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(共133张PPT)
1.6 解三角形-1.6.2 正弦定理
第1章 平面向量及其应用
湘教版A版数学必修第二册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
知识测评
05
高考模拟
课标要点
01
必备知识解读
02
知识点1 正弦定理
1 正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等,即 .
拓展延伸
用正弦定理证明“大角对大边”
在中，设，所对的边分别为，，由正弦函数在区间， 上单调递
增可知：
（1）当,都为锐角时,若,则,由正弦定理 知
；#1.1.1.1.1
. .
（2）当,中一个为锐角，另一个为钝角时,不妨设,由于 ,即
,所以,即,由正弦定理 知
；
（3）当,中一个为直角，另一个为锐角时，不妨设为直角，则 ,所以
,由正弦定理知 .
综上可知，在中，若,则 .#1.1.1.2
2 正弦定理的常见变形
在中，由正弦定理可设，则 ,
, ，由此可得正弦定理的下列变形：
（1）,,,,, ;
（2） ;
（3） .
教材链接
的几何意义
事实上，比值的几何意义就是 外接圆的直径，即
（为 外接圆的半径），（这个结果称为扩充的正弦
定理）
以下是它的两种变形应用：
（1）（边化角）,, ;
（2）（角化边）,, .
. .
学思用·典例详解
例1-1 [教材改编P47 T1（1）]在中，角，，所对的边分别是,, ,若
, , ,则 ( )
A
A. B.2 C. D.
【解析】由正弦定理可得,即,解得 .
例1-2 的内角，，的对边分别为，，，已知 ，则
___.
【解析】由正弦定理及，知 ，
因为 ，
所以，即，又，所以 ．
例1-3 (2025·甘肃省武威市期中)在中， ,,则
_____.
【解析】利用正弦定理的变形（2），得
.
例1-4 在中，若，,则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】利用正弦定理化简，得 ，
， ．（利用正弦定理角化边）
. .
知识点2 正弦定理在解三角形中的应用
公式 实际上表示了三个等式：
，， .
上述的每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系,对于每一个等
式,都可以知三求一.于是利用正弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：
（1）已知两角与任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边
和角）.
特别提醒 利用正弦定理解三角形时,经常用到下列结论:
（1）三角形内角和定理 .
（2）, .
（3）在中，，; ；
;; .
（4）若为锐角三角形，则,, ;
, .
学思用·典例详解
例2-5 [教材改编P45例5]在中，若 , ,，则
_____.
【解析】在中， ,则 ,
由正弦定理得 ,
所以 .
例2-6 [教材改编P47 T2（1）]在中，，，，则 __.
【解析】由正弦定理，得.因为，所以 ,则
,故 .
知识点3 三角形的面积公式
1 常用的三角形的面积计算公式
（1）,,分别为边,,上的高 .
（2） ，即三角形的面积等于任意两边
与它们夹角的正弦值乘积的一半.
. .
. .
2 三角形的其他面积公式
（1），其中,分别为 的内切圆半径及
的周长.
（2）（为 外接圆的半径）.
（【教材链接】链接教材第48页例8）#1.2
（3）海伦公式：,其中 .
证明 根据余弦定理得 ,所以
.
令，整理得 .
（4） （三角形面积公式的向量形式）,其中
, .
证明 ，
.#1.4.1
. .
（5） （三角形面积公式的向量坐标形式）,其中
, .
证明 由（4）可知
.#1.5.5
. .
学思用·典例详解
例3-7 (2025·河北省新乐市第一中学月考)已知的内角，， 所对的边分别
为,,，且, ，则 的面积为( )
C
A. B. C. D.
【解析】将与联立,解得 ,
则 .
例3-8 已知半径为4的圆的内接三角形的面积是，中角，， 所对
的边依次为，，,则 的值为( )
A
A.1 B. C.2 D.4
【解析】 由三角形的面积公式,得 .
由正弦定理可知 ，
， .
易知 ，
则 .
例3-9 已知三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积 为
( )
B
A. B. C. D.10
【解析】 令 ，
则
.
设边，，所对的角分别为,, ，则依据余弦定理可得
，
从而，所以三角形的面积 .
知识点4 对三角形解的个数的探求
已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解,即当三角形的
两角和任意一边确定时,三角形被唯一确定.
已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、
两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.
