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(共53张PPT)
1.6 解三角形-1.6.3 解三角形应用举例
第1章 平面向量及其应用
湘教版A版数学必修第二册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
知识测评
课标要点
01
必备知识解读
02
知识点1 测量问题
1 测量距离问题的基本类型和解决方案
当的长度不可直接测量时，求 的距离有以下三种类型.#1
类型 简图 计算方法
类型 简图 计算方法
续表
知识回顾
涉及有关角的术语 #1.1.2
术语名称 术语意义 图形表示
方位角 从指北方向线顺时针转到目标方向线的角叫作方 位角.
方向角
2 测量高度问题的基本类型和解决方案
当的高度不可直接测量时，求 的高度有以下三种类型.#1
类型 简图 计算方法
底部可达
类型 简图 计算方法
底部不 可达
续表
知识回顾
涉及的有关术语#1.1.2
术语名称 术语意义 图形表示
仰角与俯 角 在同一铅直平面内，目标视线与水平视线所成的 角中,目标视线在水平视线上方的叫作仰角,目标 视线在水平视线下方的叫作俯角.
坡角 坡面与水平面的夹角.
坡度 3 测量角度问题
测量角度问题主要涉及光线（入射角、折射角）,海上、空中的追及与拦截，此
时问题涉及方向角、方位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰
角等概念.
解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角
形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.
学思用·典例详解
图1.6.3-1
例1-1 如图1.6.3-1，为了测量某公园内湖岸边， 之间的距离，
选择湖岸边的处，测得在的北偏西 的方向上，在
的正北方向上．在的正东方向的处，测得在 的北偏西
的方向上，在的北偏西 的方向上，若， 之间的
距离是30米，则， 之间的距离是( )
B
A.米 B.米
C. 米 D. 米
【解析】根据题意可得 ， ， ，
， ，
，又 ，
在 中，由余弦定理可得
，
米.
. .
图1.6.3-2
例1-2 (2025·甘肃省嘉峪关市第一中学月考)榴花塔以红石为基，
用青砖灰沙砌筑建成．如图1.6.3-2，记榴花塔高为 ，测量小
组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点和 ，现测得
， ，，在点 处测得塔
顶的仰角为 ，则塔高 为( )
A
A. B. C. D.
【解析】依题意得,在中, ,
,
即,解得 ,
在中, ,即 .
图1.6.3-3
例1-3 当太阳光与水平面的倾斜角为 时，一根长为 的竹
竿如图1.6.3-3所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成
的角是( )
B
A. B. C. D.
【解析】设竹竿与地面所成的角为 ,影子长为 .由正弦定理，得
,
解得 .
,
,
当 ,即 时, 有最大值.
即竹竿与地面所成的角是 时，影子最长.
释疑惑 重难拓展
知识点2 解三角形的应用题
在运用解三角形的知识解决实际问题时，通常都应根据题意将实际问题转化为
解三角形的问题，从中抽象出一个或几个三角形，然后解这些三角形，得出所要求
的量，经检验后得到实际问题的解.
1 基本步骤
2 主要类型
学思用·典例详解
图1.6.3-4
例2-4 如图1.6.3-4，要把一个四边形 区域改造成公园，经过
测量得到，，， ，且
，则这个区域的面积是_ ______
【解析】连接，在 中，
利用余弦定理得
为直角三角形,且 ．故
.
,即．在中，易知 ，则
题型解析
03
题型1 利用正、余弦定理解决测量问题
1 测量距离问题
例5 某基地进行实兵对抗演习，红方为了准确分析战场形势，从相距的军事基地 和
处测得蓝方两支精锐部队分别在处和处，且 , ,
, ,如图1.6.3-5所示，求蓝方这两支精锐部队间的距离.
图1.6.3-5
给什么得什么
求什么想什么
差什么找什么
【解析】 .
, ,
,
在中， ,
, .
在 中，由余弦定理得
,
,
故蓝方这两支精锐部队间的距离为 .
由图1.6.3-5可知，是等边三角形，且垂直平分 ，易知
.
由 ，可知是等腰直角三角形，易得 .
名师点评 由此可以看出，根据图形的特点，利用相关性质可以简化步骤.求解涉及
多个三角形的问题时，应尽量选择已知条件较多的三角形.
2 测量高度问题
图1.6.3-6
例6 (2025·山东省济宁市实验中学质检)2020年12月8日，中国和
尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为（单位： ）,
三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图1.6.3-6是三角高
程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，, 在同一
水平面上的投影，，满足 , .
