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2.1 两角和与差的三角函数
2.1.2 两角和与差的正弦公式
第2章 三角恒等变换
湘教版A版数学必修第二册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
知识测评
05
高考模拟
课标要点
01
必备知识解读
02
知识点 两角和与差的正弦公式
1 两角差的正弦公式及其推导
（诱导公式）
,
即，此为两角差的正弦公式简记为 .
. .
2 两角和的正弦公式及其推导
（在两角差的正弦公式中,用 代替 ）
，即
，此为两角和的正弦公式简记为 .
特别提醒 1.公式中的 ， 是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合，
如 .
2.一般情况下,两角和与差的正弦公式不能按分配律展开,即
.比如,当 , 时, ,
， .特殊情形下，二者有可能相等.
. .
3 两角和与差的正、余弦公式的结构特征与联系
4 两角和与差的正弦公式的记忆技巧
公式记忆：正余余正，符号相同.
（1）“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；
（2）“符号相同”是指展开后两项之间的符号与展开前两角之间的符号相同，即
两角和时用“”，两角差时用“ ”.
. .
典例详解
例1 [教材改编P70 例4]求下列各式的值：
（1） ;
【解析】 .
（2） .
【解析】 .
例2 [教材改编P71例5]计算 的值为( )
B
A. B. C. D.
【解析】
．
例3 ( )
B
A.1 B. C. D.
【解析】 .
题型解析
03
题型1 化简与求值
例4（1）化简： ______.
【解析】原式 .
（2） 的值为( )
B
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】 （角度不一致，利用诱导公式化成同一角，方便后续求解）
（系数变三角函数，逆用两角差的正弦公式.）
.
解决化简与求值问题的思路
1.化简.三角函数式化简的主要思路有：（1）观察角的特点，充分利用角之间的关系，
尽量向同角转化；（2）观察函数特点，向同名转化，弦切互化，通常是切化弦.#3.1.1
2.求值.运用两角和与差的正弦公式求三角函数值主要有以下几种形式：
一是将非特殊角转化为特殊角的三角函数，如
；
二是逆用公式凑成特殊角求值，如
;
三是进行拆角、拼角，整体代换求值，这一点与两角和与差的余弦公式的应用基本
一致，如 .#3.1.2.3
【变式题】
1. 的值为_ ____.
【解析】 .
2.化简： _ ____.
【解析】 .
题型2 条件求值
1 给值求值
例5 已知，且，，则
( )
C
A. B. C. D.
【解析】因为，所以 ，
因为，所以 ，（确定角的范围，为确定三角函数值的符号做
准备）
因为，所以 ,
因为，所以 .
所以 .
解给值求值问题的思路及常用变换
1.解决给值求值型问题的一般思路：观察公式中的量,确定哪些是已知的,哪些是待求
的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的终边所在
的象限确定符号.
2.解决给值求值型问题的关键是找已知式与待求式之间角、运算及函数名的差异,常
见角的变换有：
（1） , ;
（2）, ;
（3）, .
另外，还要特别注意题干中的隐含条件.
【变式题】
3.(2025·江西省新余市期末)已知，，则 的值为( )
A
A. B. C. D.
【解析】由，得 ，所以
.
. .
. .
2 给值求角
例6 已知 为锐角，且，则角 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】由题意得 ,
，
,
, .
为锐角， .
例7 已知,,且,,则 的值是__.
【解析】因为, ,
所以 ,
,
（用两角和的余弦公式而不是用两角和的正弦公式，具体原因见易错警
示） .
又（在此范围内，只有锐角对应的余弦值为正）,故 .
. .
. .
易错警示 本题在求出, 后，易产生以下错解：
.
又 ,故或 .
事实上，本题仅由, 得到或 是不严
密的，这是因为正弦函数在 上不具有单调性.
由,知,利用求解,还需要将
的范围进一步缩小，因此本题用 求解比较方便.
. .
给值求角问题的常用解题技巧及步骤
1.已知三角函数值求角，一般应解决两方面的问题：一是选函数，二是限定角的范
围.
选函数可参考下列原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选
正弦函数或余弦函数；若角的范围是 ，选正弦函数或余弦函数都可以；若角的
范围是，选正弦函数比余弦函数好；若角的范围是 ，选余弦函数比正
弦函数好.总之，尽量保证所选函数在所给范围内是单调的.#1.2.1
. .
