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1.7 平面向量的应用举例
第1章 平面向量及其应用
湘教版A版数学必修第二册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
知识测评
05
高考模拟
课标要点
01
必备知识解读
02
知识点1 平面几何中的向量方法
1 向量在平面几何中常见的应用
（1）证明线线平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：
．
（2）证明线线垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（或线段）
是否垂直等，常用向量垂直的条件： .
（3）求夹角问题，利用夹角公式：
, .
（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：|
或 .
2 向量法解决平面几何问题的“三步曲”
学思用·典例详解
例1-1 在四边形中，若，，则四边形 是( )
C
A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
【解析】由知， 四边形是平行四边形.由 知，
， 四边形 是矩形.
例1-2 已知在平行四边形中，，在对角线上，并且 .求证：四边
形 是平行四边形.
【解析】由已知可设, ,
根据题意画出图形，如图1.7-1所示，则 ,
.
图1.7-1
因为 ，
所以,即，所以四边形 是平行四边形.
知识点2 向量在物理中的应用
向量是在物理的背景下建立起来的，物理中的一些量，如位移、力、速度、加
速度、功等都与向量有着密切的联系，因此可以利用向量来解决物理中的问题.具体
操作时，要注意将物理问题转化为向量关系式，通过向量的运算来解决，最后用来
解释物理现象.
1 力学问题的向量处理方法
向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的
作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量．用向量知识解决
力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上．
2 速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠
加也用到向量的合成．
3 向量与功、动量
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实
质是向量的数量积.
（1）力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即， .功
是一个实数，它可正，可负，也可为零.
（2）动量涉及物体的质量，物体运动的速度 ，因此动量的计算是向量的数
乘运算．
学思用·典例详解
例2-3 某物体做斜抛运动，初速度，与水平方向成 角，不计空气
阻力，则该物体在水平方向上的速度的大小是___ .
5
图1.7-2
【解析】如图1.7-2所示，该物体在水平方向上的速度大小为
.
例2-4 [教材改编P56例4] (2025·重庆市渝北中学校期中)已知两个力， 的夹角为
，它们的合力大小为，合力与的夹角为 ，那么 的大小为( )
A
A. B. C. D.
【解析】如图1.7-3，由于 ，的大小为．
图1.7-3
题型解析
03
题型1 巧设向量解决代数问题
1 构造向量证明恒等式
教材深挖POINT
本题型可看作是对教材第54页例1的挖掘.
例5 已知,其中，求证： .
【解析】因为，所以且 ,
设向量,，,的夹角为 ，
则为非零向量，，， ，
由题设等式可得,即，当 为非零向量时，
则，所以，所以，又，所以 .
当为零向量时，,显然 也成立.
2 构造向量解方程
例6 解方程: .
【解析】构造非零向量,,，设,的夹角为 ,由
向量数量积的坐标公式得 ，
因为,所以 ，
所以 ，
所以，所以 且方向相同，
所以且若，则 ,故
,解得 .
. .
3 构造向量求最值
例7 求函数 的最大值.
【解析】构造向量,,，则， ，
由， ，
得，当且仅当与 同向共线时，等号成立，
由，解得 ，
即当时，函数取得最大值， .
题型2 用向量解决平面几何中的问题
1 平行问题
图1.7-4
例8 如图1.7-4，已知，，是 的三条高，且交于
点，于，于.求证： .
思路点拨 要证明 ，由向量共线定理知，只需证明
.
【解析】,, .
设,则 .
同理 .
于是 ，
,即 .
2 垂直问题
图1.7-5
例9 如图1.7-5所示，在正方形中，，分别是， 的中点，
求证： .
【解析】 选取基,，证明 设 ,
，则, ,
又, ,所以
.
故，即 .
图1.7-6
建系，利用坐标法求 建立如图1.7-6 所示的平
面直角坐标系，设正方形的边长为2，则，, ,
,则， .
因为 ,
所以，即 .
3 线段长度问题
例10 如图1.7-7所示，四边形是正方形，是对角线上的一点，， 分别在
边，上，且四边形是矩形，试用向量法证明： .
图1.7-7
图1.7-8
【解析】易知点，， 都不在端点处，建立如图1.7-8所示的平面
直角坐标系，设正方形的边长为1， ，则
，，， ，
, ,
,
,
， .
向量法解决平面几何问题的两种方法
用向量法解决平面几何问题,一般来说有两种方法.