因此“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时，需要分析三角形解的
情况，下面以已知,和 解三角形为例进行说明.
1 代数角度
（1）若 ，则满足条件的三角形的个数为0，即无解；
（2）若 ，则满足条件的三角形的个数为1；
（3）若 ，则满足条件的三角形的个数为1或2.
显然由可得 有两个值，一个为钝角，一个为锐角，考虑
到“大边对大角”“三角形内角和等于 ”等，此时需进行讨论.
2 几何角度
角的类型 条件
图形
解的个数 无解 一解 两解 一解
角的类型 条件
图形
解的个数 一解 无解
续表
学思用·典例详解
例4-10 下列对三角形解的个数的判断中正确的是( )
B
A.,, ,有两解 B.,, ,有一解
C.,, ,有两解 D.,, ,无解
【解析】对于A，由，得，所以 ，有一解，故A不正
确.对于B，大边对大角，有一解，故B正确.对于C，由 ，得
，无解，故C不正确.对于D，由，得 ，再
结合及 可知有两解，故D不正确.
【想一想丨归纳总结】
三角形解的个数也可由三角形中“大边对大角”来判定.不妨设为锐角，若 ，则
，从而 为锐角，有一解.
若，则，由正弦定理得.①若 ，则无解；②若
，则有一解；③若 ，则有两解.
例4-11 在中，角，，所对的边分别为,,，已知满足 , 的
三角形有两解，则 的取值范围为_ _______.
【解析】因为三角形有两解，
所以即
解得 ,
则的取值范围是 .
题型解析
03
题型1 利用正弦定理解三角形
1 已知两角与任意一边解三角形
例12 在中，,,,则 等于( )
D
A.72 B. C. D.30
【解析】因为,所以
同理得.（涉及的一组勾股数为 ）
由，得 .
名师点评 本题中并没有给出具体的角，而是给出角的三角函数值，这也可以认为是
已知两角和一边.
已知两角与任意一边解三角形的方法
事实上，解三角形本质上就是解基于边角的内蕴方程，已知三角形的两角与一边解
三角形时，
（1）由三角形内角和定理 （必要时可结合诱导公式）可以计算出
三角形的第三个角;
（2）由正弦定理 可计算出三角形的另两边.
【学会了吗丨变式题】
1.在中，角,,所对的边分别是,,,, , ,则此三角形
的最大边长为_____.
【解析】根据题意可得 ,此三角形最大边长是，由正弦定理 ,得
,解得 .
2.在中，若,,,则 ______.
【解析】由,得 由及 ,得
.由题意知，,，由正弦定理 ,得
.
2 已知两边与其中一边的对角解三角形
例13 已知中的下列条件，判断 是否有解,有解的解三角形.
（1）,, ;
【解析】， ，
,与三角形内角和为 相矛盾，故三角形无解.
（2）,, ;
【解析】由正弦定理得 ，
即 ，故三角形无解.
（3）,, ;
【解析】由正弦定理得， ,
又, ,
三角形有一解.
, ,
（4）,, .
（参考数据： ）
【解析】由正弦定理得， ，
或 ，均满足条件 ,
易错点 POINT
此处易忽略对的讨论，默认 为锐角,从而造成漏解.
三角形有两解.
当 时， ， ;
当 时， , .
故 , ,或 , ,
. .
已知两边及其中一边对角解三角形的步骤
（1）用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值；
（2）若所求另一角的正弦值大于0且小于等于1，则当已知的角不是直角时，利用三
角形中“大边对大角”看能否判断另一边所对的角是锐角，当已知的角为大边所对的
角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判
断，此时就有两组解，分别求解即可；
（3）由三角形内角和定理求出第三个角；
（4）根据正弦定理求出第三条边.
注意：已知两边和其中一边对角时，除了用正弦定理外还可以用余弦定理求解，先
利用余弦定理列出一元二次方程，求出第三边，再利用正弦定理求其他的角.
【学会了吗丨变式题】
3.(2025·浙江省温州市期中)设的内角，，的对边分别为，， ，若
，，，则 ( )
A
A.1 B.2 C. D.