2.解决给值求角问题一般分三步.
第一步：求角的某一个三角函数值.
第二步：确定角所在的范围.
第三步：根据角的范围写出所求的角.#1.3.3
【变式题】
4.[教材改编P71例6（2）]已知， ，且 ，
，则 的值为( )
C
A. B. C. D.
【解析】，， .
， .
，， .
， .
题型3 和（差）角公式与解三角形的综合
母题 致经典·母题探究
例8 (2025·陕西省西安交大附属中学期中)已知,,分别为三个内角,, 的对
边,，则 __.
给什么得 什么
求什么想 什么
差什么找 什么
【解析】由正弦定理及 ，可得
，
又 ，
所以 ，
于是 ，
整理可得 ，
即 .
因为，所以 ,
所以，即 ，
所以 .
又，所以，即 .
母题探源 本题在求解的过程中有两个难点，一个是考生虽然实现了边化角，但是面
对整个式子中同时有,, 时不知道到底如何减元，其实减元的关键是注
意到主体的角是，而目标角是 ，结合在三角形中始终有一个隐含条件
以及互补两角的正弦值相等，将转化为 并展开化简，
最后获解；另一个是考生注意到
，得到
，然后就不知道如何处理了.本题是在正弦定理的工具背景下考
查三角恒等变换较好的例子，同学们好好体会其中减元、消元的处理方式.
子题
(2025·甘肃省武威市期中)在中，，则 _ _.
【解析】因为 ，
所以 ，
即 ，
由正弦定理得，
，
即 .
因为 ，
所以 ，
即 .
因为，所以 ，
因为，所以 ．
题型4 三角恒等式的证明
例9 已知,且，, .求
证： .
【解析】 ,
,
又 ,
，
.
,, ,
，, ,
式两边同除以 ,
得 .
三角恒等式的证明问题的解题策略
证明三角恒等式，可先从两边的角入手——变角，将条件式中的角朝着目标角转化，
然后分析函数名称——变名，尽量减少条件式中的函数名称的个数，这是三角恒等
变换的两个基本策略.
【变式题】
5.(2025·甘肃省张掖市期末)已知 ， 为锐角，， ．
（1）求证： ；
【答案】因为，所以 ，
又，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 .
（2）求 的值.
【答案】因为 ，
所以 ，
因为 , 为锐角，所以， ，
所以，所以 ，
所以 .
考情揭秘
两角和与差的正弦公式是高考考查的重点和热点，主要考查利用公式求值、化简三
角函数式等，单独考查较少，更多的是作为工具与解三角形综合考查.各种题型都有，
试题难度中等及中等偏下.
核心素养：数学运算（化简求值、解三角形的各个元素等）.
考向1 化简求值
例10 (2022·新高考全国Ⅱ卷)若 ，则
( )
C
A. B. C. D.
【解析】由题意得
，
整理得 ，
即 ，
所以 ．
例11 (全国Ⅱ卷)已知，，则 _ ___.
【解析】, ,
①，
②，
①②两式相加可得 ，
.
考向2 与解三角形的综合
例12 (2023·新课标Ⅰ卷)已知在中，， .
（1）求 ;
【解析】在中， ,
因为，所以,所以 .
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以，易得 ,
所以 ，
又，所以 .
（2）设,求 边上的高.
【解析】第1步：利用第（1）问的结论判断的范围，求出
由（1）知，，所以为锐角，所以 ，
第2步：利用两角差的正弦公式求出
所以 ，
第3步：利用正弦定理求出
由正弦定理 ，
得 ，
第4步：解直角三角形，求出 边上的高
故边上的高为 .
例13 (2023·全国甲卷)记的内角，，的对边分别为，， ，已知
.
（1）求 ；
【解析】由余弦定理知 ，
代入，得 ，
故 .
（2）若，求 面积.
【解析】第1步：利用正弦定理实现边化角
由正弦定理及 ，
得 ，
第2步：利用两角和差的正弦公式进行化简
化简得 .
第3步：利用三角形内角和定理及诱导公式进一步化简整理
， ，
，
，
.
第4步：结合三角形内角的范围及同角三角函数的基本关系确定角的三角函数值
，， .
, .
第5步：根据三角形面积公式求得结果
由（1）知 ，
故的面积 .
