????,????，所以????=????????1+????????2 ，所以
????=????????1+????????2=????2+????2+2????????cos?????，又????∈0,π，且????≠π2 ，所以
????≠????2+????2 ，故B错误；
对于C，因为????=????,????，????=????,????，所以????=????????1+????????2，????=????????1+????????2，又????//???? ，
则????=????????，即????????1+????????2=????????????1+????????2，即&????=????????,&????=????????,
所以?????????????????=0 ，故C正确；
?
对于D，因为????=1,2，????=2,1，所以????=????1+2????2，????=2????1+????2，又????与???? 的夹
角为π3，所以cosπ3=?????????????????=????1+2????2?2????1+????2????1+2????22????1+????2=2????12+5????1?????2+2????22????1+2????222????1+????22=4+5cos?????5+4cos????? ，解得
cos?????=?12，又????∈0,π且????≠π2,所以????=2π3 ，故D错误.
?
13.新考法 新定义题 [多选题](2025·重庆市期末)对于非零向量????=????,???? ，定义变换
????????=(????+????,?????????) ，得到一个新的向量，则关于该变换，下列说法正确的是
( )
?
ABC
A.若???? 为任意实数，则????????????=????????????
B.若????//????，则????????//????????
C.若????⊥????，则????????⊥????????
D.存在????，????使得cos＜????????,????????＞=cos＜????，????＞+12
?
【解析】对于A，因为????=????,????，所以????????=????????,???????? ，
所以????????????=????????+????????,?????????????????=????????+????,?????????=???????????? ，故A正确.
????=????,????，设????=????,????.????????=????+????,?????????，????????=????+????,????????? .对于B，若
????//????，则?????????????????=0，所以????+??????????????(?????????)????+????=2?????????2????????=0 ，
即????????//???????? ，故B正确.
对于C，若????⊥????，则????????+????????=0 ，
?????????????????=????+????(????+????)+??????????????????=2????????+2????????=0 ，所以
????????⊥???????? ，故C正确.
?
对于D，cos＜???????? ,????????＞=?????????????????????????????????=2????????+2????????????+????2+?????????2????+????2+?????????2=
????????+????????????2+????2????2+????2，cos＜???? ，????＞=?????????????????=????????+????????????2+????2????2+????2，
所以cos＜????????,????????＞=cos＜????，????＞ ，故D错误.故选ABC .
?
14.在△????????????中,????=π2,????????=????????=2,????为边????????的中点,若点????在边???????? 上运动
（点????可与????,????重合）,则????????????????? 的最小值为__.
?
????????
?
图D 1.5.2-3
【解析】 如图D 1.5.2-3,以???? 为坐标原点,建立平面直角坐
标系,则????0,0,????0,2,????2,0,????0,1.依题意可设????????,2????? ,
?
故当????=34时，?????????????????取得最小值，为78 .
?
取????????的中点为????,连接????????,则????????=12 ,所以
?????????????????=?????????????????=????????2?????????2=????????2?14?≥3222?14=78 .
?
故?????????????????的最小值为78 .
?
????∈[0,2],则????????=(????,1?????),????????=????,2?????,故?????????????????=????,1??????????,2?????=2????2?3????+2=2(?????34)2+78≥78 .
?
15.在平面直角坐标系中，????为坐标原点，????，????，????三点满足????????=13????????+23???????? .
?
（1）求证：????，????，????三点共线，并求???????????????? 的值；
?
【答案】∵????????=????????????????+????????????????,∴?????????????????=????????????????????????? ,
∴????????=????????????????,又????????，????????有公共点???? ，
∴????，????，????三点共线,????????????????=???????? .
?
（2）已知????1,sin?????,????1+sin?????,sin?????,????∈0,π ，且函数
????????=?????????????????+2?????23????????的最小值为12，求实数???? 的值.
?
【答案】∵????????,?????????????????,????????+?????????????????,????????????????? ,
∴????????=????????????????+????????????????=????+?????????????????????????,????????????????? ,
∴?????????????????=????+?????????????????????????+???????????????????? .
又????????=?????????????????,????,∴????????=????????????????? ,
∴????????=?????????????????+?????????????????????????=????????????????????+?????????????????????????+????,????∈????,???? .
?
设?????????????????=????,∵????∈????,????,∴????∈(????,????] ,
∴????=????????+????????????+????=????+????????+????????????? .
①当?????≤????,即????≥????时，????=????????+????????????+???? 无最小值，不合题意；
②当????∴????=????????? ;
③当?????>????，即????????=?????????>?????,不合题意.综上可知，????=????????? .
?
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