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(共57张PPT)
2.1 两角和与差的三角函数
2.1.1 两角和与差的余弦公式
第2章 三角恒等变换
湘教版A版数学必修第二册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
知识测评
05
高考模拟
课标要点
01
必备知识解读
02
知识点1 两角和与差的余弦公式
1 两角差的余弦公式
.
我们将上式称为两角差的余弦公式（简记为 ）.
特别提醒 1.公式中的 , 都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合.
2. 一般不成立，但在特殊情况下也可能成立，例如：
当 ， 时， .
2 两角和的余弦公式
注意到 与 之间的联系： .
由 可得
.
由此，我们得到两角和的余弦公式（简记为 ）：
.
3 公式的结构特征
比较公式和 ，可得二者的结构特征：
两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”.
典例详解
例1-1 [教材改编P68例1]
（1） 的值是( )
C
A. B. C. D.
【解析】
（注意角度的拆分与特殊角的应用）
.
. .
. .
. .
（2） 的值为_ _______.
【解析】
.
释疑惑 重难拓展
知识点2 两角和与差的余弦公式应用的技巧
1 灵活地正用、逆用公式
要学会正用、逆用公式 ，如：
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
2 巧用拆角、拼角等技巧
在解决求值问题时，常常需要用到将非特殊角转化为特殊角以及角的拆拼、变
换等技巧，使已知角与所求角之间具有某种关系，如：
（1） ；
（2） ；
（3） ;
（4） ;
（5） .
掌握此类技巧可以减少运算量，提高解题速度与准确性.
教材深挖
利用公式 证明诱导公式
——对教材第70页【练习】第1题的深挖.
;
;
;
.
由此可以看出，上述诱导公式可以看成是两角和与差的余弦公式的特例，两角
和与差的余弦公式也可以看成是有关诱导公式的一般化.
典例详解
例2-2 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】由题可知， .
例2-3 [教材改编P69例2] _ __.
【解析】原式（由诱导公式可得.） （由诱导公式可得.）
.
. .
. .
例2-4 (2025·湖南省衡阳市期中)已知 ,， ，则下列选
项正确的是( )
B
A. B.
C. D.
【解析】由 , ,
得 ，
，
由于，所以 ，
所以 ，
则 .
题型解析
03
题型1 化简与求值
例5（1）(2025·江苏省常州市期中) ( )
D
A. B. C. D.
【解析】原式
（诱导公式） .
. .
. .
（2）函数 的最大值是( )
C
A.2 B. C.1 D.
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 .
因为，所以 .
应用两角和（差）的余弦公式化简的关键
根据角的特点，观察式子的结构特征，灵活运用诱导公式，将式子转化成符合两角
和与差的余弦公式的形式，再正向或逆向运用公式求三角函数值.
（1）正用两角和与差的余弦公式, 时应熟记公式特点：同名相乘，符号
相反.
（2）逆用时首先应准确找出所给式子与公式右边式子的关系，创造条件逆用公式.
. .
. .
题型2 条件求值
1 给值求值
例6 [教材改编P69例3]已知,，, ，
则 ( )
C
A. B. C. D.
给什 么得 什么 已知 ， 的范围及与的值，由此即可得, 的
范围.
求什 么想 什么 求 的余弦，发现目标角与条件式中的角的关系为
.
因此利用两角差的余弦公式即可将目标式化归为条件式中的三角函数，
，其中与 的值是已知
的，只需求出与 的值即可.
差什 么找 什么 那么怎样求与 的值呢？自然想到同角三角函数基本关系
式的平方关系，但在开方时其符号取决于角的范围.
续表
【解析】因为, ，
所以， ，
又，所以 ，（先确定相关角度的取值范围，为后续
正弦值符号的确定做准备）
,
，（用同角三角函数关系，缺什么、求
什么）
故 .
【变式题】
1.(2025·四川省江油中学月考)若，， ， ，
则 的值为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 ，，，, .
又，， ，
， .
2 给值求角
例7 若，，且 ， ，则
___.
【解析】，且 （给值求值（角），一定不要忽略
角的“定义域”限制），
.
，且 ，
.
.
由 及 得 ，
.
. .
【变式题】
2.(2025·浙江省杭州第二中学期末)若，， ， 均为锐
角，且 ，则 的值为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 ，，且 ，， ，
， ，
.
，
.
题型3 余弦公式在三角形中的有关问题
例8 记的内角为，，，且满足，若 ，
则 __.
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 .
又 （在三角形中，不管是钝角还是锐角，其正弦值都为正，所以需说明角
度的取值范围，以准确求值），所以 .
. .
例9 (2025·湖南省师范大学附属中学期末)在中，若, ,则
的值为( )
C
A. B. C. D.
【解析】在中，由，得,由 ，得
, .