高考新题型专练
1.[多选题](2025·湖南省长沙市雅礼中学期中)下列计算正确的是( )
ABC
A.
B.
C.
D.
【解析】 ，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．故选 ．
2.新考法 结构不良 (2025·四川省仁寿第一中学期中)在条件 ，
， 中任选一个，补充在下列问题中，
然后解答补充完整的题目．
已知,,分别为锐角的三个内角，，的对边， ，而且________；
（1）求角 的大小；
【答案】选取条件①： ，
由正弦定理得 ，
为锐角，，，又为锐角，故 .
选取条件②： ，
由正弦定理得 ，
为锐角，， ，
又为锐角，解得 .
选取条件③：,由正弦定理得 ，即
，
，为锐角，，，又 为锐角，故
.
（2）求 周长的最大值.
【答案】由（1）得，，由余弦定理得 ，即
,
，解得，当且仅当 时等
号成立，此时为等边三角形，符合题意，故周长的最大值为 .
知识测评
04
1.[教材改编P76 T6]在平面直角坐标系中，以坐标原点为角的顶点，以 轴的非负半
轴为始边作角 ,角 的终边与单位圆交于点，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】根据题意知，以轴的非负半轴为始边作角 ，其终边与单位圆交于点
，由任意角的三角函数的定义得， ，则
．
2.已知，且，则实数 的值为( )
D
A.2 B. C.3 D.
【解析】 ，
，
,
，
又，，解得 .
3.中，已知，，则角 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】
（正弦函数的最小值为），，又,是三角形 的内角，
， ①.由得 ， ，联
立①②得 , ．
. .
4.(2025·山东省临沂第一中学检测)若，，则
( )
A
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】， ，
， ，
，， ，
.
5.［多选题］已知锐角 ， 满足 ，则下列选项正确的是
( )
BC
A. B.
C. D.
【解析】 ,，又 ，
是锐角，,，即 ， ，
（利用诱导公式判断）.故选 ．
. .
. .
6.(2025·湖南省长沙市期中)的内角,,的对边分别为,, .已知
,则 ___.
【解析】 ，
，
，整理得
，,， ,
, .
7.(2025·广东省深圳市高级中学测试)在中,,, .
（1）求 ;
【答案】在中，因为 ，
所以 .
由正弦定理得 .
由题设知 ，所以.所以 .
（2）求 边上的高.
【答案】在 中，因为
,
所以边上的高为 .
8.新考法 结构不良 已知，，且， .
（1）求 的值；
【答案】，且， ．
．
（2）求 的值以及其____弦值．请从“正”或“余”中挑选一个字填入上述横线并解答.
【答案】选“正”.
，，则 ，
又， ，
，又 为锐角, ．
选“余”.
，，则 ，
又， ，
，
又 为锐角， ．
高考模拟
05
9.已知对恒成立，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】由题意，对恒成立，所以当 时，
，故，当时， ，故 ，经验证可知
符合题意，所以， ，所以
.
10.(2025·甘肃省民乐县第一中学检测)在中，内角,,的对边分别是,, ,若
,且，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】因为 ,所以由正弦定理得
，则.在 中，
，则,. （【另解】也可以根据余弦定理化简得出关于边的关
系式，即，得出 为直角）
所以 .
11.在平面直角坐标系中，以坐标原点为角的顶点，以 轴的非负半轴为始边作角
,角的终边经过点，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】由题意知，,,则 .
12.函数 的最大值是___.
1
【解析】令 ,则 ,
, .
13.(2025·吉林省长春市第八中学月考)在中，角,,所对的边分别为,, .已
知, .
（1）求 的值;
【答案】由正弦定理，得 .
因为,所以 ,
又，所以 .
（2）若，求 的面积.
【答案】由（1）知 ,
因为,所以，所以 ,
所以 .
因为,即,所以 ,
所以 .
14.(2025·辽宁省七校协作体期中)在平面直角坐标系 中，设向量
，，， ．
（1）若，求 的值；
【答案】因为，，, ，所以
，且 ．
因为，所以 ，
即 ，
所以，即 ．
（2）设， ，且，求 的值．
【答案】因为，所以, ．
依题意，， ．
因为，所以 ，
化简，得，所以 ．
因为 ，所以 ．
所以，即 ．
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