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(共56张PPT)
1.6 解三角形-1.6.1 余弦定理
第1章 平面向量及其应用
湘教版A版数学必修第二册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
知识测评
05
高考模拟
课标要点
01
必备知识解读
02
知识点1 余弦定理
文字表述 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹
角的余弦的积的两倍.
公式表述
另一种形式
知识剖析
对余弦定理的理解
1.在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程
思想可以求得未知的量.
2.余弦定理的第二种形式适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.
3.余弦定理的另一种常见变式： ,
, .
4.本章如无特别说明,,,分别表示中角,, 所对边的长.#1.1.1.4
学思用·典例详解
例1-1 (2025·河南省许昌高级中学月考)在中，角，，的对边分别为 ，
，，若，则角 的值为__.
【解析】由余弦定理知
,
又 ,故 .
例1-2 [教材改编P42例1]在中，若，， ，则 _ __.
【解析】由余弦定理，得 ,又
，所以.所以 .
知识点2 解三角形
1 解三角形的概念
三条边和三个内角是三角形最基本的六个元素，通常只要知道了三个元素
（其中至少包括一条边）就可以求出其余三个未知元素.这种从已知三角形的某些元
素出发求这个三角形其他元素的过程叫作解三角形.
2 余弦定理在解三角形中的应用
利用余弦定理，可以解决以下几类解三角形的问题:
（1）已知三边，求三个角;
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角;
（3）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角.
特别提醒 1.余弦定理把用“边角边”和“边边边”判定三角形全等的定理从数量化的角
度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式.
2.因为余弦函数在,上是单调减函数，所以由 确定的
角 是唯一的，因此用余弦定理求解三角形的内角时不必分类讨论.
学思用·典例详解
例2-3 在中，若，， ，则边长 ( )
B
A.5 B.8 C.5或8 D.5或9
【解析】由余弦定理得，即 ，
所以 ,
又，所以 .
点评 因为余弦定理是恒等式，所以将，，的值代入
中，建立方程可求得 的值.需注意的是，余弦定理中边长是平方的关系,因此,利用余
弦定理求边长,实质上是解一元二次方程.解题时,应根据已知条件对方程的根进行取舍.
释疑惑 重难拓展
知识点3 余弦定理与勾股定理之间的关系
1.勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般
三角形中三边平方之间的关系.
2.由余弦定理和余弦函数的性质，我们可以判断三角形的形状,以
为例：
教材深挖 POINT
本知识点是对教材第52页【习题1.6】第3题的挖掘.
若为锐角，则,从而,即 ,反之亦成立；
若为直角，则,从而,即 ,反之亦成立；
若为钝角，则,从而,即 ,反之亦成立.
由上可知，余弦定理也是用边长之间的关系去判断三角形的形状，从这个意义
上讲，勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.
学思用·典例详解
例3-4 已知,,是钝角三角形的三边，求实数 的取值范围.
【解析】,,是三角形的三边， .
要使,,构成三角形，需满足 （需满足三角形的隐
含条件“两边之和大于第三边”.）即 .
故是三角形的最大边，，即 ,解
得.又，的取值范围是 .
题型解析
03
题型1 利用余弦定理解三角形
1 已知三边（三边关系）解三角形
例5 已知在中， ，求各角度数．
【解析】 ，
可令,, ．
（由比例的性质可以引入一个字母，用含的式子表示，， ，这为使用余弦定
理求角创造了条件）
由余弦定理，得, ．
,
.
.
名师点评 本题中，我们发现, ,此处可引申出一个重要结论“大边
对大角”，在解题中常根据“大边对大角”进行检验．
关于“大边对大角”的解释
在三角形中，“大边对大角”的意思是说边长越大，对应角度值越大，自然也有边长
越小，对应角度值越小.当然也可以说成“大角对大边”.我们在解三角形时，常用此判
断哪条边最大，哪个角最大.