由点测得点的仰角为 ，与的差为100;由点测得
点的仰角为 ，则，两点到水平面 的高度差
约为 ( )
B
A.346 B.373 C.446 D.473
图1.6.3-7
【解析】如图1.6.3-7所示，根据题意过作，交 于
，过作，交于，则 ,
.
在中， ,
则 .
又在点处测得点的仰角为 ，所以 ,
所以高度差
.
3 测量角度问题
例7 沿一条小路前进，从走到方位角是 ，距离是的 处后，又向方位角是
，距离是的处前进，到达处后，又走向方位角是 ，距离是
的处,试画出示意图，并计算出相对于的方位角和 间的距离.
思路点拨 根据题意构造出和 ，再应用正弦定理和余弦定理即可求解.
图1.6.3-8
【解析】画出示意图如图1.6.3-8所示，连接,在 中，
.
又 ，
故 ,
由余弦定理，得 .
在中， , ,
由余弦定理，得
.
由正弦定理，得 ,
又, ,
相对于的方位角为 ,
即相对于的方位角约为 ,间的距离为 .
正、余弦定理在解决实际问题中的应用，本质上还是正、余弦定理在解决几何图形
（主要是三角形与四边形）问题中的应用，一般利用几何图形本身及实际问题中涉
及的术语（如方位角等）构建恰当的三角形，在三角形中运用正弦定理或余弦定理
即可使问题得解.
【学会了吗丨变式题】
(2025·江西师大附中期中)一艘游轮航行到处时观察灯塔在的北偏东 的方向
上，距离为海里，灯塔在的北偏西 的方向上，距离为 海里，该游
轮由沿正北方向继续航行到处时再观察灯塔在其南偏东 的方向上，则此时
灯塔 位于游轮的( )
C
A.正西方向 B.南偏西 方向 C.南偏西 方向 D.南偏西 方向
图D 1.6.3-1
【解析】如图D 1.6.3-1，在 中，
，
由正弦定理得 ，
则 .
在中，因为, ，由余弦定理
得 ，
所以 .
由正弦定理得，解得 ，
故 或 ，
因为，故为锐角，所以 ，
此时灯塔位于游轮的南偏西 的方向上．
题型2 方案设计题
图1.6.3-9
例8 为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，
两点进行测量，，，， 在同一个铅直平面内（如图1.6.3
-9所示），飞机能够测量的数据有俯角和， 间的距离.请设
计一个方案，包括：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，
并画出示意图，在图中标出）；（2）用文字和公式写出计算
， 间的距离的步骤.
思路点拨 图中有四个点,通过四个点的连接,可以构造多个三角形,根据已知条件,选
取合适的一个或几个三角形,利用正弦定理和余弦定理求解.
图1.6.3-10
【解析】（1）需要测量的数据有：点到，点的俯角,； 点
到，点的俯角,；，间的距离 （示意图如图1.6.3-10所示）.
（2） 第一步：计算 .
在中，由正弦定理,得 .
第一步：计算 .
第二步：计算 .
在中，由正弦定理,得 .
第三步：计算 .
在 中，由余弦定理,得
.
在中，由正弦定理,得 .
第二步：计算 .
在中，由正弦定理,得 .
第三步：计算 .
在中，由余弦定理,得 .
解决方案设计问题的思路及注意点
解决此类问题的思路是先设计方案，然后决定收集哪些信息、数据，最后进行推理
运算.一般来说，需注意三点：①实际测量中，往往受到地形地貌、测量工具等条件
的制约，设计的方案要切实可行；②测量要符合题目要求与实际要求；③计算时要
合理使用近似计算.
知识测评
04
图1.6.3-1
1.(2025·河南省灵宝市实验高级中学月考)如图1.6.3-1，设， 两
点在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点 ，测出
的距离为， ， ，则， 两点
间的距离为( )
A
A. B. C. D.
【解析】在中， ，
由正弦定理得 ．
图1.6.3-2
2.新考法 数学文化 (2025·四川省绵阳外国语学校模
拟)圭表（如图1.6.3-2（1））是我国古代一种通过测
量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根
直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定
摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳
C
A. B. C. D.
照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，
日影长度最短的那一天定为夏至．图1.6.3-2（2）是一个根据北京的地理位置设计的
圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即）大约为 ，夏至正午太
阳高度角（即）大约为 ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即 的长）
为，则表高（即 的长）为
( )
【解析】由题可知 ，在 中,由正弦定理可知
,即,则,又在 中,
,所以 .