（1）普通向量法：利用向量的运算法则、运算律或性质计算，有时可选取适当的基
（尽量用已知模或夹角的向量作为基向量）,将题中涉及的向量用基表示.
（2）坐标法：建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、
平行等问题转化为代数运算.
一般地,题目中已建好坐标系或易建坐标系的问题适合用坐标法.
【学会了吗丨变式题】
图1.7-9
1.如图1.7-9所示，已知中，,分别为, 边上的高，而
且与相交于点，连接并延长，与相交于点 .求证:
.
【答案】因为,所以，即 ，
因此 ①.
因为,所以，即 ，
因此 ②.
由可得 ，
因此 ，
从而，故,即 .
题型3 用向量解决物理中的相关问题
例11 在风速大小为的西风中，飞机以 的航速大小向西
北方向飞行，求没有风时飞机的航速大小和航向.
【解析】设风速，有风时飞机的航行速度， 无风时飞机的航行速度，
则 .
显然有,， 对应线段构成三角形.
图1.7-10
如图1.7-10所示，设,, ,
作，于点，于点，则 .
由题意知， ，
, .
从而， .
即没有风时飞机的航速大小为,方向为西偏北 .
图1.7-11
例12 如图1.7-11所示，一个物体受到同一平面内三个力， ，
的作用，沿北偏东 的方向移动了，其中 ，方
向为北偏东 ；，方向为北偏东 ； ，
方向为北偏西 ，求合力 所做的功．
图1.7-12
【解析】以为原点，正东方向为 轴的正方向建立平面直角坐标系，
如图1.7-12所示，则，， ，
所以 .
又位移,故合力 所做的功为
.
即合力所做的功为 .
名师点评 平面向量在物理的力学、运动学中应用广泛，用向量处理这些问题时，先
根据题意把物理中的相关量用有向线段表示，再利用向量加法的平行四边形法则转
化为代数方程来计算.本例中建立平面直角坐标系，把向量作正交分解，这种方法在
力学中应用非常广泛.
例13 如图1.7-13所示，墙上有一个三角形灯架，灯所受重力为,且，
都是细杆，只受沿杆方向的力，试求杆，所受的力的大小.精确到 ，参考
数据：,,
图1.7-13
【解析】点处受到三个力的作用：灯线向下的拉力记为，从到方向的拉力
记为，从到方向的支持力记为，这三个力是平衡的，即 .
图1.7-14
如图1.7-14所示，作,将沿到，到 的两个方向进行分
解，即作,则， .
由题设条件可知，， , ,
所以 .
在中，由正弦定理得 ,则
,
.
所以杆所受的力的大小约为，杆所受的力的大小约为 .
【学会了吗丨变式题】
2.已知力与水平方向的夹角为 （斜向上），大小为，一个质量为 的木
块受力的作用在动摩擦因数的水平平面上运动了，则力和摩擦力
所做的功分别为 ( )
A
A.500， B.500，
C.，10 D.，
【解析】根据功的公式可知，力 做的功为
，
物体受到的底面支持力大小为 ，故摩
擦力大小，又摩擦力与位移方向夹角为 ，故摩擦
力所做的功 ，故选A．
知识测评
04
1.(2025·甘肃省白银市期末)已知三个力，， 同时作
用于某质点上，若对该质点再施加一个力 ，该质点恰好达到平衡状态
（合力为零），则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】由题意，作用在该质点上的三个力，， 的
合力为 ．
想要该质点恰好达到平衡状态，只需 .
2.(2025·陕西省榆林市期中)一物体在力的作用下，由点移动到点 ，若
，则 对物体所做的功为( )
A
A. B.11 C. D.1
【解析】由题意可得，又，所以 对物体所做的功为
.
图1.7-1
3.(2025·江苏省如东县第一高级中学检测)体育锻炼是青少年生活学习
中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图1.7-1所示的
平衡状态，若两只胳膊的夹角为 ，每只胳膊的拉力大小均为
，则该学生的体重单位：约为 参考数据：重力加速度大
小， ( )
B
A.55 B.61 C.66 D.71
【解析】设两只胳膊的拉力分别为,，则 ,, ,,, .故选B.
4.高一学生将质量为 的物体用两根绳子悬挂起来，如图1.7-2，两根绳子与铅垂
线的夹角分别为 和 ，则拉力与 大小的比值为_ __.
图1.7-2
【解析】因为水平方向上的力大小相等，方向相反，则 ,可
得 .