【解析】因为，所以 ，
又，所以 ，
所以 ，
由正弦定理知，，所以 ．
题型2 利用正、余弦定理实现边角互化
1 利用边角互化解三角形
例14 (2025·江西省南昌市期末)的内角，，的对边分别为，， ，已知
，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】由正弦定理及 ，
知 ，
因为，所以 ，
即，又，所以 ．
例15 中，三内角，，所对的边分别为，，，已知 ，
，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】由正弦定理及得，， ，
又，由余弦定理得，，即 ，
由余弦定理得 ，
又， .
名师点评 解此类边角混合条件的题目时要注重分析条件与结论在式子结构、角度、
函数名称等方面的差异，合理利用正弦定理与余弦定理，以及三角形内角和定理进
行边角转化，将条件统一成边的条件或角的条件．
边角互化是利用正、余弦定理解三角形的重要途径.一般地，若条件式含有角的余弦
或角的正弦齐次式，则可用余弦定理或正弦定理化角为边；若条件式含有边的二次
式或条件式等号两边为齐次式，则可利用余弦定理或正弦定理化边为角.通过边角互
化，可使边角关系具体化.
【学会了吗丨变式题】
4.在中，角,,的对边分别为,,，已知 ，且
,则 的值为___.
4
【解析】在中，因为 ，则由正弦定理及余弦定理有
，化简并整理得 .
又，所以，解得或 （舍去）.
2 判断三角形的形状
例16 (2025·广东省广州知识城中学月考)在中，角，，所对的边分别为 ,
,，，,则 是( )
D
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
【解析】由可得 ,
.
又 , .
, .
又, ,
,, 为等边三角形.
判断三角形形状的思路
1.转化为三角形的边来判断：
（1）为直角三角形或或 ;
（2）为锐角三角形且且 ;
（3）为钝角三角形或或 ；
（4）按等腰或等边三角形的定义判断.
2.转化为角的三角函数（值）来判断：
（1）若，则 , 为直角三角形；
（2）若，则 为钝角三角形；
（3）若且且,则 为锐角三角形；
（4）若，则 , 为直角三角形；
（5）若或，则, 为等腰三角形；
（6）若,则或 , 为等腰三角形或直角三角形.
在具体判断的过程中，应注意灵活地应用正、余弦定理进行边角的转化，究竟是角
化边还是边化角应依具体情况决定.
【学会了吗丨变式题】
5.[多选题](2025·广东省华南师范大学附属潮州学校开学考试)在中，角， ，
的对边分别为，，，若（ 为非零实数），则下列结论正确
的是( )
ABC
A.当时，是直角三角形 B.当时， 是锐角三角形
C.当时，是钝角三角形 D.当时， 是钝角三角形
【解析】对于A，当时，，根据正弦定理不妨设 ，
，，,故 是直角三角形.
对于B，当时，，根据正弦定理不妨设，， ，
显然是等腰三角形,且为最大角，，说明
为锐角，故 是锐角三角形.
对于C，当时，，根据正弦定理不妨设，， ，
可得，说明为钝角，故 是钝角三角形.
对于D，当时，，根据正弦定理不妨设，， ，
此时 ，不能构成三角形，故结论错误．
故选 ．
题型3 正、余弦定理下的几何图形的计算
1 三角形的面积问题
例17 在中， ,,,则 的面积等于_____.
思路点拨 既可以先求出角度，再利用三角形的面积公式 求解；也可
以先判断三角形的类型，再利用三角形的面积公式 底 高求解.
【解析】 在中，根据正弦定理，得,即 ，解
得 .
因为 ,所以 ，所以 ，所以 的面积
.
在中，根据正弦定理，得，所以 ，解得
.因为 ,所以 ，所以 ，所以
的面积 .
例18 (2025·河北省石家庄市期末)在中，内角，,所对的边分别是,, ，
且, .
（1）若的面积等于，求, ;
【解析】由余弦定理，得 ①，
又的面积等于 ，
所以，得 ②，
联立①②得方程组解得
（2）若，求 的面积.
【解析】由正弦定理及，得 ③，
联立①③得方程组
解得
所以的面积 ．
思路点拨 在分析题目的时候要注意三角形面积公式与余弦定理的特点，
与都含有 ，这正是解题的突破口.
例19 已知,,为的三边，且,，则 的面积的最大值为
_____．
【解析】的面积 .（利用三角形的面积公式得到面积的
表达式）
由余弦定理得 .
因为 ，所以
，（构建关于 的函数，利用二次函数性
质求最值）
当且仅当时，取得最大值，为 ,
故的面积的最大值为 .
. .