另外，“大边对大角”还可以引申为在三角形中，边长越大,对应角度值越大、对应角
度正弦值越大,其具体证明，将在下节内容中讲解.
2 已知两边及其夹角解三角形
例6 在中，已知,, ,求角，和边 的值
【解析】第一步：先用余弦定理求第三边.
由余弦定理，得．
．
第二步：再运用余弦定理的另一种形式求出一个角.
又 ,
， .
3 已知两边和其中一边的对角解三角形
例7 已知在中，角,,所对的边分别为,,,,, ，解此
三角形.
【解析】由余弦定理,得 ，
即 ,
,即 ,
或 .（根据余弦定理列一元二次方程求出第三边（注意边的取舍））
当时，, , , ;
当时， （此处若不能发现此关系，还可以继续利用余弦定理求
解）, , .
. .
【学会了吗丨变式题】
1.(全国甲卷)在中，已知 ，，,则 ( )
D
A.1 B. C. D.3
【解析】由余弦定理，得 ，
解得或 （舍去）．
2.(全国Ⅲ卷)在中，,,,则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】由余弦定理得
,则 ,所以
.
3.(全国Ⅱ卷)的内角，，的对边分别为,,，若 ，
则 __.
【解析】依题意得 ，即
，所以，.又 ，所以 .
题型2 余弦定理在特殊背景问题中的应用
1 聚焦公式齐次特征背景
例8（1）(2025·江苏省无锡市月考)若的内角,,所对边,, 满足
，且 ，则 的值为( )
A
A. B. C.1 D.
【解析】由 ，
得 ①，
而，且 ，则 ②，由①②得
.
（2）在中，角，，的对边分别为,, ,若
，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】由题意得， ，
则,即 .
根据余弦定理得 ,
为的内角， .
（3）(2025·重庆第二外国语学校期中)在中，角，，的对边分别为,, ，
若,则角 的值为( )
A
A.或 B.或 C. D.
【解析】由已知条件得 ,
即,,, .
为的内角，或 .
名师点评 余弦定理具有二次齐次结构特征，因此很多问题的背景往往都是指向于三
边满足的恒等式，此时可借助余弦定理快速求角，如第（2）小题中得到
后可得 ，改变前面的系数（常用的系数为 ，
，），会得到不同的 的值.
2 比例背景
例9（1）设的内角,,所对的边分别为,,,若,,则 _ _.
【解析】由,，可得 ，
于是可设,则, ，
从而 .
（2）(2025·上海市大同中学月考)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的
顶角的余弦值为__.
【解析】设顶角为，底边长为,另两边长分别为, ,
周长, ，
由余弦定理得 .
题型3 判断三角形的形状
例10 在中，,,分别是角,,的对边，且 ,则 是( )
B
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
【解析】 由,得 ,
即,化简得 ,
为直角三角形.
由余弦定理得 ，整理得
，
为直角三角形.
利用余弦定理判断三角形形状的方法
1.化边为角.以为例:若,则角是锐角;若0,则角 是直
角;若,则角 是钝角.
2.化角为边.结合题中条件，利用,,
将题中角化为边，得到边的关系（如, 等）,进而确定三角形的形状.
考情揭秘
本节常与下节要学习的正弦定理结合考查三角形中的边角计算问题，一般不会单独
考查，偶尔也会与三角函数综合考查.各种题型都有，以中等难度试题为主.
核心素养：数学运算（边角的计算等），直观想象（无图想图）.
考向1 余弦定理的直接应用
例11（1）(2025·全国二卷)在中,,,,则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】，因为 ，所以.
【秒解】根据边的大小关系排除，因为,,所以 为最小角，所以
，排除B,C,D,故选
（2）(2023·全国乙卷)在中，内角,,的对边分别是,, ,若
,且，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】因为,,所以由 可得
,整理并化简可得，则 ，所以
.
（3）(浙江高考题)在中， ，,是的中点， ，则
______， _ ____.
【解析】 由 ,, 及余弦定理
可得 ，
因为为的中点，所以 .