图1.7-3
5.如图1.7-3所示，在倾斜角为，高为 的斜面上，
质量为的物体沿斜面由最高处下滑到地面，则斜面对物体 的
支持力所做的功为___，重力对物体 所做的功为____
.
0
98
【解析】物体的位移大小为,则支持力对物体
所做的功为 ;
重力对物体所做的功为 .
6.已知平行四边形的其中两条边长分别为3和5，一条对角线长为6，则另一条对角线
的长为_____.
图D 1.7-1
【解析】如图D 1.7-1所示，设平行四边形为 ，其中
， ，所以
，
，
所以，不妨令,则解得 ，
即平行四边形的另一条对角线的长为 .
7.在中，已知，，是边上靠近点 的一个三等分点，
试在直线上求一点（说明位置），使得 .
图D 1.7-2
【答案】根据题意，以为原点，所在直线为 轴建立平面
直角坐标系，如图D 1.7-2.
因为，，是边上靠近点 的一个三
等分点，所以，， .
设，则 ，
，
由得 ，
所以当时， ，
当在线段的延长线上，且 时，满足题意．
8.（1）在梯形中,,,分别是,的中点, 证明: .
图D 1.7-3
【答案】如图D 1.7-3所示,设且，则 ,
所以与共线，又与无公共点，所以 .
图1.7-4
（2）如图1.7-4所示，若是 内的一点，且
,求证： .
【答案】设,,,, ,
则, ，
即 .
由已知可得 ,
所以，即 .
因为,所以 ，所以
,即 .
高考模拟
05
9.(2025·山东省枣庄市月考)在内，使的值最小的点 是
的( )
D
A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心
【解析】 设,, ,
则, ,
.
为常数，
当，即，即点为的重心时， 最小.
设为平面内任意一点，连接,,,,令,, ,
,则 .
同理可得, .
.
是常数，
当时，最小，此时点为 的重心.
10.［多选题］一物体受到3个力的作用，其中重力的大小为，水平拉力 的大
小为，另一力 未知，则( )
ACD
A.当该物体处于平衡状态时，
B.当与方向相反，且 时，物体所受合力大小为0
C.当物体所受合力为时，
D.当时，
【解析】对于A，当该物体处于平衡状态时， ，
选项A正确；
对于B，当与方向相反，且 时，物体所受合力大小为
，选项B错误；
对于C，当物体所受合力为时，的方向竖直向上，且 ，选项C正确；
对于D，当时，因为与的合力大小为 ，所以
，选项D正确．故选 ．
11.[多选题](2025·安徽省黄山市模拟)如图1.7-5，一条河两岸平行，河的宽度
，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行.已知船的速度 的大小为
，水流速度的大小为，设和 的夹角为
，则下列说法正确的为( )
AC
图1.7-5
A.当船的航行时间最短时，
B.当船的航行距离最短时，
C.当 时，船的航行时间为6分钟
D.当时，船的航行距离为
【解析】对于A，当船的航行时间最短时，船头方向始终垂直于河岸，此时 ，
故A正确.
图D 1.7-4
对于B，当船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，如图D
1.7-4，则，所以 ，故B错误.
对于C，当 时，船垂直河岸方向的分速度
，
船的航行时间 ，即6分钟，故C正确.
对于D，将船的速度和水流速度合成，则 .
当时， ，
所以 .
又船垂直河岸方向的分速度 ，所以船的航行时
间 ，
所以船的航行距离为 ，故D错误.
故选 .
12.如图1.7-6，在矩形中，,,,垂足为,则 _ ___.
图1.7-6
图D 1.7-5
【解析】以为坐标原点，，所在直线分别为轴、 轴建
立平面直角坐标系（如图 所示），则 ，
，，，,设 ，
则点的坐标为,故 .
因为，所以，即,解得 ，
所以，.故，则 ，
即 .
图1.7-7
13.如图1.7-7,有两条相交成 的公路，，其交点为 ，甲、乙
两辆汽车分别在，上行驶，起初甲在离点的 处，乙在
离点的处，后来两车均用的速度大小行驶，甲沿
方向，乙沿 方向行驶．则
（1）起初两车的距离是多少？
【答案】由题意知， ,即
.
故起初两车的距离是 .
（2） 后两车的距离是多少？
【答案】设甲、乙两车后的位置分别为，，则, .
当 时，
①;
当时， ②.
①②两式可统一为 ,
即 .
故后两车的距离是 .
（3）何时两车的距离最短？
【答案】 ,
当，即在第10分钟末时，两车的距离最短，且最短距离为 .
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