. .
. .
求三角形面积的解题思路
在应用三角形面积公式 求解时，一般是已知哪
个角就使用哪一个公式.
三角形的面积公式众多，在选用三角形面积公式时，应结合题目给出的条件，选择
最便捷的面积公式求解.
【学会了吗丨变式题】
6.在平面四边形中， ,,, ，则四边形
的面积为_____.
【解析】连接，因为,,,所以在 中，
,在中， ,又
,所以,所以 ,所以四边形
的面积为 .
7.(2025·四川省成都市期末)在中，，，为 三边，若
，则 面积的最大值为_ __.
【解析】由三角形面积公式可得的面积 ,
可得 ,
因为,所以 ,
所以
,
当且仅当 时等号成立，
所以当时，取得最大值,为 ,
故面积的最大值为 .
2 三角形的周长问题
例20 (2025·河北省唐县第一中学期末)在中， .
（1）求 ;
【解析】因为 ，
所以 ，
因为，所以 ，
所以， .
（2）若,且的面积为，求 的周长.
【解析】因为的面积，所以 .
由余弦定理可得，所以 ，
所以的周长为
例21 (2025·山东省济南市济北中学月考)记的内角，，的对边分别为 ，
，，已知 ．
（1）求角 的大小；
【解析】因为 ,所以
,
故 ,
即,故 ,
结合,故 .
（2）若，求 周长的取值范围．
【解析】因为,所以,即 .
由余弦定理得
,
解得,故,当且仅当 时，等号成立.
综上可知，的周长的取值范围是, .
求三角形周长问题的基本思路
求解此类问题，一般需要综合利用正、余弦定理的相关知识求出三边的长或者得到
与三边有关的关系式，然后再结合其他条件求解，解题时注意整体思想的应用.
【学会了吗丨变式题】
8.(2025·福建省南平市期末)在中，是，，所对应的边分别为，， ，且
满足 ．
（1）求 ；
【答案】因为,由正弦定理可知 ,
则,所以 ,
即,又 ,所以 .
（2）若，的面积为 ，求三角形的周长．
【答案】因为,所以 ,
由余弦定理,得 ,
所以,又,所以 的周长为
.
9.(2025·江西省赣州市期末)的角，，所对的边分别为，，，点在
上， .
（1）若，，求 ；
【答案】，, .
，
.
在中，由正弦定理得 ,
即, .
（2）若是的角平分线，，求 周长的最小值．
【答案】 ,是 的角平分线，
.
由,可得 ,又
, .
在中，由余弦定理得 ,
则 ,
设的周长,则 ,
由基本不等式得，,当且仅当时等号成立， ,
,
当且仅当 时等号成立，
故周长的最小值为 .
,是 的角平分线，
.
由,可得 ,又
, ，
在中，由余弦定理得 ,
设的周长,则 .
设,则 ,
由基本不等式得，,当且仅当时等号成立， ,即
.
根据函数的性质,可得当时， 单调递增，
,
故的周长的最小值为 .
3 解“共享”边、角的三角形
例22 (2025·江西省上饶市广丰区金桥学校月考)如图1.6.2-1所示,在平面四边形
中,,,, ．
图1.6.2-1
（1）若,求 ；
【解析】由正弦定理得,
,即,解得 ．
（2）若,求 ．
【解析】设,则 ,
在中,, .
在 中,由余弦定理得,
．
又 ,
所以,所以 ,
整理得 ,
解得或（舍去）,即 ．
正、余弦定理是计算三角形中相关量的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找
相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公
共边来进行过渡,会利用公共边创造的互补或互余关系列式，其本质是构建关于角
（或边）的关系的方程.
【学会了吗丨变式题】
10.(新高考全国Ⅰ卷)记的内角,,的对边分别为,,.已知,点在边
上, .
（1）证明: ;
【答案】因为，所以由正弦定理得,，又 ，
所以 ,
又，所以 .
（2）若,求 .
【答案】如图D 1.6.2-1所示，
图D 1.6.2-1
过点作交于点 ，
因为 ,
所以， ，
所以, .
在中， ，
在中， .
因为 ，
所以 ,
所以，化简得，方程两边同时除以 ，
得 ，
解得或 .
当，即时， ；
当，即时， （舍）.
综上， .