在 中，由余弦定理可得
，
所以 ，
所以在 中，由余弦定理得
.
由 ,, 及余弦定理
可得 ，
因为为的中点，所以 .
过点作，交的延长线于点 ，
则,， .
在中，，得 .
在中，由余弦定理得 .
考向2 余弦定理与三角函数的综合考查
例12 (全国Ⅱ卷)的内角,,的对边分别为,, ，已知
.
（1）求 ；
【解析】因为 ，
所以 ，
即，解得 ，
又 ，所以 .
（2）若，证明： 是直角三角形.
【解析】因为，所以 ，
即 ①，又 ②，
将②代入①得， ，
即，而，解得 ，
所以，故，即 是直角三角形．
知识测评
04
1.设的内角，，的对边分别为，，.若，， 且
，则 ( )
C
A.3 B. C.2 D.
【解析】由余弦定理，得，即 ，即
，所以，又，得 .
2.(2025·江苏省南京市期中)在中， ,,则 的形状为( )
B
A.钝角三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰非等边三角形
【解析】由余弦定理，得 ，
,,即, .
又 , ,故 为等边三角形.
3.在中，已知，则 等于( )
C
A.1 B. C.2 D.4
【解析】 .
由射影定理可知 .
4.已知钝角三角形的边长分别为，，，则实数 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
【解析】由题意可知为最大边，故 ，且
，解得 ，故选B．
5.(2025·江苏省徐州市月考)在中，,,,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】设,, ，
则, ,
,
,
.故选C.
6.在中，角,,所对的边分别为,,，若,则角 的大小
为______.
【解析】,所以 .
7.(2025·山东省泰安第一中学检测)在中，角,,的对边分别为,, ，已知
,, .
（1）求 ;
【答案】由得 .
由,得，所以 .
由余弦定理，得 ,整理得
,故 .
（2）设为边上一点，且,求 的长.
【答案】在中，已知，， ,则由余弦定理得
.
因为,所以 为直角三角形,
则,即，解得 .
高考模拟
05
8.新考法 情境应用 (2025·陕西省西安市期中)某学生在“捡起树叶树枝，净化校园环
境”的志愿活动中拾到了三支小树枝（视为三条线段），想要用它们作为三角形的三
条高线制作一个三角形，经测量，其长度分别为，， ，则( )
C
A.能作出一个锐角三角形 B.能作出一个直角三角形
C.能作出一个钝角三角形 D.不能作出这样的三角形
【解析】设高分别为，，对应的底边长分别，，（单位： ）,则
,设,则, ,
由三角形三边关系可知 故这样的三角形存在.
设该三角形的最大内角为 ,则,则 为钝角，故能作出一个钝
角三角形.
9.在中，为边上一点，，， ，若
，则 等于( )
C
A.4 B. C. D.
【解析】在 中，
,
在 中,
,
，， ，整理得
，解得或 （舍去）．
10.(2025·天津市滨海新区期中)在中，角,,的对边分别为,, ，若满足
,则角 的大小为__.
【解析】, ,整理可得
,., .
11.新考法 结构不良 已知为锐角三角形，其内角,,的对边分别是,, .
（1）设,, ,则由 ___ ,可证得____.
;; .
请从①②③中选择一个填入第一个空，并在第二个空处写出余弦定理（只写出一个
公式即可），并加以证明;
【答案】选①，填 .
, ,即
, .
选②，填 .
, ,
.
选③，填 .
, ,
.
（2）若,,且，求 的周长.
【答案】,且 为锐角三角形，
,
,结合,得， .
的周长为10.
12.(全国甲卷)已知中，点在边上, ,,.当
取得最小值时， ________.
图D 1.6.1-1
【解析】设,则 .
根据题意作出大致图形，如图D 1.6.1-1.
在 中，由余弦定理得
在 中，由余弦定理得
.
,
则 ,
,当且仅当，即 时等号成立,
，
当取得最小值时， .
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湘教版A版数学必修第二册

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