对于涉及与三角函数诱导公式和两角和与差的三角函数公式有关的三角形问题，要注
意角的范围这一隐含条件，还需要结合三角形中的有关知识（如 ）解答.
题型4 三角恒等式的证明
例10 求证： .
思路点拨 用公式直接展开式子的左边，整理即得式子的右边.
【解析】左边
右边.
所以原式得证.
证明三角恒等式的解题思路与步骤
三角恒等式的证明，实际上就是利用有关公式进行恒等变形.对于化简证明问题，一
般是按照由繁到简的原则，既可以从左到右，也可以从右到左，或由两边到中间的
过程进行化简.
证明的一般步骤为：先观察找出各个角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后
按照“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则变换式子结构，达到证明的目的.
考情揭秘
本节内容是三角恒等变换的基础内容，在高考中较少单独考查，主要是跟后续内容
综合起来考查,题型一般为选择题或者填空题，试题难度中等或中等偏下.
核心素养：数学运算（利用两角和与差的余弦公式求值）.
考向 两角和与差的余弦公式的应用
例11 (2024· 新课标Ⅰ卷)已知,,则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】由得 ①.由 得
②，
由①②得
所以 .
例12 ［多选题］(新高考全国Ⅰ卷)已知为坐标原点，点 ,
,, ,则( )
AC
A. B.
C. D.
【解析】由题可知，, ，
所以 ，故A正确；
取，则，取，则，则 ，故B错误；
因为, ，
所以 ，故C正确；
因为 ,
，
取，（用取特殊值法进行排除），则 ，
，所以 ，故D错误.
. .
例13 (2025·上海春季)已知，则 ___.
0
【解析】 因为，所以 , ，所以
.
因为，所以 ，所以
.
知识测评
04
1. 的值为( )
D
A.1 B.0 C. D.
【解析】 .
2. ( )
B
A. B. C.1 D.0
【解析】 .
3.已知向量,,那么 的值为( )
D
A. B. C. D.1
【解析】 ,
所以
.
4.(2025·陕西省渭南市期末)在中，,，则 等于( )
D
A. B. C. D.
【解析】在中，因为，所以 .
因为，所以 ，
所以
.
因为 ，所以 .
5.［多选题］(2025·辽宁省沈阳市第二中学月考)已知 ， ， ，
， ，则下列说法正确的是( )
AC
A. B. C. D.
【解析】由已知，得 ， .
两式分别平方相加，得 ，
，， 正确，B错误.
， ，，， ，
， 正确，D错误.
6.化简： _ __.
【解析】
原式 .
7.新考法 结构不良 已知,, ,____，求
的值.
请从， 中任选一个填在横线上并解答.
【答案】选①,, , .
,, .
，
.
选②,, , .
, , .
，
.
高考模拟
05
8.(2025·山东省泰安市段考)已知 为钝角，且，则
( )
C
A. B. C. D.
【解析】 为钝角，且， ，
．
9. ， 是方程的两个实根，则 的取
值范围是( )
A
A. B. C. D.
【解析】由题可设 , ，则 ，
即，解得，即 ，
，
即 ，
，
即 .
综上所述， .
10.[教材改编P67思考]在平面直角坐标系中，已知，将绕原点 逆时针旋转
到，则点 的横坐标为_ ____;纵坐标为____.
【解析】如图D 2.1.1-1，
图D 2.1.1-1
过点作轴于点，作轴于点，过点作轴于点，作
轴于点，由，得，， .
将绕原点逆时针旋转 到，所以点 的横坐标为
.
显然 为第二象限角，所以 ,所以
点的纵坐标为 .
11.(2025·河北省承德市第一中学月考)已知函数（其中 ,
）的最小正周期为 .
（1）求 的值;
【答案】的最小正周期， .
（2）设 ，,,,求 的值.
【答案】由（1）知 ，
又， ，
，，即 ，
，
又 ,，则，， ，
.
12.新考法 结构不良 在，， 这三个条件中任选一个，
补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，则求出该三角形面积；若问题中的三
角形不存在，则请说明理由．
问题：是否存在锐角三角形，它的内角，，的对边分别为，， ，且
， ，____？
【答案】选 ,
因为，所以 ，
化简得， ，
因为，所以 ，
又只能为锐角，所以 ，
由余弦定理得，，即 ，
解得或 ，
经检验，都满足 为锐角三角形.（检验方法可用余弦定理求角）
当时， ，
当时， .
. .
选 ，
因为 ，
所以 ，
化简得， ，
因为，所以 ，
而此时 ，故此时三角形无解.
选 ，
因为 ，
所以 ，
化简得， ，
因为，所以 ，
又只能为锐角，所以，则 ，
由正弦定理得， ，
所以， ，
所以 ．
谢谢观看
湘教版A版数学必修第二册

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