题型4 正、余弦定理与向量的综合应用
图1.6.2-2
例23 (2025·安徽省安庆市段考)如图1.6.2-2所示，在同一
平面内，向量,,满足,与 的夹
角为 ，且，与的夹角为 ，若
，则 ( )
C
A.1 B. C. D.
图1.6.2-3
【解析】由题意作图如图1.6.2-3，
,在 中，
，， .
在中， ,
即,即 ,
又， .
【学会了吗丨变式题】
11.(2025·江苏省泰州市期中)若中，，其重心满足 ，则
的取值范围为( )
D
A. B. C. D.
【解析】如图D 1.6.2-2，设是 的中点，
图D 1.6.2-2
由，得 ,
又,且为重心，故,, .
设中角,,的对边分别为,, .
在 中，由余弦定理得
①,
在中，由余弦定理得 ②,
结合 ,
可知 ,
,可得, ,
所以 ③，
在中，易知，即 ，
代入③式可得 ．
新考法 情境应用
例24 第十届中国花卉博览会在上海崇明举办，主题是“花开
中国梦”，其标志建筑世纪馆以“蝶恋花”为设计理念，利用国
际前沿的数字技术，突破物理空间局限，打造了一个万花竞
B
A. B. C. D.
放的虚拟绚丽空间，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度达
．图1.6.2-4为世纪馆真实图，图1.6.2-5是世纪馆的简化图．世纪馆的简化图可
近似看成是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，其中
，分别为左右两个半圆的圆心，线段 与左右两个半圆
分别交于，，若，， ， ，
，则的长约为 ( )
图1.6.2-6
【解析】如图1.6.2-6所示，过点作的垂线，垂足为 ,则
因为 ,所以 ,
所以 .
所以 .
因为 , ,
所以 .
因为 ,
所以 ，
所以 .
在中，由正弦定理可得 ,
即 ，
又 ，所以
.
素养提升 本题考查的是正弦定理的应用，体现了数学与建筑的紧密结合，同时也展
现了数学图形中的对称美，对学生的直观想象、数学建模等素养要求较高.
考情揭秘
高考对正弦定理的考查主要涉及边角互化，正弦定理和余弦定理一样，都可以用来
研究平面几何中的三角形、四边形问题，高考中，正、余弦定理除直接用来解三角
形外，还是结构不良试题的好载体.各种题型都会出现，以中等难度试题为主.
核心素养：数学运算（求角、求边长、求面积等），直观想象（画出图形，依据图
形构建等式）.
考向1 利用正、余弦定理解三角形
例25（1）(2024·全国甲卷)在中，内角，，所对的边分别为,, ，若
,,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】由正弦定理得,因为，所以 .
由余弦定理得，所以 ，
所以 ，
所以 ，
又，，所以 .
（2）(2023·全国甲卷)在中， ，，， 的角
平分线交于,则 ___.
2
【解析】由余弦定理得 ,
整理得,得 .
又 ，
所以 ,
所以 .
（3）(全国乙卷)记的内角,,的对边分别为,,,面积为， ，
，则 _____.
【解析】由题意得，则 ，
所以 ，所以
，则 .
例26 (2025·天津节选)在中,角,,的对边分别为,, .已知
,, .
（1）求 的值；
【解析】因为,所以由正弦定理可得 ,因
为 ,
所以,所以,所以 .
又,所以 .
（2）求 的值.
【解析】因为,, ,
所以由 ,
可得 ,
化简得，又，故 .
由,得 .
考向2 与面积有关的解三角形问题
例27 (2024·新课标Ⅰ卷)记的内角，，的对边分别为，， ，已知
, .
（1）求 ；
【解析】由余弦定理得 ,
又 ， .
, ,
又 , .
（2）若的面积为，求 .
【解析】由（1）得 ，
由正弦定理，得 ，
.（【扫清障碍】 ）
的面积,解得 .
例28 (2023·新课标Ⅱ卷)记的内角,,的对边分别为,,,已知 面积为
,为的中点，且 .
（1）若，求 ;
【解析】第1步：由三角形面积公式求
因为为 的中点，所以
,
（【提示】三角形的中线平分三角形的面积）
解得，所以， ．
第2步：由余弦定理求
因为，所以 ．
在中，由余弦定理，得 ,
（【方法技巧】已知两边及夹角求第三边时,选用余弦定理）
所以 ．
第3步：求,
在 中，由余弦定理，得
，
所以 ．
在中，由余弦定理，得 ，
所以 .