图1.6.3-3
3.(2025·福建省漳州市月考)如图1.6.3-3所示，在坡度一定的山坡
处测得山顶上一建筑物的视角（即）为 ，向山顶前
进100 米到达处，又测得建筑物的视角（即）为 ，
若米，山坡对于水平面的坡角为 ,则
（参考数值： ）( )
C
A. B. C. D.
【解析】在 中，由正弦定理可知，
（米）.在 中，
由题图,知
.
4.［多选题］如图1.6.3-4所示，为了测量某湖泊两侧， 的距离，某同学首先选定
了与，不共线的一点，然后给出四种测量方案的角，， 所对的边分
别记为,,.则下列方案中一定能确定, 间距离的是( )
ABC
图1.6.3-4
A.测量，， B.测量,, C.测量,, D.测量,,
【解析】对于A,在中，,所以 .由正弦定理得
,所以 .
对于B，由余弦定理可得,所以 .
对于C，在中，,所以 ，由正弦定理得
,所以 .
对于D，由余弦定理得,解得的可能有两个值，此时不能确定，
间的距离.
故一定能确定，间距离的方案有 .
图1.6.3-5
5.(2025·广东省汕尾市质检)如图1.6.3-5，一轮船从 点沿北
偏东 的方向行驶10海里至海岛，又从沿北偏东
的方向行驶10海里至海岛，若此轮船从 点直接沿直线行
驶至海岛 ，则此船沿___________方向行驶______海里至
海岛
北偏东
【解析】由题意得 ，
，故 ，所以从到 的航向为北
偏东 ，由余弦定理得
，故 海里．
图1.6.3-6
6.(2025·安徽省滁州市调研)高铁是我国国家名片之
一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图
1.6.3-6所示，,, 为山脚两侧共线的三点，在山
顶处测得这三点的俯角分别为 , , ，
计划沿直线开通穿山隧道，现已测得,,
三条线段的长度分别为,, .
（1）求线段 的长度；
【答案】由已知可得， ， ，
在中，由正弦定理得 ，
即 ，
解得,故线段的长度为 .
（2）求隧道 的长度.
【答案】由已知可得 ，
在中， ，
所以 ．
图1.6.3-7
7.某校某班要进行研究性学习，题目为《应用正、余弦定理测量
标志性建筑龙塔的高度（ ）》.经考察龙塔附近有两个地点
，利于观测（注：龙塔塔底点无法到达），,,, 在同一
铅垂平面内（如示意图1.6.3-7）．测量备品：测角仪（可测量仰
角）和皮尺（长度足够用）．请设计一个方案，包括：
（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并画出示意图,在图中标出）；
【答案】测出， ， ，如图D 1.6.3-1.
图D 1.6.3-1
（2）用文字和公式写出计算塔高的步骤，并写出 的表达式．
【答案】第一步:求出 .
, , ,
,
.
第二步：求出 .
在中， , .
图1.6.3-8
8.如图，在某片海域上，一艘海上护卫舰位于点 处，
一艘货轮在点东偏北 方向的点 处行驶着，通过雷达监
测，发现在点北偏东 方向且距离点海里处的点 处
出现一艘海盗船，此时海盗船与货轮相距 海里，且护卫舰
距离货轮比距离海盗船更近．
（1）求发现海盗船时护卫舰与货轮的距离；
【答案】由题图知，在中， ， ，
，
由余弦定理知， ，
即 ，
整理得 ，
解得或 ，
又，所以 ，
即发现海盗船时护卫舰与货轮的距离为 海里.
（2）护卫舰为确保货轮的安全，护卫舰开始以 海里/时的速度追击海盗船，与
此同时，海盗船开始以20海里/时的速度沿着北偏西 方向逃窜，求护卫舰能追捕
到海盗船的最短时长以及最佳追击方向．
【答案】设护卫舰与海盗船在点 处相遇，
在中， ， ，
设追击时间为小时，则， ，
由余弦定理得， ，
即 ，
化简得，解得或 （不合题意，舍去），
所以护卫舰能追捕到海盗船的最短时长为 小时，
此时， ，
所以是等腰三角形，此时 ，
即最佳追击方向是正北方．
谢谢观看
湘教版A版数学必修第二册

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