在中，由正弦定理，得 ，（【方法技巧】已知两边及
一边所对的角求另一边所对的角时，选用正弦定理）
所以 ，
所以 .
第4步：由同角三角函数的基本关系求结果
所以 ．
（2）若，求, .
【解析】第1步：由余弦定理求
因为为的中点，所以 ．
因为 ，
所以 ，
则在与 中，由余弦定理，
得 ，（【方法技巧】在求边时，常根据两角互补，其余
弦值互为相反数，并结合余弦定理建立方程求解）
得 ，
所以，所以，所以 .
因为为的中点，所以 ．
在与中，由余弦定理，得 ,（【方法技巧】
当在一个三角形中不易求解时，可考虑在两个三角形中找到等量关系建立关系式求
解）
整理，得 ，
得，所以 ．
第2步：由余弦定理及三角形面积公式求
在中，由余弦定理，得 ,
所以，解得 .
第3步：结合已知条件建立方程组求结果
则由解得 ．
考向3 三角下的结构不良试题
例29 (2025·北京)在中，内角，,的对边分别为，，， ,
.
（1）求 ;
【解析】因为，,所以 ，由正弦定理知，
.
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得 存在,
求 边上的高.
条件 ;
条件 ；
条件的面积为 .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件
分别解答，按第一个解答计分.
【解析】若选择条件 ，
由（1）知,所以 ，
又，所以为钝角， ，此时 不存在，故不能选择条件①.
若选择条件 ，
则，,此时 存在.
设边上的高为，则，即边上的高为 .
若选择条件的面积为 ，
因为 ，
所以 .
由余弦定理可得 ，所以
.
设边上的高为 ，
则，得，即边上的高为 .
说明 结构良好问题往往条件清晰明确，结论统一.但是，我们在现实当中遇到的问
题可能缺少解决问题的必要条件或者某个条件存在变数，其结论也是多样化的，甚至
在某些特定条件下问题是无解的，问题的解决过程更是千差万别.结构不良试题的引入，
有效地考查了考生构建数学问题的能力、数学探究能力.应引起重视，加强训练.
高考新题型专练
1.[多选题](2025·辽宁省实验中学期中)对于 ，下列说法中正确的是( )
CD
A.若，则 为等腰三角形
B.若，则 为直角三角形
C.若，则 为钝角三角形
D.若,, ,则的面积为或
【解析】对于选项A,若,则或 ,所以 或
,即 为等腰三角形或直角三角形，所以A错误.
对于选项B,例如 , ,满足,但 不是直角三角形，
所以B错误.
对于选项C,由正弦定理及知 ,所以
，所以为钝角， 为钝角三角形，即C正确.
对于选项D,由正弦定理知，,即,所以 ,因为
,所以 或 .
当 时，为直角三角形，且 ,所以 ;当
时，为等腰三角形, ,所以
.综上所述，的面积为或 ,
所以D正确.故选 .
2.新考法 结构不良 (2025·北京市东城区期末)在
，的面积 这两个条
件中任选一个补充到下面问题中，并作答．
问题：在中，内角，，所对的边分别为，， ，且________．
（1）求 ；
【答案】选条件 ，
整理得， ，
利用正弦定理整理得， ，
利用余弦定理得， ，
又，故，所以 .
选条件的面积 ，
所以 ，
整理得 ,
所以，又,故，所以 .
（2）若，且的面积为，求 的周长．
【答案】由题意得，解得，故 ，
所以，解得 ．
故周长 ．
知识测评
04
1.在中，, ,则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】, , 由正弦定理 ，
可得,又 , .故选A.
2.(2025·福建省莆田市月考)在中，是 的( )
C
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】由正弦定理知， ，
在中，若，则 ，即充分性成立；
若，则，所以 ，即必要性成立，
所以是 的充要条件．
3.(2025·辽宁省锦州市期末)在中， ，是边上一点， ，
，，则 的长为( )
C
A. B. C. D.
【解析】由题意，在中，，， ，
由余弦定理得， ，
， .
在 中，由正弦定理得，
.
4.(2025·广东省汕头市潮阳区河溪中学期中)在中，内角，， 的对边分别为
，，，若的面积为，且，，则 外接圆的
面积为( )
B
A. B. C. D.
【解析】因为的面积为，且， ，
所以 ，
所以可得 ，
又，所以，故 .
设外接圆的半径为，由正弦定理，可得，所以
外接圆的面积 ．
5.［多选题］下列条件中构不成三角形的是( )
BD
A.,, B.,,
C., D.,,
【解析】对于A，由正弦定理得,所以，又,所以
或 ，所以满足条件的三角形有两个；
对于B， ,构不成三角形；
对于C，,所以 , ，所以满足条件的三角形只有一个；
对于D，,所以,而 ，所以没有满足条件的三角形.
6.(2025·山东省烟台市期中)若锐角三角形的面积为,且,,则
等于___．
7
【解析】由已知得的面积为,所以 .
又为锐角三角形,所以 ,由余弦定理得
.
7.(2025·河南省驻马店市期中)设的内角,,的对边分别为,,，且 ，
,，则 ___.
4
【解析】由及正弦定理，得，所以 ．
由余弦定理，得，解得 ．
图1.6.2-1
8.如图1.6.2-1所示，已知在四边形中， ，
，， ， ，求 的
长．
【答案】设，在 中，由余弦定理得
，
即 ， ，
舍去，即 .
在中，由正弦定理得 ，
.
高考模拟
05
9.在中，角，，所对的边分别为，，， ，， ，若
满足条件的三角形有1个，则 的取值范围是( )
B
A. B.或
C.} D.
【解析】由正弦定理可得，，则，因为 的
解只有一个，所以或
则或 .
10.(2025·河北省保定市期末)在中，角，，的对边分别是，， ，向量
，向量，且满足 ，则
角 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】 ，由正弦定理
有，即 ，由余弦定理有
，可得，故 .
11.新情境 三斜求积 [多选题](2025·浙江省义乌中学月考)《数书九章》是中国南宋
时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个
问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中
提出了已知三角形三边，， ，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，
其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减
上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把这段文字写成公式，即
.现有满足，且 的
面积为 ，请运用上述公式判断下列命题中正确的是( )
BD
A.的周长为4 B.的内切圆的面积为
C.的外接圆半径为 D.
【解析】因为，所以 ．
设，则， ．
将，，，代入，解得．
则，， ，
故 的周长为18，A错误．
设内切圆的半径为，由三角形的面积公式知 ,解得
,则内切圆面积为 ,B正确.
因为，，，由余弦定理知 ,则
,由正弦定理知外接圆直径 ,则半径为
，C错误.
,D正确．故选 ．
12.在等边三角形中，为内一点，且 ，则 的最小值为_ __.
图D 1.6.2-1
【解析】如图D 1.6.2-1，将绕点顺时针旋转 到
处，易知与全等，所以 .
连接，易得 为等边三角形，
所以 ,所以 .
在 中，应用正弦定理可得
,当且仅当 时取等号，又
，所以的最小值为 .
13.已知锐角 同时满足下列四个条件中的三个：
，，， ．
（1）请指出这三个条件，并说明理由；
【答案】 同时满足①②③．理由如下.
若 同时满足①④，
因为是锐角三角形，所以，所以，结合 ，所
以．与题设矛盾．故同时满足①④不成立，所以 同时满足②③．
因为，所以.若满足④，则，所以 ，与题设矛盾，故此时
不满足④．
所以 同时满足①②③．
（2）求 的面积．
【答案】因为 ，
所以，解得或 ．
当时，， 为钝角，与题设矛盾．
所以， ．
14.(新高考全国Ⅱ卷)在中，角,,所对的边分别为,,,, .
（1）若，求 的面积；
【答案】由 及正弦定理，
得．又，所以, ，
所以 ．由余弦定理的推论，得
，
又,所以 .
所以 ．
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求 ；若不存在，说明
理由.
【答案】存在.
由题意知 ，
要使为钝角三角形，需 ，得
．
因为为正整数，所以或 ．
当时，, ，此时不能构成三角形；
当时，, ，满足题意．
综上，存在正整数，使得 为钝角三角形．
15.在中，,,则 的面积的最大值为___.
3
【解析】由正弦定理及条件得（其中,分别为角，的对边），则 周
长的一半为 .
由海伦公式得 的面积
,
由于,所以当时, 取得最大值，即
,
又在上单调递增，故，当且仅当, 时
取等号.
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湘教版A版数学必修第二册

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